(word)高中数学非线性回归方程(可线性化)简答题练习(含答案)

非线性回归方程（可线性化）
1. 近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁
路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位．如表截取了2012−2016年中国高铁密度的发展情况(单位：千米/万平方千米)．
已知高铁密度y 与年份代码x 之间满足关系式y =yy y (y ,b 为大于0的常数).若对y =yy y 两边取自然对数，
得到yyy =yyyy +yyy ，可以发现ln y 与ln x 线性相关． (1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程(ln y ̂,y ̂
保留到小数点后一位)； (2)利用(1)的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米/万平方千米． 参考公式：设具有线性相关系的两个变量x ，y 的一组数据为(y y ,y y )(y =1,2，……y )，
则回归方程y ̂
=y ̂
y +y ̂
的系数：y ̂
=
∑(y y =1y y −y −
)(y y −y −
)
∑(y y =1y y −y −)
2，y ̂
=y −
−yy −
．
参考数据：∑y 5y =1yy y ⋅yyy y −5yyy −
⋅yyy −
≈0.92，∑(5y =1yyy y )2−5(yyy −
)2≈1.6，∑y 5y =1yy y ≈5，∑y 5y =1yy y ≈14， 2≈7.4，yy30≈3.4．
解：(1)对y =yy y (y >0,y >0)两边取自然对数，得yyy =yyyy +yyy ； 令y y =yyy y ，y y =yyy y ，y =1，2，3，…，n ； 得u 与v 具有线性相关关系， 计算y ̂
=
∑y y 5y =1y y −5y −y
−
∑y y 25y =1−5y
−2=
0.921.6
=0.575，yyy ⏜=y −
−y ̂y −
=145
−0.575×1=2.225，
∴y ̂≈0.6，yyy ⏜≈≈2.2， ∴y ̂
=0.6y +2.2，
故y关于x的回归方程为ŷ=y0.6yyy+2.2，
即ŷ=y2.2⋅y0.6；
(2)在(1)的回归方程中，y=y0.6yyy+2.2，高铁密度超过30千米/万平方千米；即y0.6yyy+2.2>30，
0.6yyy+2.2>yy30≈3.4，yyy>2.y>y2≈7.4，
即y=8时，高铁密度超过30千米/万平方千米；
所以预测2019年，高铁密度超过30千米/万平方千米．
2.2017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高
铁、支付宝、共享单车和网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用．某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历．
(1)求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率；
(2)统计一周内每天使用支付宝付款的人数x与商家每天的净利润y元，得
到7组数据，如表所示，并作出了散点图．
(y)直接根据散点图判断，y=y+yy与y=y y+yy哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型．(y,b，c，d的值取整数)
(yy)根据(y)的判断，建立y关于x的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天的净利润．
参考数据：
附：对于一组数据(y1,y1)，(y2,y2)，…，(y y,y y)，其回归直线y=yy+y的斜
率和截距的最小二乘估计分别为y ̂
=
y y =1y y −y )(y −y )
∑(y y =1y y −y )
2,y ̂=y −y ̂
y ．
解：(1)记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M ，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为y 1，y 2，不足5元的三人分别记为y 1，y 2，y 3，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下：y 1y 2y 1，y 1y 2y 2，y 1y 2y 3，y 1y 1y 2，y 1y 1y 3，y 1y 2y 3，y 2y 1y 2，y 2y 1y 3，y 2y 2y 3，y 1y 2y 3，共10种． 其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况， 所以y (y )=9
10．
(2)(ⅰ)根据散点图可判断，选择y =y +yy 作为每天的净利润的回归方程类型比较适合．
(ⅰ)由最小二乘法求得系数y ̂=7
y =1y y −y )(y −y )∑(7y =1
y y
−y )2=3484.29
268.86
≈13， 所以y
̂=y −y ̂y =194.29−13×22.86≈−103 所以y 关于x 的回归方程为y =−103+13y ． 当y =35时，商家当天的净利润y =352元，
故使用支付宝付款的人数增加到35时，预计商家当天的净利润为352元．
3. 已知某种农产品的日销量y 与上市天数x 之间满足的关系如图所示．
(Ⅰ)根据散点图判断y =y +yy 与y =y +yyyy 哪一个更适合作为日销量y 与上市天数x 的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)中的结果，求日销量y 与上市天数x 的回归方程．
参考公式：回归直线方程y ^=y ^y +y ^中的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为y ̂
=
∑(y y =1
y y −y −)(y y −y −
)
∑(y y =1y y −y −
)
2，y ̂=y ̂−y ̂
y −
．
参考数据：
∑x x 10
x =1
∑x x 10
x =1
∑x x 10
x =1
∑(10
x =1
x x
−x −
)
2
∑(10
x =1
x x
−x −
)
2
∑(10
x =1
x x
−x −
)(x x −x −
) ∑(10
x =1
x x
−x −
)(x x −x −
)
55 155.5 15.1 82.5 4.84
94.9
24.2
其中y y =yyy y ．
解：(Ⅰ)由图可知，y =y +yyyy 更适合； (Ⅱ)令y =yyy ，则y ̂=yy +y ． y =
∑(10y =1y y −y −
)(y y −y −
)
∑(10y =1y y −y −)
2=24.2
4.84=5，
y −
=
1
10∑y
y
10y =1=
15.110
=1.51，y −
=1
10∑y y 10y =1=
155.510
=15.55，
∴y =y −
−yy −
=15.55−5×1.51=8． 故y 关于t 的回归方程为y
̂=5y +8， 即日销量y 与上市天数x 的回归方程为y ̂=5yyy +8．
【解析】(Ⅰ)由图可知，y =y +yyyy 更适合；
(Ⅱ)令y =yyy ，则y
̂=yy +y ，利用已知数据及公式求得c 与d 的值，可得y 关于t 的线性回归方程，进一步求得y 关于x 的回归方程．
4.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得
了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且做了一定的数据处理(如表)，做出了散点图(如图)．
x x x ∑( 10 x=
1
x x
−x)2
∑(
10
x=1
x x−x)2
∑(
10
x=1
x x
−x)(x x−x)
∑(
10
x=1
x x
−x)(x x−x)
1.4720.60.78
2.350.81−19.316.2
表中y y=1
y y2
,y=1
10
∑y y
10
y=1．
(1)根据散点图判断，y=y+yy与y=y+y
y2
哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋转角x的回归方程类型？(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)若旋转角x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一
壶水最省煤气？
附：对于一组数据(y1,y1)，(y2,y2)，(y3,y3)，…，(y y,y y)，其回归直线y=y+
yy的斜率和截距的最小二乘估计分别为ŷ=y y=1y y−y)(y−y)
∑(
y
y=1y y−y)2
，ŷ=y−ŷy．
解：(1)y=y+y
y2
更适宜作烧水时间y关于开关旋转角x的回归方程类型．
(2)由公式可得：y=16.2
0.81
=20,y=20.6−20×0.78=5，所以回归方程为y=5+
20
y2．
(3)设y=yy，则煤气用量y=yy=yy(5+20
y2)=5yy+20y
y
≥2√5yy⋅20y
y
=20y，
当且仅当5yy=20y
y
时取“=”，即y=2时，煤气用量最小．
【解析】(1)根据散点图是否按直线型分布作答；
(2)根据回归系数公式得出y关于y的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；
(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．。