渐进法及其它算法简述

第八章渐进法和力矩分配法超静定结构的计算方法: 力法(六)、位移法（七）力法计算步骤1、选取基本体系2、列力法方程3、计算系数及自由项4、解方程5、作内力图位移法计算步骤1、设基本未知量2、列杆端弯矩方程3、列位移法方程4、解方程5、求杆端弯矩6、做内力图为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程中进行力矩的分配与传递。

渐近法有力矩分配法、无剪力分配法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。

力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊的形式。

对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。

§8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法：理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。

基本概念转动刚度S分配系数μ传递系数 C力矩分配法中符号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、弯矩及固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点或附加刚臂逆时针旋转为正号。

一、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。

在数值等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。

转动刚度SAB 与杆的线刚度i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。

二、分配系数设A 点有力矩M ，求M AB 、M AC 和M AD如用位移法求解：A AB A AB AB S i M θθ==4A AC A AC AC S i M θθ==A AD A AD AD S i M θθ==30=∑AM A AD AC ABS S SM θ)(++=∑=++=AAD AC AB A SMS S S M θ所以有M SS M AABAB ∑=M S S M AAC AC ∑= M S S M AAD AD ∑=M M Aj Aj ⋅=μ ∑=AAjAj SS μ 1=∑μ三、传递系数=远端弯矩/近端弯矩M AB = 4 i ABθAM BA = 2 i ABθA在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

单结点的力矩分配用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架计算步骤:第一，计算单跨超静定梁的固端弯矩；第二，计算结点处各杆端的弯矩分配系数；将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，在结点处按分配系数进行分配。

第三，计算各杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数。

在各杆上按传递系数进行传递。

第四，将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。

作内力图。

【例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。

§2 多结点的力矩分配1、原理与方法对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，思路是，首先把所有结点锁住，然后依次逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。

2、计算步骤（1）计算各结点的分配系数；（2）将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩；（3）将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力矩，直到传递弯矩小到可忽略为止；（4）把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。

例.用力矩分配法列表计算图示连续梁。

力矩分配法小结：1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。

2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。

3）结点不平衡力矩要变号分配。

4）结点不平衡力矩的计算：5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。

例. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。

§3 对称结构的计算例、求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。

k当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2>20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩l2/12。

此时竖柱对横梁起固定支座的作用。

k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1>20i2),梁端弯矩接近于零。

此时竖柱对横梁起铰支座的作用。

k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。

k如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。

k§4 无剪力分配法1、概述1）两类刚架的区别在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。

无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移；有侧移刚架——基本未知量既含结点角位移，也含结点线位移。

2）两类解法的用途力矩分配法——求解无侧移刚架的渐近法；无剪力分配法——求解符合某些特定条件的有侧移刚架的渐近法。

2、无剪力分配法的应用条件1）两种杆件的概念无侧移杆件——杆件两端没有相对线位移（即没有垂直杆轴的相对位移）的杆件；剪力静定杆件——杆件两端虽有侧移，但剪力是静定的，即可根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件。

2）无剪力分配法应用条件适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件（无侧移杆）外，其余杆件都是剪力静定杆件的有侧移刚架。

可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与柱平行的问题。

但也可以推广到单跨多层对称刚架等问题。

对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。

因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。

单层单跨刚架上面两个过程主要讨论剪力静定杆件的变形和受力特点。

（1）求剪力静定杆的固端弯矩时，先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，远端固定杆件计算固端弯矩。

（2）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数C=-1。

（3）AC杆的计算与以前一样。

1、剪力静定杆的固端弯矩：求剪力静定杆的固端弯矩时先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。

2、剪力静定杆的转动刚度和传递系数：剪力静定杆的S= i C=－1§ 5 力矩分配法与位移法联合应用•有侧移时，与位移法联合，解部分方程。

•步骤：1、加侧向线位移约束•2、力矩分配法作M p图，求荷载约束力F1p•3、给定单位侧向线位移，用力矩分配法求单位位移约束力K11•4、剪力位移法方程，求位移•5、叠加法作内力图§8 超静定力的影响线(自学)首先复习一下静定结构影响线的制作。

图示一简支梁，要作k点的弯矩影响线，其步骤是：1）让单位力在k点的左侧移动，写出k点弯矩的影响线方程:M k=xb/L2）让单位力在k点的右侧移动，写出k点弯矩的影响线方程:M k=xa/L3）由影响线方程，用描点法画出影响线。

对于超静定结构的影响线从理论上讲，可以完全按静定结构的方法及步骤进行。

例如图示一超静定梁作k点的弯矩影响线，其步骤是：1）让单位力在k点的左侧移动,写出k点弯矩的影响线方程；2）让单位力在k点的右侧移动,写出k点弯矩的影响线方程；3）由影响线方程，用描点法画出影响线。

但是上述写影响线方程的过程，均需用力法求解超静，因此工作量特别大。

下面介绍用力法来制作超静定结构影响线，为此先要建立一个概念：力法的基本体系可以取超静定的.图示一两次超静定梁，可以去掉一个约束，取图示的基本体系，它是一次超静定的，力法方程为：11110 PXδ+∆=但是求系数和自由项时，要在基本体系上画弯矩图，因此需要解两遍“一次超静定结构”。

以图示超静定连续梁MK 的影响线为例，说明用力法求作超静定影响线的方法。

1）取基本体系（超静定、几何不变体系）——去掉与MK 相应的约束，代之以(暴露出来的)约束反力XK2）力法方程由于荷载是单位力，因此：又由位移互等定理：力法方程可写成：--在Xk=1作用下，k 点处的相对转角，是常数。

--在Xk=1作用下，P 点处的竖向位移，由于单位力可以在梁上任意移动，因此它是整个梁的挠度，是变量。

力法方程可写成：由上式可见：X K 与 成正比，Xk(x)即为影响线方程。

因此 作用下，基本体系产生的挠曲线即为 影响线的轮廓线.下面分两部分介绍：1）绘制超静定结构影响线的大致图形；2）绘制超静定结构影响线的精确图形。

kP kP δ∆=kP Pk δδ=Pk k kk X δδ=-kk δPk δ()()Pkk kk x X x δδ=-1、绘制超静定结构影响线的大致图形步骤如下:（1）撤去所求量值的相应约束，代之以多余力XK,得到一个n-1次超静定的基本体系；（2）使体系沿X1方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图，即为影响线形状。

（3）在 图中令 即为影响线数值（4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号2、绘制超静定结构影响线的精确图形步骤如下:（1）撤去所求量值的相应约束，代之以多余力XK,得到一个n-1次超静定的基本体系；（2）建立力法方程，由于只有一个多余力，力法方程为：即为影响线方程；kk k kP X δ+∆=。