高中数学必修3《用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)》导学案

数学（高二上）导学案
必修三第二章第二节课题：用样本估计总体
二、合作探究归纳展示
任务1 标准差
问题平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7879549107 4
乙：9578768677
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
思考1甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
答经计算得：x甲＝1
10(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可
得x乙＝7.
思考2观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
答直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．思考3对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？
答还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．
思考4 如何用数字去刻画这种分散程度呢？
答 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示 . 思考5 所谓“平均距离”，其含义如何理解？
答 假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )．于是，样本数据是x 1，x 2，…，x n 到x 的“平均距离”是
S ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n .由于上式含有绝对值，运算不太方
便，因此，通常改用如下公式来计算标准差： s ＝
1
n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 思考6 标准差的取值范围如何？若s ＝0表示怎样的意义？
答 从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数． 任务2 方差
思考1 方差的概念是怎样定义的？
答 人们有时用标准差的平方s 2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s 2＝1
n ·[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．
思考2 对于一个容量为2的样本：x 1，x 2(x 1＜x 2)，它们的平均数和标准差
如果分别用x 和a 表示，那么x 和a 分别等于什么？ 答 x ＝12(x 1＋x 2)，a ＝1
2
(x 2－x 1)．
思考3 在数轴上，x 和a 有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据
的离散程度有何影响？
答 x 和a 的几何意义如下图所示．说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围．
思考4 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准
差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？
答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标
准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
例1求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？
解x甲＝1
10(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙
＝7.
根据标准差的公式，
s甲＝1
10[(7－7)
2＋(8－7)2＋…＋(4－7)2]＝2；
同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．
因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．
跟踪训练1
如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．
答案 6.8
任务3标准差及方差的应用
例2画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点．
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
解四组样本数据的条形图如下：
四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00，0.82，1.49，2.83.
它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的．
跟踪训练2从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；
乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；
(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
解(1)x甲＝1
10(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，x
乙＝1
10(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，x甲
＜x乙．
即乙种玉米的苗长得高．
(2)由方差公式得：s2甲＝1
10[(25－30)
2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝
104.2，同理s2乙＝128.8，
∴s2甲＜s2乙.
即甲种玉米的苗长得齐．
答乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．
例3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：
甲
25．4625.3225.4525.3925.36
25．3425.4225.4525.3825.42
25．3925.4325.3925.4025.44
的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．
四、作业布置 1、基础知识：
1．下列说法正确的是
( )
A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小
C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 答案 B
2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7个剩余分数的方差为
( )
A.1169
B.367
C ．36
D.677
答案 B
3．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是1
3，那么另一
组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为
( )
A ．2，1
3
B ．2,1
C ．4，1
3
D ．4,3
答案 D
4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．。