2017拱桥利润问题

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交通设施工程工程利润率(3篇)

第1篇一、引言随着我国经济的快速发展，交通设施工程作为国家基础设施建设的重要组成部分，近年来得到了迅猛发展。

然而，在市场竞争日益激烈、原材料价格波动、人工成本上升等多重因素影响下，交通设施工程的利润率面临着前所未有的挑战。

本文将从交通设施工程利润率的现状分析入手，探讨影响利润率的因素，并提出相应的提升策略。

二、交通设施工程利润率现状分析1. 利润率波动较大近年来，我国交通设施工程利润率波动较大，一方面受政策调控、市场需求等因素影响，另一方面也受工程规模、技术难度、地区差异等因素制约。

据相关数据显示，部分交通设施工程利润率甚至出现负增长。

2. 利润率地区差异明显不同地区的交通设施工程利润率存在明显差异。

一般来说，经济发达地区的交通设施工程利润率相对较高，而经济欠发达地区则相对较低。

这主要是由于不同地区在政策支持、市场需求、人力资源等方面的差异。

三、影响交通设施工程利润率的因素1. 市场竞争激烈随着交通设施工程行业的快速发展，市场竞争日益激烈。

为争夺市场份额，企业往往采取低价策略，导致利润空间被压缩。

2. 原材料价格波动交通设施工程所需原材料价格波动较大，如钢材、水泥等。

原材料价格上涨将直接导致工程成本增加，进而影响利润率。

3. 人工成本上升近年来，我国人工成本持续上升，对交通设施工程利润率造成一定压力。

特别是技术含量较高的工程，对人力资源的需求较大，人工成本占比更高。

4. 工程规模与质量要求大型交通设施工程投资规模大、工期长、技术要求高，但相应的利润空间也较大。

而小型工程则相反，投资规模小、工期短、技术要求低，利润空间相对较小。

四、提升交通设施工程利润率的策略1. 优化资源配置，提高工程管理水平企业应优化资源配置，提高工程管理水平，降低工程成本。

通过引入先进技术、提高施工效率、加强现场管理等手段，降低工程成本，从而提高利润率。

2. 加强成本控制，降低材料成本企业应加强成本控制，降低材料成本。

通过采购渠道优化、原材料储备、供应链管理等方式，降低原材料成本，提高利润率。

人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)

人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________主题分类：主题一：拱桥问题主题二：折叠立体图形问题主题三：围墙问题主题四:投球问题主题五：销售利润问题主题一：拱桥问题1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时单个小孔的水面宽度为4米若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）3米 2米 13 D．7米主题二：折叠立体图形问题2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时请直接写出此时点M 的坐标．主题三：围墙问题3. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR 若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为BK ，求BK 的长．主题四:投球问题5. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高OB 为2.44m ，现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m 处？ 6. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分，淇淇恰在点(0)B c ，处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标，并求a ，c 的值；(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值．7. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．8. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(),x y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm；①求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB 为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．专题五：销售利润问题9.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．10. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 11. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．12. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 13. 某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个）总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？A B A B A B 100kg A 2kg B 4kg x x w w x a a（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？14.红星公司销售一种成本为40元/件的产品若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．参考答案1.【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=3 2设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+3 2∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-350∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x 2+32，设点A（b，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2 ∵EF=14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m（x﹣b）2 ∴x 1615m 2615m -615m -615m-925 ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2 ∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x 15222=-522+b 5225222（米），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2.【答案】(1)223y x x =--+；(2)点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；PD DB 的最大值为916；(3)点M 的坐标为：()32,2--- ()32,2-+ 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，求出直线AC 的解析式为3y x ，设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+得出2223PQ t t t t t =---=--根据PQ x ∥轴得出PD PQ BD AB =根据21394216PD t BD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，求出点P 的坐标和最大值即可；（3）证明MPC PCM ∠=∠得出PM CM =，设(),3M m m +，()2,23P m m m --+得出()2222332CM m m m =++-=，()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+根据22PM CM =得出()22223m m m =+，求出0m =或32m =--或32m =-+根据当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △舍去，求出点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【详解】（1）解：把()()3,0,1,0A B -，()0,3C 代入2y ax bx c =++得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）解：过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，如图所示：设直线AC 的解析式为y kx b =+，把()30A -,，()0,3C 代入得： 303k b b -+=⎧⎨=⎩解得：13k b =⎧⎨=⎩①直线AC 的解析式为3y x设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+ ①点P 在直线AC 上方的抛物线上①2223PQ t t t t t =---=--①PQ x ∥轴①~PQD BAD①PD PQ BD AB= ①()134AB =--=①234PD t t BD --=()2134t t =-+ 21394216t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ①当32t =-时PD BD有最大值916 此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：根据折叠可知PM PM '= CM CM '= PCM PCM '∠=∠ ①PM x ⊥轴①PM CM '∥①MPC PCM '∠=∠①MPC PCM ∠=∠①PM CM =设(),3M m m + ()2,23P m m m --+ ()2222332CM m m m =++-=()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+ ①PM CM =①22PM CM =①()22223m m m =+整理得：()22320m m ⎡⎤+-=⎣⎦ ①20m =或()2320m +-=解得：0m =或32m =--或32m =-+①当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △ ①0m ≠①点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 3.【答案】（1）见解析；（2），见解析．【分析】（1）由题意易得AM ＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB +GH +3BC ＝100，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，∴ME ＝BE ，AM ＝GH ． ∵四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND ＝2S 矩形MEFN ，∴AM ＝2ME ，∴AE ＝3BE ；（2）∵篱笆总长为100m ，∴2AB +GH +3BC ＝100，即，∴ 设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，则 ∵，∴解得 ∴．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．4.【答案】(1)2144y x =-+；(2)0.5m ；(3)97m 12【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为24y ax =+，求出A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出 3.75y =时对应的自变量的值，得到FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线AC 的解析式，进而设出过点K 的光线解析式为34y x m =-+，利用光线与抛物线相切，求出2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x 1231002AB AB BC ++=6405AB BC =-266404055y BC AB x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭6405AB BC =-402035EB x =-＞1003x ＜2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x xm 的值，进而求出K 点坐标，即可得出BK 的长．【详解】（1）解：①抛物线AED 的顶点()0,4E 设抛物线的解析式为24y ax =+①四边形ABCD 为矩形，OE 为BC 的中垂线 ①4m AD BC == 2m OB = ①3m AB =①点()2,3A -，代入24y ax =+，得：344a =+①14a =-①抛物线的解析式为2144y x =-+；（2）①四边形LFGT ，四边形SMNR 均为正方形0.75m FL NR == ①0.75m MG FN FL NR ====延长LF 交BC 于点H ，延长RN 交BC 于点J ，则四边形FHJN ，四边形ABFH 均为矩形①3m,FH AB FN HJ === ① 3.75m HL HF FL =+=①2144y x =-+，当 3.75y =时213.7544x =-+解得：1x =±①()1,0H - ()1,0J ①2m FN HJ ==①0.5m GM FN FG MN =--=；（3）①4m BC =，OE 垂直平分BC ①2m OB OC == ①()()2,0,2,0B C -设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则：2023k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①3342y x =-+①太阳光为平行光设过点K 平行于AC 的光线的解析式为34y x m =-+ 由题意，得：34y x m =-+与抛物线相切联立214434y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得：234160x x m -+-=则：()()2344160m ∆=---=解得：7316m =； ①373416y x =-+，当0y =时7312x =①73,012K ⎛⎫ ⎪⎝⎭①()2,0B - ①73972m 1212BK =+=．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 5.【答案】(1)()212312y x =--+，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A 点坐标求出a 的值即可得到函数表达式，再把0x =代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点()0,2.25代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为()2,3 设抛物线解析式为()223y a x =-+ 把点()8,0A 代入，得3630a +=12①抛物线的函数表达式为()212312y x =--+ 当0x =时82.443y => ①球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动m 米，则移动后的抛物线为()212312y x m =---+ 把点()0,2.25代入得()212.252312m =---+ 解得15m =-（舍去），21m =①当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6.【答案】(1)1C 的最高点坐标为()32，，19a =-和1c =；(2)符合条件的n 的整数值为4和5 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点(6,1)A 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a 的值；令0x =即可求得c 的值；（2）求得点A 的坐标范围为()()5171，，，求得n 的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：①抛物线21:(3)2C y a x =-+①1C 的最高点坐标为()32，①点(6,1)A 在抛物线21:(3)2C y a x =-+上①21(63)2a =-+解得：19a =-①抛物线1C 的解析式为21(3)29y x =--+，令0x =，则21(03)219c =--+=；（2）解：①到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包①点A 的坐标范围为()()5171，，当经过()51，时211551188n=-⨯+⨯++ 解得175n =；当经过()71，时211771188n=-⨯+⨯++7①174157n ≤≤ ①符合条件的n 的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】(1)()0,2.8P 0.4a =-；(2)选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【详解】（1）解：在一次函数0.4 2.8y x =-+ 令0x =时 2.8y = ①()0,2.8P将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=解得：0.4a =-；（2）①3m OA = 2m CA = ①5m OC =选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=解得：7x = 即：落地点距离点O 距离为7m ①落地点到C 点的距离为752m -=选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=解得：221x =±+（负值舍去）即：落地点距离点O 距离为()221m +①落地点到C 点的距离为()()5221422m --=- ①4222-<①选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．8.【答案】(1)见解析；(2)①49 230；①()20.00259049y x =--+；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点根据表格数据，可得当0y =时230=x ； ①待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-根据题意当274x =时0y =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示（2）①观察表格数据，可知当50x =和130x =时函数值相等，则对称轴为直线90x =，顶点坐标为()90,49又抛物线开口向下，可得最高点时与球台之间的距离是49cm 当0y =时230=x①乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是230cm ；故答案为：49；230．①设抛物线解析式为()29049y a x =-+，将()230,0代入得()202309049a =-+解得：0.0025a =-①抛物线解析式为()20.00259049y x =--+；（3）①当28.75OA =时抛物线的解析式为()20.00259049y x =--+设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为h ，则平移距离为28.75h -()cm ①平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-依题意，当274x =时0y =即()20.0025274904928.750h --++-= 解得：64.39h =．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9.【答案】1264【分析】根据题意，总利润=A 快餐的总利润＋B 快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设A 种快餐的总利润为1W ，B 种快餐的总利润为2W ，两种快餐的总利润为W ，设A 快餐的份数为x 份，则B 种快餐的份数为()120x -份．据题意：2140112122032222x x W x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-+⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22801201=812072240022x W x x x --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦∴()22121042400=521264W W W x x x =+=-+---+∵10-< ∴当52x =的时候，W 取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．10.【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．依题意，得．解得，，．经检验，是原方程的根． 210140033000=-+-w x x 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-B m A 1.5m A B 100kg 210140033000=-+-w x x B m A 1.5m 9009001001.5m m-=3m = 1.5 4.5m =3m =∴每盒产品的成本为：（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）；（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下∴当时a =70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．11.【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤ 【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解；（2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2144k b =-⎧⎨=⎩，∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+ 当16x =时销售利润最大为1568元；当2040x <≤时销售利润20302160W my m x =-=-+当21x =时销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-∵120x ≤≤时'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 12.【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43 【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．4.5243930⨯+⨯+=()()305001060w x x =---⎡⎤⎣⎦210140033000x x =-+-210140033000=-+-w x x w 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++ 当2x =时2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+ ∵500-<，∴当4x =时W 取得最大值，最大值为9800 ∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+解得：15=x 23x = ∵要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13.【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2030x y =⎧⎨=⎩∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w 根据题意可得：()()4430205w z z =--+化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时255505280405max w =-⨯+⨯+= ∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①②将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+ 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变则40b -=，得4b =，当4b =时3000W =∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用． 14.【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分4050x ≤≤和50x >两种情况根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据0y >求出x 的取值范围；（2）在（1）的基础上根据“月利润=（月销售单价-成本价）⨯月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为Q 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得5070x <≤，再根据“月利润=（月销售单价-成本价a -）⨯月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当4050x ≤≤时5y = 当50x >时50.1(50)0.110y x x =--=-+0y ≥，0.1100x ∴-+≥解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设该产品的月销售利润为w 万元 ①当4050x ≤≤时5(40)5200w x x =-=-第 21 页共 21页由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大则当50x =时w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+由二次函数的性质可知，当70x =时w 取得最大值，最大值为90因为9050>所以当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元） 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元由题意得：，整理得：，在内，随的增大而增大则当时取得最大值，最大值为因此有解得．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． (40)(0.110)Q x a x =---+221400.1()390240a a Q x a +=--+-+140702a +>∴5070x <≤Q x 70x =Q (7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-90378a -=4a =。

教学课件：第3课时-拱桥问题中的二次函数

代数法是通过代数运算来求解拱桥问题的一种方法。
代数法适用于解决简单的二次函数问题，但对于复杂的拱桥问题，可能需要更高级的数学工具。
这种方法需要建立二次函数方程，然后通过求解方程来得到拱桥的顶点坐标和拱高。
解析方法二：图象法
图象法是通过绘制二次函数的图象来直观地解决拱桥问题的方法。
通过观察图象，我们可以直接找到函数的顶点，从而确定拱桥的
04 实际案例分析
案例一：某拱桥的承载能力分析
总结词
通过实际案例分析拱桥的承载能力，了解二次函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
某拱桥在承受不同载荷时，其变形程度和承载能力是关键问题。通过建立二次函数模型，可以预测拱桥在不同载荷下的变形程度，从而评估其承载能力。
案例二：不同载荷下的拱桥变形分析
二次函数在拱桥问题中的应用
二次函数在拱桥问题中扮演着重要的角色，它可以描述拱桥的形状、受力情况等。
通过分析二次函数的开口方向、顶点位置等性质，可以得出拱桥的稳定性、承载能力等方面的结论。
在实际工程中，设计师需要根据二次函数的性质来设计拱桥，以确保其安全性和稳定性。
03 拱桥问题的解析方法
解析方法一：代数法
总结词
研究不同载荷对拱桥变形的影响，进一步理解二次函数与实际问题的关联。
详细描述
在实际应用中，拱桥会受到各种载荷的作用，如车辆、人群等。通过建立二次函数模型，可以分析不同载荷对拱桥变形的影响，为拱桥的安全评估提供依据。
案例三：拱桥的施工过程模拟
总结词
利用二次函数模拟拱桥的施工过程，有助于优化施工方案和提高工程质量。
形状和位置。
图象法适用于解决中等难度的二次函数问题，但对于复杂的拱桥问题，可能还需要结合其他方法。

实际问题与二次函数之六大题型(学生版+解析版)

实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB 为8m ，拱顶内高8m ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O 是AB 的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/m2．已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本．(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)604530150(1)请直接写出p与x之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a的值．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？2(2023秋·湖南湘西·九年级统考期末)某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？3(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？【题型三投球问题】1(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y m 与水平距离x m 之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为95m ．当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.8m 时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式训练】1(2023·河南安阳·统考一模)小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为0,1 的点P 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线I ，其最高点的坐标为4,5 ．弹跳球落到倾斜角为45°的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线Ⅱ，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线Ⅰ的25．(1)求抛物线I 的解析式；(2)若斜面被坐标平面截得的截图与x 轴的交点M 的坐标为7,0 ，求抛物线Ⅱ的对称轴．2(2023·河北·统考中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点A (6,1)处将沙包(看成点)抛出，并运动路线为抛物线C 1:y =a (x -3)2+2的一部分，淇淇恰在点B (0，c )处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C 2:y =-18x 2+n8x +c +1的一部分．(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．3(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是cm；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．4(2023·河南信阳·校考三模)实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y(m)，实心球距出手点的水平距离为x(m)．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．(2)若实心球投掷成绩(即出手点与着陆点的水平距离)达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.08x-52+3.8．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1 d2(填“>”“<”“=”)．【题型四喷水问题】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面3m，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹BC上，任意一点与支柱AB的水平距离x(单位：m)与广场地面的垂直高度为y(单位：m)满足关系式y=-328x2+b1x+c1，且点D2,367在抛物线BC上(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为y2=-328x2+b2x+c2，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到AB的距离)控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度【变式训练】1(2023·甘肃兰州·统考中考真题)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y m与离起跳点A的水平距离x m之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2(2023·山东临沂·统考一模)如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h=1.5米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3米，竖直高度EF=0.5米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．3(2023·江西抚州·校联考三模)如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x=10．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离x(单位：米)之间的函数关系式为y=ax2+bx+c，其图像如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点(10,1)．(1)c的值为；(2)若a=-120，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为；(4)若a=-120时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．【题型五图形问题】1(2023·全国·九年级专题练习)2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段(五象火车站-龙岗站)已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏(平行于AB)的长方形施工区域．(1)设施工区域的一边AB为xm，施工区域的面积为Sm2．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当围成的施工区域面积为288m2时，AB的长是多少？(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．【变式训练】1(2023春·浙江宁波·八年级校联考期中)某景区要建一个游乐场(如图所示)，其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN(墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设AB的长为x米．(1)则BE的长为米(用含x的代数式表达)；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？2(2023·广东深圳·统考中考真题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．【题型六图形运动问题】1(2023·江苏·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；(2)求四边形PQCA面积的最小值．【变式训练】1(2023秋·四川宜宾·九年级统考期中)如图，等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿射线BC运动，PQ的连线与直线AC相交于点D．设点P运动的时间为ts，△PCQ的面积为S．(1)求S关于的函数关系式．(2)当t为多少时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等？(3)当点P在边AB上运动时，过点P作PE⊥AC于点E．在点P，Q运动过程中，线段DE的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2(2023·吉林松原·校联考三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P从点A 出发以2cm/s的速度向点C运动，到点C停止，过点P作PQ⊥BC交AB点Q，以线段PQ的中点为对称中心将△APQ旋转180°得到△DQP，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，△DQP与Rt△ABC重合部分的面积为S(cm2)．(1)求当点D落在BC边上时t的值；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)直接写出当△ADC是等腰三角形时t的值．实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【答案】(1)y =-1100x 2+36(2)正中间系杆OC 的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出正中间系杆OC 的长度是36米，再建立方程求解即可．【详解】(1)结合图象由题意可知：B 60,0 ，E 30,27 ，设该抛物线解析式为：y =ax 2+c ，则：3600a +c =0900a +c =27 ，解得：a=-1100 c=36，∴y=-1100x2+36．(2)当x=0时，y=36，∴正中间系杆OC的长度是36米．设存在一根系杆的长度是OC的13，即这根系杆的长度是12米，则12=-1100x2+36，解得x=±206．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标OC在y轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．∴x=±206与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的13．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB为8m，拱顶内高8m．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O是AB的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？【答案】(1)y=-12x2+8(2)一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)求出当y=4时，x的值，再根据车辆宽2.5m且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．【详解】(1)解：由题意得，点C的坐标为0，8，点A和点B的坐标分别为-4，0，4，0，设抛物线解析式为y=a x+4x-4，把C0，8代入得a0+40-4=8，解得a=-1 2，∴抛物线解析式为y=-12x+4x-4=-12x2+8；(2)解：一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由如下：在y =-12x 2+8中，当y =-12x 2+8=4时，解得x =±22，∵22 2=8>2.52=6.25，∴22>2.5，∴一辆宽2.5m ，高4m 的大型货运卡车可以通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB 为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O 为坐标原点，以桥面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．【答案】(1)该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)水面宽度为513米．【分析】(1)由题意可以写出A 点坐标，设抛物线解析式为y =ax 2，把点A 的坐标代入求出a ，c 的值即可；(2)把x =2.5代入抛物线解析式，求出对应函数值y ，再把y =-3.25代入计算即可求解．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y =ax 2，∴桥下水面宽度AB 为20米，拱顶距离水面高度OC 为4米，∴点A (-10，-4)，∴-4=100a ，解得：a =-125，∴该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)解：∵船宽5米，∴当x =2.5时，y =-125×2.52=0.25，若该渔船能安全通过，此时水面高为3+0.25 米，∴当y =-3.25时，-3.25=-125x 2，解得x =5213，∴水面宽度为513米．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A 型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A 型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G 、M 在AD 上，点F 、N 在抛物线上，窗户的成本为150元/m 2．已知GM =2m ，求每个B 型活动板房的成本．(每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本)【答案】(1)y =-14x 2+1(2)每个B 型活动板房的成本为3725元【分析】(1)根据题意得出E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，利用待定系数法求解即可；(2)根据题意得出N 1,34，继而求出矩形FGMN 的面积，列式求解即可．【详解】(1)∵长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ，∴OH =AB =3m ，∴OE =EH -OH =4-3=1m ，∴E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，把D 2,0 代入，得0=4k +1，解得k =-14，∴该抛物线的函数表达式为y =-14x 2+1；(2)∵GM =2m ，∴OM =OG =1m ，当x =1时，y =-14×1+1=34，∴N 1,34 ，MN =34m ，∴S 矩形FGMN =MN ⋅GM =34×2=32m 2，∴3500+32×150=3725(元)，所以，每个B 型活动板房的成本为3725元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x (元/千克)3035404550日销售量p (千克)604530150(1)请直接写出p 与x 之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a 的值．【答案】(1)p =-3x +150(2)40元/千克(3)2【分析】(1)由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，待定系数法求得p =-3x +150，然后作答即可；(2)设日销售利润为w 元，由题意得：w =-3x +150 x -30 ，根据二次函数的图象与性质进行判断求解即可；(3)设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，则对称轴为直线x =-240+3a 2×-3 =40+12a ，①若a ≥10，则当x =45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a ×45-150a +4500 =225-15a <243，即x =45不符合题意，舍去；②若0<a <10，则当x =40+12a 时，w 有最大值，将x =40+12a 代入，得：w =314a 2-10a +100 ，当w =243时，243=314a 2-10a +100 ，解得a 1=2，a 2=38(舍去)．【详解】(1)解：由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，所以p 与x 之间的函数关系为一次函数关系；设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，将30,60 ，50,0 代入得，30k +b =6050k +b =0 ，解得k =-3b =150 ，∴p =-3x +150，故答案为：p =-3x +150；(2)解：设日销售利润为w 元，由题意得：w =p x -30 =-3x +150 x -30 =-3x -40 2+300，∵a =-3<0，抛物线开口向下，∴当x =40时，w 有最大值300．∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；(3)解：设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x +150 x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，∴对称轴为直线x=-240+3a2×-3=40+12a，①若a≥10，则当x=45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a×45-150a+4500=225-15a<243，∴x=45不符合题意，舍去；②若0<a<10，则当x=40+12a时，w 有最大值，将x=40+12a代入，得：w =314a2-10a+100，当w =243时，243=314a2-10a+100 ，解得a1=2，a2=38(舍去)，综上所述，a的值为2．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】(1)若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)应降低5元；(3)将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．【分析】(1)根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；(2)根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；(3)设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．【详解】(1)解：根据题意，降价2元则销售量为60+2×10=80(斤)，销售利润为：30-15-2×80=1040(元)，答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，根据题意得：30-15-x60+10x=1100，整理得：x2-9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵为了尽快减少库存，∴x=5，此时30-x=25，答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；。

九年级数学： 22.3.3拱桥问题教案10

22.3实际问题与二次函数(3)教案学情分析：通过前几节课的学习，学生已经学习了二次函数定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，已接触了最大利润,最大面积等问题，体验了如何从实际问题中抽象出二次函数模型，为本节课的学习奠定了基础。

在本节中，需要建立适当的直角坐标来分析和解决问题。

教学目标：1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力, 感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．教学难点：建立适当的平面直角坐标系,实际问题转化为数学问题. 教学过程：一、复习回顾：1.问题：解决前几节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意什么？ (1)由于抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最低（高）点，当abx 2-=时, 二次函数c bx ax y ++=2有最小（大）值ab ac 442- .(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为)0(9)8(2≠+-=a x a y ∵ 函数图象经过点（0，1）∴19)80(2=+-a 解得：81-=a∴所求的二次函数解析式是 9)8(812+--=x y 即12812++-=x x yOxyOxyOxyOxy3.已知二次函数的图象经过A (0，1)，B (1，3)，C (-1，1)三点.求二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ∵ 函数的图象经过点A (0，1)，B (1，3)，C (-1，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=131c b a c b a c 解得： ⎪⎩⎪⎨⎧===111c b a∴所求的二次函数解析式是 12++=x x y 二、合作探究：问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？思考：（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）怎样求抛物线对应的函数的解析式？问题:如何建立直角坐标系？oyx-2-121 -1 -2 -31二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．解: 如图以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立如下直角坐标系可设这条抛物线表示的二次函数为y =2ax (a ≠0）.由抛物线经过点（2，－2），可得222-=⋅a解得：21-=a这条抛物线表示的二次函数为221x y -=当水面下降1m 时，水面的纵坐标为y = －3. 请你根据上面的函数表达式求出这时的水面宽度．解：当 y= -3时，2213x -=-. 水面的宽度62m水面下降1m ，水面宽度增加)462(-m. 三、巩固应用：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB 时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为10米.(1)求抛物线形拱桥的解析式.(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就能达到拱桥顶? (3)在正常水位时,有一艘宽8米,高2.5米的小船能否安全通过这座桥?解: （1）如图以水面AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

22.3 实际问题与二次函数正式稿3

y O
C A
h 20 m
D B
x
y 1 92 3.24 25
（2）由题意可得D点的横坐标为9 上升的高度 4 3.24 0.76m
∴此时水深= 2+0.76= 2.76m
答：水深超过2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行
例3 如图，一名运动员在距篮圈下4m跳起投篮，篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心距离地面3.05m，若该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少米？
∴3.05= a×1.52 +3.5
C
出手处
D
篮A圈
？E 3.05
解得a 1
P
5
抛物线的解析式为y 1 x2 3.5
2.5 O 1.5
Q
5
n 1 (2.5)2 3.5 2.25 5
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2
（2， 2）
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2 k
（0，2）（2，0）
①
③
②
④
对比一下，哪种建系方式最为简单？
（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？

专题07 二次函数与实际应用(拱桥问题)-2024年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原

专题07 二次函数与实际应用（拱桥问题）一、填空题1．（2024·安徽肥东·中考二模）如图，一座悬索桥的桥面OA 与主悬钢索MN 之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM 与AN 相等．小强骑自行车从桥的一端O 沿直线匀速穿过桥面到达另一端A ，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA 共需_____________秒．2．（2024·江苏工业园区·中考一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m ，高度分别为300m 和225m ，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB 的长）为_________m ．第1题图第2题图3．（2024·浙江·温州市中考一模）2024年1月12日世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥主体成功合拢．如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度400OA =米，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，桥面//BF OA ，抛物线最高点离路面距离10EF =米，120BC =米，CD BF ⊥，O ，D ，B 三点恰好在同一直线上，则CD =________米．第3题图第4题图4．（2024·江苏工业园区·中考二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ，24m AB =，D ，E 为拱桥底部的两点，且//DE AB ，若DE 的长为36m ，则点E 到直线AB 的距离为______．二、解答题5．（2024·浙江衢州·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．6．如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？7．（2024·山西·长治市实验中学九年级期末）景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF处．（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度EF．（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度EF．8．（2024·山东即墨·中考一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？9．（·山东青岛·中考真题）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？10．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．11．（2024·辽宁海城·九年级月考）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离；（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于1m 3的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．12．（·陕西·子长县齐家湾中学九年级期末）小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为21(30)520y x =--+．（1）直接写出左边抛物线的解析式；（2）求抛物线彩虹桥的总跨度AB 的长；（3）若三条钢梁的顶点M 、E 、N 与原点O 连成的四边形OMEN 是菱形，你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE 的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．13．（2024·山东黄岛·九年级期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m 的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．14．（2024·福建厦门·九年级期末）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m（如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h后达到最高潮位，此最高潮位维持1h，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 变化的情况大致如表所示．（在涨潮的5h 内，该变化关系近似于一次函数）涨潮时间t （单位：h ）1 2 3 4 5 6桥下水位上涨的高度（单位：m ）4585 1251654 4 （1）求桥下水位上涨的高度（单位：m ）关于涨潮时间t （06t ≤≤，单位：h ）的函数解析式；（2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示：涨潮时间t （单位：h ） 5452 154桥下水面宽（单位：m ）202420232022现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m ，宽20m ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．15．（·河北·中考一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为18米，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为9米，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线的解析式；（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF .①如果限定矩形的长CD 为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE 不能超过多少米？ ②若点E ，F 都在抛物线上，设L EF DE CF =++，当L 的值最大时，求矩形CDEF 的高.16．（·安徽无为·九年级期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面常度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题：（1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．（2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由．17．（2024·贵州安顺·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．。

专题11 二次函数的实际应用-九年级数学上册(解析版)

专题11二次函数的实际应用考点1：拱桥问题；考点2：抛球、喷泉问题；考点3：面积问题；考点4：利润问题。

1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y=−125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．答案：C．2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC ⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16940米B．174米C．16740米D．154米题型01拱桥问题解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y=−1400（x﹣80）2+16=−1400（﹣10﹣80）2+16=−174，∴C（﹣10，−174），∴桥面离水面的高度AC为174m．答案：B．3．（易错题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+32，∴a=−350，∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，−3625），∴−3625b）2，∴x1=b，x2=−b，∴MN＝4，+b﹣（b）|＝4∴m=−925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y=−92，∴−92925（x﹣b）2，∴x1=b，x2∴单个小孔的水面宽度＝|+b）﹣（+b）|＝52（米），答案：B．4．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．解：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，则由对称性可知OA＝BC，故从B到C也花10秒，故从O到C一共花26+10＝36（秒），答案：36．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，答案：26米．6．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，2=1222，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−19，∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．7．（易错题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=−124，∴y1=−124x2，当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=182−+4=18(−4)2+2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：4+=836+=0，解得=−14=9，∴抛物线解析式为y=−14（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，答案：A．9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）题型02抛球、喷泉问题A．2米B．3米C．4米D．5米解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+403，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103（x﹣1）2+403．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．答案：B．10．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，答案：C．11．（易错题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a=−23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+h，将（4，0）代入可得−23×42+23×4+h＝0，解得h＝8．答案：8．12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答案：2．13．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=−112x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，53），点B（8，53），代入y=−112x2+bx+c，得：==−112×82+8+，解得=23=53．∴y=−112x2+23x+53，当y＝0时，0=−112x2+23x+53，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．答案：10．14．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−112，∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．15．（易错题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞910；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，答案：66；（2）①∵a=−150，b=910，∴y=−150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−150，∴y=−150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752+75b+66＞21，解得b＞910，答案：b＞910；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2125，∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．16．（易错题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则+=35=30，解得：=5=30，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴+=3536+6=60，解得：=−5=40，∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x−72）2+1254∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为1254；②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x−72）2−1254，∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=72，∴当x＞72时，y随x的增大而增大，∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜70，∴高度差的最大值为70米．题型03面积问题17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方）案是（A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，=12•AC•BH，∵S△ABC；∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为12×4×4＝8方案3：半圆的半径=8米，∴此时菜园最大面积=H(8)22=32米2＞8米2；答案：C．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193B．194C．195D．196解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，≥628−≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S＝195，最大值即花园面积的最大值为195m2．答案：C．19．（易错题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝（6−12x）m，∴AD＝CE=3BE＝（63−32x）m，AB＝AE+BE＝x+6−12x＝（12x+6）m，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63−32x）338x2+33x+183=−338（x﹣4）2+243，＝243．∴当x＝4时，S最大即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；答案：C．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，答案：75．21．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．解：设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=−32（x2﹣300x）=−32（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，答案：150．22．（易错题）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（−34x+30）x=−34x2+30x，∵a=−14x+10＞0，∴x＜40，则S=−34x2+30x（0＜x＜40）；∵S=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．答案：300．23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，∵﹣3＜0，∴当x =72时，总种植面积有最大值为1474m 2，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为1474m 2．24．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A ．5元B ．10元C ．0元D ．36元解：设每件需降价的钱数为x 元，每天获利y 元，则y ＝（135﹣x ﹣100）（100+4x ）即：y ＝﹣4（x ﹣5）2+3600∵﹣4＜0∴当x ＝5元时，每天获得的利润最大．答案：A ．25．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间解：设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000=−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，题型04利润问题又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．答案：B．26．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，9+3+=0.816+4+=0.925+5+=0.6，解得=−0.2=1.5=−1.9，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−2=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．答案：C．27．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．答案：1264．28．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10+=2020+=10，解得=−1=30，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，答案：121．29．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a＜6．解：设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．30．（易错题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)，答案：w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．31．（易错题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m 为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y ＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A 产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．。

二次函数与实际问题(学生版)

一元二次函数与实际问题二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的性质：顶点式，对称轴和顶点坐标公式:利润=售价-进价总利润=每件利润×销售数量①何时橙子总产量最大：例1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?②T 恤衫何时获得最大利润：例2.某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？③日用品何时获得最大利润：例3某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?.a b ac a b x a y 44222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a b x 2-=直线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22④旅行社何时营业额最大：例4某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？⑤商贩何时获得最大利润：例5.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?⑥纯牛奶何时利润最大：例6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?⑦水产品何时利润最大：例7.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?⑧化工材料何时利润最大：例8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.①只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

二次函数在实际生活中的应用与实际问题分类整理

二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，y＝(x－9)(1 360－80x)＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．－b2a＝－2 0802×（－80）＝13，∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1＋1_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1 000，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000. 当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50. (3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)． (1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，得⎩⎨⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝160， ∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200 ＝－x 2＋260x －16 400 ＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款，则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，解得t ≥102249.∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得 40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝24 000x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝50(间)，旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； (2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元， y ＝(800＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025， ∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式； (2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)． ①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？ (3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y ＝⎩⎨⎧－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）；(2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t. ①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48，当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝⎩⎨⎧－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意，当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ； (3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m ＝643，m －x ＝523；②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．二次函数与实际问题分类整理1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？类型二：利润问题例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）所获利润可以表示为__________________；（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．y (件)（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。

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二次函数过桥、投篮和销售利润问题例题1.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．练习：2．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？3．如图，有一抛物线形拱桥，拱顶M距桥面1米，桥拱跨度AB=12米，拱高MN=4米．（1）求表示该拱桥抛物线的解析式；（2）按规定，汽车通过桥下时载货最高处与桥拱之间的距离CD不得小于0.5米．今有一宽4米，高2.5米（载货最高处与地面AB的距离）的平顶运货汽车要通过拱桥，问该汽车能否通过？为什么？4．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？5．如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：（1）求水面的宽度CD为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行．①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？②若从水面到棚顶的高度为m的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最大宽度是多少米？6.如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m．，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽m，在水面以上部分高为4m的船船身应至少降低多少米才能安全通过？例题2.在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？练习：1.如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？2.如图1，小杰在一个智能化篮球场的罚球区附近练习投篮，球出手前，他测得篮框A的仰角为16.7°、篮球架底端B的俯角为24.2°，又已知篮框距离地面约3米．（1）请在答题纸上把示意图及其相关信息补全，并求小杰投篮时与篮框的水平距离；（2）已知球出手后的运动路线是抛物线的一部分，若球出手时离地面约2.2米，球在空中运行的水平距离为2.5米时，达到距离地面的最大高度为3.45米，试通过计算说明球能否准确落入篮框．（注：篮球架看作是一条与地面垂直的线段，篮框看作是一个点；投篮时球、眼睛看作是在一条与地面垂直的直线上．备用数据：sin16.7°=0.29，cos16.7°=0.96，tan16.7°=0.30；sin24.2°=0.41，cos24.2°=0.91，tan24.2°=0.45；）3.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？4.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．例3．（本题10分）沃尔玛在汉第五家门店安家黄陂广场，已于10月16开业．店内有一种新品牌的书包，已知其进价为每个30元，售价为每个40元时，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元（售价高于40元但不高于75元），其销售量就减少10个．设每月售出书包的利润为（元），每个书包售价为x （元）（x为整数）.（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（3分）（2）每个书包的售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？（4分）（3）若商家想要获得10000元的月利润，则每个书包的售价定为多少元？（3分）练习1. （本题满分10分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？2.（本题10分）马英九担任台湾地区领导人以来，海峡两岸经贸合作迅猛发展，武汉人吃上了台湾的优质水果.某超市出售台湾某种水果，进价每千克45元，调查发现，若每千克60元销售，平均每天销售40千克，价格每降1元，每天可多卖20千克（售价不低于48元），设每千克降低x元.（x为正整数）.（1）写出每天销售这种水果的利润y（元）与x之间的函数关系式；（2）1440元是否为每天销售这种水果的最大利润？（3）若每天销售这种水果的利润不低于840元，但由于各种原因，其利润又不超过1400元，则售价应在什么范围？3.红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：y1=0.25t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：y2= -0.5t+40（21≤t≤40且t为整数）。

下面我们来研究这种商品的有关问题。

（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围。

例题4如图，排球运动员甲站在点O处发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行路线是抛物线的一部分。

当球运动到最高点D时，其高度为2.6m，离甲站立地点O点的水平距离为6m。

球网BC 离O点的水平距离为9m,以O为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点M的坐标为(m,0)(1)求抛物线的解析式；（不写出自变量的取值范围）(2)求排球落地点N离球网的水平距离(3)乙原地起跳可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围？练习1、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为O. 9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。

以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出自变量t的取值范围。

练习2、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。