广东省广州市高二下学期期末考试(数学)
2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(带答案)
2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。
广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知{}(){}42,lg 10A x x B x x =-≤≤=-<，则A B =I （ ） A ．{}42x x -≤< B ．{}42x x -≤≤ C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤2．已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（ ） A ．31i 55+B ．11i 55+C ．31i 55-+D ．11i 55-+3．已知向量(3,1)a =-r ，(2,1)b m =--r ，若(2)a a b ⊥+r r r ，则m =（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．04．若nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128-，则展开式中2x 的系数为（ ） A ．2835- B ．945 C ．2835 D ．945-5．若π(0,)2α∈，2cos tan 232sin ααα=-，则tan α等于（ ）A B ．18C D 6．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为12，则球与圆台的体积之比为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．347．当a<0时，函数()()2e xf x x ax =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +为奇函数，()2g x -为偶函数，()()121f x g x -=-+，()11f -=，则()()20232024f g =（ ）A ．1-B ．1C ．2023D ．2024二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p -<<=-B ．某人在10次答题中，答对题数为X ，()10,0.7X B :，则答对7题的概率最大C ．基于小概率值α的检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立D ．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()332f x x x =--，则（ ）A ．()f x 的极大值点为1-B ．函数()y f x = 3C ．函数()()y f f x =的零点个数为7D ．()()0f f x >的解集为()()2,02,-+∞U11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知1F 、2F 分别是以34y x =?为渐近线且过点()A 的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点()()0000,4,0P x y x y >>处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线CB ．双曲线C 的方程为221169x y -=C ．过点1F 作1F K PQ ⊥，垂足为K ，则8OK =D ．点Q 的坐标为016,0x ⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题12．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则15S =．13．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是14．某校高三年级有(2,N )n n n *>∈个班，每个班均有(30)n +人，第k （1,2,3,,k n =⋅⋅⋅）个班中有(10)k +个女生，余下的为男生.在这n 个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n =.四、解答题15．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2a cC b-=． (1)求角B 的大小； (2)若3b =，sin C ABC V 的面积． 16．已知函数()2e ,R xf x x a x =-+∈，曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为y bx =．(1)求()f x 的解析式；(2)当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；(3)若()f x kx ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB ==，2AD DB =，O 为BC 的中点，1AO ⊥平面ABC .(1)求证：1AA OD ⊥；(2)若1AA =1BAA 和平面1AAO 夹角的余弦值. 18．已知点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点Q 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q 到C 的两条渐近线的距离之积为定值；(3)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MH PNHN=．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．19．对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题（每题5分，共8小题）1. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 2. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）A.B.C.D.3. 在的二项展开式中，常数项是（ ）A. 132B. 160C. 180D. 1964. 已知随机变量服从，若，则（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知随机变量X 的分布列如下：X －101P设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望E (Y )的值是（ ）A. －B.C.D. －6. 从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）A. 236 B. 328C. 462D. 26407. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. ()22e e xf x =+()1f '=2e 22e 23e 24e 151h 12381571625781022x ⎛+ ⎝X ()20.5,N σ()0.30.3P X ≤=()0.30.7P X ≤≤=12161316132323a =b =c =a c b >>b a c >>a b c>>b c a >>8. 设函数，若，且的最小值为，则的值为（ ）A.B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3小题）9. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（ ）A. B. C. 若A ，B 独立，则 D. 若A ，B 互斥，则10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 若甲、乙、丙按从左到右顺序排列，则不同的排法有12种B. 若甲、乙不相邻，则不同排法有72种C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种11. 已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（ ）A 恒成立B. 函数的极小值为0C. 若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是D. 对任意的，都有三、填空题（每题5分，共3小题）12. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.13. 中国空间站主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为_________．14. 2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五的的.的()2,0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩()()()1212f x f x x x =<212x x -ln2a 12e 2-A B ()0P A >()0P B >()()||1P B A P B A +=()()()||P B A P B A P A +=()()P A B P A =()(|)|=P A B P B A ()()1e x x k f x x-+=()f x '()11f =()()g x xf x =()0f x ¢>()g x ()y g x m =-m ()0,1()12,2,x x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭l e x y =局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是______．四、解答题（共5小题，共77分）15. 已知，展开式中二项式系数的最大值为.（1）求的值；（2）求的值（结果可以保留指数形式）.16. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：个人赛奖项组别一等奖二等奖三等奖团体赛获奖高一20206050高二162910550（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；17. 已知函数在处取得极值．（1）确定的值并求的单调区间；（2）若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；（2）记选手乙正确作答的题目个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？()01p p ≤≤()fp ()f p ()72701271mx a a x a x a x +=++++ 7m m 1357a a a a +++X X ()()3144R 3f x ax x a =-+∈2x =-a ()f x x ()f x b =b请说明理由．19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；（2）设，证明：；（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.2312!3!!xnx x x x n =++++++e !1234,en n =⨯⨯⨯⨯⨯ e 2.71828= ()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==e 1x x ≥+()0,x ∈+∞()()f xg x x<()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0x =()F x a广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题（每题5分，共8小题）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题（每题6分，共3小题）【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD三、填空题（每题5分，共3小题）【12题答案】(1,e)【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（共5小题，共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）或148160.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略，【17题答案】【答案】（1），单调递增区间和，单调递减区间是 （2）或【18题答案】【答案】（1）（2）分布列略， （3）选手乙，理由略【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）是163385m =771(64)2+59()712E X =1a =(),2-∞-()2,+∞()2,2-283b ≥43b ≤-1528() 2.4E X =(],1-∞。
广州三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期末考试数学
广州市三校2023-2024学年高二下学期期末联考数学参考答案12. 31 13.（也可以写成）； 72 14. 415. 【详解】（1）当n =1时，a 1=S 1(2)=0.当n ≥2时，a n =S n (2)―S n―1(2)=(2+22+⋯2n ―2)―(2+22+⋯2n―1―2)=2n .又当n =1时，a 1=0不满足上式，所以a n ={0，n =12n ,n ≥2（2）∵S 2024(x )=x +x 2+x 3+⋯+x 2024―2,∴S ′2024(x )=1+2x +3x 2+⋯+2024x 2023.S ′2024(2)=1+2×2+3×22+⋯+2024×22023①2S ′2024(2)=2+2×22+3×23+⋯+2024×22024②①-②得，―S ′2024(2)=1+1×2+1×22+⋯+1×22023―2024×22024=1―220241―2―2024×22024=―2023×22024―1.∴S ′2024(2)=2023×22024+1.16. 【详解】（1）当时，，则，令，解得；令，解得，在区间上单调递减，在区间上单调递增.，函数的最小值为.（2）由已知得，设切点为，则且，解得，，，.要证，即证，即证，即证，令，，原不等式等价于，即，设，则，在区间上单调递增，，即成立，所以对任意，都有.1234567891011BACDCACBADBCDACD()sin sin sin a αββα-tan tan tan tan a αββα⋅-1m =()()()2e 21x h x f x g x x =-=--()22e 2xh x ='-()22e 20x h x '=->0x >()22e 20xh x '=-<0x <()h x ∴(),0∞-()0,∞+()()00h x h ∴≥=∴()h x 0()22e xf x '=()020,e x P x 022e 2x m =()02021e x m x +=00x =1m =()21g x x ∴=+()2e 21xh x x =--()()22e 2ah a h b a b-<--222e 2e 22e 2a b aa b a b --+<--222e e 2e a b a a b-<-()221e2b a a b --<-22a b t -=0t >1e t t --<e 1t t -+>()e t F t t -=+()1e 0tF t -=->'()F t ∴()0,∞+()()01F t F ∴>=e 1t t -+>a b >()()22e 2a h a h b a b-<--17. 【解析】（1）不妨设，因为平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，则，因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，则，故，，所以，设，则，即，所以；设为平面的一个法向量，则令，则，因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则解得，故．1AD =1A D⊥,ABCD AD ⊂ABCD 1A D AD ⊥ADB 2,1,60AB AD DAB ==∠= 222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= BD =222AD BD AB +=AD DB ⊥11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂1A BD AD ⊥1A BD AD ⊂11ADD A 1A BD ⊥11ADD A 1,,DA DB DA D D xyz -()()()(()10,0,0,1,0,0,,,D A B A C -()11,AC A C AC =-= (1C ∴-((11,A B DC ==-()101DE DC λλ=<<()12DE DC λλ==- ()2E λ-(12A E λ=-()111,,n x y z = 1A EB 1111111020n A B n A E x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩12z λ=112,==-y x λ()2,2n λλ=-y ⊥11BCC B ()0,1,0m =11BCC B 1A EB 11BCC B αcos n m n m α⋅===⋅14λ=113DE EC =18. 【解析】（1）根据题意，得，因为，同理，所以所以总样本的平均数为，方差.（2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，设“第场比赛在甲区举行，甲区代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙区举行，甲区代表队获胜”为事件，，则，所以，，，则的分布列为：012P.121821833628.812185x y z +⨯+⨯===+()()()()()121212222111212i i i i i i x x x zx x x x x z x z===-+-=-+--+-∑∑∑()()()()()12121222221112121212i i ii i i x xx z x x x zx x x z ===⎛⎫=-+--+-=-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()18182221112iii i y y z y y z y y ==-+-=-+-∑∑()()()()12181218222221111113030i i i i i i i i S x z z y x x x z y y z y ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()12182222111121230i ii i x x z y x z y y ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()22221211212181830S S y x z z ⎡⎤=+-++-⎢⎥⎣⎦()22112191210.81870187.2127.430=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=28.8z =2127.4S =X i i A i i B 1,2,3i =()35i P A =()12i P B =()()2123401525P X P A A ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭()()()()123123123123313331611152555225P X P A B A A A B P A B A P A A B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()15210125P X P X P X ==-=-==X X 42562535()46153601225252525E X =⨯+⨯+⨯=19. 【解析】（1）依题意，，故椭圆C ：；易知点为的重心，则，故，代入椭圆方程得∴椭圆C 的方程为；（2）∵，，成等差数列，．∴．设，，AD 中点．，由弦长公式∵，∴，同理，代入可得，①当AD斜率存在时两式作差可得，，∴，∴弦AD 的中垂线方程为，当时，，即AD 的中垂线的纵截距为．∵在椭圆C 内，∴，得，且．1b =2221xy a+=111,36G ⎛⎫ ⎪⎝⎭12MF F △1131,2OM OG ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭22114143a a =⇒+=22314x y +=2F A 2F B 2F D 2222F A F D F B +==()11,A x y ()22,D x y ()00,M x y 2F ⎫⎪⎪⎭211F A x x ==112x ==-1x ⎡∈⎢⎣2112F A x =-2212F D x =-1202x x x +==22112222314314x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222121234x x y y --=-1212121234x x y y y y x x ⎛⎫+--=⎪+-⎝⎭)0304AD k y =-=≠0y y x -=0x =03y y =-03y-0M y ⎫⎪⎪⎭20114y +<0y <<00y ≠②当AD 斜率不存在时，此时AD ：，AD 的中垂线的纵截距为0．∴综上所述，弦AD 的中垂线的纵截距的取值范围为．（3）解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，，而∴，∴，∴，，设直线l ：，则联立椭圆方程得消元化简得，，，∴，，∴，∴对任意的t 恒成立，即，故实数a 的取值范围为．解法二：易知点为的重心，，∴，，，此时，设点，，，，则根据重心的性质可得，x =⎛ ⎝1G 2G 12MF F △12NF F △121F F M S S =△122F F N S S =△()11,M x y ()22,N x y ()21121133MNG MNF S S S S ==+ ()11121121211123333NF G S S S S S S S S =+--+=+ 2112435MNG NF G MNG S S S ≤≤ ()()121212412533333S S S S S S ⎛⎫+≤+≤+ ⎪⎝⎭12121221222S S S S S S ≤⎧⇒≤≤⎨≤⎩12122y y ≤≤-1212,2y y ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x ty c =+2221x ty cx y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210t a ytcy ++-=()2222Δ440t c t a =++>12222tc y y t a -+=+12221y y t a-=+()2222212121212222112122452,22y y y y y y y y t c y y y y y y t a +-+⎡⎤+===--∈--⎢⎥+⎣⎦()2222222410892t c a t a t a ≤≤⇒-≤+28901a a -≤⇒<≤⎛ ⎝2G 12NF F △223NG NO =111111NF G NOF NOG G OF S S S S =++△△△△113NOG MNO S S =△△()11,M x y ()22,N x y ()1,0F c -()2,0F c 1111,33G x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，，，∴，；；而，∴，∴，；设直线l ：，则联立椭圆方程得消元化简得，，，∴，，∴，∴对任意的t 恒成立，即，故实数a 的取值范围为．()212121122MNO S OF y y c y y =⋅⋅-=- 11221122NOF S OF y cy =⋅⋅=- 11111111236G OF S OF y cy =⋅⋅= ()1121136NOG MNO S S c y y ==- ()11122121211126633NF G cy cy S cy c y y cy =-+-+=- ()2122133MNG MNO S S c y y ==- 2112435MNG NF G MNG S S S ≤≤ 1124533NF G MNG S S ≤≤△△1212245,33y y y y -⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦11221111222222112,211y y y y y y y y y y y y --⎡⎤==⇒∈--⎢⎥-⎣⎦--x ty c =+2221x ty cx y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210t a ytcy ++-=()2222Δ440t c t a =++>12222tc y y t a -+=+12221y y t a -=+()2222212121212222112122452,22y y y y y y y y t c y y y y y y t a +-+⎡⎤+===--∈--⎢⎥+⎣⎦()2222222410892t c a t a t a ≤≤⇒-≤+28901a a -≤⇒<≤⎛ ⎝。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。
广东省广州市越秀区2013-2014学年高二下学期期末水平调研测试数学(文)试题
数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．5 12．3 13．8π 14．1三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）解：（1）13．（2）解得1c =16．（本小题满分12分）解：（1）25a =人．且0.08251000.02b =⨯=人．总人数252500.025N ==⨯ （2）所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． （3）所以恰有1人年龄在第3组的概率为815． 17．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PCBC PA PC P PA PC ⊥=⊂平面PAC ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C D B A C B所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分（2）设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以1111143322222BCDABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分 因为23525522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD．…………………………………………11分 因为MCD B BCDM V V --=，……………………………………………………………………………12分 所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131， 即153125333238h ⨯⨯=⨯⨯．……………………………………………………………………13分 所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---= 令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时，0∆>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时，()0f x '> 当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时，()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----，1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增，在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减 ② 当113a ≤≤时，0∆≤，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时，0∆>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- ∵0x >，∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时，()0f x '> 当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时，()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增，在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减 20．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-， 所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x '=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增， 所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分 ②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即1222a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --； 当212a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．……………14分。
广东省四校(华附、省实、广雅、深中)2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
华附､省实､广雅､深中2022级高二下学期四校联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名､姓名､考号､座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟..1.若()i 11z +=（i为虚数单位），则z z −=（ ）A.2−B.2i− C.2D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z ，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.【详解】因为()i 11z +=，所以11i iz +==−，所以1i z =−−，则1i z =−+，所以()()1i 1i 2i z z −=−+−−−=.故选：D2.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（ ） A.3 B.3或-3C.27D.27或-27【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案；【详解】设等比数列{}n a 的公比为1212134,1,9,93q a a a qa a q q ==∴=⇒= ， 则6371327a a q ===， 故选：C.3. 已知圆22:2O x y +=与抛物线2:2(0)C x py p =>的准线相切，则p 的值为（ ）A. B.C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】写出抛物线C 的准线方程，根据该准线与圆O 相切求出实数p 的值.【详解】由题意可知，圆O 的圆， 抛物线C 的准线方程为2py =−，由于抛物线C 的准线方程与圆O 相切，则2p=，解得p =. 故选：A.4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得2π2π2R r =，求得4R =，进而由h =可求得圆锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为1r =， 设扇形半径为R ，则有π2π2R r =，解得4R =，所以圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =故选：C.5. 某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（=平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X N µσ ，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈. A. 127人 B. 181人 C. 254人 D. 362人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩()273.5,22X N ，再根据所给条件求出()5790P X ≤≤，即可求出()90P X ≥，即可估计人数.【详解】依题意可知平均分为1500.4973.5×=，又标准差为22， 所以学生的数学成绩()273.5,22X N ，即73.5µ=，22σ=，又9073.50.7522−=， 所以()()()00.57900.75.750.54775P X P X p µσµσ≤≤=−≤≤+=≈，所以()10.547900.22652P X −≥=≈=，又8000.2265181.2×=，所以该次数学考试及格的人数约为181人. 故选：B6. 已知双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x =与双曲线的右支交于点P ，则12PF PF ⋅=（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P 的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得.【详解】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为()12,0F −，()22,0F ，由2213y x y x −= =，解得x y= =x y = =P ，则12PF =−，22PF =− ，所以212221PF PF ⋅=−×+=− . 故选：A7. 现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ） A.23B.1115C.45D.1315【答案】B 【解析】【分析】设删去的两数之和为x ，依题意可得15362x−<−，求出x 的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意得这组数据各数之和为01234515+++++=， 设删去的两数之和为x ，若剩下数据的平均数小于3，则15362x−<−，解得3x >， 则删去的两个数可以为()0,4，()0,5，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共11种情况，从0,1,2,3,4,5中任意取两个数有：()0,1，()0,2，()0,3，()0,4，()0,5，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共15种情况，故所求概率1115P=. 故选：B8. 若函数()()21e 12xg x x b x =−+−存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. ()0,∞+C. (],0−∞D. (),0∞−【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为导函数e 10x x b −+−<有解，参变分离e 1x b x <−++有解,设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，求导计算可得解；【详解】函数()()21e 12xg x x b x =−+−的定义域为R , 求导得()e 1xg x x b ′=−+−，函数存在单调递减区间， 所以e 10x x b −+−<有解，即e 1x b x <−++有解， 设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <， 则()e 1x f x ′−+=，令()0f x ′=，得0x =， 当0x <时，()0,()′>f x f x 在(),0∞−上递增； 当0x >时，()0,()′<f x f x 在(),0∞−上递减； 所以函数()f x 有最大值(0)0f =， 因此0b <. 故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9. 若“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A. 3B. 3−C. 5D. 5−【答案】BCD 【解析】【分析】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，依题意可得B 真包含于A ，即可求出参数的取值范围.【详解】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，因为“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件， 所以B 真包含于A ，所以2k ≤−或23k −≥，解得2k ≤−或5k ≥，结合选项可知符合题意的有B 、C 、D. 故选：BCD10. 下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ） A. 成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x yB. 依据小概率事件0.1α=的2χ独立性检验对零假设0H 进行检验，根据22×列联表中的数据计算发现20.10.837 2.706x χ≈<=，由()2 2.7060.1P χ≥=可推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C. 在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设D. 决定系数2R 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【答案】AC 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质判断A ，根据独立性检验的基本思想判断B ，根据回归分析的相关知识判断C 、D.【详解】对于A ：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x y ，故A 正确；对于B ：因为20.10.837 2.706x χ≈<=，由()22.7060.1P χ≥=可推断0H 成立，即认为X 和Y 独立，故B 错误；对于C说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C 正确； 对于D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 错误. 故选：AC11. 如图，心形曲线22:()1L x y x +−=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（ ）A. 点和()1,1−均在L 上B. 点PC. OP 的最大值与最小值之和为3D. PA PB +≤ 【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B −对于A ：x =时，2112y += 得0y =或y =，=1x −时，()2111y +−=得1y =，所以和()1,1−均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+−=，所以y x =+()()222221112y y x x x x ==+−+≤++−=，所以x =y B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=−=， 所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin222222θθθθθϕ+=++=++=++，因为θ可取任意角，所以OP 取最小值=，OP 取最大值=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(21)x y +−的展开式中，所有项的系数和为__________. 【答案】64 【解析】【分析】令1xy ==计算可得. 【详解】令1xy ==，可得所有项的系数和为()642611+−=. 故答案为：6413. 如图，正八面体ABCDEF 的12条棱长相等，则二面角E AB F −−的余弦值为__________.【答案】13−.【解析】【分析】AB 的中点为G ，EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接EF ，取AB 的中点G ，连接,EG FG ，根据正八面体的几何特征，有EF 过点O ，EG AB ⊥，FG AB ⊥， 又EG ⊂平面ABE ，FG ⊂平面ABF ， 平面ABE ∩平面ABF AB =，所以EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角.正八面体中， EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则EF AC ⊥，所以AOE △是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO =，2AE =，所以OE =，得EF =在AEB △中，EGAB =，同理GF =在EGF △中， 由余弦定理，可得2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +−∠==−⋅⋅ 故答案为：13−.14. 数列{}n a 前n 项和为n S ，且111,22n n a a a n +=−=，则满足2024n S >的最小正整数n 为__________. 【答案】9 【解析】【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n 项和公式计算，最后判断最小值n 即可.【详解】因为122n n a a n +−=，所以()124244n n a n a n +++++， 所以()()124222n n a n a n +++=++,所以{}22n a n ++是公比为2首项为1225a ++=的等比数列，所以112252,5222n n n n a n a n −−++=×=×−−.则()()()()()0112512422522246225213122n n n n n n S n n n −−++=+++−++++=−=−−−− ,因为152220,n n a n −=×−−>则n S 单调递增，又因为()8285218385255642411872024S =−−−×=×−−=<,()9295219395511812724472024S =−−−×=×−−=>.则2024n S >的最小正整数n 为9. 故答案为：9.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin A B Cb c a b+=+−. 的（1）求A ；（2）如图，若点D 是BC 边上一点，且,2AB AD BD CD ⊥=，求ADB ∠. 【答案】（1）2π3A =（2）π3ADB ∠= 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A ； （2）由AB AD ⊥结合2π3A =可得π6DAC ∠=，然后在ABD △和ACD 分别利用正弦定理结合已知条件可得b c =，进而可求出ADB ∠. 【小问1详解】 因sin sin sin A B Cb c a b+=+−，所以由正弦定理得a b b c bca +=+−，所以222ab bc c −=+， 所以222b c a bc +−=−所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 【小问2详解】因为AB AD ⊥，所以π2BAD ∠=，所以2πππ326DAC BAC BAD ∠=∠−∠=−=， 在ABD △中，由正弦定理得πsin sin sin 2AB BD BD BDADB BAD ===∠∠， 在ACD 中，由正弦定理得2πsin sin sin 6AC CD CD CDADC DAC===∠∠， 因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠为因为2BD CD =，所以AB AC =，即b c =，所以π6BC ==, 所以πππππ263ADB BAD B ∠=−∠−=−−=. 16. 如图，四棱锥P ABCD −的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.（1）证明：AM //平面PBC ；（2）若,AC AD PA ==，求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取PC 上的点N ，使14PN PC = ，可得MN AB =，则由线线平行可证线面平行；（2）取CD 中点O ，连,AO PO ，根据题意可证AO CD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】取PC 上的点N ，使14PN PC =，则()1144MN PN PM PC PD DC AB =−=−== ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以//AM BN ，又BN ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM //平面PBC ； 【小问2详解】取CD 中点O ，连,AO PO ，因AC AD =，所以AO CD ⊥， 因为PCD为正三角形，所以,PO CD PO ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO ⊂平面ABCD ，所以PO AO ⊥，AO ==以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则A ，(0,2,0)C ，(0,2,0)D −，)B，(0,0,P ，则(0,1,0)AB =，PA =−，1142AM AP PD =+=−， 设(,,)n x y z =为平面PAB 的法向量，则0000y n AB n PA = ⋅=⇒ −=⋅=，可取)n = ，cos ,n AM n AM n AM⋅===⋅， 故直线AM 与平面PAB. 17. 一个袋子中有30个大小相同球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样为的本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X 表示停止时摸球的次数. （1）求X 的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()21181E X = （2）2081【解析】【分析】（1）对于有放回的摸球，()()112,33P A P A ==，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的，X 的可能取值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解； （2）设样本中红球的比例为f ，B =“样本中有红球”，且7133030C f =≤≤ ，分B 不发生，和B 发生求概率，从而得解. 【小问1详解】设=i A “第i 次摸出红球”，1,2,3,4,5i =，对于有放回的摸球，()()1101202,303303P A P A ====，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的， X 的可能取值为1,2,3,4,5，则由题意可知，()(()()11212121,23339P X P A P X P A A ======⋅=， ()()212321433327P X P A A A ===⋅= ，()()3123421843381P X P A A A A ===⋅=，()()412342165381P X P A A A A ====，期望()124816211123453927818181E X =×+×+×+×+×=. 【小问2详解】总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f ，设B =“样本中有红球”，且17130.133030C f f =−≤=≤≤ ， 若B 不发生，则0f =，此时C =∅，所以()0P BC =， 若B 发生，则1f X =，此时711330303030137BC X X =≤≤=≤≤， 所以()()()482034278181P BC P X P X =+===+=， 所以，()()()2081P C P BC P BC =+=. 18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长为()()1,2,0,2,02M N −.（1）求椭圆E 的方程；（2）过()4,0P 作一条斜率存在且不为0的直线l 交E 于,A B 两点. （i ）证明：直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）若直线AM 与直线BN 交于点Q ，求Q 的轨迹方程. 【答案】（1）22186x y +（2）（i ）证明见解析；（ii）()212,02x x y −=≠≠【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii ）设直线，直线()()22:22BM x y y x +=+，联立方程组得204x x =，0202y y x =，采用代入法可得Q 的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，2a =，因为椭圆离心率为12，所以12c ea ==，所以c =6b =，所以椭圆的方程为22186x y +； 【小问2详解】（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程()224186y k x x y =− += ，消去y 得：()2222343264240k x k x k +−+−=， 则()2Δ96340k=−>，即k <由韦达定理得，212232=34k x x k++，2122642434k x x k −⋅=+，当k =Δ0=，122x x ==，不合题意，故122,2x x ≠≠， 所以直线AM 和直线BM 的斜率均存在，1212,22B A M M y y k k x x =−−=， 所以()()()()()()122112121242422222AM BM k x x k x x y yk k x x x x −−+−−+=+=−−−− ()()222121212122616024k x x x x x x x x ⋅−++ =⋅−++， 即直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）由（i ）知22x ≠，且222BM AM y k k x ==−−， 可设直线()()22:22AM x y y x −=−，直线()()22:22BM x y y x +=+，设()00,Q x y ，则()()()()202020202222x y y x x y y x −=−− +=+ ，整理得20202022x y y y y x = = ①，由题意知20y ≠，由①知000,0y x ≠≠， 所以由①知，204x x =，0202y y x =②， 将②代入2222186x y +=得2022002213y x x +=，化简得0022123x y −=，又因为22x ≠，所以02x ≠，所以Q 的轨迹方程为()2212,023x y x y −=≠≠..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x=进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f == == ，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =−+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L=≈=−≈，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x = 在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c ++满足()()()()()()001100H f H f H f =′=′ =（1）求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x ；（2）若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ− ，求实数λ的取值范围；（3）利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001） 【答案】（1）()21H x x =−+，证明见解析； （2）2π1,8−+∞（3）1cos 0.8992≈，证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出,,a b c ，得()H x ；通过构造函数，利用导数求最值证明()()f x H x ≤；（2）令()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，问题转化为()0G x ≤在[]0,1x ∈时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；（3）由111cos 2ππf H =≈，代入求值即可，由误差2211π11ππ8πe f H =−≤− ，可证得结论.【小问1详解】()πcos 2f x x = ，()10f =，()01f =，()ππsin 22f x x′=−，()0 0f ′=，()2H x ax bx c ++，()2H x ax b ′=+，由()()()()()()001100H f H f H f =′=′=得100c a b c b = ++== ，解得101a b c =− = = ，因此()21H x x =−+. 设()()()2πcos 12F x f x H x x x =−=+−，[]0,1x ∈，()ππsin 222F x x x ′=−+ ，令()()1F x F x ′=，则()21ππcos 242F x x′=−+ ，因为()1F x ′在[0,1]上单调递增，且()21π0204F ′=−+<，()1120F ′=>，故存在()10,1x ∈使()110F x ′=，且()F x ′在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，又()00F ′=，()()100F x F ′′<=，()π120 2F ′=−+>， 所以()F x ′在()0,1上存在唯一的零点()21,1x x ∈，使得()20F x ′=， 且()F x 在()20,x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，又()()010F F ==，所以()0F x ≤，即()()f x H x ≤.【小问2详解】由（1）知()()2f x H x x λ−≤等价于()()2H x f x x λ−≤，且0λ≥，设()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，[]0,1x ∈，则()0G x ≤， ()()ππ21sin 22G x x x λ′=−++， 令()()1G x G x ′=，则())21ππ21cos 42G x x λ′=−++， 令()()21G x G x ′=，则()32ππsin 082G x x′=−≤，所以1()G x ′在[]0,1上单调递减， 若2π18λ≥−，则()()()211π02104G x G λ′′≤=−++≤，所以()G x ′在[]0,1上单调递减，所以()()00G x G ′′≤=， 所以()G x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)0G x G ≤=； 若2π018λ≤<−，则()21π(0)2104G λ′=−++>，而1(1)2(1)0G λ′=−+<，故存在()00,1x ∈，使10()0G x ′=，从而()00,x 上，1()0G x ′>，()G x ′单调递增，()()00G x G ′′>=， 在于是()G x 单调递增，()()00G x G >=不符合题意. 综上所述，λ的取值范围为2π1,8 −+∞. 【小问3详解】21111cos10.8992πππf H=≈=−+≈. 由（2）知，()()22π18f x H x x −≤−， 所以，误差22211π1111111ππ8π8π81040e f H =−≤−=−<−=. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 不等式证明或不等式恒成立问题常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.。
广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)
广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的.1. 已知非空集合，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）A.B. 1C. 2D. 4. 若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（ ）A. 10B. 12C. 15D. 205. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）A. B. C. 4 D. 26. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）AB.C.D.7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是的.{}2A x a x a =<<()0,1(),0∞-()(),01,-∞⋃+∞()(),10,-∞-⋃+∞,a b ∈R a b >3322a b b a ->-()2ln f x x x =-0x y +=A A 1eel αβ--120︒A B 、l BD AC 、αβ、AC l ⊥BD l ⊥2AB AC BD ===CDABC V ,,A B C ,,a b c 222π,6,33B b a c ac ==+=ABCV 9492()2ln f x x ax x =--11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦aA. B. C. D. 8. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列结论中，正确的有（ ）A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5B. 若随机变量，则C. 已知经验回归方程为，且，则D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.00110. 已知三棱锥是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ）A. 两两垂直B. 在平面的投影为的中点C. 三点共线D. 形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为2.5的球11. 甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（ ）A. B. C. D. 三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分.12 若，则.[)1,+∞()1,+∞(),1∞-(],1-∞{}n a 1624a a a +=2416k ==5a =134947454()2~1,,(2)0.21N P ξσξ≤-=(4)0.79P ξ≤=ˆˆ 1.8y bx=+2,20x y ==ˆ9.1b =29.632χ=0.001α=2χ()0.00110.828x =,,V ABC VA VB VC ABC -==△,D E ,VA AB 90,CDE V ︒∠=ABC ,M M VAB P ,,VA VB VC P VAC VA ,,C M E V ABC -1223n n P n n K 214P =()1304P K ==11163n n P P +=+()112n n P K n +==()()28210012101(1)2(2)(2)x x a a x a x a x +⋅-=+-+-++- 01210a a a a ++++=__________.13. 已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为______．14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.15. 已知正项数列的前项积为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.16. 已知函数()，点A 是图像上的一个最高点，B 、C 为图像的两个对称中心，面积的最小值为．（1）求的值；（2）在区间上有20个极值点，求实数m 的取值范围．17. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若在区间内恒成立，求实数的值.18. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q ，.（1）若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n 12345y7656423026求y 关于n 回归方程，并预测时，y 的值；（精确到1）的2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>12,,F F ABC △M BC ,AC AB M 1111ABCD A B C D -E F ､1,BC CC P 11ADD A 1PC //AEF P P AF {}n a n n T ()*31nn n T a n T =∈-N 12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n T n n M ()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x ()f x ABC V πω()f x []0,m 2()ln ()ln 1f x x x x g x a x x =-=-+，()f x ()0g x ≤()0,∞+a mn m n p 1p q +=2m =12p q ==y ln y bna =+ 10n =（2）若，，，，记在每列都有白球条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.附：经验回归方程系数：，，，.19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C 上一点，且以为方向向量.（1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；（2）证明：直线在曲面上；（3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.的2m =2n =13p=23q =X X ()()111nmmn p q -+-≥1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx=-51ln 53i ii n y=⋅=∑ln 3.8y =S S (),,0F x y z =S (),,0F x y z =(),,0F x y z =()000,,x y z S S (),,0F x y z =(),,0F x y z =S C 2221114x y z +-=C xOz z l ()1,1,2Q ()2,0,4d =--xOy C l C C C l 'C )2Tl l '广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】BCD三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分.【12题答案】【答案】2560【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】①.②. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明略；（2）．【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）；3. （2）分布列略；. （3）；证明略.【19题答案】【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由略（2）证明略 （3111432nn⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12ω=77π81π,22⎛⎤⎥⎝⎦1-2 ln 0.45y n =-+32251(1)m n p --xOy O。
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广东省广州市高二下学期期末考试(数学)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2秘密★启用前2011－2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数 学本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 本次考试不允许使用计算器.5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B I 等于A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒的值是 A . 32-B. 12- C. 12 D. 32 3. 不等式2230x x --<的解集是A . ()3,1- B. ()1,3- C. ()(),13,-∞-+∞U D. ()(),31,-∞-+∞U 4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12- D. 2- 5. 函数sin 2y x =是A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩ 则2x y +的最大值为A . 1 B. 53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图 是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为 A . 43 B. 83C. 123D. 2439. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列 结论中正确的是A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b 10. 已知函数()221f x x x =-+, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有 A.B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0xy aa -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则12m n+的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）编号分别为12312,,,,A A A A L 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:运动员编号1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A 11A 12A()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x >()100mx ny mn +-=>44 4 4 3正侧俯图()()1122x f x x f x <（1）完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===． （1）求sin B 的值； （2）求c 的值.17．(本小题满分14分)如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点， 平面PAC ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得//DE 平面PAC ？ 若存在, 指出点E 的位置, 并加以证明；得分5 10 12 16 8 21 27 15 6 22 18 29得分区间 频数 频率[)0,10 314[)10,20 [)20,30合计12 1.00P若不存在, 请说明理由;（2）求证：PA BC ⊥.18. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n n T S S S =+++L ，求证：34n T <.19. （本小题满分14分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求的取值范围.121d d -20. （本小题满分14分）已知113a≤≤, 若函数()22f x ax x=-在[]1,3上的最大值为()M a,最小值为()N a,令()()()g a M a N a=-.（1）求()g a的表达式;（2）若关于a的方程()0g a t-=有解, 求实数t的取值范围.2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12. ()1,2,3-- 13. 72 14. 322+ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分所以()80.810P B ==. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBADBDCCA得分区间 频数 频率[)0,10314 [)10,205 512[)20,30 4 13合计 12 1.00（1）解：∵0A π<<，1cos 3A =， ∴222sin 1cos 3A A =-=． ………2分 由正弦定理得：sin sin a bA B=， ………4分 ∴222sin 423sin 39b A B a⨯===. ………6分 （2）解：∵13,2,cos 3a b A ===， ∴222123b c a bc +-=. ………8分 ∴222231223c c +-=⨯， 解得3c =. ………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//DE 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//DE 平面PAC :取线段AB 的中点E , 连接DE ， ………3分 ∵点D 是线段PB 的中点，∴DE 是△PAB 的中位线. ………4分 ∴//DE PA . ………6分 ∵PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，∴//DE 平面PAC . ………8分（2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,∴222AB BC AC =+.∴AC BC ⊥. ………10分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面PAC . ………12分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴PA BC ⊥. ………14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．CAPBDE（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分 解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+⨯-=+. ………6分（2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+， ………8分 ∴ 12111n nT S S S =+++L ()11111324352n n =++++⨯⨯⨯+L =11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ………10分 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭………12分 34<. ………14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l 的距离22121211d +-==+.………2分 ∵ MN =2,∴ 2222r d -=. ………3分 ∴ ()22222r -=. ………4分解得3r =. ………5分∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=. ………6分(2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径3r =， ∴1d AB =22AC r =-()()()2221023t =-+--=()211t -+. ………8分 又点(),0A t 到直线l 的距离2d 22011211t t +--==+. ………9分 ∴121d d -()()221111112112t t t t -+--+-==--g . ………10分令()211t m -+=，则211t m -=-， ………11分∵1t ≠，∴1m >.∴121d d -2121m m -=-g 121m m -=+g 2211m =-+g . ………12分 ∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+. ∴20111m <-<+. ………13分 ∴0<2211m -+g 2<. ∴121d d -的取值范围是()0,2. ………14分 20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分． (1) 解: ()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ………1分 ∵113a ≤≤, ∴113a ≤≤. ① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a =时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴ ()()()g a M a N a =-=196a a+-. ………3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a =时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭. ∴ ()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分 综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a a a a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分 （2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <， ()()1212121122g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121a a a a a a --=. ………7分 ∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<.∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12g a g a >.∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分 任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <， ()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()34343491a a a a a a --=. ………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <， ∴3434340,0,910a a a a a a -<>->.∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34g a g a <.∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分 当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12, ………11分 又13g ⎛⎫= ⎪⎝⎭43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分 ∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。