不等式练习卷……曹杨中学编制
上海市曹杨中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
b
1 a
1 b
4
B． b a 2 ab
D． a2
b2 2
a
2
b
2
15．已知 a R，条件 p : ax2 ax 1＞0 的解集为 R；条件 q : 0＜x＜4，则 p 是 q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16．已知x 表示不超过 x 的最大整数，例如2.3 2 ，1.8 2 ，方程 1 x 1 3
a
0,b
0
3 b a 6b 2
．（结果用根式表示）
8．已知：
x
1 ，则
x
1
4 x 1
的最小值是
．
9．集合 P x, y | y x 2, x R ，集合 Q x, y | y x2 2, x R ，则
PQ
．
10．设 log2 3 a, 2b 7 ，试用 a，b 表示 log42 56
.
3．不等式
x
1 1
3
的解集为
．
4．已知集合 A x x 12 0 ， B 1, 2 ，则 A B
.
5．若 log3 log4x 1，则 x
．
6．已知集合 A = {x | (a - 1)x2 + 3x - 2 = 0}有且仅有两个子集，则实数 a
.
2
7．化简：
3
ab2
a 3b2 1 1 4
上海市曹杨中学 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
上海曹杨中学附属学校必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知12x >，则2321x x +-的最小值是（ ）A ．32B 32C 2D ．32 2．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定 3．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ）A ．a v <<B ．v <C 2a b v +<<D ．2ab v a b=+ 4．若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y +的最大值为（ ） A ．1 B ．38 C ．37 D ．135．已知正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=，若2x y +的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．96．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．167．已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．88．若,a b 为实数，且2a b +=，且33a b +的最小值为（ ）A ．18B ．6C ．D ．9．若直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460x y x y +---=，则21a b +的最小值是（ ）.A ．1B ．5C ．D ．3+ 10．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若22am bm >，则a b >；②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m a b m b+>+；④若0a b >>且ln ln a b =，则2a b +的最小值是22，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4 11．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ）A ．22B ．22+C ．422+D ．422- 12．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）.A ．11a b <B ．55a b >C ．22ac bc >D ．a b >二、填空题13．已知函数2()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________.14．设函数4()f x x x =-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 15．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y xy+++的最小值为______. 16．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________. 17．若不等式256x xt <--对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是______. 18．已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 19．已知方程210(0)x kx k ++=>有实根，则1k k+的最小值是______． 20．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______.三、解答题21．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为212m 的矩形，房高为3m .因地理位置的限制，房屋侧面的宽度x 不得超过5米，房屋正面的造价为400元/2m 房屋侧面的造价为150元/2m ，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为y 元.（1）求y 用x 表示的函数关系式；（2）当x 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？22．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了x ()0x >万元，且每万元创造的利润变为原来的()10.25x +倍.现将养羊少投资的x 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为()0.150.875a x -万元，其中0a >. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x 的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a 的最大值.23．已知关于x 的不等式()24(4)0()kx k x k --->∈R 的解集为A .（1）写出集合A ；（2）若集合A 中恰有9个整数，求实数k 的取值范围.24．（Ⅰ）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，求12121x x x x ++的最小值． （Ⅱ）若正数a b c 、、满足2a b c ++=，求证：2222b c a a b c++≥．25．设a ，b 为实数，比较22a b +与1ab a b ++-的大小．26．设2()(1)1f x m x mx m =+-+-.（1）当1m =时，解关于x 的不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式()0f x m ->的解集为()1,2，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 由2111333311212222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++ ⎪-⎝⎭--，利用均值不等式可得答案. 【详解】21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当113122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-,即132x =+ 时，取得等号. 故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.2．B解析：B【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y y p p +， 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++. 因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低.故选：B.【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商3．C解析：C【分析】根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小.【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s s a b+， 22sab v s s a b a b ∴==++，故D 正确；0b a >>2a b +<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++， v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.4．D解析：D【分析】 已知等式变形为411x y+=，然后用“1”的代换求出x y +的最小值即可得． 【详解】∵x ，y 均为正数，40x y xy +-=，∴411x y +=，∴414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即6,3x y ==时等号成立， ∴33193x y ≤=+，所求最大值为13．故选：D ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】因为正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=， 所以21a y x+=，所以121122192(2)()(5)(5,x y x y x y a y x a y x a a+=⨯++=++≥+= 当且仅当22x y y x =且21a y x+=时取等号， 由题意可得93a=， 解得3a =，故选：B【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．C解析：C【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可.【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C【点睛】 关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.7．B解析：B【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．B解析：B【分析】根据基本不等式可知33a b +≥，结合条件求解出33a b +的最小值.【详解】 因为233236a b a b ++≥=⋅=，取等号时1a b ==，所以33a b +的最小值为6，故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．D解析：D【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b+的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460x y x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时222a b =即a =，此时21a b ==， 故选：D.【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.10．C解析：C【解析】分析：由不等式性质对其判定详解：对于①，若22am bm >，20m >，则a b >，故正确对于②，若a b >，则a a b b >，正确对于③，若0b a >>，0m >，则a m a b m b+>+，故正确 对于④，若0a b >>且lna lnb =，则1ab =，1b a =12222a b a a ∴+=+≥ 当12a a =时等号成立，即21a =< 这与a b >矛盾，故错误综上所述，正确的个数为3故选C 点睛：由不等式性质对其判定，若能举出反例即可判断其错误，注意数值的符号，对于④中利用基本不等式求出最小值需要满足一正二定三相等，本题在取等号时是取不到的，故错误．11．D解析：D【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m n y n m =-=-， 则2222224()424222x y m n n m n m n m x y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n m m n =，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.12．B解析：B【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．【详解】a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立．故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．2【分析】由时恒成立转化为恒成立根据中ab 系数相等令求解【详解】因为时恒成立所以恒成立令则或当时即当时即要使时的等号成立则即解得函数图象开口向上对称轴为所以则的最大值为2故答案为：2【点睛】关键点点解析：2【分析】由[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，转化为211222x a x b ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭恒成立，根据+a b 中，a ，b 系数相等，令2122x x -=求解. 【详解】因为[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立， 所以2211()22222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 令2122x x -=，则12x =-或1x =， 当1x =时，()21122a b f =+≥- ，即1a b +≥-， 当12x =-时，112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，即2a b +≤， 要使12x =-时，1()2f x ≥-的等号成立， 则min 11()22f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即14211114422b a a b a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩， 解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203a =>，函数图象开口向上，对称轴为12x =-， 所以则+a b 的最大值为2，故答案为：2【点睛】关键点点睛：由+a b 中，a ，b 系数相等，令2122x x -=是本题求解的关键.. 14．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-【分析】由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】 函数4()f x x x =-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．15．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值解析：16【分析】 由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值.【详解】 原式()124493524162x y x y x y y x y x y x⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =，47y =时取等. 所以223524x y x y xy+++的最小值为16. 故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.16．9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+ 又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 17．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题 解析：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】整理已知条件得到2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可.【详解】 由256x xt <--， 得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-， 则2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()211f x x xt =+-， 则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩； 令()21g x x xt =-+，则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩； 综上：5722t <<. 故答案为：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.18．【分析】由题意可得利用基本不等式可求得的最小值由此可求得实数的取值范围【详解】由于不等式对任意实数恒成立则由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利解析：(),1-∞【分析】由题意可得3231x x k -<+⋅-，利用基本不等式可求得3231x x -+⋅-的最小值，由此可求得实数k 的取值范围.【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <， 因此，实数k的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．【分析】先根据一元二次方程有解得再根据函数的单调性求解即可【详解】解：方程有实根解得又在上单调递增 的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题根据条件求出k 的范围利用对勾函 解析：52【分析】先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1y k k=+的单调性求解即可. 【详解】解：方程210(0)x kx k ++=>有实根，240k ∴-≥，解得2k ≥， 又1y k k=+在[)2+∞，上单调递增， ∴ 1k k +的最小值是15222+=， 故答案为：52． 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．20．【分析】根据平行四边形性质可得再结合基本不等式即可求出的最小值【详解】由平行四边形性质可得：由基本不等式可得：当且仅当时等号成立所以即所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的【分析】 根据平行四边形性质可得()22222a b a b a b++-=+，再结合基本不等式即可求出b 的最小值.【详解】 由平行四边形性质可得：()22222a b a b a b ++-=+，由基本不等式可得：()2222a b a b a b a b ++-++-≥，当且仅当a b a b +=-时等号成立， 所以()()22222a b ab a b ++-+≥，即()224212b +≥， 所以3b ≥，所以b 的最小值为.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）()16900580005y x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭；（2）4米，13000元. 【分析】（1）由侧面宽度为x 米，可得正面长度为12x米，再求正面与侧面的费用，结合屋顶和地面的造价费用合计为5800元，即可得答案；（2）结合（1）中解析式，直接利用基本不等式求解即可.【详解】 （1）因为侧面宽度为x 米，所以正面长度为12x 米， 依题意得：12321504005800y x x ⎛⎫=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭ ()16900580005x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭（2）因为168x x +≥=， 当且仅当16x x=即4x =时取等号， 所以1690058009008580013000...x x ⎛⎫++≥⨯+= ⎪⎝⎭， ∴4x =时，min 13000y =（元），所以当侧面的宽度为4米时，总造价最低，最低总造价为13000元.【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22．（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5．【分析】（1）由题意得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯，解不等式可得结果；（2）由题意得()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，分离出参数a 得510 1.58x a x ≤++恒成立，只要利用基本不等式求出5108x x+的最小值即可 【详解】 解：（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯，整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元，技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元，则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，又010x <<，∴510 1.58x a x ≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为6.5．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5．【点睛】关键点点睛：此题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的解法，第2问解题的关键是由()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，转化为510 1.58x a x ≤++恒成立，然后利用基本不等式求5108x x+的最小值即可，属于中档题 23．无24．无25．无26．无。
上海曹杨二中必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(有答案解析)
一、选择题1．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ） A ．431-B ．432+C ．421+D ．62．若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为（ ） A ．1B ．38C ．37 D ．133．已知正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=，若2x y +的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．6D ．94．若直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460xy x y +---=，则21a b+的最小值是（ ）. A ．1B ．5C ．42D ．322+5．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．4-B ．14C ．10-D ．106．已知a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．ac ＞bdB ．a +d ＞b +cC ．a d ＜bcD ．a 2＜b 27．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则mn的最大值为（ ）A 2B ．1C ．2D ．28．若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则a 的最小值为（ ）A ．4B ．4+C ．8D ．8+10．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为1:2．则11a b+的最大值为（ ）A ．4-B ．2-C 1D11．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则a b c d> 12．已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4二、填空题13．设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，则b a -=__________．14．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.15．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 16．当1x >时，11x x +-的最小值为___________.17．已知实数0a >，0b >是2a 与2b 的等比中项，则13a b+的最小值是______. 18．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则12m n+的最小值为____ 19．已知实数x ，y ，z 满足：222336x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则x y z ++的最大值为_________. 20．已知0a >，0b >，且22a b +=，那么21a b+的最小值为________． 三、解答题21．选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知实数x ，y 均为正数，求证：)(4925x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎭⎝.（2）已知a ，b 都是正数，并且ab ，求证：552332a b a b a b +>+.22．已知不等式2(1)(2)60a x b x ---+≥的解集为{}31x x -≤≤ （1）求,a b 的值.（2）求不等式2(2)40amx bm x -++<的解集23．已知函数()()221f x ax a x b =-++-.（1）若2a =-，9b =，求函数()()0f x y x x=<的最小值； （2）若1b =-，解关于x 的不等式()0f x ≥.24．已知关于x 的不等式250ax x c ++<的解集为114x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（1）求a ，c 的值；（2）解关于x 的不等式()20ax ac b x bc +++≥.25．当a 为何值时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数？26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将函数变形为()43111y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0x >，所以10x +>，所以()4423231311y x x x x =++=++-+++()4311111x x =++-≥=+，当且仅当()4311x x +=+，即10x =->时等号成立，所以函数4231y x x =+++的最小值为1. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．D解析：D 【分析】已知等式变形为411x y+=，然后用“1”的代换求出x y +的最小值即可得．【详解】∵x ，y 均为正数，40x y xy +-=，∴411x y+=，∴414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即6,3x y ==时等号成立，∴33193x y ≤=+，所求最大值为13． 故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】因为正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=， 所以21a y x+=，所以121122192(2)()(5)(5,x y x y x y a y x a y x a a+=⨯++=++≥+= 当且仅当22x y y x =且21a y x+=时取等号， 由题意可得93a=， 解得3a =，故选：B 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b +的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460xy x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，故选：D.本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.5．C解析：C 【分析】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23-，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.【详解】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a-+=--⨯=解得12,2a b =-=-即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.6．C解析：C 【分析】取特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C. 【详解】对A 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，41ac bd -=<=-，则A 错误； 对B 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，1a d b c +=+=-，则B 错误； 对C 项，0c d >>，11d c ∴>，又0a b <<，0a b ∴->->，则11a b d c-⋅>-⋅，即a d ＜bc，则C 正确； 对D 项，当2,1a b =-=-时，2241a b =>=，则D 错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得12m n+=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为1122AO AB AD =+，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ， 故可得 122m AO AM AN n=+，又,,O M N 三点共线， 故可得1122m n +=，即12m n+=. 故211114m m m n n n ⎛⎫=⨯≤+= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B . 【点睛】本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题.8．C解析：C 【解析】 正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到1tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将a +转化为4a α=+利用基本不等式求解.【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin150sin b αα=︒-，所以()2sin 150cos 3sin 13sin sin tan b αααααα︒-+===+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以()13tan tan 34tan tan 3tan 333a b b b ααααα⎛⎫⋅+=++=++⎪⎝⎭+=3342tan 423tan αα≥+⨯=+， 当且仅当3an tan 3t αα=，即4πα=时取等号，故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即2221a b a b +-=+，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab 的最小值，再求出11a b+的最大值．【详解】把圆222220x y x y +---=化成标准形式为22(1)(1)4x y -+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．设直线与圆交于A 、B 两点，圆心为C ， 因为直线把圆的周长分为1:2，所以13601203ACB ∠=⨯︒=︒，所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为11=，因为a ，1b >，所以202()a ab b -++=，由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab +=+， 当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，所以1(2)111112222(2ab a b a b ab ab ab+++===++=+． 所以11a b +的最大值为2- 故选：B ． 【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．A解析：A 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A. 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题. 二、填空题13．【分析】根据不等式的解集可得为对应方程的根分析两个不等式对应方程的根即可得解【详解】由于满足即可得所以所以方程的两根分别为而可化为即所以方程的两根分别为且不等式的解集为所以解得则因此故答案为：【点睛 解析：27【分析】根据不等式的解集可得2、3、6为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解. 【详解】由于6x =满足()060f ≤≤，即()63660f a b =++=，可得636b a =--， 所以，()()()263666f x x ax a x x a =+--=-++，所以，方程()0f x =的两根分别为6、6a --，而()6f x x ≤-+可化为()()21670x a x a ++-+≤，即()()670x x a -++≤，所以，方程()6f x x =-+的两根分别为6、7a --，76a a --<--，且不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，所以，6372a a --=⎧⎨--=⎩，解得9a =-，则18b =，因此，27b a -=.故答案为：27. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解2、3、6分别为方程()()660x x a -++=、()()670x x a -++=的根，而两方程含有公共根6，进而可得出关于实数a 的等式，即可求解.14．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-【分析】 由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】 函数4()f x x x =-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．15．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】 关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.16．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由可得则当且仅当时即等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值时要注意其满足的三个条件：一正二定三相等：（1）一正：就是各项必须为正数 解析：3【分析】 化简得到111111x x x x +=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由1x >，可得10x ->，则11111311x x x x +=-++≥=--， 当且仅当111x x -=-时，即2x =等号成立， 所以11x x +-的最小值为3. 故答案为：3.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公解析：4+【分析】2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简13133()()4b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >2a 与2b 的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当3b a a b =时，即a b ==所以13a b+的最小值是4+.故答案为：4+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.18．【分析】先求得函数的图象恒过定点代入直线的方程得到再结合基本不等式即可求解【详解】由题意函数可得函数的图象恒过定点又由点在直线上可得则又因为则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】本 解析：8【分析】先求得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，代入直线的方程，得到21m n +=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()21(2)1f x ax a a x =+-=+-，可得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，又由点(2,1)A --在直线10mx ny ++=上，可得210m n --+=，则21m n +=， 又因为0m n ⋅>，则0m n>，所以12124()(2)448n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当122n m ==时，等号成立， 因此，12m n+的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】本题主要利用基本不等式求最值问题，同时考查函数的图象过定点问题的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数（1）如果则由得不成立；（2）若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立；（3）解析：1+【分析】按,,x y z 的正负分类讨论，由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数，然后分全正，一负，二负，然后利用基本不等式可得结论．【详解】首先,,x y z 至少有一个正数，（1）如果0,0,0x y z ≥≥≥，则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈，2222736x y z ++<<，不成立；（2）若,,x y z 中只有一个负数，不妨设0,0,0x y z ≥≥<，则3z x y -=+-，22()6()9z x y x y =+-++，又2222()36()362x y z x y +=-+≤-， ∴2()6()9x y x y +-++2()362x y +≤-，即2()4()180x y x y +-+-≤，2x y +≤2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+12x y ==+，1z =时等号成立；（3）若,,x y z 中有两个负数，不妨设0,0,0x y z ≥<<，则3y z x --=-，2222()362y z y z x ++=-≥， ∴22(3)362x x --≥，整理得22210x x --≤，01x ≤≤+231x y z x y z x ++=--=-≤+1x =+12y z ==-时等号成立；综上所述，x y z ++的最大值是1+故答案为：1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后利用基本不等式．20．4【分析】根据1的变形运用均值不等式即可求解【详解】且当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的灵活运用属于中档题解析：4.【分析】根据“1”的变形，运用均值不等式即可求解.【详解】0a >，0b >，且22a b +=,1(2)12a b ∴+= ()211211422222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1442b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1442⎛≥+= ⎝ 当且仅当4b a a b=，即21a b ==时，等号成立． 故答案为：4【点睛】 本题主要考查了基本不等式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）化简后利用基本不等式证明即可；（2）利用作差法，()()552332a ba b a b +-+变形为()()()222a b a b a ab b +-++，然后判断符号可得结果【详解】 （1）)(4949494913y x y x x y x y x y xy ⎛⎛⎫⎫++=+++=++ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝， 又因为0x >，0y >，所以40y x>，90x y >，由基本不等式得，4912y x x y +≥=，当且仅当49y x x y =时，取等号， 即23y x =时取等号，所以)(4925x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎭⎝. （2）()()552332a ba b a b +-+()()532523a a b b a b =-+- ()()322322a a b b b a =-+-()()2233a b a b =--()()()222a b a b a ab b =+-++ 因为a ，b 都是正数，所以0a b +>，220a ab b ++>又a b ≠，所以()20a b ->，所以()()()2220a b a b a ab b +-++>， 所以()()5523320a ba b a b +-+>，即552332a b a b a b +>+.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方22．无23．无24．无25．无26．无。
上海市曹杨中学2025届学业水平考试数学试题模拟题卷
上海市曹杨中学2025届学业水平考试数学试题模拟题卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=3．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A 2B ．2C 3D ．34．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N5．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-8．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．139．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2 10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-12．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市曹杨中学2022-2023学年高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为 ，
因此，秒针的端点所走的路线长 .
故选：C.
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】取 的中点 ，连接 和 ，由二面角的定义得出 ，可得出 、 、 的值，由此可计算出 和 的面积，然后利用三棱锥 的体积三棱锥 的体积相等，计算出点 到平面 的距离.
（2）由（1）求出 ， ，再由两角差的正切公式，即可求出结果.
【详解】（1） ， 为锐角，且 ， ，则 ，
， ，
， ；
（2）由（1） ，所以 ，则 ，
又 ， ， ；
.
18、（1）0（2）1
【解析】（1）由诱导公式化简计算；
（2）由诱导公式化简即可得解
【小问1详解】
；
【小问2详解】
19、（1） ；（2）112.7万只；（3）16个月.
【详解】取 的中点 ，连接 和 ，根据二面角的定义， .
由题意得 ，所以 ， .
设 到平面 的距离为 ，易知三棱锥 的体积三棱锥 的体积相等，
即 ，解得 ，故点C到平面 的距离为 .
故选C.
【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
本题选择C选项.
点睛：直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.
10、B
【解析】先根据 为第三象限角，可知 ，再根据平方关系，利用 ，可求 的值
上海曹杨中学附属学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(有答案解析)
一、选择题1．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ）A ．9B ．3C ．1D ．62．已知333222,,,,a b c R A a b c B a b b c c a +∈=++=++，则A 与B 的大小关系为（ ） A ．A B ≥ B ．A B ≤ C ．A B = D ．A 与B 的大小不确定3．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥ 4．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++5．已知，则的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．6．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．37．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9 B ．3 C ．1 D ．278．设m,n 为正整数,m>1,n>1,且log 3m·log 3n≥4,则m+n 的最小值为( )A ．15B ．16C ．17D ．189．若5x 1+6x 2-7x 3+4x 4=1,则222212343x 2x 5x x +++的最小值是（ ） A ．78215B ．15782C ．3D ．25310．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4711．若a ，b R +∈，且1a b +=A ．2+B ．C ．3D12．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47二、填空题13．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______. 14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________.15．函数y =______.16．已知M =M 的最大值为___．17．函数()f x =___________. 18．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____ 19．y=log sin x (x 3+2x 2+x)的定义域是_____.20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．若,,a b c 为正实数，且满足231a b c ++=. （1）求abc 的最大值；（2）证明1. 22．已知函数222()23n nf x x x +=-+，(其中*n N ∈). （1）求()f x 的最小值()g n ；（2）当4n ≥，*n N ∈时，试比较()g n 与2(2)22n n n -⋅+的大小，并证明你的结论. 23．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明： （Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++ 24．已知函数()|23||23|.f x x x =-++（1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.25．设函数()()222,f x x a x b a b R =-++∈.（1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 26．已知()211f x x x =++-. （1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】解：由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故选：B. 【点睛】考查柯西不等式求最值，基础题.2．A解析：A 【解析】试题分析：取两组数：,,a b c 与222,,a b c ，显然333a b c ++是顺序和，222a b b c c a ++是乱序和，所以333222a b c a b b c c a ++≥++，即A B ≥，故选A ． 考点：排序不等式．3．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.4．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++， 当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项， 故选：B ． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳） 在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．5．D解析：D 【分析】由条件利用柯西不等式得，，由此求得的最小值．【详解】 解：因为，根据柯西不等式，可得， ，故，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以选D ． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的简单应用．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
上海曹杨第二中学附属学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（ ）A ．324a b +≤B ．21332213a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．273．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．64．y=x 21-x +的最大值是 （ ） A ．1B ．2C ．2D ．4 5．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( ) A ．22B ．4C ．12D ．66．若a ，b R +∈，且1a b +=，则2214a b +++的最小值为 A ．22+B ．22C ．3D ．107．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n8．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=（ ）A ．14B ．13C ．12D ．349．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +10．函数()212(0)f x x x x=+>的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．611．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．3412．用反证法证明：“”，应假设（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量1a =，2b =，则2a b a b ++-的取值范围为______． 14．函数4337y x x =-+-的最大值为________．15．设向量(,)a b α=，(,)c d β=，其中a ，b ，c ，d R ∈，由不等式||||||⋅≤αβαβ恒成立，可以证明柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++（当且仅当k αβ=，即ad bc =时等号成立）．已知x ，y R +∈，若3x y k x y +<+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围为________________． 16．函数321452y x x =-+-的最大值为__________． 17．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________．18．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,则2a b c ++的最大值为_________ 19．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是___． 20．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．三、解答题21．已知x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z ++=． 证明：（1）1111263xy yz xz++≤； （2）222499x y z ++≥． 22．已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥.23．已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++. 24．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围. 25．已知,,a b c ∈R ，且2221a b c ++=. （1）求2a b c ++的最大值；（2）若21a b c ++=，证明：213c -≤≤． 26．已知实数a ，b ，c 均为正数. （1）若2a b >，求22(2)a b a b +-的最小值；（2）若2225a b c ++=，证明：5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．B解析：B 【分析】利用柯西不等式22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（求解. 【详解】由题得22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（， 所以2943),4x y z ⋅≥++（所以-3≤x+y+3z≤3.所以+3x y z +的最大值为3. 故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.4．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-， 又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 7．C解析：C 【解析】 由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C. 8．C解析：C 【解析】 由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立，2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立 111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++ 故答案选C9．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.10．A解析：A【解析】 由题意得，因为0x >，则221123y x x x x x =+=++≥=， 当且仅当211x x x=⇒=时等号成立的，所以函数的最小值为3，故选A. 11．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．12．B解析：B 【解析】试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设考点：反证法二、填空题13．【分析】首先根据绝对值三角不等式求最小值然后利用数量积求利用柯西不等式求最大值【详解】当与同向时等号成立当与同向即与同向时确定最小值3当时等号成立上式等号成立的条件是解得当与的夹角为时取得最大值原式 解析：333z ≤≤【分析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求()()222254cos 88cos a b a b a b a b θθ++-=++-=+-，利用柯西不等式求最大值. 【详解】a b a b +≥+ 当a 与b 同向时，等号成立，()()2233a b a b a b a b a ∴++-≥++-==，当a b +与2a b -同向，即a 与b 同向时，确定最小值3，()()222254cos 88cos a b a b a b a b θθ++-=++-=+-()()2222ac bd ab c d +≤++，当ad bc =时等号成立，上式()()154cos 244cos 1254cos 44cos 33θθθθ=+-+++-，解得1cos 2θ=-， 0θπ≤≤ ，23θπ∴=，当a 与b 的夹角为23π时取得最大值∴原式的最大值是3z ∴≤≤【点睛】本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式a b a b +≤+既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.14．10【分析】直接利用柯西不等式求解即可【详解】由柯西不等式有当且仅当时取等号即函数y ＝43的最大值为10故答案为：10【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用考查运算求解能力属于基础题解析：10 【分析】直接利用柯西不等式求解即可． 【详解】由柯西不等式有，10≤==，当且仅当=”时取等号，即函数y ＝的最大值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．15．【解析】因为所以所以因为恒成立所以故实数的取值范围为解析：)+∞【解析】因为()()()22222a bcdac bd ++≥+，所以()()22213x y ≤++，所以≤x ，y R +∈恒成立，所以k >．故实数k 的取值范围为)+∞．16．10【解析】由柯西不等式可得当且仅当时等号成立解析：10 【解析】由柯西不等式可得=()()21525102x x -+-≤⨯=，当且仅当321522x x x -=-⇒=时，等号成立.17．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64 【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．考点：柯西不等式．18．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题 解析：102【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值. 【详解】 由柯西不等式得()()()2222222141111422a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()25422a b c a b c ++≥++，即1022a b c ++≤.【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．【解析】试题分析：由柯西不等式式易知所以即是故应填入考点：1复数的概念；2虚数的定义；3纯虚数的定义解析：．【解析】试题分析：由柯西不等式式易知()()()222222212323a b ca b c ++++≥++，所以23914a b c ++⨯23314a b c ++≤314考点：1．复数的概念；2．虚数的定义；3．纯虚数的定义．20．【解析】根据柯西不等式得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时上式的等号成立∵x2+y2+z2=1∴（x+2y+3z ）2≤14结合可得x+ 解析：【解析】根据柯西不等式，得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x 2+y 2+z 2）=14（x 2+y 2+z 2） 当且仅当时，上式的等号成立∵x 2+y 2+z 2=1，∴（x+2y+3z ）2≤14， 结合，可得x+2y+3z 恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥三式相加，结合题设条件，即可求解；（2）由乘“1”法，结合柯西不等式证明，即可证明. 【详解】（1）由基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥， 所以22211111224933x y z xy yz xz ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭． 当且仅当11123x y z==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz ++≥++，又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz++≤． （2）由题意知222111149x y z++=， 可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=．当且仅当23x y z ==时等号成立，所以222499x y z ++≥．【点睛】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理运用均值不等式和柯西不等式是解答的关键，属于中档题．22．（1）()(),04,-∞+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）分0x <，03x <≤，3x >三类解不等式，再求并集即可；（2）根据三角不等式得3M =，再利用三维形式的柯西不等式证明即可.【详解】∵f （x ）＝|x |+|x ﹣3|，∴当x ＜0时，()5x f x x ＞等价于|x |+|x ﹣3|＞﹣5，该不等式恒成立； 当0＜x ≤3时，()5x f x x ＞等价于3＞5，该不等式不成立； 当x ＞3时，()5x f x x ＞等价于3235x x ⎧⎨-⎩＞＞，解得x ＞4， ∴不等式()5|x f x x＞的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）． （2）证明：∵f （x ）＝|x |+|x ﹣3|≥|x ﹣（x ﹣3）|＝3，当且仅当0≤x ≤3时取等号，∴M ＝3，a +2b +2c ＝3，由柯西不等式，可得9＝（a +2b +2c ）2≤（12+22+22）（a 2+b 2+c 2）＝9（a 2+b 2+c 2）， 当且仅当111366a b c ===，，时等号成立， ∴2221a b c ++≥．【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，利用柯西不等式证明不等式，考查数学运算能力，是中档题.23．（1）[]4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角不等式求得12x x --+的最大值，进而可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围；（2）由已知条件得出222a b c ++=，然后利用柯西不等式可证得所证不等式成立.【详解】（1）由三角不等式可得()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时，等号成立.若不等式121x x m --+≥+有解，则满足13m +≤，解得42m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,2-；（2）由（1）知2M =，故正数a 、b 、c 满足222a b c ++=，()()()33134194433a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++⎛⎫∴++=++ ⎪++++++⎝⎭294≥=. 当且仅当2222c a a b b c a b c +⎧+=+=⎪⎨⎪++=⎩时，即当23023a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩时，等号成立， 因此，1349a b b c c a++≥+++. 【点睛】本题考查利用含绝对值不等式有解求参数，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式成立，解题的关键在于对代数式进行合理地配凑，考查计算能力是，属于中等题. 24．1205a ≤≤【分析】 由题意可得222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++，结合柯西不等式即可得到2226(3)3a a -≥-，解一元二次不等式即可． 【详解】解：∵222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++2222()(3)33b c a +=-≥， 即25120a a -≤， ∴1205a ≤≤． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属于中档题．25．（1（2）证明见解析【分析】（1）对2a b c ++作平方,可得2(2)a b c ++=2224424a b c ab ac bc +++++,进而利用均值不等式求解即可；（2）利用柯西不等式可得2222()(12)(2)a b a b ++≥+,由2221a b c ++=,21a b c ++=可得2221a b c +=-,21a b c +=-,则225(1)(1)c c -≥-,进而求解即可.【详解】（1）解:2(2)a b c ++=2224424a b c ab ac bc +++++222222222(4)(4)()(4)a b c a b a c b c ≤++++++++222(66)a b c ++==,当且仅当22a b c ==,即a c b ===时等号成立,所以2a b c ++（2）证明:因为2221a b c ++=,21a b c ++=,所以2221a b c +=-,21a b c +=-,2222()(12)(2)a b a b ++≥+,当且仅当2a b =时等号成立,则有225(1)(1)c c -≥-,即2320c c --≤, 故213c -≤≤. 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,考查利用柯西不等式证明不等关系.26．（1）8；（2）证明见解析.【分析】（1）构造基本不等式24(2)2(2)b a b b a b =--，a ≥24162(2)b a b a≥-，对原式再次运用基本不等式即可得结果；（2）由题意可得512b c a a +-=≥，同理可得其余两式，相乘即得结果. 【详解】（1）解：2224(2)2(2)a ab a b b a b +=+--，又2(2)a b a b =+-≥故24162(2)b a b a ≥-，22241682(2)a a b a b a +≥+≥=-， 当且仅当2a =，12b =时等号成立，故22(2)a b a b +-的最小值为8. （2）证明：由2225a b c ++=，得512b c a a a+-=≥（当且仅当b c =时取等号），①512a c b b +-=≥（当且仅当a c =时取等号），②512a b c c c+-=≥（当且仅当a b =时取等号），③ 又因为实数a ，b ，c 均为正数，由①⨯②⨯③，得5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当56a b c ===时取等号）， 故5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得证. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，在证明不等式中的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于中档题.。
上海曹杨二中附属江桥实验中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典测试卷(含解析)
一、选择题1．已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ≥3C ．a ＞3D ．a ≤32．已知关于x 的不等式组3x 05m x +⎧⎨-⎩＜＞的所有整数解的和为-9，则m 的取值范围（ ）A ．3≤m ＜6B ．4≤m ＜8C ．3≤m ＜6或-6≤m ＜-3D ．3≤m ＜6或-8≤m＜-43．不等式()2533x x ->-的解集为（ ） A ．4x <-B ．4x >C ．4x <D ．4x >-4．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂,A B 两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排,A B 两种货厢的节数，有几种运输方案（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5．不等式组23x x ≥-⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个6．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ） A ．33a b ->- B ．33a b ->- C ．33a b> D ．22a b -+<-+8．如果不等式组5x x m <⎧⎨>⎩有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞5B ．m≥5C ．m ＜5D ．m≤89．不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A ．2x 10-> B ．12-< C ．3x 2y 1-≤- D ．2y 35+> 11．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．11a b -<-B ．33a b <C ．a b ->-D ．ac bc <12．若0a <，则关于x 的不等式221ax x -<+的解集为（ ） A ．32x a <- B ．32x a >- C ．32x a>- D ．32x a<- 13．若m n <，则下列各式中正确的是（ ） A ．33m n +>+B ．33m n ->-C ．33m n ->-D ．33m n > 14．小圆想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分为4组，第n 组有n x 首，1,2,3,4n =；②对于第n 组诗词，第n 天背诵第一遍，第(1)n +天背诵第二遍，第(3)n +天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1,2,3,4n =； ③每天最多背诵8首，最少背诵2首，第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天第1组 1x 1x1x第2组 2x2x2x第3组 3x3x3x第4组4x4x4xA ．10首B ．11首C ．12首D ．13首15．下列命题是假命题的是（ ）．A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行B ．在实数7.5-15327-，π-，22中，有3个有理数，2个无理数C ．在平面直角坐标系中，点(21,7)P a a -+在x 轴上，则点P 的坐标为(7,0)-D ．不等式组513(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和为7二、填空题16．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A 、B 、C 三类糖果．已知一班分别购买 A 、B 、C 三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A 、B 、C 三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A 与C 单价差大于25元．则三班分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元． 17．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是______________（任写一个）．18．已知关于x ，y 的方程组4375x y mx y m +=⎧⎨-=-⎩的解满足不等式2x+y>8，则m 的值是_____．19．若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则整数解是________，m 的取值范围是________．20．小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是13x -<■，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是2x >，则被污染的数是__________．21．已知点N 的坐标为()8a a -，，则点N 一定不在第____象限22．关于x 的不等式组0821x m x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则m 的取值范围是______．23．不等式组210360x x ->⎧⎨-<⎩的解集为_______．24．若关于x 的不等式2310a x -->的最大整数解为2-，则实数a 的取值范围是_________．25．关于x 的不等式组460930x x ->⎧⎨-≥⎩的所有整数解的积是__________．26．不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解的和是_____________三、解答题27．某电器超市销售A 、B 两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：（2）若A 、B 两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，且费用不多于5400元． ①最多能采购A 种型号的电风扇多少台？②设超市销售完这30台电风扇所获得的利润为W 元，试问利润能否达到1400元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．28．定义一种新运算“a b ⊗”的含义为：当a b ≥时，a b a b ⊗=+；当a b <时，a b a b ⊗=-．例如：32325⊗=+=，()()22224-⊗=--=-．（1）填空：()21-⊗=________；（2）如果()()3x 732x 2-⊗-=，求x 的值．29．受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元. （1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调0.7%a 出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的56，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了1%10a ，求a 的最大值. 30．解下列不等式：（1）()()212531x x -+<-+（2）解不等式组 ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩。
上海曹杨中学附属学校七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》知识点复习(含答案)
一、选择题1．若a b >，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．a c b c ->-B ．22ac ab >C ．c a c b -<-D ．a c b c +>+2．已知实数a 、b ，下列命题结论正确的是（ ） A ．若a b >，则 22a b > B ．若a b >，则22a b > C ．若a b >，则22a b > D ．若33a b >，则22a b >3．下列各式中正确的是（ ） A ．若a b >，则11a b -<- B ．若a b >，则22a b > C ．若a b >，且0c ≠，则ac bc >D ．若||||a b c c >，则a b > 4．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．不等式组3114x x +>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（ ）A ．5B ．0C ．-1D ．-26．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若|65|56x x -=-，则x 的取值范围是（ ） A ．56x >B ．56x <C ．56x ≥D ．56x ≤8．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ） A ．11a b -<- B ．33a b < C ．a b ->- D ．ac bc < 9．如果点P(m ，1m -)在第四象限，则m 的取值范围是（ ） A ．0m > B ．01m << C ．1m < D ．1m 10．若关于x 的一元一次方程x −m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤211．不等式组36030x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x ”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么x 的取值范围是（ ）A ．822x <B ．822x <C ．864x <≤D ．2264x <≤13．若不等式组11x x m->⎧⎨<⎩无解，那么m 的取值范围是（ ）A ．2m >B ．2m <C ．2m ≥D ．2m ≤14．在数轴上，点A 2，现将点A 沿数轴做如下移动，第一次点A 向左移动4个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动8个单位到达点2A ，第三次将点2A 向左移动12个单位到达点3A ，第四次将点3A 向右移动16个单位长度到达点4A ，按照这种规律下去，第n 次移动到点n A ，如果点n A 与原点的距离不少于18，那么n 的最小值是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1015．若关于x?的不等式组2x 1x 3x a+<-⎧⎨>⎩无解，则实数 a?的取值范围是（ ）A ．a 4<-B ．a 4=-C ．a 4?≥-D ． a 4>-二、填空题16．关于x 的不等式组x 5x a≤⎧⎨>⎩无解，则a 的取值范围是________. 17．为了方便同学们进行丰富阅读，南开中学图书馆订购了A ，B ，C 三类新书，共900本，其中A 类数量是B 类数量的4倍，C 类数量不超过A 类数量的5528倍，且A 类数量不超过400本．新书开始借阅后，深受同学欢迎，图书管理员提供了两种方案来增订这三类书若干本（两种方案增订的图书总量相同），方案一：按2:3:5的比例增订A ，B ，C 三类书；方案二：按4:1:5的比例增订A ，B ，C 三类书，经计算，若按方案一增订，则增订后A ，B 两类书总数量之比为7:2，那么按方案二增订时，增订后A ，C 两类书总数量之比为______．18．随着中秋节的逐渐临近，红梅超市计划购进甜味型、咸味型、麻辣味型三种共50盒月饼，其中咸味型月饼数量不超过甜味型月饼数量，且咸味型月饼数量不少于麻辣味型月饼数量的一半．已知甜味型月饼每盒60元，咸味型月饼每盒80元，麻辣味型月饼每盒100元．在价格不变的条件下，小王实际购进甜味型月饼是计划的56倍，麻辣味型月饼购进了12盒，结果小王实际购进三种月饼共35盒，且比原计划少支付1240元，则小王原计划购进甜味型月饼_____盒． 19．已知不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围为__．20．对任意四个整数a 、b 、c 、d 定义新运算：a b c dad bc =-，若1＜2 4 1x x -＜12，则x 的取值范围是____．21．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]4.84=，[]0.81-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{}[]1.5 1.5 1.50.5=-=，则{}{}{}3.9 1.81+--=________．22．已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数，求a 的取值范围是_______．23．若关于x 、y 的二元一次方程组23242x y ax y a+=-⎧⎨+=+⎩的解满足1x y +<，则a 的取值范围为________．24．关于x 的不等式组0821x m x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则m 的取值范围是______．25．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元．经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折，若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘_____个．26．不等式组12153114xx -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩的所有正整数解为_____．三、解答题27．解不等式组32,121.25x x x x <+⎧⎪⎨++≥⎪⎩①②并把解集在数轴上表示出来．28．解不等式组：365(2)543123x x x x +-⎧⎪--⎨-<⎪⎩，并求出最小整数解与最大整数解的和．29．为了积极争创“天府旅游名县”，鼓励全民参与健身运动，2019年12月29日，广汉市在城北全民健身中心举行了“2019年广汉市三星堆迷你马拉松（10公里）”比赛．组委会为了奖励活动中取得了好成绩的参赛选手，计划购买一批纪念品发放．已知甲、乙两商场以同样价格出售同样的纪念品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买该纪念品超过1000元后，超出1000元的部分按90%收费；在乙商场累计购买该纪念品超过500元后，超出500元的部分按95%收费，组委会到哪家商场购买花费少？ 30．解不等式，并把解表示在数轴上．417366x x +≥-。
上海曹杨二中高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(有答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD2．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥ 3．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零4．函数y 的最大值是( )ABC ．3D ．55．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数：①1()f x x x=+（0x >）;②()ln f x x =（0x e <<）;③()cos f x x =;④2()1f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e e +的最大值为（ ） A．3BC．D．7．函数y＝的最大值为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．128．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>；()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②33a b c abc ++≥，③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则++a b c 的最大值是（ ） A ．2B ．32C ．3D ．5311．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设,,a b c 为正实数，则a b c b c c a a b+++++的最小值为________. 14．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++ (n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________.15．对一切自然数*n N ∈，猜出使2n t n >成立的最小自然数t =_______. 16．已知向量1a =，2b =，则2a b a b ++-的取值范围为______．17．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________. 18．已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 19．已知238x y z ++=，则222x y z ++取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.20．设、、，，试求的最大值_________.三、解答题21．已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4． （1）求a b c ++的值； （2）求2221149a b c ++的最小值． 22．已知无穷数列{}n a 满足：00a =，()*101n n a a n N -≤<-∈．（Ⅰ）证明：0n a n <≤；（Ⅱ）证明：()3312212a a a a ≤++；（Ⅲ）证明：()33312122n n a a a a a a ++++++≤……．23．已知a ，b ，c 均为正数，设函数f （x ）＝|x ﹣b |﹣|x +c |+a ，x ∈R ． （1）若a ＝2b ＝2c ＝2，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若函数f （x ）的最大值为1，证明：14936a b c++≥． 24．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|2x ﹣2|的最大值为M ，正实数a ，b 满足a +b ＝M ． （1）求2a 2+b 2的最小值； （2）求证：a a b b ≥ab ．25．已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c =+-++的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥； （2）111122ab bc ac++≤. 26．已知()211f x x x =++-. （1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.由柯西不等式()()()22222mx ny m nxy ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ， 所以mx ny +故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C.本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.3．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.4．B解析：B 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为y ===，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．B解析：B 【分析】由柯西不等式得：对任意实数1122,,,x y x y , 12120x x y y +-≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得1212,x kx y ky 取等号）,若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y 使得,OA OB 共线,即存在点A 、B 与点O 共线逐一判定即可. 【详解】解:由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ：2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得12x kx =,12y ky =取等号）,又函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0, 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA 、OB 共线, 即存在点A 、B 与点O 共线;设AB 的方程为y kx =,对于①,由于y kx =（0x >）与1()f x x x=+只有一个交点,所 以①不是柯西函数;对于②,由于y kx =与()ln f x x =（0x e <<）最多只有一个交点,所以②不是柯西函数; 对于③,取(0,0)A ,点B 任意,均满足定义,所以③是柯西函数; 对于④,取(1,0)A -,(1,0)B ,均满足定义,所以④是柯西函数. 故选:B 【点睛】本题考查了柯西不等式的新定义,关键是弄清楚新定义的含义,属于中档题.6．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得22222121211(11(11)([()]e e ⨯+≤++,即121e ≤=当且仅当1211e =即1e =2e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.7．C解析：C 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =，(3,b x =-，然后进行求解即可 【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a=，(3,b x =-，则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当a b 时，即0=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题8．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可.【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么33a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b cd ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.10．C解析：C 【解析】试题分析：()()()22221111113a b ca b c ⨯+⨯+⨯≤++++=，因此，3a b c ++≤，当且仅当111a b c ==，即13a b c ===时取等号，故选C ． 考点：柯西不等式．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为31(3)(1)4x x x x ++-≥+--=，则要使不等式2313x x a a ++-<-有解，则有243a a <-，解得1a <-或4a >，故选A ．考点：1、绝对值不等式的性质；2、不等式的解法．12．C解析：C 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。
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高三数学练习卷……不等式（1）姓名 班级 学号试卷编制：曹杨中学高三备课组一、填空题（将正确答案直接填写在题中横线上）1. 集合}3|{≥=x x A ，}|{a x x B <=，若φ≠B A ,则实数a 的取值范围是 。
2. 不等式652>+-x x 的解集为 。
3. 函数xx y -+=11的定义域为 。
4. 若0>a ，当且仅当=a 时，不等式2212≥+aa 的等号成立。
5. 若θcos 21=--x x （20πθ≤<），则实数x 的取值范围是 。
6. 若集合}11|{<<-=x x A ，4221|{<<=xx B ，}Z x ∈,则A B = .7. 若关于x 不等式0>-b ax 解集为(1, +∞)， 则不等式02>+-bax x 的解集为 。
8. 不等式0)1)(2|(|≥--x x 的解集为 。
9. 若函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是 。
10.若关于x 的不等式()2230x a a x a -++>的解集为()()2,,a a -∞+∞ ，则实数a 的取值范围是 。
11.若对任意(1,1)x ∈-，不等式20kx x k -+<恒成立，则实数k 的最大值为 。
12.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.13.若关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 .14.若0>x ，*N n ∈,不等式21≥+xx ，34≥+xx ，…于是猜测1+≥+n xa x 成立，则正数=a 。
二、选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项的代号填入题后的括号内） 15. 若b a >>0，且0<+b a ，给出不等式：①a b >，②a b <，③11a b>，④11ab<中。
正确的是………………………………………………………………………………………………………（ ） A 、② B 、②③ C 、②和④ D 、①和④16.已知集合{{}2,220,A x y B x x ax a ===-++≤，若A B A = ,则实数a 的取值围 ……………………………………………………………………………………………………………（ ） A 、(-1,2) B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-718,1 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛-718,117.已知不等式1()()9a x y xy++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为…………………（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8 18.2≥x R ∈），当123c =、、时，对任意x R ∈都成立。
下列结论正确的是（ ） A 若c N ∈，则对任意x R ∈，不等式都成立 B 存在有限多个c N ∈，使不等式对任意x R ∈都成立 C 若[1,)c ∈+∞，则对任意x R ∈，不等式都成立 D 若(0,)c ∈+∞，则对任意x R ∈，不等式都成立 三、解答题（解答本题需写出必要的步骤）19.解下列不等式：（1）1|3lg 2|<-x （2）)102(log )43(log 31231+>--x x x20.已知⎩⎨⎧≤-≤--2||0322a x x x ，（1）当10<<a 时，求不等式组的解；（2）若x 的取值范围构成的集合为空集，求实数a 的取值范围.21.已知3322,,,a ba b R a b a bb a+∈≠+>+并且求证:22.设函数)2lg()(2--=xxxf的定义域为集合A，函数()g x=的定义域为集合B．已知α：x A B∈ ，β：x满足20x p+<，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围.23. 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长的造价为40元，两侧墙砌砖，每米长的造价为45元，顶部每平方米的造价20元，求：（1）仓库面积S的最大值？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，正面铁栅的设计长度为多少？高三数学练习卷……不等式（1）姓名 班级 学号试卷编制：曹杨中学高三备课组一、填空题（将正确答案直接填写在题中横线上）1. 集合}3|{≥=x x A ，}|{a x x B <=，若φ≠B A ,则实数a 的取值范围是3>a 。
2. 不等式652>+-x x 的解集为)3,2(3. 函数xx y -+=11的定义域为)1,1[-。
4. 若0>a ，当且仅当=a 22时，不等式2212≥+aa 的等号成立。
5. 若θcos 21=--x x （20πθ≤<），则实数x 的取值范围是1≤x 。
6. 若集合}11|{<<-=x x A ，4221|{<<=xx B ，}Z x ∈,则A B = }0{.7. 若关于x 不等式0>-b ax 解集为(1, +∞)， 则不等式02>+-bax x 的解集为),2()1,(+∞--∞8. 不等式0)1)(2|(|≥--x x 的解集为),2[]1,2[+∞-9. 若函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是]1,1[-10.若关于x 的不等式()2230x a a x a -++>的解集为()()2,,a a -∞+∞ ，则实数a 的取值范围是)1,0[。
11.若对任意(1,1)x ∈-，不等式20kx x k -+<恒成立，则实数k 的最大值为21-12.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站___5_______公里处.13.若关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是)2,4[--.14.若0>x ，*N n ∈,不等式21≥+xx ，34≥+xx ，…于是猜测1+≥+n xa x 成立，则正数=a nn 。
二、选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项的代号填入题后的括号内） 15. 若b a >>0，且0<+b a ，给出不等式：①a b >，②a b <，③11a b>，④11ab<中。
正确的是………………………………………………………………………………………………………（ B ） A 、② B 、②③ C 、②和④ D 、①和④16.已知集合{{}2,220,A x y B x x ax a ===-++≤，若A B A = ,则实数a 的取值围 ……………………………………………………………………………………………………………（ D ） A 、(-1,2) B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-718,1 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛-718,1 17.已知不等式1()()9a x y xy++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为………………（ B ）A 、2B 、4C 、6D 、8 18.2≥x R ∈），当123c =、、时，对任意x R ∈都成立。
下列结论正确的是（ C ） A 若c N ∈，则对任意x R ∈，不等式都成立 B 存在有限多个c N ∈，使不等式对任意x R ∈都成立 C 若[1,)c ∈+∞，则对任意x R ∈，不等式都成立 D 若(0,)c ∈+∞，则对任意x R ∈，不等式都成立 三、解答题（解答本题需写出必要的步骤）19.解下列不等式：（1）1|3lg 2|<-x （2）)102(log )43(log 31231+>--x x x19、解（1）原不等式13lg 21<-<-⇔x 4lg 22<<⇔x 2lg 1<<⇔x 10010<<⇔x所以原不等式的解集为I )100,10(。
（2）原不等式⎪⎩⎪⎨⎧<<-->>-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+<-->+>--⇔7254110243010204322x x orx x x x x x x x ∈⇒x )7,4()1,2( -- 所以原不等式的解集为)7,4()1,2( --20.已知⎩⎨⎧≤-≤--2||0322a x x x ，（1）当10<<a 时，求不等式组的解；（2）若x 的取值范围构成的集合为空集，求实数a 的取值范围. 20．解：（1）0322≤--x x 得31≤≤-x ， 由2||≤-a x 得22+≤≤-a x a ，∵10<<a ，∴21+≤≤-a x .（2）由已知，32>-a 或12-<+a ，即5>a或3-<a .21.已知0>a ，0>b 且b a ≠，求证：b a ab ba +>+232321.证明：a bb aa b a bb b aa 32323232+-+=-+-()()()222)())((ab bab a b a b a ++-+=因为0>a ，0>b 且b a ≠，所以,0>+b a 0)(222>++ab bab a所以222)())((ab bab a b a b a ++-+0>即不等式b a ab ba +>+2323成立22.设函数)2lg()(2--=x x x f 的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知α：x A B ∈ ，β：x 满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围.22.解：由022>--x x 得12-<>orx x ，所以),2()1,(+∞--∞= A ；由013≥-x得03≤-xx ，得30≤<x ，所以]3,0(=B]3,2(=B A ，令}2|{p x x C -<=，因为α是β的充分条件，所以C B A ⊆则32>-p ，解得6-<p ，所以实数p 的取值范围(),6-∞-23. 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长的造价为40元，两侧墙砌砖，每米长的造价为45元，顶部每平方米的造价20元，求： （1）仓库面积S 的最大值？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，正面铁栅的设计长度为多少？ 22.解：（1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意得顶部面积为xy S =32002045240=+⨯+xy y x xy xy xy y x 2012020904023200+=+⋅≥S S 20120+=，01606≤-+∴S S ，即0)6)(10(≤+-S S ，解得100≤S（2）由（1）当S 100=平方米时，y x 9040=且100=xy ，解得15=x ，即铁栅的长是15米。