运筹学试卷

上 海 金 融 学 院20 07 ——20 08 学年 第 二 学期 《运筹学》课程 代码：23330367写出四个运筹学的分支： 、 、 、 。

1. 写出两个整数线性规划类型： 、 。

2. n S R ⊆是一个非空开凸集，:f S R →可微，则()f x 是一个严格凸函数的充分必要条件是 。

3. 对策模型的三要素： 、 、 。

二．选择题(每题3分，共12分)1. {},0n X x R Ax b x =∈=≥，若存在x *使得T T min x Xc x c x *∈=，则x *是( )。

A ． 可行解；B ． 最优解；C ． 基本可行解；D ． 不可行解或者最优解2. 设LP 是线性规划问题，DP 是其对偶问题，则( )不正确。

A ． L P 有最优解，DP 不一定有最优解；B ． 若LP 和DP 都有最优解，则二者最优值肯定相等；C ． 若LP 无可行解，则DP 无有界最优解；D ． D P 的对偶问题为LP3. n S R ⊆是一个非空凸集，:f S R →。

如果对任意的()0,1λ∈，有()()()()()12121211,,f x x f x f x x x S λλλλ+-≥+-∀∈，则f 是S 上的( )。

A ． 凸函数；B ． 严格凸函数；C ． 凹函数；D ． 非凸非凹函数4. 矩阵对策G=(S 1，S 2，A )，其中{}{}112212,,,S S ααββ==1043A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则( )。

A ． 没有纯策略解；B ． 最优局势是()12,αβ；C ． 最优局势是()21,αβ；D ． 对策的值为 1三．计算题(每题7分，共42分)1. 对于下列线性规划1231323123min41218..33()2250,0,z y y y s ty y P y x y y y =-++≥-+≥≥≤≥01).请化为标准形式； 2).请写出原规划(P)的对偶规划。

2. 解线性规划123123123123min 24.. 25 3246 ,,0z x x x s t x x x x x x x x x =++++≥+-≤≥3. 给出线性规划问题123123123123min 23111.. 13331473333 0,0,0z x x x s t x x x x x x x x x =---++≤++≤≥≥≥用单纯形法求解得最优单纯形表：如果b 1=1发生波动，试求波动值⊿b 1的范围，使原问题的最优基不变。

4. 12,x x 为整数，求解整数线性规划1121212min .. 236 230 0,0z x s t x x x x x x =-+≤-≤≥≥已知转轴后，得最优单纯形表如下：5. 求非线性规划221212min 2.. 10x x s t x x ++-=的K-T 点。

6. 用罚函数方法求解非线性规划2min ..20x s t x -≤取,1,2,...k M k k ==。

四．应用题(每题7分，共14分) 1. 生产线最优安排问题某公司现有三条生产线，由于原有产品出现销售量下降的情况，管理部门决定调整，停产不盈利的产品以释放产能来生产两种新产品甲、乙。

其中，生成甲产品需要占用生产线一与生产线三的部分产能，生成乙产品需要占用生产线二与生产线三的部分产能。

公司的生产部及财务部提供如下数据。

问：两种产品怎样组合（即每周生产多少数量）能最大化两种产品的总利润？ （建立模型，求出最优方案及最优总利润）2. 求解下列矩阵对策：甲乙两队进行乒乓求团体赛，每队都由三名球员组成。

双方各可排出三种不同阵容，每一种阵容可以看成一种策略。

甲队策略集：{}1123,,S ααα=，乙队策略集：{}2123,,S βββ=。

根据以往比赛的记录，相应的支付矩阵为312603514A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭那么，这次比赛双方各采用哪种阵容上场最稳妥？ 五．证明题(每题6分，共12分)1. S 1，S 2是n R 中的两个凸集，定义{}12,S x y x S y S =+∈∈。

请证明S 是凸集。

2. 证明下述非线性规划为凸规划：221212121212min 44.. 10 20 0,0x x x s t x x x x x x +-+-+≤-+≥≥≥答案及评分标准一．填空题(每空2分，共20分)1. 线性规划、非线性规划、对策论、存贮论、排队论、动态规划等任意之四即可。

2. 纯整数线性规划、混合整数线性规划、0-1整数线性规划等任意之二即可。

3. ()()()()121211212,,,f x x x f x f x x x S x x ∇-<-∀∈≠4. 局中人、策略、赢得（支付）函数 二．选择题(每题3分，共12分)D A C A三．计算题(每题7分，共42分)1. 解：标准形式：123134235123min 41218..33()2250,0,z y y y s ty y y P y x y y y y =+++-=+-=≥≥≥0... ........... .....3’对偶问题：12121212max 35.. 4212 3218 0,0z x x s t x x x x x x =+≤-≥-+≤≥≥.......... ........... .....7’ 2. 解:1*0,4,,*62Tx z ⎛⎫== ⎪⎝⎭.......... ........... ...... .......... .......7’3. 解：最优基B=(A 1,A 2)= 11331433⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，.......... ................ .....2’B -1=4111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。

............... .....................4’欲使11b =波动1b ∆，保持最优基不变，即，有114110113b B b --+∆⎛⎫⎛⎫=≥ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭即1141020b b ∆+≥⎧⎨-∆+≥⎩........ .....................6’ 从而得1124b -≤∆≤。

............................. .....................7’4. 解： 由于11310,04422=+=+，得到割平面条件：341111442x x s --+=-..............................1’ 得到下表：.........................................3’用对偶单纯形法得........................................4’割平面条件：412222333x s s --+=-.........................................5’加到上表，转轴得.........................................6’最优解为：()*1,1Tx =。

.......................................................................................7’ 5. 解：()()2212122,1f x x x h x x x =+=+-.............................................................................1’ ()()221212,21L x x x x x λλ=+++-.............................................................................2’()122,4x x L x x λλλ+⎛⎫∇= ⎪+⎝⎭................................................................................................3’令(),0x L x λ∇=，得..................................................................................................4’122040x x λλ+=+=，...............................................................................................................5’另外，1210x x +-=，................................................................................................6’所以KT 点为21,33Tx ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

........................................................................................7’6. 解：罚函数为()()()22max 2,0max 2,0k M k p x M x k x =-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.................................................1’相应的增广目标函数为()()()22222max 2,0222k M F x x k x x k x x x x =+-⎡⎤⎣⎦⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩ ,................................................................................3’ 原问题转换为求解一系列无约束最优化问题 ()min ,1,2,...k M F x k =用解析法求解上述问题，()()222222k Mx k x x F x x x ⎧--<'=⎨≥⎩................................................................................4’ 令()0k MF x '=，得.......................................................................................................5’ 2,1,2,...1k kx k k==+....................................................................................................6’ 当k →∞时，k x 从问题可行域外部趋于它的最优解*2x =。