2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}13A x x =≤<，{}3192B x x x =->-，则A B =（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}12x x ≤≤ C ．{}23x x << D ．{}23x x ≤<【答案】C【分析】解出集合B 中的不等式，求与集合A 的交集即可. 【详解】集合{}{}31922B x x x x x =->-=>， 因为{}13A x x =≤<，所以{}23A B x x ⋂=<<. 故选：C.2．1095︒的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】找到与1095︒终边相同的角，即可看出在第几象限.【详解】因为1095360315︒=⨯+︒，所以1095︒的终边与15︒终边相同，故落在第一象限. 故选:A3．“3a >”是“一元二次方程210x ax ++=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次方程根的个数结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】一元二次方程210x ax ++=有实数根，则240a ∆=-≥，解得2a ≤-或2a ≥，即“3a >”是“一元二次方程210x ax ++=有实数根”的充分不必要条件. 故选：A4．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）A ．yB ．uC ．2n m n=D ．2log 2t s =【答案】B【分析】分别从函数的定义域，对应法则和值域进行判断即可求解. 【详解】函数y x =定义域为R ，值域也为R .对于A ，函数2y x x ==的定义域为R ，值域为[0,)+∞，对应法则也不相同，故选项A 不满足题意；对于B ，函数33u v v ==的定义域为R ，值域也为R ，对应法则相同，故选项B 满足题意；对于C ，函数2(0)n m n n n ==≠定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞，故选项C 不满足题意；对于D ，函数2log 2(0)t s t t ==>定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞，故选项D 不满足题意， 故选：B .5．如图，四边形ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=︒，AD BC ∥，AD a =，BC b =．若M ，N 分别在AB ，CD 上，MN BC ∥，且MN 把直角梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则MN =（ ）A ．2aba b + B ．abC ．2a b+ D ．222a b + 【答案】D【分析】过A 点作AF DC 交MN 于E ，交BC 于F ，由相似三角形和面积相等建立等量关系求解即可.【详解】如图所示，过A 点作AFDC 交MN 于E ，交BC 于F ，设MN c =，AM m =，AB n =， 因为AME ABF ，所以ME AMBF AB=即c a m b a n -=-，解得()c a n m b a -=-， 因为22()()()()222()ADNMa c m a c c a n c a n Sb a b a ++--==⨯=--，()2ABCD a b nS +=，且2ABCD ADNM S S =，所以22()()222()a b n c a n b a +-=⨯-，解得222a b c +=， 故选：D6．当π(0,]3x ∈时，函数1cos 2()sin 2x f x x -=的最大值是（ ）A ．33B ．1C ．3D ．2【答案】C【分析】化简()f x 的解析式，根据正切函数的单调性求得正确答案.【详解】由于()2112sin 1cos 2()tan sin 22sin cos x x f x x x x x ---===，而()tan f x x =在区间π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以()f x 的最大值是π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C7．如图为某质点简谐运动的部分图像，它符合函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，22ππϕ-<<）的形式，则（ ）A ．2A =，1ω=，6πϕ=-B ．2A =，1ω=，3πϕ=-C ．2A =，2ω=，6πϕ=-D ．2A =，2ω=，3πϕ=-【答案】D【分析】由题知2A =，122T π=，进而得2sin(2)y x ϕ=+，再代入点5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得3πϕ=-，进而得答案.【详解】解：由题知2A =，1115212122T πππ=-=， 所以2T ππω==，解得2ω=，所以，2sin(2)y x ϕ=+，再将5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得522sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，解得2,Z 3k k πϕπ=-+∈， 因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以，2A =，2ω=，3πϕ=-故选：D8．已知3log a π=，log 3b π=，0.3log e c =（e 是自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【分析】利用对数函数的单调性判断.【详解】解：因为33log log 31a π=>=，0log 3log 1b πππ<=<=，0.30.3log e log 10c =<=， 所以a b c >>， 故选：A二、多选题9．在同一坐标系中，对于函数2()f x x =与()2x g x =的图象，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 与()g x 有两个交点B ．00x ∃>，当0x x >时，()f x 恒在()g x 的上方C ．()f x 与()g x 有三个交点D ．00x ∃>，当0x x >时，()g x 恒在()f x 的上方 【答案】CD【分析】通过试值找到两函数在0x >时两个关键的交点坐标()()2,4,4,16，从而在同一坐标系中作出两函数图像， 通过图像即可判断选项.【详解】()()11,12f g ==，()()224f g ==，()()39,38f g ==，()()4416f g ==，()()525,532f g ==，则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：显然两函数有三个交点,,A B C ，故A 错误，C 正确，由图易得当>4x 时，()g x 恒在()f x 的上方，故B 错误，D 正确， 故选：CD.10．将函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把它向右平移π3个单位，得到函数()f x 的图像，则下列是()y f x =对称轴的是（ ） A ．5π6x =- B ．π6x = C ．7π24x =-D ．7π6x =【答案】ABD【分析】由图像变换求解函数解析式，整体代入法求对称轴方程.【详解】函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，再把它向右平移π3个单位，得到函数π()cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，令ππ,Z 6x k k -=∈，解得()y f x =对称轴方程为ππ,Z 6x k k =+∈， 当1k =-时，对称轴为5π6x =-；当0k =时，对称轴为π6x =；当1k =时，对称轴为7π6x =. 故选：ABD11．已知()f x 的定义域是R ，()f x 既是奇函数又是减函数．若a ，R b ∈，且0a b +<，则（ ） A ．()0f a b +> B ．()()0f a f b +< C ．()0f a b +< D ．()()0f a f b +>【答案】AD【分析】根据()f x 定义域为R ，且其既是奇函数又是减函数，可知()00f =，结合0a b +<即可判断A,C 选项，0a b +<,则a b <-，结合其单调性和奇偶性得到()()f a f b >-，即可判断B,D 选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()f x 既是奇函数又是减函数，则()00f =，0a b <+，()()00f a b f ∴+>=，故A 正确，C 错误，0a b +<,则a b <-,又()f x 是在R 上单调递减的奇函数,()()f a f b ∴>-,即()()f a f b >-, ()()0f a f b ∴+>，故D 正确，B 错误.故选：AD.12．提鞋（斜）公式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，其中ππϕ-<≤．若0tan b aϕ=，0π(0,)2ϕ∈，则下列判断正确的是（ ）A ．当0a >，0b >时，0ϕϕ=B ．当0a <，0b >时，0πϕϕ=-C ．当0a >，0b <时，0ϕϕ=-D ．当0a <，0b <时，0πϕϕ=- 【答案】AC【分析】根据两角和正弦公式求出ϕ的表达式后根据,a b 的正负分类讨论可得．【详解】sin cos )a x b x x x +=+，设cos ϕ=sin ϕ=ππϕ-<≤，则22sin cos sin()a x b xa b x，sin tan cos baϕϕϕ==，若0,0a b >>，则02πϕ<<，此时0tan tan ϕϕ=，002πϕ<<，0ϕϕ=，A 正确；若0,0a b <>，则2ϕπ<<π，00tan tan tan()ϕϕπϕ=-=-，02ππϕπ<-<，0πϕϕ=-，B 错；若0,0a b ><，则02πϕ-<<，00tan tan tan()ϕϕϕ=-=-，002πϕ-<-<，0ϕϕ=-，C 正确；若0,0a b <<，则2ππϕ-<<-，00tan tan tan()ϕϕϕπ==-，02ππϕπ-<-<-，0πϕϕ=-，D 错误．故选：AC ．三、填空题13．已知0a >，计算：211362a a a ÷=_____________． 【答案】a【分析】利用幂的运算性质直接求得. 【详解】211211362362a a a a a +-=÷=. 故答案为：a14．已知α为第二象限的角，且1cos 3α=-，则()sin πα+=_____________．【答案】 【分析】由同角三角函数关系及诱导公式可得答案.【详解】因α为第二象限的角，则sin 0α>，又22sin cos 1αα+=，1cos 3α=-，则sin α=又由诱导公式，得()sin πsin αα+=-=-故答案为： 15．已知函数()21,02,0x x f x x m x ⎧+≥=⎨+<⎩是增函数，则实数m 的取值范围是_____________．【答案】(,2]-∞【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】由于()f x 在R 上递增， 所以02021m ⨯+≤+，即2m ≤， 所以m 的取值范围是(,2]-∞. 故答案为：(,2]-∞16．煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物．某种煤油中污染物的含量为0p ，测得这种煤油通过 m x 的圆形黏土管道后污染物的含量p 如下表：若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2％，则至少需要_______m 的圆形黏土管道．（参考数据：lg 20.3≈） 【答案】17【分析】根据表格得到00.8xp p =⋅，解不等式00.8x p ⋅02%p ≤⋅，可得结果.【详解】由表可知，00.8xp p =⋅，由00.8xp p =⋅02%p ≤⋅，得0.82%x ≤，两边取常用对数得2lg 0.8lg100x ≤，得lg 22lg81x -≥-lg 223lg 21-=-0.3230.31-≈⨯-17=. 所以若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2％，则至少需要17m 的圆形黏土管道． 故答案为：17四、解答题17．立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了1000名市民，结果显示：使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人．(1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？(2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【答案】(1)158人 (2)59人【分析】（1）由题意“使用支付宝”的去掉“两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信支付”的人.（2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”， “只使用支付宝不使用微信支付” “两种支付方式都使用”，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果.【详解】（1）因为“使用支付宝”的有456人，“两种支付方式都使用”的有298人， 所以“只使用支付宝不使用微信支付”的有456298158-=（人）. （2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有783298485-=（人）， 所以，“至少使用一种移动支付方式”的有485158298941++=（人）， 故“两种移动支付方式都不使用”有100094159-=（人）. 18．已知函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），且()(4)4f a f a +=． (1)求实数a 的值；(2)解关于x 的不等式：2()4()50f x f x --<． 【答案】(1)2a = (2)1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由()(4)4f a f a +=，代入函数解析式解方程； （2）换元法先解二次不等式，再求解对数不等式.【详解】（1）由()(4)4f a f a +=得4l log 42log 4og a a a a a +=+=， 所以log 42a =，即24a =， 因为0a >，所以2a =.（2）令()t f x =，不等式转化为2450t t --<， 即()()150t t +-<，解之得15t -<<， 即21log 5x -<<，而221log 1-=，25log 32=，所以132 2x<<故该不等式的解集为1322x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭..19．如图，以O为圆心，半径为2的圆与x轴正半轴相交于点A，质点P在圆周上逆时针运动，其初始位置为0(3,1)P-，角速度为2rad/s．(1)求点P的纵坐标y关于时间t（单位：s）的函数解析式；(2)求在60s内（即[0,60]t∈），质点P经过点A的次数．【答案】(1)π2sin26 y t⎛⎫=-⎪⎝⎭(2)20【分析】(1)先求出t时刻后，P经过的角度为ππ2266t t⨯-=-，然后再根据三角函数求解.(2)根据函数的周期计算.【详解】（1）由0(3,1)P-得0π6AOP∠=，因为质点P运动的角速度为2rad/s，所以t时刻后，P经过的角度为ππ2266t t⨯-=-，故P的纵坐标π2sin26 y t⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）由（1）知周期2ππ2T==，而19π<60<20π所以质点P至少经过点A达19次，因为质点P从0P到达A至少需要πs 12，而π6019π>12-，即第20个周期可以到达点A，所以质点P 经过A 点的次数为20.20．已知函数22()22x xx xf x ---=+． (1)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断()f x 的单调性，并用定义法给予证明．【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)()f x 是R 上的增函数.，证明见解析【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.【详解】（1）因为()f x 的定义域是R ，且当R x ∀∈时，()()2222x xx xf x f x ----==-+， 故()f x 是奇函数；（2）变形得()22414122122414141x x x x x x x x x f x ----+-====-++++， 令41=+x t ，则()21f t t=-， 因为41=+x t 在R 上是增函数，()1,t ∈+∞，又()21f t t=-在(1,)+∞上是单调递增， 所以()f x 是R 增函数，下面用定义法证明：任取两个实数1x ，2R x ∈，且12x x <，则12()()f x f x -=()()()1221122442241414141x x x x x x --=++++， 因为12x x <，所以1244x x ，所以12440x x ，又12410,410x x +>+>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，故()f x 是R 上的增函数.21．已知函数π()sin cos(+)cos 2f x x x x x =．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若不等式()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)π2π[π,π]63k k ++（Z k ∈） (2)()3,12-【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果；（2）根据函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性求出函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，将不等式()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，化为2()2m f x m -<<+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用()f x 的最值列式可求出结果. 【详解】（1）因为2cos 21()sin cos 22x f x x x x x -=-=， 所以π1()sin(2)62f x x =+-， 令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，Z k ∈， 解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈， 即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++（Z k ∈）. （2）当π[0,]6x ∈时，πππ2[,]662x +∈，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 当ππ[,]62x ∈时，ππ7π2[,]626x +∈，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； 因为(0)0f =，π1()62f =，π()12f =-， 所以()f x 的值域是1[1,]2-， 又由()2f x m -<在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，得2()2m f x m -<<+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 得21122m m -<-⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312m -<<. 所以实数m 的取值范围是()3,12-. 22．已知()ln(1)f x x =-，29()22g x x x =-+-．(1)分别画出()y f x =、()y g x =的图象（不必写出画法，请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑）；(2)用二分法求函数()()()h x f x g x =-的零点0x （精确度为0.3）；(3)1x ∀>，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =，当方程()M x a =有三个不同的实数根时，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)0x 可取[]3.5,3.75中的任一个值 (3)349,216⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据对数函数和二次函数的性质和图象即可得出答案； （2）因为()()0f x g x -=可以等价于()y f x =与()y g x =的交点问题，由图知，因为(3)(3)f g <，(4)(4)f g >，所以0[3,4]∈x ，再由二分法的定义即可求出函数()()()h x f x g x =-的零点0x ； （3）因为方程()M x a =可转化为()y M x =与y a =的交点问题，结合图象即可得出答案.【详解】（1）（注意画图象的细节，如ln(1)y x =-的渐近线，1ln62<<，2922y x x =-+-的最大值为1316，与x 轴的交点为1(,0)2，(4,0)，图象画得不够准确，适当扣分.） （2）因为()()0f x g x -=可以等价于()y f x =与()y g x =的交点问题，由上图知，因为(3)(3)f g <，(4)(4)f g >，所以0[3,4]∈x ，因为()3.5ln2.51f =<，()3.5 1.51g =>，即()()3.5 3.5f g <，所以[]0 3.5,4x ∈，又因为()3.75ln2.751f =>，()133.75116g =<， 即()()3.75 3.75f g <，所以[]0 3.5,3.75x ∈，而3.75 3.50.250.3-=<，所以0x 可取[]3.5,3.75中的任一个值. （3）因为方程()M x a =可转化为()y M x =与y a =的交点问题，如图，因为()312g =，323ln 2.75ln e 2=<==， 所以()()003ln 1ln2.752f x x =-≤<， 所以()()01g f x >，又()max 4916g x =，所以当349216a <<，()y M x =与y a =有三个交点， 所以实数a 的取值范围是349,216⎛⎫ ⎪⎝⎭.。