21.3 实际问题与一元二次方程
27
故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为:
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的 矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边 衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
人患流感？
第三轮的传染源有 共有
x+1 +x(x+1) 人，有〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人被传染，
x+1 +x(x+1) +〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人患流感？
x
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干 又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的 总数是91,每个支干长出多少小分支?
探究3
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
3 9 x 7 x 27 21 依题意得 4 3 3 3 3 x2 (不合题意, 舍去) 解得 x1 2 2 33
2 54 27 3 1.8 2 4 3 3 21 7 21 7 x 42 21 3 2 1.4 2 2 4 27 9 x 2 27 9
X
X 30cm
得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正 中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如 果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分 之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm) 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中 央的矩形两边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
3 9 x 7 x 27 21 依题意得 4 3 3 3 3 x2 (不合题意, 舍去) 解得 x1 2 2 33
2 54 27 3 1.8 2 4 3 3 21 7 21 7 x 42 21 3 2 1.4 2 2 4 27 9 x 2 27 9
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
X
X 30cm
得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm
探究2
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正 中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如 果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分 之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm) 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中 央的矩形两边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
10 -12 _____, ______ . x1 x2 (不符题意，舍去)
答:平均一个人传染了10个人.
列一元二次方程解应用题的
一般步骤：
第一步：审题，明确已知和未知； 第二步：找相等关系； 第三步：设元，列方程，并解方程； 第四步：检验根的合理性； 第五步：作答.
乙种药品成本的年 平均下降率是多少？ 请比较两种药品成 本的年平均下降 率．
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较 大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应 怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率 相同 成本下降额较大的药品，它的成本下降率 不一定较大．
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它 们的平均下降率．
27
故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为:
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的 矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边 衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
(5)如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少 人患流感? 121+121×10=1331人 （6）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问 题中的数量关系有新的认识吗？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮的传染源有 1 人，有
第二轮的传染源有 x+1人，有
人被传染，共有
x+1
人患流感？
x(x+1)人被传染，共有 x+1 +x(x+1)
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm 依题意得 3 解方程得 x 6 3 3
(27 18 x)( 21 14 x) 27 21 4
方程的哪个根合 乎实际意义? 为什么?
27
4
(以下同学们自己完成)
探究1
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
被 传 染 人
x
被传染人
x
被传染人
……
……
……
x
开始传染源
x
开始传染源
1
例 1 ：有一人患了流感 , 经过两轮传染后共有 121 人患 了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：
（3）如何理解经过两轮传染后共有121人患了流感？
传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染 数的总和是121人.
例 1 ：有一人患了流感 , 经过两轮传染后共有 121 人患 了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析： （4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程 得出结论?
解方程，得: 5000（1－x）2=3000 x1≈0.225，x2≈1.775 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降 率约为22.5％ 设乙种药品的下降率为y 列方程 6000 ( 1－y )2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下 降率约为22.5％ 甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％
九年级
上册
21.3 实际问题与一元二次方程
22.3实际问题与一元二次方程
学习目标：
1.根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解， 体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的 数学模型。 2.根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理， 培养分析问题、解决问题的能力 .
例 1 ：有一人患了流感 , 经过两轮传染后共有 121 人患 了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析：
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm 依题意得 3 解方程得 x 6 3 3
(27 18 x)( 21 14 x) 27 21 4
方程的哪个根合 乎实际意义? 为什么?
27
4
(以下同学们自己完成)
例1. (2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一 块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块 长9米、宽7米的长方形花圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃， 使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积 多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方 案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情 况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果 能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请 说明理由.
青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg， 2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷 产量的年平均增长率． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 根据题意可列方程
7200 ( 1 + x )2 = 8450. ( 1 + x )2 ≈ 1.17. 解得 x1 ≈ 0.08 x2 ≈－2.08 ( 不符合实际舍去 ). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8％．
（1）本题中的数量关系是什么？
（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数 是多少?
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染， 第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
被 传 染 人传 染 人
被 传 染 人
被 传 染 人
乙种药品成本的年平均下降额为：
（ 6000－3600）÷2＝1200（元） __________________________________
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是年
平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）
设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲 种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品 成本为5000（1－x）2元，于是有
1 解: (1) 方案1：长为9 米，宽为7米; 7
b 4ac (16) 4 1 65 4 0
2 2
方案2：长为16米，宽为4米; 方案3：长=宽=8米; 注：本题方案有无数种 （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花 圃面积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃 的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0， ∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能 增加2平方米
21.3实际问题与一元二次方程第1课时课件
解方程，得: x1≈0.225，x2≈1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率 约为22.5％
设乙种药品的下降率为y 列方程 6000 ( 1－y )2 = 3600 解方程，得
y1≈0.225，y2≈－1.775
乙种药品成本的 年平均下降率是 多少？请比较两 种药品成本的年 平均下降率．
第一轮的传染源有 1 人，有 人被传染，共有 x+1 人患流感？
第二轮的传染源有 x+1人，有 x(x+1)人被传染，共有 x+1 +x(x+1)
人患流感？
第三轮的传染源有 x+1 +x(x+1) 人，有〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人被传染， 共有 x+1 +x(x+1) +〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人患流感？
x
归纳小结
你能说说上面所研究的“传播问题”的基本特征 吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．
解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传 染源个数，以及这一轮被传染的总数．
尝试一
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出 多少小分支？
2000㎏﹙全球人均目标碳排放量﹚，则小明家未来两年人
均碳排放量平均每年须降低的百分率是
．
【解析】设小明家未来两年人均碳排放量平均每年须降低
的百分率为x，根据题意可列出方程3125（1-x)2=2000，解
得=1.8（不合题意舍去），x=0.2=20% .
21.3一元二次方程与实际问题
1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3)a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?c.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？3、平均率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数 , M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率= 利润÷进价b\某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？5、数字问题：（！）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
（2）一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．例、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？解法一、如图，矩形地面面积为，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为纵向的路面面积为如图，设路宽为x米，横向路面为纵向路面面积为。
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播类问题知识要点基础练知识点1传播类问题1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人,则下列方程正确的是(C)A.1+x2=100B.x2=100C.(1+x)+x(1+x)=100D.(1+x)+(1+x)2=1002.今年冬天病毒性流感严重,巢湖一中的学生在一天中一个学生就能传染x个学生同时患上流感.若先有2人同时患上流感,2天后就有128个学生患上流感,则x的值为(C) A.11 B.6C.7D.8【变式拓展】有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按此传染速度若最初有4人患了流感,则第一轮传染后患上流感的总人数是44人.3.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n=10.知识点2握手问题4.合肥市第十五中学的同学毕业聚会时,每两个同学都握手一次,全班共握手36次,则参加这次同学聚会的有(C) A.7人 B.8人C.9人D.10人5.(天津中考)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的解析式为(B)A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D.x(x-1)=28知识点3数字问题6.两个连续奇数的积是195,则这两个连续奇数的和是(C)A.28B.24C.±28D.±247.两数之差为3,这两数的平方和为117,求这两数的积.解:根据题意列方程得x2+(x+3)2=117,解得x1=6,x2=-9.当x=6时,x+3=9;当x=-9时,x+3=-6.因此这两数的积为6×9=54,(-6)×(-9)=54.所以这两个数的积是54.综合能力提升练8.某班同学毕业时都向全班其他同学各送一张自己的照片表示留念,全班共送2070张照片.如果全班共有x名同学,根据题意,列出方程为(A)A.x(x-1)=2070B.x(x-1)=2070×2C.x(x+1)=2070D.2x(x+1)=20709.一个小组有若干人,新年互相打一个电话祝福,已知全组共打电话36次,则这个小组共有人数为(B) A.12 B.9C.16D.1810.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为(C) A.10 B.11C.12D.1311.新年当天,安徽屯溪中学的小明收到了一条祝福的短信,他准备发送给其他同学,每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时收到这条短信的人共有157人,则小明发送短信的个数为(C) A.10 B.11C.12D.1312.某种植物的主干长出a个支干,每个支干又长出同样数量的小分支,则主干、支干和小分支的总数为1+a+a2.13.小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数,任意两数相乘后,再求和,得194,则这三个日期分别是2,9,16.14.中新网4月26日电,据法新社26日最新消息,墨西哥卫生部长称,可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一人传染了8人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经三轮传播,将有729人被传染.15.在一次象棋比赛中,实行单循环制(即每位选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两位选手各记1分.比赛结束后,统计比赛中全部选手的得分总和为90分,请求出这次比赛中共有多少名选手参加.解:设这次比赛中共有x名选手参加.则2×x(x-1)=90,解得x=10或x=-9(舍去),答:共有10名选手参加.16.太湖中学机房有150台学生电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,这种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有49台电脑被感染.那么每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得1+x+(1+x)x=49,整理得(1+x)2=49,则x+1=7或x+1=-7,解得x1=6,x2=-8(舍去).答:每轮感染中平均一台电脑会感染6台电脑.拓展探究突破练17.(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液10 L,则每次倒出的液体是20 L.18.某市计划举办青少年足球比赛,赛制采取双循环形式(即每两队之间都要打两场比赛),一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.(1)该市举办方应该邀请多少支球队参赛?(2)此次比赛结束后,如果其中一支参赛球队共平了4场,负了2场,则该球队此次比赛的总积分是多少?解:(1)设该市举办方应邀请x支球队参赛,依题意得x(x-1)=30,解方程得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去).答:该市举办方应邀请6支球队参赛.(2)(10-4-2)×3+4×1+2×0=16.答:该球队的总积分为16分.第2课时用一元二次方程解决增降类问题知识要点基础练知识点1变化类问题1.(六盘水中考)2016年某市仅教育费附加就投入7200万元,用于发展本市的教育,预计到2018年投入将达到9800万元,若每年增长率都为x,根据题意列方程为(B)A.7200(1+x)=9800B.7200(1+x)2=9800C.7200(1+x)+7200(1+x)2=9800D.7200x2=9800【变式拓展】为执行“两免一补”政策,某地区2016年投入教育经费2500万元,预计2017年,2018年两年共投入5775万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,那么下面列出的方程正确的是(D)A.2500x2=5775B.2500(1+x%)2=5775C.2500(1+x)2=5775D.2500(1+x)+2500(1+x)2=57752.为积极响应国家提出的“大众创业,万众创新”号召,黄山市加大了对“双创”工作的支持力度,据悉,2015年黄山市对这项拨款为1.5亿元,2017元的拨款达到2.16亿元,这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.3.吴山镇2015年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2017年达到82.8公顷.(1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率;(2)若年增长率保持不变,2018年该镇绿地面积能否达到100公顷?解:(1)设绿地面积的年平均增长率为x,根据意,得57.5(1+x)2=82.8,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去),答:增长率为20%.(2)由题意,得82.8(1+0.2)=99.36公顷.答:2018年该镇绿地面积不能达到100公顷.知识点2利润类问题4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元,若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)A.(x+3)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=155.(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定为多少元?解:降价x元,则售价为(60-x)元,销售量为(300+20x)件,根据题意得(60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4,又顾客得实惠,故取x=4,即定价为56元.答:应将销售单价定价56元.综合能力提升练6.某文具店三月份销售铅笔100支,四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是(B) A.100(1+x) B.100(1+x)2C.100(1+x2)D.100(1+2x)7.某商品的进价为每件20元.当售价为每件30元时,每天可卖出100件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每天可多卖出10件.现在要使每天利润为750元,每件商品应降价(D) A.2元 B.2.5元C.3元D.5元8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了(D) A.2x% B.1+2x%C.(1+x%)x%D.(2+x%)x%【变式拓展】某种商品原价50元.因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4,5月份两个月的月平均涨价率为20%.9.某企业今年第四季度中的12月份产值是10月份的1.44倍,为保证该季度的月产值增长率相同,12月产值是11月的1.2倍.10.安徽省某区某农户2014年的年收入为6万元,由于党的惠农政策的落实,2016年的年收入增加到9万元,2015与2016年的年平均增长率相同,如果按这样的增长率,该农户2018年的年收入为13.5万元.11.水果店销售某种水果,每千克可以获利20元,平均每天可售出100千克,若每千克的售价每降低2元,平均每天的销售量可增加20千克,水果店要确保平均每天获利2240元,且尽快减少水果的库存量,每千克的售价应降低6元.12.(巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?解:设每个商品的定价是x元,由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2000,整理,得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,进货180-10(50-52)=200个>180个,不符合题意,舍去;当x=60时,进货180-10(60-52)=100个<180个,符合题意.答:该商品每个定价应为60元,进货为100个.13.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2016年市政府共投资2亿元人民币建设了8万平方米廉租房,预计到2018年年底,三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年该市市政府投资的增长率;(2)若这三年内的建设成本不变,求2017,2018这两年可以建设多少万平方米的廉租房?解:(1)设每年该市市政府投资的增长率为x,根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理得x2+3x-1.75=0,解得x1=0.5,x2=-3.5(舍去),答:每年该市市政府投资的增长率为50%.(2)2017,2018这两年共建廉租房面积为(9.5-2)÷=30(万平方米).答:2017,2018这两年可以建设30万平方米的廉租房.拓展探究突破练14.(朝阳中考)为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识,帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.解:设每个粽子的定价为x元时,每天的利润为800元.根据题意,得(x-3)--=800,解得x1=7,x2=5.∵售价不能超过进价的200%,∴x≤3×200%,即x≤6,∴x=5.答:每个粽子的定价为5元时,每天的销售利润为800元.15.随着人们环保意识的不断增强,黄山市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2014年年底拥有家庭电动自行车125辆,2016年年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2014年年底到2017年年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2017年年底电动自行车将达到多少辆?(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.解:(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则125(1+x)2=180,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).∴180(1+20%)=216(辆).答:该小区到2017年年底家庭电动自行车将达到216辆.(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则①②由①得b=150-5a,代入②得20≤a≤,∵a是正整数,∴a=20或21.当a=20时,b=50;当a=21时,b=45.∴方案一:建室内车位20个,露天车位50个;方案二:建室内车位21个,露天车位45个.第3课时用一元二次方程解决几何图形问题知识要点基础练知识点1一般图形问题1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B) A.x(x-10)=900 B.x(x+10)=900C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=9002.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形,问矩形的长和宽各是多少?解:设矩形的长为x cm,则矩形的宽为(20-x)cm,∵x>20-x,∴x>10.由题意得x(20-x)=75,整理得x2-20x+75=0,解得x1=5(舍去),x2=15,∴20-x=5.答:矩形的长为15 cm,宽为5 cm.知识点2边框与甬道问题3.如图,要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分,横竖彩条的宽度比为2∶1.如果要使阴影所占面积是图案面积的,则竖彩条宽度为(A)A.1 cmB.2 cmC.19 cmD.1 cm或19 cm4.如图,在宽为40 m,长为70 m的矩形地面上修筑宽度相等的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路的宽为x,根据题意,所列方程为(40-x)(70-x)=540.【变式拓展】某小区的一块长为26米,宽为15米的草坪内要修一条如图所示的宽度相同的甬道,使绿地的面积是甬道面积的4倍,则甬道的宽度为2米.5.如图所示,有一块矩形的广场,长为32米、宽20米,要在上面修筑同样宽的三条石子路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),这样把矩形广场分成大小不等的六块小矩形,并且总面积为570平方米,求道路的宽是多少米?解:设道路为x米宽,由题意得(32-2x)(20-x)=570,整理得x2-36x+35=0,解得x1=1,x2=35(舍去),答:道路为1米宽.综合能力提升练6.(哈尔滨中考)今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60 m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是(A) A.x(x-60)=1600 B.x(x+60)=1600C.60(x+60)=1600D.60(x-60)=16007.安徽合肥市民为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,我市某单位准备将院内一块长30米,宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)(D) A.1.2米 B.3米C.2米D.1米8.如图,在△ABC中,AC=50 m,BC=40 m,∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s 的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动,当△PCQ 的面积等于300 m2时运动时间为(A)A.5秒B.20秒C.5秒或20秒D.不确定9.如图,在长为10,宽为8的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,则所截去小正方形的边长是2.10.如图,EF是一面长为18米的墙,用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样三块.若围成的矩形ABCD的面积为60平方米,则AB的长为12米.11.如图,要设计一个形状为等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,高80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上、下底之间有两条纵向甬道,各甬道宽度相等,设甬道的宽为x米.(1)用含x的式子表示甬道的面积;(2)根据设计要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度(米)成正比,比例系数为5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么甬道宽度为多少米时,所建花坛费用为239万元?解:(1)甬道的面积为(120+180)÷2×x+2×80×x-2x2=(-2x2+310x)平方米.(2)根据题意,得0.02××80-(-2x2+310x)+5.7x=239.整理,得2x2-25x+50=0,即(x-10)(2x-5)=0,解得x1=10,x2=2.5.∵x=10>6(舍去),∴x=2.5.答:甬道的宽度为2.5米时,所建花坛费用为239万元.12.(百色中考)在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20 m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长;(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少? 解:(1)设该地面矩形的长是x m,依题意得x(20-x)=96,解得x1=12,x2=8(舍去).答:该地面矩形的长是12米.(2)采用规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用:[96÷(0.80×0.80)]×55=8250(元).采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用:[96÷(1.00×1.00)]×80=7680(元).因为8250>7680,所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.拓展探究突破练13.小明是一位动手能力很强的同学,他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体.(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(2)如果在第(1)题打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(3)如果把(1)(2)中的边长为1 cm的通孔均改为边长为a cm(a≠1)的通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2?如果能,求出a,如果不能,请说明理由.解:(1)110.(2)118.(3)能使橡皮泥块的表面积为118平方厘米.∵S1=96-2a2+4a×4,S2=S1-4a2+4×4a-4a2,∴96-2a2+16a-8a2+16a=118,整理得5a2-16a+11=0,∴a1=,a2=1.∵a≠1,<4,∴当边长改为cm时,表面积为118 cm2.。
21.3 实际问题与一元二次方程+教学设计+2024—2025学年人教版数学九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程+教学设计+2024—2025学年人教版数学九年级上册【学情分析】一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点．它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型．【教学目标】1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.3.感受与“增长率、下降率”相关的数学模型中的数量关系，提高用数学模型解释现实问题的能力，培养分析问题和解决问题的能力.【重点难点】重点：掌握建立数学模型以解决平均变化率问题.难点：分析题意，建立正确的数学模型【新课导入】复习：用方程解决实际问题的步骤是什么？设计意图：梳理前一节课所学，体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法,为本节课后续学习做好铺垫.【新课讲解】2019年，研究人员在某杂志发表论文说，他们分析了两颗卫星的观测数据，发现在2000年至2017年间全球绿化面积增加了5%.其中约四分之一来自中国,贡献比例居全球首位.研究人员认为原因是中国在植树造林和集约农业等方面有突出表现.经调查，2000年全球绿化面积大约是38亿公顷，则2017年全球绿化面积大约是多少亿公顷？如果保持此增长率继续增长，那么到2034年，全球绿化面积约能达到多少呢？如果增长率是6%，那么2017年和2034年的全球绿化面积又该怎么表示呢？如果增长率用x表示，那么2017年和2034年的全球绿化面积又该怎么表示呢？设计意图：(1)-(4)通过层层递进的问题，帮助学生理解“增长率”的含义：并自然生成关于连续增长的数量关系，形成数学模型，建立一元二次方程和平均变化率实际问题之间的联系.当增长率为多少时，2034年的全球绿化面积可以达到45亿公顷？(精确到1%)设计意图：在形成和熟悉增长率有关模型的前提下，建立方程，解决实际问题..在解决问题的过程中，在此巩固用方程解决实际问题的思想和流程.归纳小结：类似地，这种变化率的问题在实际生活普遍存在，例如人口增长率、成本下降率等.本节讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系：变化前数量×( 1±x )²=变化后数量.设计意图：通过小结，归纳变化率问题的共同特征，并在一元二次方程和连续增长两次的问题之间建立知识联系，帮助学生形成解决同类问题的策略，并适时补充下降率的有关知识.【课堂小结】用一元二次方程解决实际问题的基本步骤阅读分析题意，建立模型，列出一元二次方程，将实际问题转化为数学问题.选择合适的方法求解一元二次方程.经过检验，找到符合题意的答案，解决实际问题.设计意图：一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的有效数学模型.在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，要注意体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法.【布置作业】1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C)A．11人B．10人C．9人D．8人2．两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，则这两个数是5，6．3．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信.【板书设计】21.3实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图形问题图形的面积(或体积)建立模型【教学反思】一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的有效数学模型.在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，要注意体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法.。
21.3实际问题与一元二次方程教案
21.3实际问题与一元二次方程教案篇一：21.3实际问题与一元二次方程教学设计教案教学准备1.教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程方法经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
情感态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．2.教学重点/难点教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系3.教学用具制作课件，精选习题4.标签教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、探索新知【问题情境】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【分析】（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？【解答】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。
于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10，x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．【思考】如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？【活动方略】教师提出问题学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．【设计意图】使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．三、例题分析例1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．例2、参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？例3、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？【分析】（1）两题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比两题，它们有什么联系与区别？【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
21.3实际问题与一元二次方程课件
试一试
4、某航空公司有若干个飞机场，每个飞机场之间 都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个 航空公司共有飞机场(B ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5、在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司 之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78 份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
试一试
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨. 设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意, 列出方程为 __________________ .
了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革
试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿
元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革
资金的平均增长率?
分析:设这两年的平均增长率为x,
2001年 2002 年
2003年
180
180(1+x)
180(1 x)2
解:这两年的平均增长率为x,依题有
纵向路面面积为20x 米2 。
32m
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ，
耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。
相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
x米
矩形面积减去道路面积等
于540米2。
20m
解法一、
如图，设道路的宽为x米， 则横向的路面面积为 32x 米2
21.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
为增长次数，b为增长
均
后的量.
变
化
率
a(1-x)2=b,其中a为降低
问
前的量，x为降低率，2
题
降低率问题
为降低次数，b为降低 后的量.注意1与x位置
不可调换.
再见 教科书第60页第3、
6题
解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下 降率约为22.5％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
例题1.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种 药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成 本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平 均下降率较大?
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
答：这个增长率为50%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x, 根据题意，得
2.降低率问题： a(1-x)
＿．
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若变化前后的量分别为a,b ,变化的增长率（降低率）为x，增长或降 低的的次数为2,则它们的数量关系可表示为
a(1 x)2 b (其中增长取+,降低取－)
用直接开平方法解这类方程比较简单
更一般的增长或降低的的次数为n,则它们的数量关系可表示为
21.3 实际问题与一元二次 方程（增长率问题）
分析：
a 第一次
aX10%
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
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例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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21.3 实际问题与一元二次方程(销售问题、图表问题、动点问题)九年级数学上册(人教版)
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，
解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
新新知知讲讲解解
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080， 整理得：-8x2+128x+640=1080， 解得：x1=5，x2=11，
∵x=11＞10，不符合题意，舍去。∴x=5， 答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元。
针针对对训训练练
【详解】解：设每副羽毛球拍降价x元， 由题意得：（40-x）（20+5x）=1700，
3x
16-5x
E 2x
2x 2x
针针对对训训练练
如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以
3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。
1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？
2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
探探究究新新知知
九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。
1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那
么他每卖1斤黄瓜可以赚到 1.5 元； 2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是 75 元。 3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得______5_0______元。