《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析

《管理运筹学》第四版课后习题解析

第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶

1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤8

2．解：

（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.5

3．解：

（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤150

4．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥4

5. 解：

最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-14011

B ； 最优解变为130321

===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321

===x x x ，，，最小值变为-96；

6．解：

（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。 （2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3）0≤b 2≤45。

（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。

（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。

7. 解：

(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为

,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：

解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。

(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。

（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；

若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中

667.31110,167.144321====x x x x ，，；

（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中

382.70,114321====x x x x ，，；

所以建议生产乙产品。

8．解：

均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多组解。

9．解：

（1）min f = 10y 1+20y 2. s.t.y 1+y 2≥2 y 1+5y 2≥1 y 1+y 2≥1 y 1,y 2≥0

（2）max z = 100y 1+200y 2. s.t. 1/2y 1+4y 2≤4 2y 1+6y 2≤4 2y 1+3y 2≤2 y 1,y 2≥0

10．解：

（1）min f =−10y 1+50y 2+20y 3. s.t. −2y 1+3y 2+y 3≥1 −3y 1+y 2≥2

−y 1+y 2+y 3 =5

y 1，y 2≥0，y 3没有非负限制。 （2）max z = 6y 1−3y 2+2y 3. s.t.y 1−y 2−y 3≤1

2y 1+y 2+y 3 =3 −3y 1+2y 2−y 3≤−2

y 1，y 2≥0，y 3没有非负限制

11. 解：

,,,, 1 1 1 1 1 109876max 54321544332215154321≥≤+≤+≤+≤+≤+++++=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y z 约束条件：

用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。

12. 解:

（1）该问题的对偶问题为

0, 5 332 23 12y 4max 212121212

1≥≤+≤+≤++=y y y y y y y y y f 约束条件：

求解得max f=12，如下所示：

（2）该问题的对偶问题为

,

,01

6

7

58

4 33

3 2

5 3

2 min

3

2

13

2 13

2 1

3 2

1

3

2

1

≥

-

≤

+

-

-

≤

+

-

-

≤

+

-

+

+

=

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

z

约束条件：

求得求解得min z=24，如下所示：

思考：

在求解

中元素的符号没有要求

为非负行向量，列向量其中：约束条件：b C X b AX CX f 0

min ≥≥=

中元素的符号没有要求

为非正行向量，列向量其中：约束条件：b C X b AX CX z 0

max ≥≥=

以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。

13.解：

（1）错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解；

（2）正确；

（3）错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可能有可行解，甚至为无界解； （4）正确；

14．解：

123

1231

1232233max 2342820,1,,3;0,1,,3

i j z x x x x x x s x x x s x x s x i s j =----+-+=-⎧⎪

+++=⎪⎨

-++=-⎪

⎪==⎩

≥≥ 用对偶单纯形法解如表6-1所示。 表6-1

续表