第三次数学危机
历史上三大数学危机之三
第三次数学危机一、起因魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在本世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。
但必须注意到，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。
二、经过经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。
看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。
法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。
然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。
1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为理发师悖论。
罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。
罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。
于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。
产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。
如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。
三、影响第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。
为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。
由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。
三次数学危机 读书笔记
三次数学危机读书笔记《三次数学危机》是匹克特和克里舍夫斯基的合著作品，讲述了数学在过去三个世纪中所面临的三个重大危机，分别是不可能几何、代数基础危机和连续统计危机。
下面是我的读书笔记。
第一次数学危机：不可能几何。
不可能几何问题主要涉及到尺规作图的限制。
17世纪，费马提出了尺规作图三个基本问题的解决方案，但在19世纪，谢尔皮引用琴塔拉托证明了某些问题是无法通过尺规作图解决的。
这个危机迫使数学家们重新思考几何学的基础和方法，最终导致了非欧几何的产生。
第二次数学危机：代数基础危机。
20世纪初，希尔伯特提出了23个数学公理，希望通过这些公理来建立一个统一的数学体系。
然而，哥德尔在1931年的不完备性定理证明了任何一个包含基本算术的公理体系都存在无法证明或证伪的命题。
这个发现颠覆了希尔伯特的计划，数学家们纷纷转向了构造性数学和模型论的研究。
第三次数学危机：连续统计危机。
20世纪末，统计学和概率论在实际应用中的成功使得人们开始对数学中真实连续和理想离散之间的关系进行思考。
福克斯和莱利在1973年的论文中提出了连续和离散之间的桥梁——分形集合。
这个概念让人们重新审视了现实世界的物理现象和数学模型之间的联系，并使得数学家们对于数学的本质和局限性有了更加深入的理解。
通过阅读《三次数学危机》，我对数学的发展历程有了更深入的了解。
不可能几何、代数基础和连续统计问题的提出和解决过程，揭示了数学作为一门科学的内在矛盾和发展方向的变化。
这些危机和变革不仅仅是数学领域的问题，而是关于人类认识世界和建立知识体系的思考。
总而言之，《三次数学危机》是一本引人深思的书籍，它通过讲述数学中的危机和变革，展示了人类思维的发展和数学科学的进步。
它不仅适合数学爱好者阅读，也适合对科学哲学和知识体系有兴趣的读者。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
历史上的三次数学危机
2
S t
。
∴
S 1 gt0 g (t ) t 2
（ *）
10
当 t 变成无穷小时，右端的 变成无穷小，因而上式右端就可以认为 是 gt ，这就是物体在 0 它是两个无穷小之比。
在美国学者麦克· 哈特所著的《影响人类历史进程的100名人排行榜》，牛顿名列 第2位，仅次于穆罕默德。书中指出：在牛顿诞生后的数百年里，人们的生活方 式发现了翻天覆地的变化，而这些变化大都是基于牛顿的理论和发现。在过去 500年里，随着现代科学的兴起，大多数人的日常生活发生了革命性的变化。同 1500年前的人相比，我们穿着不同，饮食不同，工作不同，更与他们不同的是 我们还有大量的闲暇时间。科学发现不仅带来技术上和经济上的革命，它还完全 改变了政治、宗教思想、艺术和哲学。
3. 危机的解决 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情 了。
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的
十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学
派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学
派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿
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① 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但
那是初步的、粗糙的。
② 达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论 去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能 提供这样的理论。 ③ 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格
他在1688年发表的著作《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和 三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世 界的科学观点，并成为现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星 运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运 动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝 疑虑，并推动了科学革命。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机经济上有危机，历史上数学也有三次危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。
很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。
不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。
第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。
无穷小量是微积分的基础概念之一。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
20数学界大逆袭：揭秘第三次数学危机如何神奇解决
数学界大逆袭：揭秘第三次数学危机如何神奇解决在数学的历史长河中，曾经爆发过三次著名的数学危机，它们如同数学界的“黑洞”，吞噬着数学家们的智慧和勇气。
今天，我们将重点讲述这三次危机中的最后一次——第三次数学危机，以及它是如何被解决的。
相信我，这将是一段比任何数学公式都要精彩的探秘之旅！一、危机的导火索第三次数学危机，也被称为“罗素悖论引发的危机”。
它的导火索源于英国哲学家、逻辑学家伯特兰·罗素在1901年提出的一个著名悖论。
这个悖论针对的是当时如日中天的集合论，特别是由德国数学家康托尔提出的“所有集合的集合”这一概念。
罗素构建了一个非常有趣的悖论：假设存在一个由“所有不包含自身的集合”组成的集合R。
那么，R是否包含自身呢？如果R包含自身，那么根据定义，它就不应该被包含在内；如果R不包含自身，那么它符合“所有不包含自身的集合”的定义，应该被包含在内。
这个悖论如同一个无法解开的魔法结，让数学家们陷入了深深的困惑。
二、危机的蔓延罗素悖论的提出，如同在数学界投下了一颗原子弹。
它动摇了集合论的基础，使得许多原本被认为是严谨的数学推理都变得可疑。
更糟糕的是，这个悖论似乎无法用现有的数学工具来解决。
数学家们开始怀疑，他们辛辛苦苦建立起来的数学大厦是否建立在沙滩上？三、拯救数学的英雄就在数学界陷入一片混乱之际，一位名叫库尔特·哥德尔的德国数学家站了出来。
他决定用自己的智慧来解决这个看似无解的悖论。
哥德尔采用了一种全新的方法——形式化方法。
他试图将数学建立在更加严谨的逻辑基础上，从而避免罗素悖论这类问题的出现。
经过艰苦的努力，哥德尔在1931年取得了突破性进展。
他提出了著名的“不完备性定理”，这个定理指出：任何包含算术的形式系统，如果是一致的（即无矛盾的），则必定是不完备的（即存在无法证明也无法证伪的命题）。
这一发现震惊了数学界，因为它意味着数学家们不可能构建出一个既完备又一致的形式化数学系统。
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2222222222 555555555555 8887933 7年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个 悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。 1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了 涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗 素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著 名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某 村理发师的困境。
理发师悖论
古代欧洲某国家有一个小市镇，镇上居民不多，所以理发 师也只有一人。镇上有一条不成文的法则，规定：凡是自 己不给自己理发的人，由理发师去理；同时又规定：理发 师只能去剃自己不给自己理发的人的头。
郻鯏滶爳楹勁泍韞劖鉨璍籪瑕 臉恈好碂烦拎却驪鍵悏蓞载獅 凕笕
1 2 3 4 5 6男女男男女 7古古怪怪古古怪怪个 8vvvvvvv 9
莀臄剗葹溎館雫晦晨哤势哢檦 鯔脽嘀港鄁攢羃虲蠙知玀讷靓 匫覚
古古怪怪广告和叫姐 姐
和呵呵呵呵呵呵斤斤 计较斤斤计较
化工古古怪怪古古怪 怪个
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(根据高中里将学到的无穷递缩等比数列知识，可以 严格地推证)
这同算术、代数方法求得的结果是一致的。 这个诡辩是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺(Zeno)
提出的。芝诺一共提出四则诡辩，以这一则为最著名。 芝诺诡辩的提出，显示了古希腊人已经接触到“无限” 思想。
谎话悖论
美国逻辑学家雷蒙德·斯穆里安还记得他小时候一次受骗的经历。那 天正是愚人节，哥哥埃米尔对他说：“喂，弟弟，今天是愚人节。 你向来没让人骗不定期，今天我要骗骗你啦！”于是，斯穆里安严 阵以待，可是整整等了一天，哥哥一直不动声色。最后妈妈只好要 求哥哥来骗骗他。兄弟俩在深夜展开了一场有趣的对话：
分析
这当然是不对的。其错误在于：把阿溪里追赶乌龟的路 程任意地分割成无穷多段，而且认为，要走完这无穷多 段路程，就非要无限长的时间不可。其实，即使按照这 种分段方法，走完第一段路程需1小时，走完第二段路 程需1/10小时，走完第三段路程需1/100小时……这 样，追上乌龟的时间恰恰是有限数： (小时)。
芝诺诡辩
设阿溪里(希腊神话中善行走的神)每小时行走10 公里，乌龟每小时爬1公里。现在，阿溪里在乌 龟之后10公里，乌龟往前爬，而阿溪里在后面追。
1小时之后，当阿溪里走了10公里，到达乌龟 原A2来处的。位置A1，此时，乌龟已爬到前面1公里的
乌龟再却过又1爬/1到0小A2时前后面，1/阿1溪0公里里追的到AA32处处。，而此时 时乌再龟过却1/又1爬00到小A时3前后面，1阿/溪10里0公追里到的A3A处4处，。而此 …… 所以，阿溪里永远追不上乌龟!你认为对不对?
选举悖论
从甲、乙、丙三个候选人中要产生一个学生会 主席。民意测验表明：有2／3的学生认为甲比 乙合适，有2／3的学生认为乙比丙合适。这种 情况下，你是否认为甲当选的希望最大呢?
对此，你一定感到很惊奇。这说明“好恶”关 系是不具有传递性的。
选举悖论又称为阿洛悖论。美国经济学家肯 尼思．阿洛(K。Arrow)根据这一悖论及其他依 据证明了一个十全十美的选举方法在原则上是 不存在的。
--- 第三次数学危机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突 然冲击而出现的，到现在，从整体来看， 还没有解决到令人满意的程度。这次危机 是由于在康托的一般集合理论的边缘发现 悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众 多的数学分支，并且实际上集合论成了数 学的基础，因此集合论中悖论的发现自然 地引起了对数学的整个基本结构的有效性 的怀疑。
哥哥：这么说，你是盼我骗你喽？ 弟弟：是啊。 哥哥：可我没骗你吧？ 弟弟：没有啊。 哥哥：而你是盼我骗的，对不？ 弟弟：对啊。 哥哥：这不得了，我已经把你给骗了！
弟弟到底有没有受骗呢？一方面，如果他没有受骗，那么他就没有 盼到他所盼的事，因此他就受了骗。哥哥正是这样认为的。不过， 从另一方面看，如果他受了骗，那么他就明明盼到了他所盼的事， 既然如此，又怎么谈得上他受了骗呢？说受骗了其实没受骗，说没 受骗却说明他受骗了，到底他受骗了没有？
这便是逻辑学上的悖论！悖论的奇特之处在于，你沿着一条无懈可 击的推理思路往前走，看似步步春风得意，结果却发现自己已陷入 四面楚歌的矛盾之中
小结
1、承认无穷集合，承认无穷基数，就好 像一切灾难都出来了，这就是第三次数学 危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可 以解决，然而数学的确定性却在一步一步 地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简 直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消 除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所 以，第三次危机表面上解决了，实质上更 深刻地以其它形式延续着。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当时 著名的数学家弗雷格在收到罗素的信之 后，在他刚要出版的《算术的基本法则》 第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到 比这更难堪的事情了，即在工作完成之 时，它的基础垮掉了，当本书等待印出 的时候，罗素先生的一封信把我置于这 种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
悖论的重要作用
它的出现促进了现代数学的一个重要分 支-----数理逻辑的发展，它使得康托的 集合理论建立在更坚实的基础之上，数 学大厦的基础十分坚实而稳固。
锹怟犁涤漦賂耛袋岦澰儼聑幢 爓饚曉泏牯筬蠷瑕獨韰谓旨槿 熳鐍尉燞帖薣节狋奁崎潐緃蛾 钓秇鬹腢擁飿尟吤通鴼椬非薎 緁勖
111111111 看看
规定得如此明确，可谓万无一失矣。可是，问题来了， 理发师自己的头由谁来剃呢?
如果他自己不剃头，那么按 照法规，他应该请理发师(也 就是他自己)去剃；如果他自己剃头，那么按照规定，他 又不应该让理发师(即他自己)去剃。
结果是剃也不是，不剃也不是了。
这是有名的逻辑学家罗素(R．A．W.Russll，1872－ 1970)在1918年引述的一个逻辑悖论。毛病出在法规本 身制订得不合理。其实质在于，该法规把小镇上的全体居 民截然分成两类，一类是自己替自己理发的人，一类是自 己不替自己理发的人。结果使理发师本人无法归入哪一类。