高中数学 第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面检测 新人教A版必修2

2.1.1 平面
A级基础巩固
一、选择题
1．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：A中图形没有画出两平面的交线，故不正确；B，C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画，也不正确．
答案：D
2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )
A．0 B．1
C．1或4 D．无法确定
解析：若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是4，故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4.故选C.
答案：C
3．下列图形中，不一定是平面图形的是( )
A．三角形B．菱形
C．梯形D．四边相等的四边形
解析：三角形有两条相交直线，梯形和菱形中都有两条平行直线，所以它们均为平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形．
答案：D
4．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则 ( )
A．l⊂αB．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：因为M∈l，N∈l，且M∈α，N∈α，所以l⊂α.
答案：A
5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C 三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．
答案：D
二、填空题
6．设平面α与平面β交于直线l，A∈Q，B∈β.且AB∩l＝C，则AB∩β＝________．解析：因为A∈α，B∈α，AB∩l＝C，所以C∈AB，又因为C∈l，l⊂β，所以C∈β，所以AB∩β＝C.
答案：C
7．下列命题中，不正确的是________(填序号)．
①一直线与两平行直线都相交，那么这三条直线共面；
②三条两两垂直的直线共面；
③两两相交直线上的三个点确定一个平面；
④每两条都相交但不共点的四线共面．
解析：三条两两垂直的直线最多可确定三个平面，故②错误；两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面，故③错误；①④正确．
答案：②③
8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么Q在直线________上．
解析：若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q ∈AC.
答案：AC
三、解答题
9．如图所示，已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝M，BC∩α＝N，AC ∩α＝P.求证：M，N，P三点共线．
证明：因为AB∩α＝M，所以M∈AB，M∈α.
又因为AB⊂平面ABC，所以M∈平面ABC.
所以点M 是平面ABC 与α的公共点．
所以点M 在平面ABC 与α的交线上．
同理可证，点N ，P 也在平面ABC 与α的交线上．
所以M ，N ，P 三点共线．
10.如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23
，求证：直线EF ，GH ，AC 交于一点．
证明：因为AE ＝EB ，AH ＝HD ，
所以EH ∥BD ，且EH ＝12
BD . 因为CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，且FG ＝23
BD . 所以EH ∥FG ，且EH ≠FG ，故四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P ，P ∈平面ABC ，又P ∈平面DAC ，又平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，故P ∈AC ，即EF ，GH ，AC 交于一点．
B 级 能力提升
1．下列四个命题：
(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
(2)两条直线可以确定一个平面；
(3)若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；
(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这三个公共点共线，或这两个平面重合；
(2)错，两条平行或相交直线可以确定一个平面；
(3)对；
(4)错，空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内．
答案：A
2．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G 分别为棱BC ，C 1C ，B 1C 1的中点，O 1，O 2分别为四边形ADD 1A 1，A 1B 1C 1D 1的中心，则下列各组中的四个点在同一个平面上的是________．
①A ，C ，O 1，D 1；②D ，E ，G ，F ；③A ，E ，F ，D 1；④G ，E ，O 1，O 2.
解析：正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，C1C，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，①所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内；②因为E，G， F 在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F不共面；③由已知可得EF∥AD1，所以A，E，F，D1共面；④连接GO2，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面．
答案：①③④
3．如图所示，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面．
证明：连接EF，QG，A1C1，EH，
因为E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，
所以EF∥A1C1∥QG，同理可证FG∥EH.
设E，F，Q，G确定平面α，F，G，E，H确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E，F，G，所以α与β重合，即E，F，G，H，Q五点共面，同理可证E，F，G，P，Q五点共面，所以E，F，G，H，P，Q共面．。