直线的参数方程(一)

(1) M1M2 = t1 − t2 t1 + t2 (2)t = 2
巩固练习
1 x = 1 + 2 t 1.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y = −5 + 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 = 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4ห้องสมุดไป่ตู้3
课堂小结
分析: A
M(-1,2) y
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
例 已知直线l : x + y −1 = 0与抛物线y = x2交于A,B两点，求线段AB的长度 1. 和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。
新知应用
x + y −1 = 0 解法1：由 y = x2
2 x = 1− t 2 （t为参数） 为参数） y= 2t 。 2
（2）直线x + y − 1 = 0的一个参数方程是
探究思考
uuuuuu r r 由M0M = te, 你能得到直线的参数方 l 程中参数的几何意义吗？ t uuuuuu r r uuuuuu r r 解: QM0M = te ∴ M0M = te
一般式: 一般式: Ax + By + C = 0
y2 − y1 = tan α k= x2 − x1
新课引入
思考1.在平面直角坐标系中， 思考1.在平面直角坐标系中，确定一条 1.在平面直角坐标系中 直线的几何条件是什么？ 直线的几何条件是什么？ 思考2.根据直线的几何条件，你认为用 思考2.根据直线的几何条件， 2.根据直线的几何条件 哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 一个定点和倾斜角可唯一确定一条直线
r r 又Qe是单位向量， e = 1 ∴
y M0
M
uuuuuu r r ∴ M0M = t e = t
r e
O
x
所以,直线参数方程中参数t 所以,直线参数方程中参数t的 绝对值等于直线上动点M 绝对值等于直线上动点 到定 的距离. 点M0的距离.|t|=|M0M|（这就 这就 是t的几何意义,要牢记） 的几何意义,要牢记） 的几何意义
探究思考
uuuuur u 我们是否可以根据t的值来确定向量 M0M
的方向呢?
r 我们知道e是直线的单位方向向量，那 l 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
探究思考
Qα是直线的倾斜角， 当0<α<π时, sinα > 0 ∴ ∴ u r u r 又Qsinα表示e的纵坐标， e的纵坐标都大于 ∴ u r u r 0那么 e的终点就会都在第一，二象限， e的方 ∴ 向就总会向上。
uuuuuu r 此时,若t uuuuuu M 0 M 的方向向上; >0,则 r 若t<0,则 M 0 M 的点方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.
新知应用
例 已知直线l : x + y −1 = 0与抛物线y = x 交于 1.
2
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
解法2（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
（ ）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ? 2
（） AB 、 ⋅ MB 与t1，t2有什么关系？ 3 MA
探究思考
直线与曲线y = f (x)交于M1, M2两点，对应的参数 分别为t1, t2. (1)曲线的弦M1M2的长是多少？ （ ）线段M1M2的中点M对应的参数的值是多少？ 2 t
−1 + 5 2 −1 − 5 2 3− 5 2 3+ 5 2 ) + (2 − ) ⋅ ( −1 − ) + (2 − ) 2 2 2 2
= 3+ 5 ⋅ 3− 5 = 4 = 2
新知应用
例 已知直线l : x + y −1 = 0与抛物线y = x 交于 1.
2
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
直线的参数方程(一 直线的参数方程 一)
新课引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: 点斜式: y − y0 = k(x − x0 )
y − y1 x − x1 = 两点式: 两点式: y2 − y1 x2 − x1
y = kx + b
x y + =1 a b
得：2 + x − 1 = 0 x
(*)
∴由韦达定理得：x1 + x2 = −1，x1 ⋅ x2 = −1
∴ AB = 1 + k 2 ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = 2 ⋅ 5 = 10
记直线与抛物线的交点坐标A(
则 MA ⋅ MB = (−1 −
−1 + 5 3 − 5 −1 − 5 3 + 5 , )，B( , ) 2 2 2 2
2 2
其它情况不能用。
课外作业
P.42-3,4,5.
所以，该直线的参数方程为 x = x0 + t cosα （t为参数） y = y0 + t sinα
M(x,y) r e M0(x0,y0)
α
O
(cosα,sinα )
x
讲授新课
一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角α，则它的参数方程为 x = x0 + t cosα （t为参数） y = y0 + t sinα
y − y0 = tanα(x − x0 ) （） 1
思考3.根据直线的这个几何条件， 思考3.根据直线的这个几何条件，你认 3.根据直线的这个几何条件 为应当怎样选择参数？ 为应当怎样选择参数？
讲授新课
r 设e是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜 角不为 ）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方 0 向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同） 设直线l的倾斜角为α，定点M 0、动点M
思考：（）直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ 1 （ ）参数的取值范围是什么？ 2 t （）该参数方程形式上有什么特点？ 3
课堂练习
x = 3 + t sin 200 （）直线 （t为参数）的倾斜角是（ B） 1 0 y = t cos 20 A.200 B.700 C.1100 D.1600
uuuuuu r r 因为M0M / /e, 所以存在实数t ∈ R, uuuuuu r r 使M0M = te,即
y
讲授新课
(x − x0 , y − y0 ) = t(cosα,sinα) 所以：x − x0 = t cosα, y − y0 = t sinα 即，x = x0 + t cosα, y = y0 + t sinα
的坐标分别为( x0 , y0 )、 , y ) (x
讲授新课
(1)如何利用倾斜角α写出直线的单位 l r 方向向量e？
r (1) e = (cos α ,sin α )
r (2)如何用 和M0的坐标表示直线上任意 e 一点M的坐标？
uuuuuu r (2) M 0 M = ( x, y ) − ( x0 , y0 ) = ( x − x0 , y − y0 )
x=x0 + t cosα 1.直线参数方程 (t是参数） y = y0 + t sinα
注：直线的参数方程形式不是唯一的 2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离.
x = x0 + at (t为参数） |t|=|M M| 0 y = y0 + bt
注：当a + b = 1 时，t才具有此几何意义