2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第一章 集合与常用逻辑用语1.1
大一轮复习讲义第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：、、.(2)元素与集合的关系是或，用符号或表示.(3)集合的表示法：、、.(4)常见数集的记法知识梳理ZHISHISHULI确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)_____________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中_______________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集_______2.集合间的基本关系A⊆B(或B⊇A)A B(或B A)A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}【概念方法微思考】1.若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集.提示2n2n－1.,2.从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.()(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.()(4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}.()(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.()(6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .()×××√×基础自测JICHUZICE√题组二教材改编2.[P11例9]已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝____________.{x |x 是直角}3.[P44A 组T5]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为______.2解析集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22， 则A ∩B 中有两个元素.题组三易错自纠4.已知集合A ＝{1,3，}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于A.0或B.0或3C.1或D.1或3或0m 解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，√3 3 A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为√A.5B.4C.3D.2解析当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是____________.(3，＋∞)解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|x<a}，∴a>3.7.若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.0或98 解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23，符合题意； 若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.2题型分类深度剖析PART TWO题型一集合的含义自主演练1.若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是√A.2B.3C.4D.5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}.0或12.若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.解析若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，不符合题意.综上可知，a＝0或a＝1.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.题型二集合的基本关系例1 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为 A.13或－12 B.－13或12 C.13或－12或0 D.－13或12或0 √师生共研(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的[2 018，＋∞)取值范围是_____________.解析由x2－2019x＋2018<0，解得1<x<2018，故A＝{x|1<x<2018}.又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是(－∞，1]___________.解析A＝{x|1<x<2018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练1(1)(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a＝0，a∈R}，若A＝B，则a等于√A.1B.2C.－1D.－2解析由B＝{1，a}＝{1,2}，得a＝2，故选B.(2)已知集合A ＝，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是_______________________.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34，＋∞ 解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.解析∵P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，∴P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}.故选A.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例2(1)(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q 等于A.(－1,2) B.(0,1)C.(－1,0)D.(1,2)√多维探究(2)(2018·浙江)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A等于A.∅B.{1,3}√C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，A＝{2,4,5}.∴∁U故选C.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是A.－1<a≤2B.a>2√C.a≥－1D.a>－1解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若A∩B＝B，(－∞，－1]∪{1}则实数a的取值范围是__________________.思维升华(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算.②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解.对于端点处的取舍，可以单独检验.③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解.(2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.跟踪训练2(1)(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知全集为R，集合A＝{y|y ＝3x，x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∪B＝________，A∩(∁RB)＝________.解析因为A＝{y|y＝3x，x≤1}＝{y|0＜y≤3}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝(0,4].又因为∁RB＝{x|x＜2或x＞4}，所以A∩(∁R B)＝(0,2).(0,4](0,2)(2)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪⎪ 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是A.[1，＋∞)B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫23，＋∞D.(1，＋∞)√解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.题型四集合的新定义问题师生共研例4 (1)定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝ {2,4,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为A.6B.7C.8D.9 √解析 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12，14，16，1，13， 则B A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12，14，16，1，13，2， 共有7个元素，故选B.(2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”.已知集{0,6}合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.解析由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去.当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练3(1)定义一种新的集合运算：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}.若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于√A.{x|3<x≤4}B.{x|3≤x≤4}C.{x|3<x<4}D.{x|2≤x≤4}解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}.6(2)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.解析依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.3课时作业PART THREE1.(2018·浙江嘉兴一中适应性考试)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为A.9B.6C.4D.3√基础保分练解析 由于x ，y ∈A 的数对共C 13C 13＝9对，其中(2,3)，(3,2)，(3,3)满足x ＋y －4＞0，所以集合B 中的元素个数为3，故选D.2.(2018·绍兴质检)已知集合A＝{x∈R||x|＜2}，B＝{x∈R|x＋1≥0}，则A∩B 等于√A.(－2,1]B.[－1,2)C.[－1，＋∞)D.(－2，＋∞)解析由题意得集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≥－1}，所以A∩B＝{x|－1≤x＜2}，故选B.3.已知集合A ＝，则满足A ∪B ＝{－1,0,1}的集合B 的个数是A.2 B.3 C.4 D.9√⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪⎪ x －1x ＝0 解析 解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1,0,1}，所以B ＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B 共有4个.4.设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2＜0}，B ＝{x |2x －5＞0}，则集合A 与集合B 的关系是A.B ⊆AB.B ⊇AC.B ∈AD.A ∈B解析因为A ＝{x |－x 2－x ＋2＜0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，√B ＝{x |2x －5＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＞52，所以B ⊆A ，故选A.5.(2018·浙江杭州第二中学月考)若集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为A.2B.－2C.－1或2D.2或 2√解析 由集合A 易得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ≥0，x 2－2≥0，x ＝x 2－2，所以A ＝{2}，而A ⊆B ，则m ＝2，故选A.6.(2019·宁波调研)已知集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2＋2x－3≤0}，则M∩N等于√A.{x|－2≤x≤1}B.{x|1≤x＜2}C.{x|－1≤x≤2}D.{x|－3≤x≤2}解析由题意得集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|－3≤x≤1}，则M∩N＝{x|－2≤x≤1}，故选A.7.(2018·温州十校联考)已知集合P ＝{x |y ＝}，Q ＝{x |y ＝ln(x ＋1)}，则P ∩Q 等于A.{x |－1≤x ≤2}B.{x |－1≤x ＜2}C.{x |－1＜x ≤2}D.{x |－1＜x ＜2}解析由题意得集合P ＝{x |x ≤2}，Q ＝{x |x ＞－1}，所以P ∩Q ＝{x |－1＜x ≤2}，故选C.√2－x8.(2018·浙江金华一中月考)已知集合A ＝，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是A.A ＝BB.A ∪B ＝RC.A ∩(∁R B )＝∅D.B ∩(∁R A )＝∅解析由题意得集合A ＝{y |0＜y ≤2}，B ＝{y |1＜y ≤2}，所以∁R A ＝{y |y ≤0或y ＞2}，所以B ∩(∁R A )＝∅，故选D.√⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，x ≥－19.(2018·金华十校模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则8{1,5}S∩(∁U T)＝________，集合S共有_____个子集.解析由题意可得∁T＝{1,4,5}，U则S∩(∁T)＝{1,5}.U集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个.10.(2018·浙江名校协作体联考)已知集合U＝{－1,1,2,3,4,5}，且集合A＝{－1,1,3}与集合B＝{a＋2，a2＋4}满足A∩B＝{3}，则实数a＝________，A∩(∁U B)＝________.1解析因为A∩B＝{3}，所以3∈B，当a＋2＝3时，a＝1，此时a2＋4＝5，集合B＝{3,5}，符合题意；当a2＋4＝3时，a无实数解，综上所述，a＝1，此时∁U B＝{－1,1,2,4}，则A∩(∁U B)＝{－1,1}.{－1,1}11.(2019·宁波模拟)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(∁U B)＝{1,3,5}，{0,2,4,6}则B＝________.解析由A∩(∁B)＝{1,3,5}得，元素1,3,5不在集合B内.U若元素0不在集合B内，则由A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，得元素0在集合A内，则0∈A∩(∁B)，与题意不符，所以元素0在集合B内，U同理可得元素2,4,6也在集合B内，所以B＝{0,2,4,6}.12.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的[1，＋∞)取值范围是__________.解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.13.已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是技能提升练A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，13C.(－∞，0]D.[0，＋∞) √。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第一章 核心素养提升(一)
核心素养提升(一)
第一章 集合与常用逻辑用语
(选修 2-1 P13 B 组 T1)已知 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足 条件 q}． (1)如果 A⊆B，那么 p 是 q 的什么条件； (2)如果 B⊆A，那么 p 是 q 的什么条件； (3)如果 A＝B，那么 p 是 q 的什么条件． 问题渗透的思想方法即是用集合的关系判断充分条件、必要条 件、充要条件．
【解】 由|x－2|≤m，得－m＋2≤x≤m＋2. (1)因为 p 是 q 的充分条件． 所以{x|－m＋2≤x≤m＋2}⊆{x|－1≤x≤4}， 即－m＋m＋2≤2≥4，－1， 解得 m≤2，故填 m≤2.
(2)因为 p 是 q 的必要条件． 所以{x|－m＋2≤x≤m＋2}⊇{x|－1≤x≤4}， 即－m＋m＋2≥2≤4，－1，解得 m≥3，故填 m≥3. (3)证明：假设 p 是 q 的充要条件，则 {x|－m＋2≤x≤m＋2}＝{x|－1≤x≤4}． 则－m＋m＋2＝2＝4，－1，无解． 故 p 不可能是 q 的充要条件．
已知集合 A＝y|y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋ m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数 m 的取 值范围． 【解】 y＝x2－32x＋1＝x－342＋176， 因为 x∈34，2， 所以176≤y≤2， 所以 A＝y|176≤y≤2.
2019/8/6
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第一章 集合与常用逻辑用语
(1 是 q 的充分条件． (2)同理可得，当 B⊆A 时，p 是 q 的必要条件． (3)同理可得，A＝B 时，p 是 q 的充要条件．
(浙江专版)2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合课件
等于
()
A．92
B．98
C．0
D．0 或98
解析：若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只
有一个实根或有两个相等实根．当 a＝0 时，x＝23，符合题意．
Hale Waihona Puke 当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝98，
所以 a 的值为 0 或98. 答案：D
4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合 A＝{1,2,3}，
2．若集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 且 B⊆A，则由 m 的可能取值组成的集合为________．
解析：当 m＋1＞2m－1，即 m＜2 时， B＝∅，满足 B⊆A；若 B≠∅，且满足
B⊆A，如图所示，则mm＋ ＋11≤ ≥－2m2－，1， 2m－1≤5，
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系； 二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它 本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异
性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
里有序集对(A，B)是指当 A≠B 时，(A，B)和(B，A)是不
同的集对，那么“好集对” 一共有( )个
()
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 解析：因为 A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，
所以当 A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当 A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；
[即时应用]
1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为
【数学】浙江专用2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书
【关键字】数学（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法A B(或B A)1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两身材集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉A.2．(2016·杭州质检)设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1<x≤2}，则(∁RA)∩B等于( ) A．{x|－1≤x≤0} B．{x|0<x<2}C．{x|－1<x<0} D．{x|－1<x≤0}答案 B解析因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁RA＝{x|0<x<2}，(∁RA)∩B＝{x|0<x<2}，故选B. 3．(2016·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( ) A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10；即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.4．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是__________．答案[2，＋∞)解析由A∩B＝A，知A⊆B，从数轴观察得a≥2.题型一集合的含义例1 (1)(2016·济南模拟)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．6(2)若集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)B (2)0或解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1,2,6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3,4,8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6,7,11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)(2016·宁波模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈A (k ∈Z )D ．－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)C (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)(2016·余姚一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1,2}⊆B ，I ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示， 可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示， 可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(1)(2016·宁波模拟)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{1，x ，x 2－x }，且B ⊆A ，则x 等于( )A ．1B ．0C ．2D ．－1(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)当x ＝0时，x 2－x ＝0，不满足条件； 当x ＝2时，x 2－x ＝2，不满足条件； 当x ＝－1时，x 2－x ＝2，满足条件， 所以x ＝－1，故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )等于( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 (1)D (2)B解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}，得A ∩B ＝{x |32<x <3}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. (2)由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}． ∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)已知集合P ＝[1,3]，集合Q ＝(－∞，a )∪(b ，＋∞)，其中a <b ，若P ∩(∁R Q )＝[2,3]，则( ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝2，b ≤3 C ．a ＝2，b ≥3D ．a ≤2，b ≥3(2)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1答案 (1)C (2)D解析 (1)因为∁R Q ＝[a ，b ]，P ∩(∁R Q )＝[a ，b ]∩[1,3]＝[2,3]，所以a ＝2，b ≥3，故选C. (2)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 (1)C (2)D解析 (1)∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}， ∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1,0，12，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________． 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1,1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1,1，12，2}，共7个． 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B ．{x |3≤x ≤4} C ．{x |3<x <4} D ．{x |2≤x ≤4}答案 B解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}．1．集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3或0(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________． 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．答案(1)B (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验．(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1．(2016·台州模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则( ) A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．A∩B＝∅答案 A解析∵k∈Z，∴4k＋1∈B，∴A⊆B.2．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中元素的个数为5.故选C.3．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．2答案 B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．4．(2016·绍兴期末调研)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，则S∩T等于( ) A．[3，＋∞) B．[4，＋∞)C．(2,3] D．(2,4]答案 D解析由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝(2,4]，故选D.5．(2017·杭州二中月考)已知全集为U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1<x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|－2≤x<0}答案 A解析由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}．图中阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)，又∁U N＝{x|x≤1}，所以M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤1}，故选A.6．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)， 由A ⊆B ，得a ≥0.7．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.8．(2016·杭州第二中学考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 B解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.9．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}．∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.512 答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112，故选C.11．(2016·浙江五校高三联考)定义集合A ＝{x |2x≥1}，B ＝{x |log 12x <0}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 [0,1]解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x >1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B )＝[0,1]．12．(2016·诸暨高三5月质检)已知集合P ＝{1，m }，Q ＝{m 2}，若P ∪Q ＝P ，则实数m 的值是________． 答案 0或－1解析 由P ∪Q ＝P ，得Q ⊆P ，∴m 2∈{1，m }， 当m 2＝1时，m ＝1(舍)或m ＝－1； 当m 2＝m 时，m ＝1(舍)或m ＝0. 综上，m ＝－1或m ＝0.13．(2016·临安模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}．14．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，1]解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 15．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________． 答案 5解析 当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0； 当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1； 当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2； 当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1； 当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0； 当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1； 当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．*16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第一章 第1讲 集合及其运算
2．已知集合 A＝{x|x∈Z，且2－3 x∈Z}，则集合 A 中的元素个 数为________． 解析：因为2－3 x∈Z，所以 2－x 的取值有－3，－1，1，3，又 因为 x∈Z，所以 x 的值分别为 5，3，1，－1，故集合 A 中的 元素个数为 4. 答案：4
集合的基本关系
(1)已知集合 A＝{x|y＝ 1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2， m∈A}，则( )
集合的补集
图形 语言
符号 A∪B＝
A∩B＝
∁UA＝
_{_x_|x_∈__A__，__或_____ _{_x_|x_∈__A__，__且_____ __{x_|_x_∈__U_， ___且____
语言 _x_∈__B_}___
_x_∈__B__}
__x_∉_A_}_
4.集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A； A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B_⊆__A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A； A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A_⊆__B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝_U_；A∩(∁UA)＝__∅_． (4)∁U(∁UA)＝_A_；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【解析】 (1)当 x＝0 时，y＝0；当 x＝1 时，y＝0 或 y＝1； 当 x＝2 时，y＝0，1，2. 故集合 B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合 B 中有 6 个元素． (2)当 a＝0 时，显然成立； 当 a≠0 时，Δ ＝(－3)2－8a＝0， 即 a＝98.
2<0} ， B ＝ {x|1<x<3} ， 则 A∪B ＝ ________ ， ∁U(A ∩ B) ＝
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第一章第1讲集合及其运算含解析
[基础达标]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2019·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1， 所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A. 3．(2019·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6}解析：选C.因为全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，所以B ＝{0，2，4，6}，故选C.4．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 解析：选B.因为A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故选B.5．(2019·宜春中学、新余一中联考) 已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C.由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}． 由2x <1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}． 又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A ， 因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x |0≤x <6}，故选C.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选B.因为A ∩B 有4个子集， 所以A ∩B 中有2个不同的元素， 所以a ∈A ，所以a 2－3a <0， 解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．117解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2019·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1. 所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }， 所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4. 答案：4 12．(2019·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．解析：log 2(x －2)<1⇒0<x －2<2⇒2<x <4⇒B ＝(2，4)，所以A ∪B ＝[－1，4)，A ∩(∁U B )＝[－1，2]． 答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________．解析：当k ＝－1时，n ＝－4；当k ＝0时，n ＝－1；当k ＝1时，n ＝2；当k ＝2时，n ＝5.由|x －1|>3，得x －1>3或x －1<－3，即x >4或x <－2，所以B ＝{x |x <－2或x >4}，∁R B ＝{x |－2≤x ≤4}，A ∩(∁R B )＝{－1，2}．答案：{x |x <－2或x >4} {－1，2} 14．(2019·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．解析：M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}＝{x |x <1或x >3}，N ＝{x ∈R |2x >4}＝{x |x >2}，所以M ∩N ＝(3，＋∞)，所以∁R (M ∩N )＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞) (－∞，3]15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4.答案：3 416．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B . 所以B ＝{5，6，7，8，9}． 答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1][能力提升]1．(2019·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1} C ．{x |x ≤－1或x ＞1} D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B. 3．(2019·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________． 解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解； 若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
浙江省高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集合课件
(2)(2020·北京东城区一模)设 A，B 是 R 的两个子集，对任意 x∈R，定义：m＝ 01，，xx∉∈AA，，n＝01，，xx∉∈BB，. ①若 A⊆B，则对任意 x∈R，m(1－n)＝________； ②若对任意 x∈R，m＋n＝1，则 A，B 的关系为________.
复习课件
浙江省高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集合课件
2021/4/17
浙江省高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集 合课件
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第1节 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语 言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的 含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集 合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子 集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系 及集合的基本运算．
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，
y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.9
B.8
C－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A.92
B.98
C.0
D.0 或98
休息时间到啦
[常用结论与易错提醒] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C(“⊆”换为“ ”仍成立). 3.集合元素个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(常在实际问题中应用). 4.对于A⊆B，注意A＝ 的情形. 5.对于含参数的集合，注意检验元素的互异性.
2020浙江新高考数学一轮复习—集合与常用逻辑用语(含解析)
2020浙江省新高考数学一轮复习资料第一节 集 合突破点(一) 集合的基本概念1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性： (2)集合与元素的关系： (3)集合的表示方法： 2．常用数集及记法[例1] (1)) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98[例2] (1)设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6(2)(2017·宁波模拟)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系正确的是( ) A ．m P B ．m ∈P C ．m ∉PD ．m ⊆P 2．[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．93．[考点二](2017·杭州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－24．[考点一]已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 5．[考点一]若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________.突破点(二)集合间的基本关系[例1]已知集合A＝{2A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4[例2]已知集合A＝{x|y2()A．A⊆B B．B⊆A C．A⊆B D．B＝A[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．[考点一]集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A．3 B．4 C．7 D．82．[考点二·考法(一)](2017·台州模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P3．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝()A．1 B．0 C．－2 D．－34．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．突破点(三) 集合的基本运算1．集合的三种基本运算(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[例1] (1)(2016·全国甲卷)，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3[例2] (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3] C ．[1,2) D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[例3] (2017·舟山模拟∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A.⎝⎛⎦⎤－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞)1．[考点一](2016·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}2．[考点一](2017·长春模拟)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．[考点二](2017·金华调研)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩ (∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)4．[考点三]定义集合A ，B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1·x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2}，B ＝{1,2}，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．5B ．6C ．7D ．95．[考点二]设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．[课时达标检测] 一、选择题1．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 的真子集的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．32．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3} D ．{1,4} 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]4．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．55．已知全集为整数集Z.若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z}，则A ∩(∁Z B )＝( ) A ．{－2} B ．{－1} C ．[－2,0]D ．{－2，－1,0}6．(2017·温州模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，1]∩(2，＋∞)B ．(－1,0)∪[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]7．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1] C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2] 8．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]9．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．∁U (M ∩N ) C ．∁U (M ∪N ) D ．(∁U M )∩N10．(2017·绍兴模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21二、填空题11．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝________．12．(2017·中原名校联考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝________. 13．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N}的元素的个数是________．14．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 15．集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________.16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．17．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件突破点(一) 命题及其关系1．命题的概念 2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系[例1] A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[例2] (1)命题“若a >b A ．若a >b ，则a －1≤b －1 B ．若a >b ，则a －1<b －1 C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1 D ．若a <b ，则a －1<b －1(2)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．01．[考点一]下列命题中为真命题的是( )A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集2．[考点二]命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0 B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 3．[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题 4．[考点二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．突破点(二)充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.[例1](1)(2016·满足x＋y＞2，则p是q 的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[例2](1)2()A．a≥1 B．a>1 C．a≥4 D．a>4(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．1．[考点一](2017·杭州七校联考)“x>1”是“log2(x－1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[考点二]已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]3．[考点一](2017·金华模拟)“已知命题p：cos α≠12，命题q：α≠π3”，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[考点二]已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)5．[考点一]已知函数f(x)＝13x－1＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)[课时达标检测]一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 2．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是()A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2”C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ” 4．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．46．“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．(2017·杭州模拟)已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④10．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题11．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．12．(2017·岳阳平江一中期中)在斜三角形ABC 中，“A >B ”是“|tan A |>|tan B |”的________条件．13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．17．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，则x 的取值范围为________； (2)若q 是p 的必要条件，则实数a 的取值范围为________．第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节 集 合突破点(一) 集合的基本概念1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．常用数集及记法本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念； 2.集合间的基本关系； 3.集合的基本运算.求元素(个数)或已知元素个数求参数[例1] (1)) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98[解析] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素． (2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a ＝0或98.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求元素(个数)的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A ，B ，求集合C ＝{z |z ＝x *y ，x ∈A ，y ∈B }(或集合C 的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x ，y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z 的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2] (1)设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6(2)(2017·宁波模拟)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)因为x ∈A ，且x ∉B ，故x ＝3. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1)B (2)－32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系正确的是( ) A ．m P B ．m ∈P C ．m ∉PD ．m ⊆P解析：选C 易知P ＝{x |0≤x ≤2}，而m ＝30.5＝3>2，∴m ∉P ，故选C.2．[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．9解析：选D 集合B 中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个． 3．[考点二](2017·杭州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.4．[考点一]已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6]5．[考点一]若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故符合题意的a 的值为4. 答案：4突破点(二) 集合间的基本关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流”表示关系文字语言记法 集合间的基本关系 子集集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素 A ⊆B 或B ⊇A 真子集集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于AA B 或B A相等 集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集∅B 且B ≠∅考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”集合子集个数的判定含有n n n )；非空真子集的个数为2n －2(除空集和集合本身，此时n ≥1)．[例1] 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C 为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案] D [易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一) [例2] 已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A[解析] 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以B A .故选B. [答案] B [方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断． (3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二) 根据集合间的关系求参数[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (－∞，3] [易错提醒]将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]集合A ＝{x ∈N|0<x <4}的真子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：选C 因为A ＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.2．[考点二·考法(一)](2017·台州模拟)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}＝{y |y ≤1}，所以∁R P ＝{y |y >1}，又Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}，所以∁R P ⊆Q ，故选C. 3．[考点二·考法(二)]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a ＝( ) A ．1B ．0C ．－2D ．－3解析：选C ∵A ⊆B ，∴a ＋3＝1，解得a ＝－2.故选C.4．[考点二·考法(二)]已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三) 集合的基本运算1．集合的三种基本运算AA 的(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[例1] (1)(2016·全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3[解析] (1)因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．(2)∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32＝⎝⎛⎭⎫32，3. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]求集合的交集或并集时，应先化简集合，再利用交集、并集的定义求解．交、并、补的混合运算[例2] (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[解析] (1)因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．(2)∵Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，∴∁R Q ＝{x ∈R|x 2＜4}＝{x ∈R|－2＜x ＜2}．∵P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，∴P ∪(∁R Q )＝{x ∈R|－2＜x ≤3}＝(－2,3]．[答案] (1)A (2)B [方法技巧]集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．集合的新定义问题[例3] (2017·舟山模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A.⎝⎛⎦⎤－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [解析] 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y <0}， 所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥0或y <－94. 故选C. [答案] C [方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2016·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}解析：选C 集合A ＝{x |－2<x <2}，集合B ＝{－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}． 2．[考点一](2017·长春模拟)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.3．[考点二](2017·金华调研)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：选B由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故选B.4．[考点三]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为()A．5 B．6 C．7 D．9解析：选C∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.5．[考点二]设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x<0}[课时达标检测] 基础送分课时——精练“10＋7”，求准求快不深挖一、选择题1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A的真子集的个数是()A．16 B．8C．4 D．3解析：选D集合A中有两个元素，则集合A的真子集的个数是22－1＝3.选D.2．(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}解析：选D因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 4．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.5．已知全集为整数集Z.若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z}，则A ∩(∁Z B )＝( ) A ．{－2} B ．{－1} C ．[－2,0]D ．{－2，－1,0}解析：选D 由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z}，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z}，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1,0}，故选D.6．(2017·温州模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，1]∩(2，＋∞)B ．(－1,0)∪[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，A ∩B ＝{x |0≤x <1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－1,0)∪[1,2]．7．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1]C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]解析：选C 由|x |≤1，得－1≤x ≤1，由log 2x ≤1，得0<x ≤2，所以∁U A ＝{x |x >1或x <－1}，则(∁U A )∩B ＝(1,2]．8．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1. 9．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．∁U (M ∩N ) C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.10．(2017·绍兴模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.二、填空题11．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．答案：{－1,2,3,5}12．(2017·中原名校联考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝________. 解析：因为∁U A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝{x |x <0或x ≥1}． 答案：{x |x <0或x ≥1}13．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N}的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________.解析：∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________.解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}．∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．答案：[－3,0)16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．。
(浙江专版)2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件
答案：①③
[谨记通法]
1．写一个命题的其他三种命题时的 2 个注意点
(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．命题真假的 2 种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系 进行判断．
a＞b， 故綈 p 为 a2≤b2， 綈 q 为 a≤b.所以原命题的否命题 为：若 a2≤b2，则 a≤b.
答案：B
2．命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假 性为 A．“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为真命题 B．“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为真命题 C．“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为假命题 D．“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为假命题
真假 的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于 逆否命题 ， 原命题的否命题等价于 逆命题 ． 在四种形式的命题中真命 题的个数只能是 0,2,4 .
3．充要条件 若 p⇒q，则 p 是 q 的 充分 条件，q 是 p 的 必要 条件 p 是 q 的充分不必要 条件 p 是 q 的必要不充分 条件 p 是 q 的 充要 条件 p 是 q 的既不充分也 p p 成立的对象的集合 为 A，q 成立的对象的 集合为 B p⇒q 且 q p A 是 B 的真子集 集合 p q 且 q⇒p p⇔q q且q p B 是 A 的真子集 与 充 ______ A＝B A，B 互不 包含 要条 件
不必要 条件
[小题体验] 1．下列命题是真命题的是 ( )
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条
2
1
所以“ - < ”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选 A.
2
2
A
关闭
解析
答案
-12知识梳理
双击自测
5.设条件p:x<1,条件q:|x|<1,条件r:-1<x<1,那么p是q的
条件,r是p的
条件,q是r的
条件.
关闭
满足条件p的集合A={x|x<1},满足条件q的集合B={x||x|<1}.
考查要 义,及其相互之间的关系.
求
2.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能
判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
-3-
年份
2018 2017
2016
2015
2014
高考对这部分知识考查主要两个方面,一是命题及其关
系判断,一般都是以其他数学知识为载体进行考查,难度
考向分 往往较大;二是充分条件和必要条件的判定,多数是与函
1.2
命题及其关系、充分条件
与必要条件
-2-
2018 2017
2016
2015
2014
年份
8,5 分(理)
6,5 分(理)
8,5 分(理)
命题及
其关系
7,5 分(文)
8,5 分(文)
充分条
2,5 分(理)
件与必 6,4 分 6,4 分
6,5 分(文)
3,5 分(文)
2,5 分(文)
要条件
1.了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含
A⊆B〞的逆否命题.其中假命题为(
)
A.①②
B.②③
C.④
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课件
关闭
解析
答案
-9知识梳理
双击自测
3.(2021北京高考)假设集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},那么
A∩B=(
)
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}
关闭
A∩B={x|-2<x<-1},故选A.
关闭
A
解析
答案
-10知识梳理
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1
集合的概念与运算
-3-
年份
集合
的基
本运
算
考查
要求
考向
分析
2018
2017
1,4 分
1.4 分
2016
1,5 分(理)
2015
1,5 分(理)
2014
1,5 分(理)
1,5 分(文)
1,5 分(文)
1,5 分(文)
1.了解集合、元素的含义及其关系.
2.理解集合的表示法.
不含任何元素的集合
(3)集合相等:假设
,且
,那么A=B;⌀
任何集合的子集 叫做空集,记作:
(4)空集:
.
规定:空集是
.
,
-6知识梳理
双击自测
3.集合的根本运算
并集
交集
符号
A∪B
表示
A∩B
补集
设全集为 U,集合
A 的补集∁UA
图形
表示
含义
性质
{x|x∈A,且x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A}