广东省广州市荔湾区2019-2020学年高二上学期期末教学质量检测数学答案与评分标准
2019-2020学年第一学期期末教学质量监测高二数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题，每小题5分,共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D C B B C B A D B A部分小题解答8. 解:由337S a =，得12337a a a a ++= ，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以11,23q q ==-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-．故选B ． 9. 解:若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题； 反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na an n a a +-=>∈N ，，所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选A ．10. 解:双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为3y x =，无妨设60POF ∠=o ，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601,||2sin 603PO PF ====o o所以PFO ∆的面积为13132⨯=．故选D ． 11. 解:设BC x =，则1000CD x =，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++X 100001040(4)x x =++10000104041440x x≥+=g ， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S X 最小．故选B ．xz yMBDCAO12. 解:取AC 中点O ，易证：,,OD AC OD OB AC OB ⊥⊥⊥.如上图，以O 为坐标原点，OB uu u r的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C -(0,0,23),(0,2,23),D AD =u u u r (0,2,23)DC =-u u u r.设(,2,0)(02)M a a a -<≤， 则 (,4,0)AM a a =-u u u r.设平面DAM 的法向量(,,)x y z =n .由0,0AD AM ⋅=⋅=n n uuu r uuu r 得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(3,)a a a =--n ，所以22223233sin |cos ,|443(4)3a a DC a a a θ===-++n uuu r解得4a =-（舍去），43a =， 所以224845||33AM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 7 14. 260 15.31- 16. 214. 解:因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.15. 解法一: 如图,因为2POF △为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o，21||2F F c =，所以21||,||3PF c PF c=. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a =即3131c a ==+，所以31e =.yxPF 1F 2AO解法二：如图，易得点13(,)22P c c ，代入22221x y a b +=，得222222213(()2)21c b b caa +=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=-⎩，解得31c e a ==. 16. 解析: 因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2211()BD AD AA AB =+-u u u u r u u u r u u u r u u u r222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=o o o ，所以1||2BD BD =u u u u r三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小． 17. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=， ……………1分由618S =，得1532a d +=， ……………2分 于是18,2a d ==-． ……………4分所以{}n a 的通项公式为102n a n =- *()n ∈N ． ……………5分（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- ……………6分 29n n =-+ ……………7分2981()24n =--+ ……………8分因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时, ……………9分n S 有最大值为20． ……………10分18. (本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点(1,2)-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 3h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准 线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积．18. 解：（1）根据题意，设抛物线C 为22(0)y px p =>， ……………1分因为点(1,2)-在抛物线上，所以2(2)2p -=，即2p =． ……………2分所以抛物线C 的方程为24y x =． ……………3分（2）由（1）可得焦点(1,0)F ，准线为:1l x =-． ……………4分 不妨设112212(,),(,)()A x y B x y x x >，过F 3h 的方程为3(1)y x =-． ……………5分由243(1)y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得231030x x -+=， ……………6分 所以13x =，213x =．代入3(1)y x =-，得123y =223y =． x60°O ABEDF所以(3,23)A ， …………………………………………………7分123(,3B ． ……………………………………………………8分 (注：A 、B 两点，算对一个得1分) 所以1||42pAD x =+=， …………………………………………9分 24||23p BE x =+=， ………………………………………………10分128||||33DE y y =-= …………………………………………11分(注：上面三条线段，算对一个得1分)因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为1643(||||)||2AD BE DE +=……………………………………12分 19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =．（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=o ，2AP AB ==， 求二面角A PD C --的余弦值．DABCP第19 题E ODABCP第19 题19. 解：（1）证明：记AC I BD O =，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点． ……………………………………1分 因为PB PD =，所以PO BD ⊥． …………………………………………2分 因为AC PO O =I ，所以BD ⊥平面APC ． ………………………………………………………3分 因为BD BPD ⊂平面，所以平面APC ⊥平面BPD ． ……………………4分 （2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o ，2AP AB ==， 所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==． 因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． ……………………………………5分 又sin 603AO AB ==o 2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥． ………………………………………………………………6分 方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==， 因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形． ………………………………………7分 取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角． ……………………………………8分 因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===， 所以22112DP =+=．…………………………………………………………9分因为222142()22AE CE ==-=， 223AC AO ==， ……………………………………………………………10分所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-g ． …………………………………11分所以二面角A PD C --的余弦值为57-． ……………………………………12分OxyzPDABC第19 题方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，………………………………………………………7分 则3,0,0)A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(3,0,0,)C ，……………………7分所以3,1,0)DA =u u u r ，(0,1,1)DP =u u u r ，(3,1,0)DC =-u u u r．……………………8分设平面APD 的法向量为1(,,)x y z =n由1100DA DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n n ，得300x y y z +=+=⎪⎩，令3y =1(1,3,3)=-n ． ……………9分 同理，可求平面PDC 的法向量2(13,3)=-n ． ……………10分 所以121212cos ||||<>=g n n n ,n n n22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++- …………11分57=-． ………………………………12分所以，二面角A PD C --的余弦值为57-． ………………………………12分20.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =(*n ∈N )，数列{}n b 满足12b =，*132(2)n n b b n n -=+≥∈N ,．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{1}n b +是等比数列； （3）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <． 20. 解：（1）当1n =时，111a S ==． ………………………………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-=22(1)21n n n --=-． …………………………2分检验，当1n =时11211a ==⨯-符合． …………………………3分所以n a =21n -*()n ∈N ． ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， ……………5分而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．………6分 （3）由（1）（2）得 1n b += 1333n n -⋅=，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， …………………………7分 所以1231n n n T c c c c c -=+++++L231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ①23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++L ，…………8分 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+- ………………………………9分11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=- ， ………………………………10分所以11(1)()3nn T n =-+． ………………………………11分因为1(1)()03nn +>，所以1n T < ． ………………………………12分21.（本小题满分12分）如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点(1,0)B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意 一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q ． 当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设过点(4,0)D 的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点（点M 在D ，N 两点之间）．是否存在直线2l 使得2DN DM =u u u r u u u u r？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 解：（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =． ………………………………1分 因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=． ………………………………2分 因为4||AB <，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．………3分 因为2,1a c ==，2223b a c =-=， ………………………………………………4分所以曲线C 的方程为22143x y +=． ……………………………………………5分（2）存在直线2l 使得2DN DM =u u u r u u u u r． ……………………………………………6分 方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-． ……………………7分 设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，xy第21 题ABQ P O由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． …………………8分 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k -=+， ② ……………………9分 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =u u u r u u u u r ，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ ……………………10分 把③代入①得21241634k x k +=+ ，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得56k =±，满足1122k -<<． …………………11分 所以直线2l 的方程为：54)y x =-或54)y x =-． …………………12分 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0),(2,0)M N -，(6,0),(2,0)DN DM =-=-u u u r u u u u r此时2DN DM ≠u u u r u u u u r ． ……………………………………7分因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),N(,)()M x y x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 22(34)24360t y ty +++=． ……………………………8分 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t > ， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② …………………9分 因为2DN DM =u u u r u u u u r ，所以212y y =． ③ …………………10分把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，5t =±，满足2t <-或2t >． …………………11分 所以直线2l 的方程为54)y x =-或54)y x =-． …………………12分 22. (本小题满分12分) 已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为(3,1)-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式2()3f x n n >-+对x ∀∈R 都成立，求实数n 的取值范围；（3）若3n =且(1,)x ∈+∞时，求函数()f x 的零点．22. 解：（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以3,1-为方程()0f x =的两个根，由根与系数的关系得3131m m n-+=⎧⎨-⨯=+⎩ ，即2m =-，1n =-．………………………………………2分 （2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x ∀∈R 都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+． …………………………3分当1x =-时，min ()3g x =-， …………………………4分 所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞U ． …………………………5分（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2m x =的抛物线， 22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当0∆<，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点． …………6分 ②当0∆=，即2m =-或6m =时，（i ）当2m =-时，1(1,)2m x ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点． ……………7分 （ii ）当6m =时，3(1,)2m x ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3． ……………8分 ③当0∆>，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得2212412412m m m m m m x x ---+--==， (1)40f =>． ………………………………………9分（i ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<， 所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点． ………………………………………10分（ii ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩ ，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 22412412m m m m m m ---+-- ……………………………11分 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点为3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有两个零点：22412412m m m m m m ---+-- ……………………………12分。
2019-2020学年广东省联考联盟高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省联考联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∈，22x x =B ．0x R ∃∉，202x x =C ．0x R ∃∈，202x x ≠ D ．0x R ∃∈，202x x =2．（5分）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．（5分）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为( )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7，4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n5．（5分）正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为( )A B ．12aC D ．13a6．（5分）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-7．（5分）曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等8．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则(x y z ++=) A ．23B ．56C ．1D ．769．（5分）直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是( )A ．12(,)33-B ．1(3-，1)2C ．1(2，1)3-D ．2(3-，1)310．（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为( ) A 3B 2C 5D ．212．（5分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是( ) A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆2212516x y +=上的点P 到一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ．14．（5分）命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．（5分）圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为 ． 16．（5分）已知圆22:1O x y +=，点(2,2)P ，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形PACB 的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 19．（12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值． 20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD AC ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面CEF ；21．（12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90︒的角）的余弦值．22．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r，且22||||40HA HB +…成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省联考联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∈，22x x =B ．0x R ∃∉，202x x =C ．0x R ∃∈，202x x ≠ D ．0x R ∃∈，202x x = 【解答】解：命题是全称命题，则否定的特称命题，即0x R ∃∈，202x x =， 故选：D ．2．（5分）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的斜率为tan k θ===又[0θ∈︒，180)︒， 所以倾斜角120θ=︒． 故选：C ．3．（5分）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为( )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7，【解答】解：根据抛物线28y x =，知4p =根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离， 得7p x =，把x 代入抛物线方程解得y =± 故选：C ．4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【解答】解：A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C ，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D ，m ，n 也可能异面．故选：C ．5．（5分）正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为( )A B ．12aC D ．13a【解答】解：如图，建立空间直角坐标系， Q 正方体的棱长为a ，(2a E ∴，2a ，)a ，(2a F ，2a ，0)，(2a M ，a ，)2a ，(0N ，2a ，)2a ，(2a P ，0，)2a ，(Q a ，2a ，)2a． 这个几何体是正八面体，棱长||PQ ==．∴． 故选：A ．6．（5分）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．7．（5分）曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【解答】解：曲线221169x y +=是解得在x 轴上的椭圆；它的焦距为：216927-=曲线221(916)169x y k k k+=<<--是焦点坐标在x 轴上的双曲线，它的焦距为：16(9)7k k -+-．所以曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的焦距相等．故选：C ．8．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则(x y z ++=) A ．23 B ．56 C ．1 D ．76【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11123AC AB BC DD xAB yBC zDD =++=-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则1x =，21y -=，31z =，则1x =，12y =-，13z =．1151236x y z ∴++=-+=． 故选：B ．9．（5分）直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是( )A ．12(,)33-B ．1(3-，1)2C ．1(2，1)3-D ．2(3-，1)3【解答】解：将直线1y x =+代入椭圆2224x y +=中，得222(1)4x x ++=23420x x ∴+-= ∴弦的中点横坐标是142()233x =⨯-=-， 代入直线方程中，得13y =∴弦的中点是2(3-，1)3故选：D ．10．（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π【解答】解：根据题意，画图如下：则OA R =，O A r '==12hOO '==，故在Rt △OO A '中，2OA ===，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球．故选：B ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为( )A BCD ．2【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q ， 则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形，则1||||PF FQ =，1||||PF QF =，由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||||2PF PF a -=， 1||PF a ∴=，||OP b =，1||OF c =， 190OPF ∴∠=︒，在1QPF ∆中，||2PQ b =，1||3QF a =，1||PF a =， 222(2)(3)b a a ∴+=，整理得：222b a =，则双曲线的离心率c e a ==．故选：A ．12．（5分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是()A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆2212516x y+=上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【解答】解：椭圆2212516x y+=的长轴长为10根据椭圆的定义，Q椭圆2212516x y+=上的点P到一个焦点的距离为3P∴到另一个焦点的距离为1037-=故答案为：714．（5分）命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 22a -剟 ． 【解答】解：命题“2240x ax --->不成立”是真命题， 即：命题“2240x ax ---„成立为真命题”． 故：△24160a =-„， 解得：22a -剟． 故答案为：22a -剟．15．（5分）圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为． 【解答】解：依题意，圆锥的母线长为3，底面圆的周长为2323ππ⨯=， 设底面圆的半径为r ，则22r ππ=，即1r =，∴圆锥的高h ==∴2113V π=⨯⨯⨯．．16．（5分）已知圆22:1O x y +=，点P ，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形PACB 的面积为．【解答】解：根据题意，连接PO ，如图，P ，则||2PO ==，C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则||||13PC PO =+=， 过点A 作AE OP ⊥，垂足为E ，Rt AOP ∆中，||1OA =，||2OP =，则||PA =则||||||||OA AP AE OP ⨯==，故1222ACP PACB S S AE PC ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭四边形，．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，k a >，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线， 则(1)(3)0k k +-<，即(k ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞， 若q ⌝是p 的充分不必要条件，[1k ∈-，3]是{|}a k a >的真子集， 故1a -…．18．（12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 【解答】解：（1）联立23x y -=与直线2:4350l x y --=．解得2x =，1y =． ∴直线1l 与2l 的交点坐标(2,1)．（2）设与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程为30x y m ++=， 把(2,1)代入解得：7m =-．∴要求的直线方程为：370x y +-=．19．（12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值． 【解答】解：（1）由22:420C x y x y m +--+=，得22(2)(1)5x y m -+-=-， 若方程C 表示圆，则50m ->，即5m <；（2）圆C 的半径为5m -，圆心(2,1)到直线240x y +-=的距离55d ==， 又45||MN =， ∴222525()()(5)m +=-，解得4m =． 20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD AC ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面CEF ；【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥．90PCD ∠=︒Q ，PC CD ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） PA PC P =Q I ，CD ∴⊥平面PAC ，AC ⊂Q 平面PAC ，CD AC ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得90ACD ∠=︒．在直角三角形ACD 中，60CAD ∠=︒，CF AF =，60ACF ∴∠=︒，//CF AB ∴．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） CF ⊂/Q 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//CF ∴平面PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） E Q 、F 分别是PD 、AD 中点，//EF PA ∴，又EF ⊂/Q 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB ． CF EF F =Q I ，∴平面//CEF 平面PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）PB ⊂Q 平面PAB ，//PB ∴平面CEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21．（12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90︒的角）的余弦值．【解答】解：（1）以{AB u u u r ，AC u u u r，1}AA u u u r 为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -， 则由题意知(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(0A ，0，4)，(1D ，1，0)，1(0C ，2，4)，∴1(2A B =u u u r ，0，4)-，1(1C D =u u u u r，1-，4)-，1cos A B ∴<u u u r ，11111310||||2018A B C D C D A B C D >==u u u r u u u u ru u u u r g u u u r u u u u r g ，∴异面直线1A B 与1C D 310． （2）(0,2,0)AC =u u u r是平面1ABA 的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为(,,)m x y z =r， Q (1,1,0)AD =u u u r ，1(0,2,4)AC =u u u u r∴10240m AD x y m AC y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1z =，得2y =-，2x =， ∴平面1ADC 的法向量为(2m =r，2-，1)， 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ， cos |cos AC θ∴=<u u u r ，2|||329n >==r，∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的余弦值为：23．22．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r，且22||||40HA HB +…成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）依题意，椭圆22:143x y Γ+=中，24a =，23b =，得2221c a b =-=，则(1,0)F ，得14p=，即4p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）设:1l x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2440y y --=，∴121244y y ty y +=⎧⎨=-⎩①且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r ，则1(1x -，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12y y λ=-，代入①得222(1)44y t y λλ-=⎧⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，易得(1,0)H -，则2222221122||||(1)(1)HA HB x y x y +=+++++22221212122()2x x x x y y =++++++2222121212(1)(1)2(2)2ty ty ty ty y y =+++++++++2221212(1)()4()8t y y t y y =+++++22(1)(168)448t t t t =++++g42164016t t =++， 由4216401640t t ++=， 解得212t =或23t =-（舍)，将212t =代入2142t λλ=+-，解得2λ=．故存在实数2λ=满足题意．。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。
【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。
【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ， 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。
广东省联考联盟2019-2020学年高二上学期质量检测数学试题及解析word版
广东省联考联盟2019-2020第一学期质量检测高二·数学试卷（满分150分 时间120分钟）注意事项：1．考试范围：必修2，选修2-1．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“,x ∀∈R 22x x ≠”的否定是（ ）A ．,x ∀∈R 22x x = B ．0,x ∃∉R 2002x x = C ．0,x ∃∈R 2002x x ≠D ．0,x ∃∈R 2002x x =2．若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,4．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n5．正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（ ）A B ．12a CD ．13a6．已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为（ ）A ．2或-1B ．1C ．1或-2D ．-27．曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k +=<<--的（ ） A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则x y z ++=（ ）A ．23B ．56C ．1D ．769．直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是（ ）A ．12,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭D ．21,33⎛⎫-⎪⎝⎭10，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为（ ）ABCD ．212．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形．其中正确的结论是（ ） A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________． 14．命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．15圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为________．16．已知圆22:1O x y +=，点P ，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形P ACB 的面积为________．三、解答题（本大题共6小题，共π0分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知p ：式子2log ()k a -（a 为常数）有意义，q ：方程22113x y k k+=+-（k 为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 19．（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||5MN =，求m 的值． 20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ︒∠=∠=，60BAC CAD ︒∠=∠=，设E 、F 分别为PDAD 的中点证明：（1）CD AC ⊥； （2）//PB 平面CEF ．21．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1AA B 所成锐二面角的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB λλ=∈R u u u r u u u r，且22||||40HA HB +≥成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．广东省联考联盟2019—2020第一学期质量检测高二数学·参考答案1．【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题第一步是将全称量词改写为特称量词，第二步是将结论加以否定．2．【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α= 又0180α︒︒≤<Q ，120α︒∴=， 故选C ．3．【答案】C【解析】根据抛物线28y x =，知4p =，根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离得7p x =，把p x 代入抛物线方程解得p y =±， 故选C ．4．【答案】C【解析】A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C ，同垂直于一个平面的两直线平行，正确；D ，m ，n 也可能异面． 故选C ．5．【答案】A2=，6．【答案】B【解析】12//l l Q ，42(1)016(1)4(2)m m m m -+=⎧∴⎨+≠-⎩，解得1m =．7．【答案】C【解析】曲线221169x y +=表示椭圆，焦距为2c == 当916k <<时，曲线221169x y k k+=--表示双曲线，焦距为2c ===， 故两条曲线的焦距相等．8．【答案】B【解析】Q 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AC AB BC DD ∴=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ， 1x ∴=，12y =-，13z =，即56x y z ++=． 9．【答案】D【解析】将直线1y x =+代入椭圆2224x y +=中，得222(1)4x x ++=，23420x x ∴+-=，∴弦的中点横坐标是142233x ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，代入直线方程中，得13y =， ∴弦的中点是21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ．10．【答案】B【解析】根据题意，画图如下：则OA R =，O A r '==12hOO '==，故在Rt OO A 'V 中，2OA ===，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球．故选B ．11．【答案】A【解析】设双曲线右焦点为F ，由题意可知：P 关于原点的对称点为Q ，则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形， 则1||PF FQ =，1||PF QF =， 由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||2PF PF a -=，1PF a ∴=，||OP b =，1OF c =，190OPF ︒∴∠=，在1QPF V中，||2PQ b =，13QF a =，1PF a =， 222(2)(3)b a a ∴+=，整理得222b a =，则双曲线的离心率c e a ===故选A ．12．【答案】B【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总过正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状是平行四边形，所以（2）是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以（4）是正确.同时过正方体的中心的平面截正方体的表面得到的截面不可能是三角形和五边形，故选B ．13．【答案】7【解析】设所求距离为d ，由题得：5a =．所以23237a d d a =+⇒=-=． 14．【答案】[2,2]-【解析】命题“2240x ax --->不成立”是真命题，即对于任意的x ∈R ，不等式2240x ax ---≤恒成立，24160a ∴∆=-≤，解之得22a -≤≤，故答案为[2,2]-．15．【答案】3【解析】圆锥侧面展开图是圆心角为23π，半径为3的扇形， 则圆锥的母线长为3l =，底面周长即扇形的弧长为2323ππ⨯=， 所以底面圆的半径为1r =，所以底面圆的面积为2r ππ⨯=，圆锥的高为h ==，所以圆锥的体积为133V π=⨯⨯=． 16．【答案】【解析】由平面几何知识可知||3PC =，||||PA PB ==，30CPA ︒∠=，∴四边形P ACB 的面积为123302S ︒=⨯⨯=．17．解：由p ：式子有意义，则k a >，由中22:113x y q k k+=+-表示双曲线，则(1)(3)0k k +-<， 即1k <-或3k >，:[1,3]q k ∴⌝∈-．q ⌝Q 是p 的充分不必要条件，1a ∴<-．18．解：（1）由23435x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，∴两直线的交点坐标为(2,1)．（2）设与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程为30x y C ++=，Q 点(2,1)在直线l 上，3210,7C C ∴⨯++==-，故所求直线l 的方程为370x y +-=．19．解：（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-，则当5m <时，方程C 表示以(2,1)为半径的圆．（2）Q 圆心(2,1)C 到直线l 的距离为d ==22555m ⎛⎫⎛⎫∴-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4m =．20．证明：（1）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥．90PCD ︒∠=Q ，PC CD ∴⊥．PA PC P ⋂=Q ，CD ∴⊥平面P AC ． AC ⊂Q 平面P AC ，CD AC ∴⊥．（2）由（1）得90ACD ︒∠=，在直角三角形ACD 中，60CAD ︒∠=， 可得CF AF =，60ACF ︒∠=，//CF AB ．CF ⊄Q 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， //CF ∴平面P AB ．E Q 、F 分别是PD 、AD 中点，//EF PA ∴，又EF ⊄Q 平面P AB ，PA ⊂平面P AB ，//EF ∴平面P AB ．CF EF F ⋂=Q ，∴平面//CEF 平面P AB ．PB ⊂Q 平面P AB ，//PB ∴平面CEF ．21解：（1）以{}1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间直角坐标系A -xyz ，则由题意知(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,4)A ，(1,1,0)D ，1(0,2,4)C ，1(2,0,4)A B ∴=-u u u r ，1(1,1,4)C D =--u u u u r，111111cos ,||||A B C D A B C D A B C D ⋅∴〈〉===u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ∴异面直线1A B 与1C D． （2）(0,2,0)AC =u u u r是平面1AA B 的一个法向量，设平面1ADC 的法向量(,,)m x y z =，(1,1,0)AD =u u u r Q ，1(0,2,4)AC =u u u u r，10240m AD x y m AC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩u u u r，取1z =，得2y =-，2x =． ∴平面1ADC 的法向量(2,2,1)m =-，设平面1ADC 与平面1AA B 所成锐二面角为θ，2cos |cos ,|3AC m θ∴=〈〉==u u u r ，∴平面1ADC 与平面1AA B 所成锐二面角的余弦值为23．22解：（1）依题意，在椭圆22:143x y Γ+=中，24a =，23b =， 则2221c a b =-=，所以点(1,0)F ，则12p=，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =．（2）设直线:1l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y ty --=．因为216160t ∆=+>，所以121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩①，且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩． 又AF FB λ=u u u r u u u r ，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①，得222(1)44y t y λλ-=⎧⎨-=-⎩， 消去2y ，得2142t λλ=+-．易得(1,0)H -， 则()()2222221122||||11HA HB x y x y +=+++++()222212121222x x x x y y =++++++ ()()()222212121211222ty ty ty ty y y =+++++++++()()()2221212148t y y t y y =+++++ ()()221168448t t t t =+++⋅+42164016t t =++．由4216401640t t ++≥， 解得212t ≥或23t ≤-（舍去）， 将212t ≥代入2142t λλ=+-，得140λλ+-≥， 又由题意，可得0λ>，解得02λ<≤2λ≥+故存在满足题意的实数λ，其取值范围是(0,2[2)-⋃++∞．。
广东省广州市荔湾区2019-2020学年高一上学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
7. 设������ = log0.34，������ = log43，������ = 0.3−2，则 a、b、c 的大小关系是( )
A. ������ < ������ < ������
B. ������ < ������ < ������
C. ������ < ������ < ������
D. ������ < ������ < ������
2
示，则方程������(������) = ������(������为常数且1 < ������ < 2)在[0, ������]内所有解的和为( )
A.
������ 6
B.
������ 3
C.
������ 2
D. ������
������������������1������ + 2,0 < ������ < 1
若点 P 满足| ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� | = 1，则���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� ⋅ ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���的取值范围为______．
三、解答题（本大题共 6 小题）
17.
已知0
<
������
<
���2���，且������������������������
8.
为了得到函数������
=
cos(2������
−
������)(������
3
∈
������)的图象，只需把函数������
=
������������������2������的图象(
)
A.
向左平行移动������个单位长度
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．数列12-，14，18-，116，的一个通项公式是（ ）A ．12n- B ．(1)2n n- C ．1(1)2n n+-D ．1(1)2nn --【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】()111122-=-⨯，()2211142-⨯=，()3311182--=⨯，()44111162=-⨯所以其通项公式是：(1)2nn-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只【答案】D【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即16nn a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6n n a =所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是666a =故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3．已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，使方程成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真，故正确答案为C.【考点】函数零点、常用逻辑用语.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2A Ca b A +=，则cos B =（ ） A ．12- B ．12C． D．2【答案】B【解析】由诱导公式得sincos 22A C B+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出1sin 22B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A =0,sin 0A A π<<∴≠,则1cos sin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ）A ．1l ，2l 都平行于同一个平面B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面 【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D 7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30的方向，则海轮的速度为（ ）A ．2/分B ．2海里/分C 3海里/分D 2海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意可得：90301545BCA ∠=︒-︒-︒=︒ ，180(45105)30B ∠=︒-︒+︒=︒由正弦定理可得：sin sin AB ACBCA B =∠∠，即120sin 2102sin 22AB BAC BCA⨯⋅∠===∠1022=海里/分 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题. 8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF=，，2BC BF=，且AFBF>，则此抛物线的方程为（ ） A ．2yx = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=︒，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p . 【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N由抛物线的定义可知：12BNFB BC ==在直角CNB ∆中，1cos 2BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=︒所以60AFM ∠=︒ 又4AF=，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =︒==︒=则(2,23)2p A +由22122p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为24y x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且cos θ=，则该四面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =11(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22A B E D a11(0,1,),(,,0)22AD a BE =-=cos AD BE AD BE θ===⎛⋅⋅2a =该四面体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法①命题“0a ∃>，函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有()2max min2()xx ax +≥”④ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件. 其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】当0a >时，则440a ∆=+>，则①错误；②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确；当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是()2max min2)34(xx ax =<=+所以③错误；2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔-<-⇔<则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22124y x -=B ．22134x y -= C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到所求方程． 【详解】因为()21210F F F A F A +⋅=， 所以()()2122120F F F A F F F A +⋅-+=得到22221AF F F =，即有2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，根据题意，在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 所以127cos 25AF F ∠=-， 即()2224422722225c c a c c c +-+=-⨯⨯，整理得35c a =，而45b c ==， 所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，根据选项可知双曲线的标准方程可能为221916x y -=，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ∆中，1AB =，AC =4B π∠=，则C ∠=__________．【答案】6π【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得：1sin 1sin 2AB B C AC===，解得56C π=(舍)，6C π=故答案为：6π【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【答案】1-【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(0,,)GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题. 16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =__________．【答案】1-【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos 3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S . 【详解】1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n na a n n+∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为121(1)nn a n a n n∴=+-⇒= 2cos3n n b n π∴=3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭33cos 23k b k k k π==3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-= ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.17．已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.【答案】（1）23n a n =+ （2）15n =【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以26121a a a =， 即()()211152202a a a +⨯=+⨯，解得15a =所以23n a n =+. （2）由（1）知()()1112325n n n b a a n n +==++，所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以1111111257792325n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()525n n =+，由()352535n n =+，得15n =【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A .（1）求A ； （2）若a =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）4A π= （2）2【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴ sin 0C ≠，cos sin A A ∴=又()0,A π∈，4A π∴=（2）1sin 24S bc A bc == 由余弦定理可得，22282cos 4a b c bc π==+- 又222b c bc +≥故(42bc ≤=+，当且仅当b c =时，等号成立.所以24S =≤所以面积最大为2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题. 19．已知m 为实数，命题:p 方程221214x y m m -=--表示双曲线； 命题:q 函数21()lg 4f x mx x m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m <或4m > （2）12m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可； (2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->， 即m 的取值范围是12m <或4m >（2）若命题q 为真，即2104mx x m -+>恒成立， 则00m >⎧⎨∆<⎩有2010m m >⎧⎨-<⎩，1m 命题p 、q 一真一假.当p 真q 假时，1421m m m ⎧<>⎪⎨⎪≤⎩或得12m < 当p 假q 真时，1421m m ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩得14m <≤ 1m ∴<或14m <≤【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB=，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由.【答案】（1）24y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1m k =，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.24y x =（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+，又AFFB=，故()02,0B x +令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则02AB y k k ==-，()2,2A k k ∴-将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2()4kx m x +=， 整理222(24)0k x km x m +-+=……①222(24)40km k m ∴∆=--=，1km ∴=当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠10m k∴=≠ 所以①可以化为222120k x x k -+=21D x k ∴=，2D y k =，212,D k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当21k ≠时2222222111AD kk k k k k k k k+===--- ()222:21kAD y k x k k∴+=--， 22:(1)1kAD y x k∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD中，AB =BC =E 、P分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，152DP =，现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2（1）证明：'AE D P ⊥；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）15【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角 'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O 在Rt PCD ∆中，由35DC AB ==，152DP =，2235PC DP DC =-=以点A 为坐标原点，建立直角坐标系，则(5,25AE =，3535,PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭即35355250AE PD ⋅=-⨯+⨯= AE DP ∴⊥，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有AE OD '⊥，AE OP ⊥，OD OP O '⋂=，,OD OP '⊂平面POD ' AE ∴⊥平面POD 'D P '⊂平面POD '，AE D P '∴⊥；（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到23D OP π'∠=.在平面'POD 内过点O 作底面垂线，O 为原点，分别以OA 、OP 、及所作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 则(0,3D '-，(1,0,0)E -，(11,0,0)Q -，(3,4,0)C -， (11,1,3D Q '=--，(2,4,0)EC =-，(1,3ED '=-， 设平面'D EC 的一个法向量为(, , )n x y z =，由24030n EC x y n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'， 取1y =，得32,1,3n ⎛=- ⎝⎭. l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为15cos ,n D Q n D Q n D Q '⋅'=='⋅【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.22．已知椭圆22:236C x y +=.（1）求椭圆C 的短轴长和离心率；（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长e =（2）TM TP >，证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断TP 与TM 的大小；当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆22:236C x y +=可变形为22:13618x y C +=6a ∴=，b =c =故短轴长为2e =（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入22:236C x y +=可得4y =±，此时()2,0T ，4TM ∴=，2TP =，TM TP ∴>，当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-代入到22:236C x y +=，得2222(2)36x k x +-=()22222188360k x k x k ∴+-+-=令()11,M x y ，()22,N x y 则2122821k x x k +=+，212283621k x x k -=+，此时()114,PM x y =-，()224,PN x y =-，()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴⋅=--+=--+-- ()()()()212124422x x k x x =--+--()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++()()()222222283618421642121k k k k k k k -++=-++++ ()()()()()222222222291424214212121k k k k k k k k k ⎡⎤-++++⎢⎥=-+⨯+++⎢⎥⎣⎦ 22654021k k --=⨯<+ 90MPN ∴∠>︒，点P 在以MN 为直径的圆内部. 所以TM TP >， 综上所述，TMTP > 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.。
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x≤0，x2≥0”的否定是()A. ∀x≤0，x2≥0B. ∀x≤0，x2<0C. ∃x>0，x2>0D. ∃x<0，x2≤02.双曲线x210−y210=1的焦距为()A. 3√2B. 4√5C. 3√3D. 4√33.在数列{a n}中，a1=1，a n=1+(−1)na n−1(n≥2)，则a5等于()A. 32B. 53C. 85D. 234.在△ABC中，若c=2，a=√3，∠A=π6，则sinC=()A. √33B. √32C. 13D. √225.已知点P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为4√33，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. √62D. √67.“1<m<3”是“方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知双曲线C:x216−y248=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点，F1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP⃗⃗⃗⃗⃗ ，O为坐标原点，若|PF1|=10，则|OQ|=()A. 10B. 1或9C. 1D. 99.在△ABC中，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10. 已知直线y =kx +3与椭圆x 216+y 24=1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A. (√54,+∞) B. (−∞,−√54) C. (−∞,−√54)∪(√54,+∞) D. (−√54,√54)11. 等差数列{a n }中，已知a 7>0，a 3+a 9<0，则{a n }的前n 项和S n 的最小值为( )A. S 4B. S 5C. S 6D. S 712. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P.若PF 1⊥PF 2，则C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为4，则椭圆的方程为______ ．14. 设a >0，b >0，且a +b =1，则1a +1b +1ab 的最小值为______ ．15. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A 处测得公路北侧有一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =________m ．16. 已知抛物线C ：y 2=4x ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：(x +2)(x −6)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(Ⅰ)若m =5，“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积为10√3，a +b =13，∠C =60°，求这个三角形的各边长．19. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y =x +3，求|MF|+|NF|的值；(2)若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|MN|．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n =S n +1(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(2n +1)⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．22.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点肘(−a,0)到直线xa+yb=1的距离d=8√217．(1)求C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与C相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于P，Q两点，O为坐标，求△OPQ面积的取值范围．原点，若直线OA，OB的斜率之积为−34-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，是基础题． 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可． 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x ≤0，使得x 2≥0”的否定是∀x ≤0，x 2<0． 故选B ．2.答案：B解析：解：双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，∴c 2=a 2+b 2=20． ∴c =2√5， ∴2c =4√5．双曲线的焦距为：4√5． 故选：B ． 双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，求出c ，从而得到焦距2c ． 本题考查双曲线的简单性质，确定c 是关键．3.答案：D解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 利用数列的递推关系式，求出前5项即可． 解：数列{a n }中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1(n ≥2)，则a2=1+1=2，a3=1+−12=12，a4=1+112=3，a5=1+−13=23．故选：D．4.答案：A解析：解：在△ABC中，由于：c=2，a=√3，∠A=π6，利用正弦定理：asinA =csinC，解得：sinC=2⋅1 2√3=√33，故选：A．直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.答案：C解析：本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题．由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，即可求解．解：由P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，即−2=−p2，则p=4，故抛物线的焦点坐标为：(2,0)，故选：C．6.答案：B解析：本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 求出双曲线的渐近线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可． 解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为bx −ay =0，则：{bx −ay =0x 24+y 2=1, 消去y 可得：x =√a 2+4b 2，y =√a 2+4b 2， 一条渐近线截椭圆x 24+y 2=1所得弦长为4√33，可得：4a 2+4b 2a 2+4b 2=(2√33)2=43，可得2a 2=b 2=c 2−a 2，解得e =ca =√3． 故选：B ．7.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题． 根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：若方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆， 则满足{m −1>03−m >0m −1≠3−m ，即{m >1m <3m ≠2,即1<m <3且m ≠2，此时1<m <3成立，即必要性成立， 当m =2时，满足1<m <3，但此时方程x 2m−1+y 23−m =1等价为x 21+y 21=1为圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立， 故“1<m <3”是“方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B ．8.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．解：双曲线C ：x 216−y 248=1可得a =4，b =4√3，c =8，c −a =4，由双曲线的定义可知：||PF 1|−|PF 2||=2a =8， 因为|PF 1|=10，所以|PF 2|=18或|PF 2|=2(舍去)， P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为线段PF 1的中点， 所以|OQ|=12|PF 2|=9． 故选：D ．9.答案：A解析：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题． 解：在△ABC 中，∵cos 2A2=1+cosA 2=b+c 2c=b 2c +12， ∴cosA 2=sinB 2sinC，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =cosAsinC ， ∴sinAcosC =0， ∵sinA >0， ∴cosC =0，C =π2， ∴△ABC 的形状是直角三角形， 故选A ．10.答案：C解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与椭圆直线与椭圆的位置关系的计算，根据已知及直线与椭圆的位置关系的计算，求出实数k 的取值范围．解：由{y =kx +3,x 216+y 24=1得(4k 2+1)x 2+24kx +20=0， 当Δ=16(16k 2−5)>0，即k >√54或k <−√54时，直线和椭圆有两个公共点．故选C ．11.答案：C解析：利用等差数列通面公式推导出a 6<0.a 7>0，由此能求出{a n }的前n 项和S n 的最小值．本题考查数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 9<0，∴a 3+a 9=2a 6<0， 即a 6<0.又a 7>0，∴{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 6． 故选：C ．12.答案：D解析：本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 设P(x,y)，通过联立直线PF 2的方程、直线PF 1的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 解：如图，设P(x,y)，根据题意可得F 1(−c,0)、F 2(c,0)，双曲线的渐近线为y=bax，直线PF2的方程为y=ba(x−c)，①即直线PF1的方程为y=−ab(x+c)，②又点P(x,y)在双曲线上，∴x2a2−y2b2=1，③联立①③，得x=a2+c22c，联立①②，得x=b2−a2a2+b2×c=b2−a2c，∴a2+c22c =b2−a2c，即a2+a2+b2=2b2−2a2，∴b2=4a2，∴e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√5a2a2=√5．故选D．13.答案：x216+y24=1解析：解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为4，即有b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解得a=4，c=2√3，则椭圆方程为x216+y24=1．故答案为：x216+y24=1．由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解方程可得a=4，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要椭圆的离心率的运用，考查运算能力，属于基础题．14.答案：8解析：解：∵a>0，b>0，且a+b=1，则1a+1b+1ab=2ab≥2(a+b2)2=8，当且仅当a=b=12时取等号．故答案为：8．a>0，b>0，且a+b=1，可得1a +1b+1ab=2ab，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：50√6解析：解：由题意可知∠BAC=30°，∠ABC=180°−75°=105°，AB=300，∠CBD=30°，在△ABC中，由三角形的内角和定理可知∠ACB=45°，由正弦定理得：，即√22=BC12，解得BC=150√2．在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBC =√33，∴CD=√33BC=50√6．故答案为50√6．在△ABC中根据正弦定理计算BC，在△BCD中，根据锐角三角函数的定义计算CD．本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题．16.答案：x−y=0解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可得，y1+y2=4，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，∴k AB=1，∴直线AB的方程为y−2=1×(x−2)即x−y=0．故答案为：x−y=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB 的方程本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．属于基础题．17.答案：解：对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7，∵“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，∴p假q真，由{x<−2或x>6−3≤x≤7，得−3≤x<−2或6<x≤7，∴实数x的取值范围为[−3,−2)∪(6,7].(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．当B=⌀时，2−m>2+m，解得m<0，当B≠⌀时，∴{2−m≤2+m2−m≤−22+m≥6，得m≥4，∴实数m的取值范围为(−∞,0)∪[4，+∞)．解析：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7.由“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，可得p假q真，解出即可．(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，由于q是p的充分不必要条件，可得B⊊A.分类讨论：当B=⌀时，当B≠⌀时，即可得出．18.答案：解：∵△ABC中，S=12ab⋅sin C，∴10√3=12absin60°，即ab=40，又a+b=13，∴解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∴c2=a2+b2−2abcos C=49，∴解得：c=7．故三角形三边长为a =5 cm ，b =8 cm ，c =7 cm 或a =8 cm ，b =5 cm ，c =7 cm ．解析：由已知及三角形面积公式可求ab =40，结合a +b =13，可得a ，b 的值，利用余弦定理可求c ，从而得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8y y =x +3，整理得y 2−14y +9=0，则y 1+y 2=14， 因为M ，N 在抛物线上，所以|MF|+|NF|=y 1+2+y 2+2=18； (2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ， 联立{x 2=8y y =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，则x 1+x 2=16，x 1x 2=−8t ， 由Δ=162+32t >0可求出t >−8，又MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点N 为线段MP 的中点，所以x 1=2x 2， 从而可求出x 1=323，x 2=163，此时−8t =5129，t =−649>−8，计算可知|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=16√53．解析：本题考查抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8yy =x +3，整理得y 2−14y +9=0，利用韦达定理和抛物线的定义求解；(2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ，联立{x 2=8yy =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，利用韦达定理，结合MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1=2x 2，由弦长公式求解|MN|． 20.答案：解：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1=1．n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：2a n −2a n−1=a n ，可得a n =2a n−1.. 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n =2n−1．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1．∴数列{b n }的前n 项和T n =3×1+5×2+7×22+⋯+(2n +1)⋅2n−1． 2T n =3×2+5×22+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ， ∴−T n =3+2×(2+22+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=1+2×2n −12−1−(2n +1)⋅2n ，可得：T n =(2n −1)⋅2n +1．解析：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1.n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：a n =2a n−1..利用等比数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(1)连结DE ，BD ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又DE ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PDE ， ∴AB ⊥PE ，∵AB//CD ，∴PE ⊥CD ． 解：(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√32=−√104． ∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PE −C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)由e =12，得c =12a ，又b 2=a 2−c 2，所以b =√32−a ．由左顶点M(−a,0)到直线xa +yb =1，即bx +ay −ab =0的距离d =8√217， 得√a 2+b 2=8√217，即√a 2+b2=8√217， 把b =√32−a 代入上式，解得a =4，所以b =2√3，c =2．所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线AB 的方程y =kx +m(k ≠0)与椭圆方程联立，得{x 216+y 212=1,y =kx +m,即(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 则Δ=48(16k 2+12−m 2). 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−483+4k 2．因为k OA⋅k OB=−34⇒34x1x2+y1y2=0．所以(34+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．所以4m2−483+4k2(34+k2)−8k2m23+4k2+m2=0．整理得m2=8k2+6，此时Δ>0，又点P(−mk,0)，Q(0,m)，所以S▵OPQ=12⋅|m|⋅|mk|=12⋅m2|k|=4k2+3|k|=4|k|+3|k|≥4√3，(当且仅当k2=34，取“=”)综上所述，△OPQ面积的取值范围是[4√3,+∞)．解析：本题主要考查直线与椭圆位置关系，椭圆综合应用题，属困难题．(1)根据左顶点(−a,0)到直线xa+yb=1距离公式得√a2+b2=8√217，把b=√32−a代入上式即可求得椭圆方程；(2)直线l与椭圆联立，用k把△OPQ面积表示出来，然后利用基本不等式即可求得面积的范围．。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（4，0）6．已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10．直线l ：y ＝kx +2与椭圆C ：x 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是（ ）。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥ C ．00x ∃≤，200430x x -+≥ D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题， 故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距．解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =b =（）A ．BC ．D ．【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】 解：抛物线()220ypx p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ） A ．2或18 B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题.9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用. 10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．6,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(),6,⎡-∞+∞⎣【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k xkx +++=二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点， ()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得k ≥或k ≤即6,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210aa -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12 C ．21 D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解.【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a=-，2l ：b y x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=， 22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案. 【详解】 椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题.14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米. 【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即2222353h h ⎛=+-⨯ ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=， 所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得：()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； （2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案.（2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m ≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >.记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞. 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件 所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a =+. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a =-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==. 所以1sin 232ABC S ab C ∆.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3yx，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）13-=n na； （2）()25354n nn T +⨯-=.【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）可得13-=n na ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和. 【详解】（1）因为()*123n n S a a n N =-∈，所以()*111232,n n S a a n n N --=-≥∈， 所以()*12332,n n n a a a n n N -=-≥∈，即()*132,n n a a n n N -=≥∈. 因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =.故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n na，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，① ()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯， 故()25354n nn T +⨯-=.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ； （2）若2AB =，243BC AD ==4PA =，求二面角C BD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB .因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF .又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥. 因为ADBD D =，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP =则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,3)P ，因为2PE EC =，所以223,23,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,3,0)BD =-，5233,33DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则22305233033m BD x m DE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩不妨取3x =3,1,4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|||||25m n m n m n θ⋅=〈〉===【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220xy t t +=>相切，且与椭圆E交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t =【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解. 【详解】（1）因为OA 的最小值是，所以b =因为椭圆E 的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =，②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在t =，使得OP OQ ⊥.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.第 21 页共 21 页。
2019-2020广州荔湾区外国语学校高二上册期末数学【试卷+答案】
， ，则 点关于 轴对称的点 与点 的距离为（ ）．
B.
C.
D.
8. 设实数 ， 满足约束条件
则
的最小值是（ ）．
/
A.
B.
C.
D.
9. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次
日脚痛减一半，六朝才得到其关，要⻅次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了
经过点 ．
（ 1 ）求 的标准方程和焦点坐标．
（ 2 ）斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 、 两点，求线段 的⻓
度．
18. 已知等差数列 （ 1 ）求数列 （ 2 ）若
的公差为 ，且关于 的不等式 的通项公式．
，求数列 前 项和 ．
的解集为 ．
19. 如图，四棱柱 ，
中，侧棱 底面 ， ， ， ， 为棱 的中点．
里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达
目的地，问此人前三天共走了（ ）．
里 A.
里 B.
里 C.
里 D.
10. 已知椭圆 点，则
A.
的左右焦点分别为 ， ，过 且垂直于⻓轴的直线交椭圆于 ， 两 内切圆的半径为（ ）．
B.
C.
D.
11. 定义：设 、 分别为异面直线 、 上的点，若 ，且 ，则称线段 的⻓度为
． ．
21.（ 1 ）证明⻅解析． （2） ．
（ ） 22. 1 （2）
． （当 ， 取到）．
/
（ 1 ）求证：
．
（ 2 ）若点 为线段 的中点，求直线 与平面 所成⻆的正弦值．
20. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ， ， 成等比数列，且 ．