北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x + 3y +1=0的倾斜角是( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘2.已知x 2+y 2+ax +a =0表示圆，则实数a 的取值范围为( )．A. (0,4)B. (−∞,0)C. (4,+∞)D. (−∞,0)∪(4,+∞)3.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为( )A. 10B. 60C. 125D. 2434.平的内动点P (x,y )满足方程 (x +1)2+y 2+ (x−1)2+y 2=2 3，则动点P 的轨迹方程为( )A. x 23+y 22=1B. x 22+y 23=1C. x 23−y 22=1D. y 23−x 22=15.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x =−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 46.刍甍(cℎúméng)是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍(如图)，底面BCDE 为矩形，且BC =3，BD = 13,AF//平面BCDE,▵ABE 和▵CDF 为全等的正三角形，AF =1，则平面ABE 和底面BCDE 的夹角的余弦值为( )A. 13 B. 33 C. 22 D. 637.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点O ，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条PAB 的P 处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A 、B 各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证PA 与PB 的长度不变，当A 、B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭圆．已知|PA |=3|AB |，且P 在椭圆的右顶点时，B 恰好在O 点，则该椭圆的离心率为( )A. 32B. 34C. 74 D. 558.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为y=3x”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.若椭圆x2m +y2=1(m>1)与双曲线x2n−y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点，则▵F1PF2的面积是( )A. 12B. 1C. 2D. 410.已知M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平自直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则( )A. d=3,S<1B. d=3,S>1C. d=10,S<1D. d=10,S>1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷+答案+听力材料
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷+答案+听力材料北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高一英语2021.1本试卷共13页，共140分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷(共75分)I. 听力理解（共三节，22.5分）第一节: (共4小题; 每小题1.5分，共6分)听下面四段对话，每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
每段对话你将听一遍。
1. What does the man think the weather will be like in the afternoon?A. Cloudy.B. Rainy.C. Sunny.2. Where does the conversation probably take place?A. In a restaurant.B. In a cinema.C. In a supermarket.3. Why did the man leave his previous job?A. To study further.B. To get experience.C. To find a new job.4. Why does the woman make the phone call?A. To book a service.B. To ask about a delivery.C. To arrange a meeting.第二节:（共6小题；每小题1.5分，共9分）听下面三段对话，每段对话后有两道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
每段对话你将听两遍。
听第5段材料，回答第5至第6小题。
5. What is the woman?A. A bus driver.B. A college student.C. A shop assistant.6. How much will the woman save with a discount?A. 50 dollars.B. 30 dollars.C. 20 dollars.听第6段材料，回答第7至第8小题。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2022-2023学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．等差数列﹣2，1，4，…的第10项为（ ） A ．22B ．23C ．24D ．252．设函数f （x ）＝sin x ，则f '（π）＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．π3．某一批种子的发芽率为23．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ） A ．29B ．827C ．49D ．234．记函数f(x)=1x 的导函数为g （x ），则g （x ）（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数5．在等差数列{a n }中，若a 1＝9，a 8＝﹣5，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ） A ．80万吨B ．90万吨C ．100万吨D ．120万吨7．如果函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 在区间（1，e ）上单调递增，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，2]B ．（﹣∞，2]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，1]8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q =23，记其前n 项的和为S n ，则对于n ∈N *，使得S n ＜m 都成立的最小整数m 等于（ ） A ．6B ．3C ．4D ．29．设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（ ） A ．P （ξ≤2）＝1﹣P （ξ≥3）B ．当a n =12n （n ＝1，2，3，4）时，a 5=124 C ．若{a n }为等差数列，则a 3=15D ．{a n }的通项公式可能为a n =1n(n+1)10．若函数f(x)={xe x +a ，x ＜1，a −x ，x ≥1有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，e ）B ．（﹣∞，e ）C ．(0，1e )D ．(−∞，1e )二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高中数学选择性必修二 北京市昌平区新学道临川学校高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高二数学理科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列 中，若 ， ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列通项公式可求得 ，由 可求得结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， .
【详解】抛物线 ( )的准线为： ，
因为准线经过点 ，可得 ，即 ，
所以抛物线为 ，焦点坐标为 ，
故选：B.
11.椭圆 内有一点 过点 的弦恰好以 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设弦的两个端点为 ，
即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，
再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过 ，②正确；
对于③，因为在x轴上方，图形面积大于四点（﹣1，0），
（1，0），（1，1），（﹣1，1）围成的矩形面积1×2＝2，
在x轴下方，图形面积大于三点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）围成的等腰直角三角形的面积 ×2×1＝1，
故选：C.
2.在等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出 的值，利用等比中项的定义可求得结果.
【详解】由已知可得 ，由等比中项的性质可得 ，
因此， 与 的等比中项是 .
故选：A.
3.若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。
北京市西城区2020-2021学年高二第一学期期末考试语文试题及答案
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高二语文2021.1本试卷共10页，共150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷一、根据要求整合相关知识，完成1～6题。
（每题3分，共18分）1．下列各组词语中，字形全都正确的一项是（3分）A．桀骜胡诌妄图永葆青春B．纠葛斜睨布署陨身不恤C．妥协船舷防碍度过难关D．理睬脚指缴费隐约其词2．下列句中加点词语的运用，不正确．．．的一项是（3分）A．有的放矢．．．．的批评和自我批评是我们党保持肌体健康，不断增强战斗力的锐利武器。
B．名为“海贝斯”的强大台风正在靠近，当地民众人心惟危．．．．，纷纷采购食品作为储备。
C．当今世界，一些国家之间战火不绝，人类能否化干戈为玉帛．．．．．．，最终达到和谐共生呢？D．九层之台．．．．，起于累土．．．．。
要把十九大描绘的蓝图变为现实，必须从最基础的工作做起。
3．下面一段话的空缺部分中，各句间的顺序排列正确的一项是（3分）有的同志担心，坚持实践是检验真理的唯一标准，会削弱理论的意义。
这一点，对于澄清被“四人帮”搞得非常混乱的理论问题，具有特别重要的意义。
①相反，只有坚持实践是检验真理的唯一标准②才能够使伪科学、伪理论现出原形③凡是科学的理论，都不会害怕实践的检验④这种担心是多余的⑤从而捍卫真正的科学理论A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．④①②⑤③D．④③①②⑤4．下列有关文学常识的表述，不正确．．．的一项是（3分）A．孔子是儒家学派的创始人，庄子是道家学派的思想家。
他们的作品《论语》和《庄子》均为语录体散文。
B．《复活》是俄国著名作家列夫·托尔斯泰的代表作之一。
小说以“复活”为题，探讨了人在精神上的复活。
C．《记念刘和珍君》和《为了忘却的记念》均为鲁迅先生的纪念性文章，它们都表现出对所忆之人的深挚感情。
D．孙犁的一些作品充满诗情画意，如《荷花淀》；赵树理的一些作品则具有浓郁的乡土气息，如《小二黑结婚》。
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷(含答案)
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三语文2021.1本试卷共10页，共150分。
考试时长150分钟。
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一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的材料，完成1－5题。
材料一建国七十年来，我国粮食产量稳步提升，其中科技的贡献有目共睹。
科技选种育种对粮食增产作用巨大。
比如作物全息定域选种，是在作物具有强遗传势的部位选种的方法。
实验证明，玉米的强遗传势区在果穗中下部，选用这一部位的籽粒做种，比用顶部的籽粒做种增产35.4％；高粱果穗上部的籽粒充实饱满，生活力强，在结实丰产方面有较强的遗传性，选用上部籽粒做种比用中部籽粒做种增产6.4％～10.8％。
任何作物随着本身遗传性状的改良，生产性能会不断提高。
我国水稻种植从20世纪50年代中后期开始，由高秆品种改为新培育出的矮秆品种，该品种耐肥抗倒，单位面积产量比高秆品种增加30％以上。
1986年袁隆平提出杂交水稻的育种战略，历经九年艰苦攻关，中国独创的两系法杂交水稻取得成功，又使单产比常规品种增产15％～20％。
专家预测目前正在培育的超高产品种，将比现有品种在单产上提高近一倍。
科学技术可以改善耕地条件，进而扩大某些粮食作物种植区域，还可以提高粮食生产过程中有限资源的利用率。
例如在实施塑料薄膜覆盖后，土壤一般可增温2～5℃，覆盖期内地表积温增加200～300℃，从而使作物适宜耕作区的纬度向北推移2～4°，海拔提高1000～2000m。
由于该技术可应用的作物范围广，一般增产幅度可达30％～50％。
同时，地膜覆盖能使耕层土壤含水量提高2.77％～4.55％，每亩土壤蒸发量减少100～150m3。
单位农产品的平均耗水量减少一半，就相当于灌溉面积扩大了一倍。
农机装备技术的进步也至关重要。
21世纪以来我国农机装备技术发展极为快速。
机械设备如深松机、无人驾驶联合耕播作业机等逐渐被推广使用的同时，很多新技术也在其中得到应用。
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北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高二数学2021.1 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列岀的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平而内，复数z对应的点的坐标是（21）,则复数Z二(A) 2-i (B) l-2i (C) 2 + i (D) l + 2i（2）在（a + b）/l的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则，匸(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7⑶椭圆汩詁的焦点坐标为(A) (5,0), (-5,0) (B) (3,0), (-3,0)(C) (0,5), (0,-5) (D) (0,3), (0,-3)（4）已知直线A ：or-y-l =0 ,厶：ox+（a + 2）y + l = 0・若厶丄厶，则实数a =(A) -1 或 1 (B) 0或1(C) 一1 或2 (D) 一3或2（5）已知平而&丄平而0, = 下列结论中正确的是（A）若直线加丄平面a,则milp（B）若平而了丄平而a,贝0////?（C）若直线加丄直线则加丄0 （D）若平而卩丄直线则了丄0（6）将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人，每人至少1张•如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是(A) 24 (B) 18(C) 12 (D) 6(7)已知双曲线C：4- —= 1的两个焦点是,点P在双曲线C上.若C的离心率/ 16为】，且IP斥1=10,贝'JIPFJ=3 ■(A)4或 16 (B) 7或 13(C) 7或 16 (D) 4或 13(8)在正三棱锥P-ABC中，AB = 3. /<4 = 2,则直线Q4与平Wi ABC所成角的大小为(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 75°(9)已知圆Q的方程为(x-«)2+(y-b)2=4,圆Q的方程为X+(y_b + i)2=i,其中a.beR,那么这两个圆的位垃关系不可能为(A)外离(B)外切(C)内含(D)内切2(10)点M在直线/:x = 2上，若椭圆C：x2 + —= 1上存在两点使得是等4腰三角形，则称椭圆C•具有性质P.下列结论中正确的是(A)对于直线/上的所有点，椭圆C都不具有性质P(B)直线/上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P(C)直线/上有无穷多个点(但不是所有的点)，使椭圆C具有性质P(D)对于直线/上的所有点，椭圆C都具有性质P第二部分(非选择题共100分)二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
(11)已知复数z = i-(l + i),贝ijlzl=—.2(12)若双曲线C:F—L = l(〃>0)的焦距为2$贝忆=—:C的渐近线方程为—・lr(13 )设(X — 2)4 = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a x x + a{y > 贝U a x + a2+ “3 +=・(14)在空间直角坐标系中，已知点A(L0,0).B(020),C(0,0,2).D(0.0,l),则直线Q与BC所成角的大小是(15)已知抛物线/ =4A-的焦点为F,准线为/,点P在抛物线上，PQ丄/于点0.若△PQF是锐角三角形,则点P的横坐标的取值范帀是—・(16)如图，正方体ABCD-A.B^D,的棱长为1, 分别为BgD、的中点，P是底三、解答题共6小题，共76分。
解答应写岀文字说明，演算步骤或证明过程。
而上一点.若AP〃平而BEF,（17）（本小题10分）生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名•现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.< I）如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？<n）如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？（18）（本小题12分）已知圆C过原点O和点A（l,3）,圆心在直线y = l±.< I）求圆C的方程：（II）直线/经过点O,且/被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.（19 ）（本小题13分）如图，在正三棱柱ABC —几色G中，AB = AA{, DEF分别是的中点.（I）求证：CF//平而ADE；（II）求证：丄平jffiADE.（20）（本小题13分）如图，设点A"在x 轴上，且关于原点O 对称•点P 满足tanZP^B = 2janZPBA = l, 且的而积为20. （I ） 求点P 的坐标；（II ） 以43为焦点，且过点P 的椭圆记为C.设M （i 0,y 0）是C 上一点，且-1<A O <3,求儿的取值范围.yk（21）（本小题14分）如图，在四棱锥P- ABCD 中，PQ 丄平而E 为AD 的中点，底而ABCQ 是 边长为2的正方形，且二而角P — BE -C 的余弦值为近.（22）（本小题14分）2 2已知椭圆 C ：2 + ・ = l （d>〃〉0）的一个焦点为 F （-1.0）, A （-“0）, 4S0）,且cr b-\A 2F\=3.（I ）求椭圆c 的方程；（II ）过点F 的直线交椭圆C 于点M 记△4MN 和△4M/V 的面积分别为&和S?. 当S 厂S 严甞~时，求直线MN 的方程.（II ）求点C 到平而的距离.北京市西城区202—2021学年度第一学期期末试卷(15) (l,+oo) 注：（12）、（16）题每空2分。
三、解答题（共6小题，共76分）(17)(共 10 分) 解：（I ）正、副组长2人中有且只有1人入选,选派方法数为C ；Cfo=9O.（II ）正.副组长2人都入选，且组员甲没有入选,选派方法数为C ；C ；=9・ 正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为所以正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 9 + 72 = 81.一、选择题 （共10小题，每小题5分，共50分）(1 ) A (2) C (3) B (4) C (5) (6) B(7) A(8) A(9) C(10) 二' 填空题 （共6小题，每小题4分，共24分）(11) >/2 (12) 2y = ±2x(13) -15 (14) 60°D D高二数学参考答案2021.1(16) 10分(18)(共 12 分)解：（I）设圆C的圆心坐标为（仏1）・……1分依题意，有 3+卩=血一1）2+22, ......3分解得d = 2. ……4分从而圆C的半径为r =舶+ F = x/5 , ……5分所以圆C的方程为（x- 2尸+ （y _ 1尸=5 . ……6分（II）依题意，圆C的圆心到直线/的距离为2. ……7分显然直线兀=0符合题意. ……8分当直线/的斜率存在时，设英方程为y = kx9即kx-y = O・……9分所以12—11 血+13解得心一二・43所以直线/的方程为y =--x.4 订0分11分12分综上，直线/的方程为x = 0或3x + 4y =0.(19)(共 13 分)解：（I ）设AE（］BF = O,连接OD.因为ABC-A.B,G为正三棱柱，且=所以侧而AAB3为正方形. ……1分因为E,F分别是BB^AA,的中点，所以O是BF的中点. ……2分又因为D是BC的中点，所以OD//CF .……4分因为ODu平而ADE，CFcz平而ADE,所以CF〃平而ADE.(II)因为△ABC为正三角形，所以AQ丄BC.又CC|丄平而ABC ,所以AD丄Cq.所以A£>丄平而£BCC| .所以BC；丄AD .连接BQ.因为侧而B/CG为正方形，所以BC］丄B,C.所以BC；丄£>£.所以SC】丄平面ADE. (20 )(共 13 分) •8分7分10分11分12分13分解：(I )设 A(—c,0),3(c,0)・所以^r=20,解得c = 5. ……5分所以点P的坐标为(-3,4). ……6分(II)由(I )得A(—5,0),3(5,0)・所tllPAl=7(-3 + 5)2+42 =2>/5 , IPBl=7(-3-5)2+42 =4^5 . ……8 分2 2 设以人B为焦点且过点P的椭圆方程为C： = +刍=1.“ \r贝 iJfl = l(IPAl + lPBl) = 3>/5 ,又 X =A2-C2=20,……10 分22 2所以椭圆c的方程为器+务=1. ……11分所以余+弟儿即£=20(1 一善).因为-1<A0<3,所以0W尤<9.所以16<y：W20. ……12分所以v0的取值范围是［-2X/5,^)U(4,275J. ……13分(21)(共 14 分)解：(I )依题意，DA.DCQP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系D-xyz ・设 PD = h(h>0)・ 由题意得E(LO.O), B(Z2.0), P(O.OM)・ 所以PE-(1,0,-/?), EB = (1,2,0).2f 则〉'o=T ，5冷又因为PD 丄平而ABCD,所以平而ABCD 的一个法向量为加=(0.0.1)・5 = 0.即 it EB = 0, xo - ％力=0’ xo + 2y()= 0. 依题意’有唤5=緒2卫一 6 '解得h = 2、所以PD = 2.10分 (II)由(I )得，平而P £B 的法向量为w = (2-lJ).11分又 C(020), 所以BC = (-2,0,0)・12分所以点C 到平面哪的距离为罄件芈14分设平面PEB 的法向量为n =(勺,儿,心),1分解得a = 2.……2分 北京市西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷 商二数学 第11页（共11页）所以 gFI=a+c = 3. 所以lr = n 2-c 2= 3 .... 3 分、 •>所以椭圆C 的方程为二+匚=1・……4分4 3 (II)当直线MN 的斜率不存在时，其方程为无=-1・此时M(-导N(-1,-彳)‘或M(-1厂尹(-1肩)・ 3 9所以5=?,即S 2-S 1=3,不合题意.当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y = k(x+\)伙工0). 由得(3 + 4，庆+弘3 + 4“一12 = 0. [3x 2+4y 2=12•rt . - 、- .z • nj.l8Zc"4«~—12攻:M(X]」),N(X2」2)，则坷+七=_3 + 4川，A -X 2 = 3 + 4A ： 因为S^ll^FIdy.l + lyJ), S^ll^FKIyJ + ly,!),2 2所以 S?-5, =ix2x(| x l + l 儿 |)=| yi -y 2\ =I^(A --A -,)I=lkl J(X]— 4兀内_12lkl J/ + 1 =3 +4k 2•令岑黑王L 罟，解得^±i.所以直线MN 的方程为—y + l = 0,或x + y + l = O.……5分... 6分……8分... 10分……12分……13分... 14分。