15-4互易定理
互易定理
电压
a iS1
b
c
+ – d u2
a + u1 –
c iS2
(a)
当
b
(b)
d
iS1 = iS2
时，u2 = u1
情况3
激励
图a 图b
电流源 电压源 响应 线性 电阻 网络 NR
图a 图b
电流 电压
a iS1
b
线性 电阻 网络 NR
c i2 d
a + u1 –
b
c + – d uS2
(a)
(b)
返 回
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情况1
a uS1 + –
激励 线性 电阻 网络 NR
电压源
响应 线性 电阻 网络 NR
电流
c i2 d i1
a
c
+ – d uS2
b
(a)
当
b
(b)
uS1 = uS2
时，i2 = i1
返 回
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情况2
激励 线性 电阻 网络 NR
电流源
响应 线性 电阻 网络 NR返 回上 页下 页
当
iS1 = uS2
时，i2 = u1
返 回 上 页 下 页
应用互易定理分析电路时应注意：
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移； (2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联)； (3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下， 两个支路电压电流关系。 (4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
4. 6 互易定理
一个网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置 后，同一激励所产生的响应并不改变，具有互易性的网络叫 互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它 广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。
互易定理证明范文
互易定理证明范文互易定理是数学中的一个重要定理，旨在说明在不同的域上进行变换时，求导和求积分可以互相转换。
在本文中，我将从定理的定义、证明过程以及实际应用等角度来解释互易定理。
首先，我们来定义互易定理。
在数学中，互易定理又称为傅里叶变换的互易性质。
设函数f(x)和F(k)分别表示实数轴上的两个函数，其傅里叶变换定义为：F(k) = ∫[负无穷，正无穷] f(x)·e^(-ikx) dx其中，e^(-ikx)是一个复指数函数，被称为傅里叶系数，表示一个特定频率的振幅。
互易定理指出，当函数f(x)和F(k)都在积分区间[-∞,∞]上绝对可积时，f(x)的傅里叶变换F(k)的逆变换等于f(x)自身。
也就是说，有如下关系成立：f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk接下来，我将展示互易定理的证明过程。
证明过程如下：我们首先考虑定义的傅里叶变换公式：F(k) = ∫[负无穷，正无穷] f(x)·e^(-ikx) dx现在，我们将定义傅里叶变换的逆变换：f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ik x) dk为了证明互易定理，我们需要证明f(x)等于其逆傅里叶变换。
换句话说，我们需要证明：(1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk = f(x)我们可以通过以下步骤证明上述等式：步骤1：我们将f(x)表示为其傅里叶变换F(k)的逆变换。
f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk步骤2：然后，我们将F(k)替换为其傅里叶变换f(x)。
f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] [∫[负无穷，正无穷]f(x')·e^(-ikx') dx']·e^(ikx) dk步骤3：我们交换积分的顺序并进行化简。
四、互易定理
四、互易定理对于线性单一激励的不含受控源的线性电阻电路（即仅有一个独立源作用的电阻电路）还有一个很重要的性质互易性，反映互易性的原理称作互易原理。
此原理有三种形式。
1、在图2-3-18(a)与(b)所示电路中示出了互易原理的第一种形式（N 为仅由电阻组成的线性电阻电路）图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电压源)与响应(电流)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。
当激励U s1=U s2时，则I 2 =I 1。
_U ’I 2 S2 (a) (b)图2-3-18互易原理的第一种形式2、在图2-3-19(a)与(b)所示电路中示出了互易原理的第二种形式，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电流源)与响 应(电压)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。
当激励I s1=I s2时，则U 2 =U 1。
I ’U 2S2+- (a) (b)图2-3-19 互易定理第二种形式3、在图2-3-20(a)与(b)所示电路中示出了互易原理的第三种形式，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励与响应的位置，且把原电压激励改换为电流激励，把原电压响应改换为电流响应，则互易位置前后响应与激励的比值仍然保持不变。
如果在数值上U s1=I s2时，则U 2 =I 1。
_U S1+ ’U 2 S2 -(a) (b)图2-3-20【例15】：电路如图2-3-21(a)所示，试求电流I 。
(a) (b)图2-3-21例15电路图【解】：原电路为一不平衡桥式电路，但为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。
互易后的电路如右图所示。
此时应注意互易前后对应支路上的电压电流的参考方向必须同时关联或非关联。
在图2-3-21(b)中可以求得：A I 224241212281=+⨯++⨯+=根据分流公式：A I I 3221112=+=A II 3442413=+=由KCL 可得：A I I I 3223=-=∴原电路中所求电流AI 32=d 8V。
green互易定理
green互易定理
摘要：
1.互易定理的定义
2.互易定理的性质
3.互易定理的应用
4.互易定理的举例
正文：
一、互易定理的定义
互易定理，又称为绿色互易定理，是数论中的一个重要定理。
它主要研究的是两个数的乘积与它们的和或差的关系。
具体来说，如果两个整数a 和b 的乘积与它们的和或差的余数相同，那么这两个整数就满足互易定理。
用公式表示就是：如果a*b ≡a + b (mod n) 或者a*b ≡a - b (mod n)，其中n 是一个正整数，那么a 和b 就是满足互易定理的数。
二、互易定理的性质
1.对称性：如果a 和b 满足互易定理，那么b 和a 也满足互易定理。
2.传递性：如果a 和b 满足互易定理，b 和c 也满足互易定理，那么
a 和c 也满足互易定理。
3.齐次性：如果a 和b 满足互易定理，那么ka 和kb 也满足互易定理（其中k 是一个整数）。
三、互易定理的应用
互易定理在数论中有广泛的应用，特别是在中国剩余定理和模运算中。
通过利用互易定理，我们可以解决许多在模运算中的问题，如求解模方程、求解
同余方程等。
四、互易定理的举例
举例来说，我们取a=3，b=4，n=5。
根据互易定理的公式，我们有3*4 ≡3 + 4 (mod 5) 或者3*4 ≡3 - 4 (mod 5)。
计算可得，3*4 ≡1 (mod 5)，3 + 4 ≡1 (mod 5)，3 - 4 ≡1 (mod 5)。
因此，3 和4 满足互易定理。
总的来说，互易定理是数论中一个重要的定理，它具有很好的性质和广泛的应用。
互易定理证明范文
互易定理证明范文互易定理是电磁场理论中的基本定理之一，它能够帮助我们理解电磁场中电磁波的传播规律。
下面我将为大家详细介绍互易定理的证明过程。
互易定理是麦克斯韦方程组的一个推论，首先我们来回顾一下麦克斯韦方程组的基本形式：其中，$\mathbf{E}$表示电场强度，$\mathbf{B}$表示磁场强度，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{J}$表示电流密度，$\varepsilon_0$表示真空中的介电常数，$\mu_0$表示真空中的磁导率。
现在，我们将互易定理需要证明的部分拆分为三个部分进行证明。
1.对于电场的证明：根据麦克斯韦方程组的第三个方程，即：两边同时对磁场强度$\mathbf{B}$进行体积分，得到：根据矢量恒等式，上式右边变为：$$-\int_{V} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot\mathbf{B} dV = -\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} dV$$再根据标量恒等式，上式化简为：$$-\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{B} \cdot\mathbf{B} dV = -\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} B^2 dV$$同样地，对左边进行换元和化简，我们得到：其中，$S$表示体积$V$的边界表面。
综上所述，我们得到：这便是电场的互易定理。
2.对于磁场的证明：同样地，我们利用麦克斯韦方程组的第四个方程，即：两边同时对电场强度$\mathbf{E}$进行体积分，得到：利用矢量恒等式，我们可以化简上式右边为：$$\int_{V} \mu_0 \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} dV = \mu_0 \int_{V} \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} dV$$$$\int_{V} \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} dV = \frac{\mu_0 \varepsilon_0}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{E} \cdot\mathbf{E} dV$$对左边进行换元和化简，我们得到：综上所述，我们得到：这便是磁场的互易定理。
材料科学基础 互易定理
材料科学基础互易定理一、互易定理简介互易定理是材料科学中的一个重要原理，它描述了材料在不同条件下的互易关系。
互易定理的提出，使得材料科学研究能够更深入地理解材料的结构与性质之间的关系。
本文将从互易定理的定义、应用和发展历程三个方面对其进行探讨。
二、互易定理的定义互易定理，也被称为互易原理或Kramers-Kronig关系，是一种描述材料光学性质的定理。
它基于电磁波在材料中的传播行为，将材料的吸收和折射性质联系起来。
根据互易定理，一个物质的光学吸收谱和折射率谱是彼此傅里叶变换的结果。
三、互易定理的应用互易定理在材料科学中有广泛的应用。
下面将针对材料性质研究、光学材料设计和医学影像等方面的应用进行详细介绍。
3.1 材料性质研究互易定理可以帮助科学家们研究材料的光学性质，特别是吸收和折射行为。
通过分析材料的光学谱，可以获得材料的各种性质参数，如能带结构、载流子浓度和迁移率等。
这些参数对于材料性能的了解至关重要。
3.2 光学材料设计互易定理为光学材料的设计提供了理论基础。
通过对互易定理的应用，科学家们可以预测材料在不同波长下的折射率和吸收谱，并据此设计出具有特定光学性质的材料。
这对于光学器件的研发和应用具有重要的意义。
3.3 医学影像互易定理在医学影像领域也有一定的应用。
光学成像技术中的光学吸收谱和折射率谱分析，可以帮助医生们诊断病变组织的类型和程度。
借助互易定理，医生们能够更准确地判断病变组织的光学性质，以便制定更有效的治疗方案。
四、互易定理的发展历程互易定理最早由荷兰物理学家亨德里克·吕滕·卡克斯（Hendrik Lorentz）于1875年提出。
他首先提出了互易关系的概念，并将其应用于电磁波的传播理论中。
之后，德国物理学家欧塔·克尔（Otto Krell）和奥地利物理学家理查德·克朗希（Richard Kuhn）分别在20世纪初对互易定理进行了进一步的研究和发展。
互易双口和互易定理
z11 = z22， y11 = y22；
A = D，
A’ = D’；
Δh = |H| = h11 h22 – h12 h21 = 1，Δh’ = |H’| = h’11 h’22 – h’12 h’21 = 1。
对称双口网络的描述：对于含独立源的对称双口网络，需要用 4 个独立参量来描述；对于不含独立源的对称双口网络，只需 要 2 个独立参量来描述。
= 5t + 10 – 4t – 1 = t + 9
注意：本题解法与书上不同，希望大家好好地去体会一下，对 巩固双口网络 VAR 的理解有好处。
电路分析基础——第三部分：第15章 目录
第15章 双 口 网 络
1 双口网络的流控型和 5 各组参数之间的关系 压控型伏安关系
2 双口网络的混合型伏 6 具有端接的双口网络 安关系
3 双口网络的传输型伏 7 双口网络的互联* 安关系
4 互易双口和互易定理
电路分析基础——第三部分：15-4
1/5
15-4 互易双口和互易定理
解 根据双口网络 y 参数的定义，有 i1
i2
i1 = y11 u1 +y12 u2 + isc1
1 u1 +y22 u2 + isc2 将已知条件代入得
5t = 30y11t + isc1 isc1 = 5t – 30y11t
–u
1
Nr
u2 –
–2t = 30y21t + isc2 isc2 = –2t – 30y21t
而根据互易双口网络的定义，显然，本网络是互易的，即
y12 = y21 =
–
1 15
i1 = u1 / 6 – u2 /15
互易定理的应用
互易定理的应用互易定理，又称反比例定理，是一种数学定理，由欧几里得发现，也有可能是希腊数学家勒比里安提出。
它表明两个变量总是存在反比例关系，即当一个增加时，另一个就会减少，反之亦然。
本文将针对互易定理的定义及其在人们日常生活中的应用作出介绍。
首先，从数学上来说，互易定理的定义如下：若x和y是两个正数，且x y，则有 x / y = y / x 。
互易定理是一种对称定理，即把变量换位置，结果依旧不变。
它可以被用来计算一个变量的值，当另一个变量的值已知时，例如将2/4用互易定理处理，可得出4/2=2。
其次，在日常生活中，互易定理常常被用来计算金融类的问题，例如汇率的计算，人们可以根据以美元（USD）为基准计价的汇率，把其他货币的汇率折算成美元，再将美元的汇率折算回原货币，从而得出原货币的汇率。
此外，在物理上，互易定理也得到了广泛的应用。
常见的例子是摩擦力和摩擦系数之间的关系，即F=μ*N，其中F为摩擦力，N为物体表面接触的部分产生的压力，而μ则为摩擦系数。
很显然，当N增大时，F也会增大，但μ则同时减小，由此可见，F和μ之间也存在反比例关系，这正是互易定理的应用。
最后，互易定理还可以应用于流体力学和化学，例如比重的换算，在一个未知液体的情况下，可以根据比重的反比例关系，通过测定出一个熟悉的液体的比重，从而估算出未知液体的比重。
在生物学方面，同样可以利用互易定理，比如减肥的过程，当体重减少时，体质指数（BMI）会相应减少，反之亦然，因此可直观地看出二者之间存在反比例关系，同样是互易定理的应用。
综上所述，互易定理是一个十分有用的定理，其应用领域涉及到金融、物理、化学以及生物等多种领域。
本文综述了互易定理的定义及其应用，希望能够对读者有所帮助。
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例 求图示两端口的Y 参数。
解
I1
+ U1
3 3
6
I2
+ 15 U 2
为互易对 称两端口
1 I Y11 1 U
I Y21 2 U 1
2 0 U
1 0.2S 3 // 6 3
1 I1 3 0.0667 S U 1
0 U 2
u
k 1
b
k
ˆk ik 0 i k 0 和 u
k 1
b
u
k 1
b
k
i k u1 i 1 u2 i 2 uk i k
k 3
b
u1 i 1 u2 i 2 Rk ik i k 0
b
u
k 1
b
k k
i u1 i1 u 2 i2 u k ik
§2-2 互易定理 特勒根定理
1. 特勒根定理1
任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒
表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之
和恒等于零。
定理证明： 1 2 3
b
应用KCL:
2
i1 i2 i4 0 i4 i5 i6 0 i2 i3 i6 0
激励 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d
电压源 a i1 b
响应 线性 电阻 网络 NR (b) c
电流 + uS2 – d
则端口电压电 流满足关系：
i2 i1 uS 1 uS 2
或 uS 1i1 uS 2i2
注意
当 uS1 = uS2 时，i2 = i1
证明: 由特勒根定理：
即：
a 2A + U1 – b
线性 电阻 网络 NR (a)
a c + U2 5 I – b d
线性 电阻 网络 NR (b)
c 2A
+ –
d
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i u i u1 i1 u 2 i2 1 2 2
ˆ ˆ 10i 5 ( 2 ) 5 i (2) u 2 0 1 1
2. 特勒根定理2
2
4
1 2 3 6
5
4 3
1 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路 的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不 同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方 向下，满足:
2 4 5
2
4 4
1 2 3 6
5
4 3 1
1
2
6
3 3 1
(uk , ik )
拟功率定理
ˆk ) ˆk , i (u
k 3
k 3 b
u1 i1 u 2 i2 Rk ik i k 0
b
ˆ 两式相减，得： u1i 1
ˆ2 u1 i1 u 2 i2 u2i
k 3
将图(a)与图(b)中端口条件代入，即:
u1 uS1 , u2 0 , u1 0, u 2 uS 2 ˆ2 0 i1 uS 2i2 uS1i1 0 i
响 应
线性 电阻 网络 NR (b)
图a
图b
电流
电压 c +
uS2
–
d
则端口电压电流在 数值上满足关系：
i2 u1 iS 1 uS 2
或 u1iS 1 uS 2i2
注意
1. i2的方向 2.当 iS1 = uS2 时，i2 = u1
应用互易定理分析电路时应注意：
① 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理 想电源搬移； ②互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 （要么都关联，要么都非关联)； ③ 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激 励下，端口两个支路电压电流关系。 ④含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
U ab I 3I U (3 ) I ( I S I ) ( 3 ) I S
如要电路具有互易性，则：U ab
U cd ( 1) 3 ( 3 )
2
结论 一般有受控源的电路不具有互易性。
k k
u iˆ
k 1
b
k k
0
ˆi u
k 1
b
0
定理证明： 对电路2应用KCL:
1
2
3
u iˆ
k 1
b
ˆ ˆ ˆ i i i 0 1 2 4 ˆ4 i ˆ5 i ˆ6 0 i ˆ2 i ˆ3 i ˆ6 0 i
ˆ ˆ ˆ un1i ( u u ) i u i 1 n1 n3 2 n3 3 ˆ4 un 2i ˆ5 (un 2 un 3 )i ˆ6 (un1 un 2 )i
2. 互易定理的算式描述（教材中内容）
不含独立源、受控源，即：只由电阻、电感、 ①互易双口： 电容、耦合电感和理想变压器组成，且零初 始状态的无源双口网络。记作 NR 。 ②定理内容：对于互易双口，下列关系成立
Z12 Z 21 Y12 Y21 h12 h21 h '12 h '21 AD BC 1 A ' D ' B ' C ' 1
例1 求(a)图电流I ，(b)图电压U
1 1 + 244 2 I + 6 6 12V I 12V – – (a) (a) 解 利用互易定理 + 6A U – 6A 4 4 1 1 + 2 2 6 6 U – (b) (b)
12 1 I 1.5A 1 6 // 6 2
ˆ i I 0.5A 1
例4 问图示电路与取何关系时电路具有互易性
解 在a-b端加电流源，解得：
II
U cd U 3I U ( 1) I 3I ( 1) 3I S
在c-d端加电流源，解得：
1 1 – –UU+ + a a I 1 c c IS I 3 1 IS 3 + +U U – – b b dd
a
I
I2
1
2 2 c + b
2
I'
8V
d –
例3 测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流I
a 2A + U1 – b 解1 ①利用互易定理知c图的 线性 电阻 网络 NR (a) a c + U2 5 I – b d a + 线性 电阻 网络 NR (b) 线性 电阻 网络 NR (c) c 2A + –
即： a
i2 i1 uS 1 uS 2
线性 电阻 网络 NR
或 uS 1i1 uS 2i2
c i2
d a i1 b 线性 电阻 网络 NR
证毕！ c
+ uS2 – d
+ uS1 –
b
(a)
(b)
情况2 a iS1
激励 线性 电阻 网络 NR c + u2 – d
电流源 a + u1 – b
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ un1 (i 1 i2 i4 ) un 2 ( i4 i5 i6 ) ˆ2 i ˆ3 i ˆ6 ) 0 un 3 (i
k k
ˆ ˆ ˆ u1i u i u i 1 2 2 6 6
② R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A, 求此时的U2 解
①电路中的支路电压必须满足KVL; ②电路中的支路电流必须满足KCL; ③电路中的支路电压和支路电流必须满足关联 参考方向； （否则公式中加负号） ④定理的正确性与元件的特征全然无关。
互易定理和互易双口
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个 具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响 应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。 具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路 的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的 灵敏度分析和测量技术等方面。
U 3 2 6V
例2 求电流I
解 利用互易定理
8 I ' 2 4 // 2 1 // 2 8 2A 4 I1 = I '2/(4+2)=2/3A I1
4 8V – + a 1
2
b 2
2 c
d
I
4
I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A
I 1 3A
2A + –
+ 无源 4V 电阻 – 网络
b
1A + 2V –
3A +
(5 / 4)U 2
+ 无源 4.8V 电阻 – – 网络
U2
–
b
+
ˆk U 1 ( I1 ) U 2 I 2 Rk I ˆk I k U1 ( I 1 ) U 2 I 2 Rk I k I
注意 互易二端口四个参数中只有三个是独立的。
对称二端口： 对称二端口除满足互易条件外，还满足
Z11 Z 22 Y11 Y22 A D A' D '
注意
对称二端口只有两个参数是 独立的。