第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容
D 0 E P 0 r E E
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
(一)步骤：
(二)举例：
例2 .求极板面积为S，间距为d的平行板电容器 的电容。 d D q [解]: E S B qd VA VB E dl Ed q q A εS
面电荷分布
D dS q0
(S) (S)
en ( D2 D1 ) 0 en ( E2 E1 ) 0
E dl 0
L
P cos Pn ) P dS ρdV en ( P2 P1 ) (S V
q e 2 r 4πεr B R2 q VA VB A E dl R e dr 2 r 1 4 πεr q R2 dr q 1 1 R1 r 2 4πε ( R1 R2 ) 4πε E
BR 2 A R1 O E
n 1 1 C i 1 C i
§2.9 电容器储能 电场的能量密度
一、电容器储能
如果给电容器充电,电容器中就有电场,电场中 储藏的能量等于充电时电源所作的功。这个功是 由电源消耗其它形式的能量来完成的。如果让电 容器放电，则储存在电场中的能量又可以释放出 来。现以平行板电容器为例计算静电场的能量。 设在充电过程的某 C dq dq 一瞬间，电容极板所带 电量的绝对值为q,两极 q q 板间电压为u,则电源把 电荷–dq从正极板搬到负 极板上所做的功：
有面电荷分布情况下高 斯定理的微分形式或电 位移所遵守的边值关系
D2n D1n 0
D的边值关系表明，在电介质的界面上有自 由电荷时，D的法向分量是不连续的。
在界面上无自由电荷的情况下，即
0 =0 时 D2n D1n
而
2 E2n 1 E1n
可见，电介质界面上无自由电荷时，D的法向 分量是连续的。但是不论界面上是否有自由电荷，
在电介质中，为了在方程中避免出现极化电荷， D 引入电位移矢量 。则两个定理可写成：
高斯定理 D dS q0
闭合曲面S内包围的 自由电荷的代数和 电介质中的电场同样遵守环 路定理，因为极化电荷激发 的电场与自由电荷是相同的
环路定理 E dl 0 L
上式表明，在两种电介质的界面上，场强的切 向分量是连续的。这是面电荷分布情况下电场无旋 性的表示式。
在两种电介质界面上无自由电荷的情况下
D2 n D1n
∴
代入
DE
得
2 E2n 1 E1n
E2 n 1 E1n 2
界面上无自由电荷时，界面 上两侧场强的法向分量与两 侧电介质的电容率成反比。
(S)
en1 en
D1 en1S D2 en 2 S en ( D2 D1 )S
en 2 en
底 面1
底 面2
由高斯定理 D dS q0
(S) (S)
∴
en ( D2 D1 )S 0 S 即 en ( D2 D1 ) 0
q q 4πεR1 R2 C q 1 1 V A VB R2 R1 ( ) 4πε R1 R2
两极板间充满电介质 的球形电容器的电容
4πεR1 R2 C R2 R1
4 0 R1 R2 C R2 R1
两极板间为真空的 球形电容器的电容
注意：例3、例4两题的结果与B板是否接地无关。
1 q 解: V 4πε R
q C 4πεR V
二.电容器
若某导体附近有其它导体存在，则该导体的 电势V不仅与它本身所带的电量q有关，而且还 与其它导体的大小、形状和相对位置以及它们周 围的电介质的性质和分布有关。所以，不可能再 用一个恒量来C=q/V来反映V和q之间的关系了。
q C V A VB
上式表明，电容器的电容在数值上等于两极 板上的电势差每升高一个单位所需要的电量。电 容器的电容的单位与孤立电容的单位相同。
电容器的电容是一个只与两导体的尺寸、形 状和相对位置及它们之间的电介质的性质和分布 有关，与q和VA–VB无关的恒量。
电容器电容的计算
①假设两极板分别带电荷 q ，求得两极板间 E ， 进而计算出VA–VB；
B 如图，A是一个导体，B是 q 一个封闭导体壳， A 、B之间 A 充满电介质。若使A带电量q， q 则B的内表面带电量–q，A、 B 之间有电势差VA–VB。如果A上 的电量由q→nq，则B的内表面 的电量由– q→ – nq， 而A、 B之间的电势差也由
VA–VB →n(VA–VB )。这表明A、 B之间的电势差与 导体A所带的电量成正比。由于导体壳的静电屏蔽 作用， A、 B之间的电势差不受B外其它导体及其 带电情况的影响。这种情况下，比值q/ (VA–VB )是 一个与其它导体无关的恒量。因此，电势差与电 量成正比且不受其它导体影响的两个导体组成的 系统称为电容器。每个导体称为电容器的极板。 定义：电容器的电容
(S)
(S)
要从以上两个方程中得到D和E的关系的唯一 解，还必须补充 电介质的性质方程 D E ( ε ε0εr ) 如果已知自由电荷和电介质分布以及每种电介 质的电容率，原则上可以根据以上三个方程唯一确 定矢量场D和E的分布。
二、静电场的边值关系
用静电场方程的积分形式和电介质的性质方 程推导电介质分界面两侧紧靠界面处的D、E的边 值关系。 en2 e n 在电介质内作一闭合圆柱面，其 2 介质2 底面积ΔS为无限小且平行于界面，侧 1 介质1 面积为二级无限小。界面法线单位矢 ΔS e n1 量规定为由介质1指向介质2 。 闭合曲面上的电位移通量为 D dS D dS D dS 二 阶 无 穷 小
E的法向分量是不连续的，因为界面上总是有极 化电荷。 无论是电介质还是真空中的静电场都遵守 环路定理 E dl 0
L
因为极化电荷激发电场的性质与自由电荷 是相同的。所以，两种电介质的界面上场强的
边值关系： en ( E2 E1 ) 0
或
E2 t E1t
三.电容的连接
在电路图中电容器的符号为 1. 并联 A VA 。 +
+q1 –q1 +q2 –q2 +qn –qn
C
等效电容
A 。 VA +
+q
VB 。–
C1
C2
Cn
B
VB。 –
C –q
B
特点：加在各电容器上的电压相等
q1=C1(VA–VB)， q2=C2(VA–VB)，·， qn=Cn(VA–VB) · ·
V是电容器中电场占据的空间体积
1 W 1 2 电场能量密度 we E DE 2 V 2 上式虽然是从平行板电容器中推导出来的，
但可以证明它在各向同性的线性介质中对任何静 电场普遍成立。 在各向同性的线性介质中：
于是
1 1 1 U1 : U 2 : : U n : :: C1 C 2 Cn
n n
q 1 和 V A VB 总电压 VA VB U i q C i 1 i 1 C i
n 1 1 两式比较得： C i 1 C i
串联电容器的总电容的倒数 等于各电容器电容倒数之和
两极板间充满电介质的 圆柱形电容器的电容 两极板间为真空的圆 柱形电容器的电容
2πεL C ln( R2 / R1 )
2 0 L C ln( R2 / R1 )
例4 .求球形电容器的电容。已知R2>R1 解: 设内球面A带电+q,外球面 B
带电–q,则电荷均匀分布在球面上
由高斯定理可求得A、B间的场强
此时电容器中电场储藏的能量We就等于电源 所做的功
1 Q2 1 1 2 We CU QU 2 C 2 2 在平行板电容器中,极板间充满电介质,其电 容率为，如果忽略边缘效用,两极板间的电场是 均匀的,故单位体积内储藏的能量,即能量密度也 应该是均匀的。 εS C , U Ed d 1 1 1 1 2 2 2 We CU E Sd E V DEV 2 2 2 2
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
(一)步骤：
(二)举例：
例2 .求极板面积为S，间距为d的平行板电容器 的电容。 d D q [解]: E S B qd VA VB E dl Ed q q A εS
面电荷分布
D dS q0
(S) (S)
en ( D2 D1 ) 0 en ( E2 E1 ) 0
E dl 0
L
P cos Pn ) P dS ρdV en ( P2 P1 ) (S V
q e 2 r 4πεr B R2 q VA VB A E dl R e dr 2 r 1 4 πεr q R2 dr q 1 1 R1 r 2 4πε ( R1 R2 ) 4πε E
BR 2 A R1 O E
n 1 1 C i 1 C i
§2.9 电容器储能 电场的能量密度
一、电容器储能
如果给电容器充电,电容器中就有电场,电场中 储藏的能量等于充电时电源所作的功。这个功是 由电源消耗其它形式的能量来完成的。如果让电 容器放电，则储存在电场中的能量又可以释放出 来。现以平行板电容器为例计算静电场的能量。 设在充电过程的某 C dq dq 一瞬间，电容极板所带 电量的绝对值为q,两极 q q 板间电压为u,则电源把 电荷–dq从正极板搬到负 极板上所做的功：
有面电荷分布情况下高 斯定理的微分形式或电 位移所遵守的边值关系
D2n D1n 0
D的边值关系表明，在电介质的界面上有自 由电荷时，D的法向分量是不连续的。
在界面上无自由电荷的情况下，即
0 =0 时 D2n D1n
而
2 E2n 1 E1n
可见，电介质界面上无自由电荷时，D的法向 分量是连续的。但是不论界面上是否有自由电荷，
在电介质中，为了在方程中避免出现极化电荷， D 引入电位移矢量 。则两个定理可写成：
高斯定理 D dS q0
闭合曲面S内包围的 自由电荷的代数和 电介质中的电场同样遵守环 路定理，因为极化电荷激发 的电场与自由电荷是相同的
环路定理 E dl 0 L
上式表明，在两种电介质的界面上，场强的切 向分量是连续的。这是面电荷分布情况下电场无旋 性的表示式。
在两种电介质界面上无自由电荷的情况下
D2 n D1n
∴
代入
DE
得
2 E2n 1 E1n
E2 n 1 E1n 2
界面上无自由电荷时，界面 上两侧场强的法向分量与两 侧电介质的电容率成反比。
(S)
en1 en
D1 en1S D2 en 2 S en ( D2 D1 )S
en 2 en
底 面1
底 面2
由高斯定理 D dS q0
(S) (S)
∴
en ( D2 D1 )S 0 S 即 en ( D2 D1 ) 0
q q 4πεR1 R2 C q 1 1 V A VB R2 R1 ( ) 4πε R1 R2
两极板间充满电介质 的球形电容器的电容
4πεR1 R2 C R2 R1
4 0 R1 R2 C R2 R1
两极板间为真空的 球形电容器的电容
注意：例3、例4两题的结果与B板是否接地无关。
1 q 解: V 4πε R
q C 4πεR V
二.电容器
若某导体附近有其它导体存在，则该导体的 电势V不仅与它本身所带的电量q有关，而且还 与其它导体的大小、形状和相对位置以及它们周 围的电介质的性质和分布有关。所以，不可能再 用一个恒量来C=q/V来反映V和q之间的关系了。
q C V A VB
上式表明，电容器的电容在数值上等于两极 板上的电势差每升高一个单位所需要的电量。电 容器的电容的单位与孤立电容的单位相同。
电容器的电容是一个只与两导体的尺寸、形 状和相对位置及它们之间的电介质的性质和分布 有关，与q和VA–VB无关的恒量。
电容器电容的计算
①假设两极板分别带电荷 q ，求得两极板间 E ， 进而计算出VA–VB；
B 如图，A是一个导体，B是 q 一个封闭导体壳， A 、B之间 A 充满电介质。若使A带电量q， q 则B的内表面带电量–q，A、 B 之间有电势差VA–VB。如果A上 的电量由q→nq，则B的内表面 的电量由– q→ – nq， 而A、 B之间的电势差也由
VA–VB →n(VA–VB )。这表明A、 B之间的电势差与 导体A所带的电量成正比。由于导体壳的静电屏蔽 作用， A、 B之间的电势差不受B外其它导体及其 带电情况的影响。这种情况下，比值q/ (VA–VB )是 一个与其它导体无关的恒量。因此，电势差与电 量成正比且不受其它导体影响的两个导体组成的 系统称为电容器。每个导体称为电容器的极板。 定义：电容器的电容
(S)
(S)
要从以上两个方程中得到D和E的关系的唯一 解，还必须补充 电介质的性质方程 D E ( ε ε0εr ) 如果已知自由电荷和电介质分布以及每种电介 质的电容率，原则上可以根据以上三个方程唯一确 定矢量场D和E的分布。
二、静电场的边值关系
用静电场方程的积分形式和电介质的性质方 程推导电介质分界面两侧紧靠界面处的D、E的边 值关系。 en2 e n 在电介质内作一闭合圆柱面，其 2 介质2 底面积ΔS为无限小且平行于界面，侧 1 介质1 面积为二级无限小。界面法线单位矢 ΔS e n1 量规定为由介质1指向介质2 。 闭合曲面上的电位移通量为 D dS D dS D dS 二 阶 无 穷 小
E的法向分量是不连续的，因为界面上总是有极 化电荷。 无论是电介质还是真空中的静电场都遵守 环路定理 E dl 0
L
因为极化电荷激发电场的性质与自由电荷 是相同的。所以，两种电介质的界面上场强的
边值关系： en ( E2 E1 ) 0
或
E2 t E1t
三.电容的连接
在电路图中电容器的符号为 1. 并联 A VA 。 +
+q1 –q1 +q2 –q2 +qn –qn
C
等效电容
A 。 VA +
+q
VB 。–
C1
C2
Cn
B
VB。 –
C –q
B
特点：加在各电容器上的电压相等
q1=C1(VA–VB)， q2=C2(VA–VB)，·， qn=Cn(VA–VB) · ·
V是电容器中电场占据的空间体积
1 W 1 2 电场能量密度 we E DE 2 V 2 上式虽然是从平行板电容器中推导出来的，
但可以证明它在各向同性的线性介质中对任何静 电场普遍成立。 在各向同性的线性介质中：
于是
1 1 1 U1 : U 2 : : U n : :: C1 C 2 Cn
n n
q 1 和 V A VB 总电压 VA VB U i q C i 1 i 1 C i
n 1 1 两式比较得： C i 1 C i
串联电容器的总电容的倒数 等于各电容器电容倒数之和
两极板间充满电介质的 圆柱形电容器的电容 两极板间为真空的圆 柱形电容器的电容
2πεL C ln( R2 / R1 )
2 0 L C ln( R2 / R1 )
例4 .求球形电容器的电容。已知R2>R1 解: 设内球面A带电+q,外球面 B
带电–q,则电荷均匀分布在球面上
由高斯定理可求得A、B间的场强
此时电容器中电场储藏的能量We就等于电源 所做的功
1 Q2 1 1 2 We CU QU 2 C 2 2 在平行板电容器中,极板间充满电介质,其电 容率为，如果忽略边缘效用,两极板间的电场是 均匀的,故单位体积内储藏的能量,即能量密度也 应该是均匀的。 εS C , U Ed d 1 1 1 1 2 2 2 We CU E Sd E V DEV 2 2 2 2
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电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
静电场中的导体和电介质
-
-
目录
静电场中的导体 和电介质
0
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体和电介质
静电场是指在没有电流流动的情况下，电荷分布所产生的电场。在静电场中，导体和电介质 是两种不同的物质，它们的特性和作用也不同，本文将探讨导体和电介质在静电场中的性质 和应用 首先，我们需要了解导体和电介质的基本概念。导体是一种具有良好导电性能的物质，常见 的导体包括金属等。导体内的自由电子可以在外加电场的作用下移动，形成电流。而电介质 则是一种不良导电的物质，它的电导率远远低于导体。电介质在外加电场下无法形成连续的 电流，而是通过极化现象来响应电场的作用 在静电场中，导体和电介质的行为有很大的不同。对于导体来说，其特点是在静电平衡状态 下，内部电场为零。这是因为导体内的自由电子能够自由移动，它们会在外加电场的作用下 重新分布，直到达到平衡状态。这种现象被称为电荷运动的屏蔽效应。导体的另一个重要性 质是表面上的电荷分布是均匀的，这也是导体可以用来储存电荷的
与导体不同，电介质在静电场中的响应更加复杂。当外加电场作用于电介质时，电介 质分子会发生极化现象，即分子内部正、负电荷的分离。这种分离会导致电介质内部 产生电位移场，从而相应地改变电场分布。电介质的极化程度可以用极化强度来衡量 ，极化强度与外加电场的强度成正比。除了极化现象，电介质还可能发生击穿现象， 即在电场强度过高时，电介质内部的绝缘失效，导致电流的突然增加
0
静电场中的导体和电介质
导体在静电场中的一个重要应用 是电路中的导线。电路中的导线 由导体制成，它们能够有效地传 导电流。在电力系统中，导体连 接电源和电器设备，将电能传输 到目标地点。此外，在电子设备 制造中，导体用于制作电路板， 连接不同的电子元件，实现电信 号的传输和处理
-
目录
静电场中的导体 和电介质
0
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体和电介质
静电场是指在没有电流流动的情况下，电荷分布所产生的电场。在静电场中，导体和电介质 是两种不同的物质，它们的特性和作用也不同，本文将探讨导体和电介质在静电场中的性质 和应用 首先，我们需要了解导体和电介质的基本概念。导体是一种具有良好导电性能的物质，常见 的导体包括金属等。导体内的自由电子可以在外加电场的作用下移动，形成电流。而电介质 则是一种不良导电的物质，它的电导率远远低于导体。电介质在外加电场下无法形成连续的 电流，而是通过极化现象来响应电场的作用 在静电场中，导体和电介质的行为有很大的不同。对于导体来说，其特点是在静电平衡状态 下，内部电场为零。这是因为导体内的自由电子能够自由移动，它们会在外加电场的作用下 重新分布，直到达到平衡状态。这种现象被称为电荷运动的屏蔽效应。导体的另一个重要性 质是表面上的电荷分布是均匀的，这也是导体可以用来储存电荷的
与导体不同，电介质在静电场中的响应更加复杂。当外加电场作用于电介质时，电介 质分子会发生极化现象，即分子内部正、负电荷的分离。这种分离会导致电介质内部 产生电位移场，从而相应地改变电场分布。电介质的极化程度可以用极化强度来衡量 ，极化强度与外加电场的强度成正比。除了极化现象，电介质还可能发生击穿现象， 即在电场强度过高时，电介质内部的绝缘失效，导致电流的突然增加
0
静电场中的导体和电介质
导体在静电场中的一个重要应用 是电路中的导线。电路中的导线 由导体制成，它们能够有效地传 导电流。在电力系统中，导体连 接电源和电器设备，将电能传输 到目标地点。此外，在电子设备 制造中，导体用于制作电路板， 连接不同的电子元件，实现电信 号的传输和处理
静电场中的导体与电介质
§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。
在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。
导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。
从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。
（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。
）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。
可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。
充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。
对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。
1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。
6静电场中的导体和电介质
V表面 常量
2. 导体上电荷分布 1）静电平衡时，导体内无净电荷，电荷只分布在导体 外表面上。 证明： (1)导体内无空腔 .p
E内 ds 0 q内 0
(2)导体内有空腔，腔内无其它带电体
可以看成已经达到静电平衡的实心导体，从中 挖出空腔，由于没有挖去净电荷，不会影响电 荷分布，也不影响电场分布。内表面无净电荷。
r
D1 E1 R1 2 r1 2 1r1 r R1 r1 r : E1 21r1 E1 2 r2 E 2 1r1 同理：r r2 R2 : E2 22 r2
R2
r R2 V d r1 dr2 ln ln 21r1 22 r2 21 R1 22 r R r
q
§6—7 静电场中的电介质 电介质 绝缘体(不导电) 1.电介质的电结构 带负电的电子→束缚电子 每个分子 带正电的原子核 正负重心不重合 两类电介质： 正负重心重合 E 2.电极化现象 E外 0 1）有极分子 2）无极分子
所有负电荷负重心 所有正电荷正重心
有极分子 p p 0 无极分子
q q A B
(3)内球与地相接，设内球带电q’：
R1
q q VA dr dr 2 2 R 4 r R2 4 r o o q 1 1 q q 1 ( ) 0 可解出 q 4o R R1 4o R2 q q 1 VB 4o R2
R
o
R
q
q
4 R 4
o
dq
q
o
2R
0
q q R 2R
q 4o R
第三节 电介质
第二章 静电场中的导体和电介质§3 电介质（P201）1. 一平行板电容器两极板相距为2.0毫米，电位差为400伏，其间充满了介电常数 5.0r ε=的玻璃片。
略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度eσ'。
解：2. 一平行板电容器由面积都是250厘米的金属薄片贴在石蜡纸上构成，已知石蜡纸厚为0.10毫米，2.0r ε=，略去边缘效应，问这电容器加上100伏的电压时，极板上的电荷量Q 是多少？解：3. 面积为21.0米的两平行金属板，带有等量异号电荷30±微库仑，其间充满了介电常数2r ε=的均匀电介质。
略去边缘效应，求介质内的电场强度E 和介质表面上的极化电荷密度eσ'。
解：4. 平行板电容器（极板面积为S ，间距为d ）中间有两层厚度各为1d 和2d （12d d d +=）、介电常数各为1r ε和2r ε的电介质层（见附图）。
试求： ⑴ 电容C ；⑵ 当金属极板上带电面密度为0e σ±时，两层电介质间分界面上的极化电荷面密度eσ'； ⑶ 极板间的电位差U ； ⑷ 两层介质中的电位移D 。
解：5. 两平行导体板相距5.0毫米，带有等量异号电荷，面密度为220/微库仑米，其间有两片电介质，一片厚2.0毫米，1 3.0r ε=；另一片厚3.0毫米，2 4.0r ε=，略去边缘效应，求各介质内的E 、D和介质表面的eσ'。
解：6. 一平行板电容器两极板的面积都是22.0米，相距为5.0毫米，两板加上10000伏电压后，取去电源，再在其间充满两层介质，一层厚2.0毫米，1 5.0r ε=；另一层厚3.0毫米，2 2.0r ε=。
略去边缘效应。
求：⑴ 各介质中的电极化强度P ；⑵ 电容器靠近电介质2的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上的电位是多少？ 解：7. 如附图所示，一平行板电容器两极板相距为d ，面积为S ，电位差为U ，其中放有一层厚为t 的介质，介电常数为r ε，介质两边都是空气，略去边缘效应。
电磁学第二篇课后习题
-σ
0 20 20
电势差 U 为 Ed ： d 0
根 据 电 容 的 定 义 式 ,则 有 : C Q S0 S U d d 0
§2-3 电容器及其电容
2）圆柱形电容器
设带电，则有：
E 2 0r
U E d r R2 dr
l
R1 2 0r
ln R2 2 0 R1
C Q L /( ln R2 )
2-1 静电场中的导体
2：在静电平衡时，导体内部无净电荷， 电荷只分布在导体的表面上.
证明：反证法.
设导体内有一未被抵消的净电荷 q0
EdS
q0
0
s
0
于是面上的不能处处为零， 与静电平衡条件矛盾。
2-1 静电场中的导体
3：静电平衡时，导体表面附近的场强方 向处处与表面垂直，大小与该处导体表面 的电荷面密度成正比.
第二章 有导体时的静电场 静电平衡 封闭金属壳内外的静电场 电容器及其电容 带电体系的静电能
2-1 静电场中的导体
静电感应: 导体内的电荷因外电场的作用而重新 分布的现象叫静电感应。由于静电感 应而出现的电荷叫感应电荷。
静电感应现象演示
2-1 静电场中的导体 一.静电平衡
静电平衡状态： 导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态。
§2-5 带电体系的静电能
二、电容器的静电能
将一电池与电容器相连，电池给电容器充
电。在某一瞬间，电容器带电量 q、极板间
电位差为 U 时，将电量 dq由电容器的负极移
到正极时，电源克服电场力作功绝对值为：
AQudq1 QqdqQ2
0
C0
2C
此值等于体系静电能的增加量。利用 QCU
可以得到： W 1 QU
静电场电容电介质
§4 电容器及电容 capacitor capacity
一.孤立导体的电容 定义
孤立导体的电势U Q
量纲： SI
Q C U
单位:法拉 F
Q C U
IT 1 2 4 2 2 3 1 M L T I ML T I
电容只与几何因素和介质有关 固有的容电本领
例 求真空中孤立导体球的电容(如图)
在已极化的介质内任意作一闭合面S S 将把位于S 附近的电介质分子分为两部分
一部分在 S 内
一部分在 S 外
S
电偶极矩穿过S 的分子对S 内的极化电荷有贡献 1.小面元dS对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化
dS
dS
外场
l
分子数 密度
dq qnl dS cos PdS cos
2 0
P
^ n
r1
0
r 2
p
r1 1 Q q 4R r1
3)两介质交界处极化电荷(自解)
各向同性线性电介质均匀充满两个等势面间
思路
E0 E0 E P 0 r 1E r ^ P n q dS
3)介电常数很大
r 102 104
非线性电容：用于振荡电路和介质放大器中
五.自由电荷与极化电荷共同产生场 E E0 E
例1 介质细棒的一端放置一点电荷 q1 Q0 q2 P点的场强？ 共同产生 例2 平行板电容器 自由电荷面密度为 0 充满相对介电常数为 r 的均匀 0 0 各向同性线性电介质 r 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现束缚电荷 内部的场由自由电荷和束缚电荷共同产生
一.孤立导体的电容 定义
孤立导体的电势U Q
量纲： SI
Q C U
单位:法拉 F
Q C U
IT 1 2 4 2 2 3 1 M L T I ML T I
电容只与几何因素和介质有关 固有的容电本领
例 求真空中孤立导体球的电容(如图)
在已极化的介质内任意作一闭合面S S 将把位于S 附近的电介质分子分为两部分
一部分在 S 内
一部分在 S 外
S
电偶极矩穿过S 的分子对S 内的极化电荷有贡献 1.小面元dS对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化
dS
dS
外场
l
分子数 密度
dq qnl dS cos PdS cos
2 0
P
^ n
r1
0
r 2
p
r1 1 Q q 4R r1
3)两介质交界处极化电荷(自解)
各向同性线性电介质均匀充满两个等势面间
思路
E0 E0 E P 0 r 1E r ^ P n q dS
3)介电常数很大
r 102 104
非线性电容：用于振荡电路和介质放大器中
五.自由电荷与极化电荷共同产生场 E E0 E
例1 介质细棒的一端放置一点电荷 q1 Q0 q2 P点的场强？ 共同产生 例2 平行板电容器 自由电荷面密度为 0 充满相对介电常数为 r 的均匀 0 0 各向同性线性电介质 r 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现束缚电荷 内部的场由自由电荷和束缚电荷共同产生
电磁学第二章
2 3 法3，作如图高斯面有：
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
大学物理---静电场中的导体和电介质
, E ; E
+
+ + + +
++ ++
E 0
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关. 导体凸出部分的表面曲率越大处, 电荷面密度越大, 附近 电场也越强。孤立导体表面的电荷密度与曲率之间不存 在单一的函数关系。
尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强
B A
Q RB （4）电容 C 2 π 0 r l ln U RA
2 π 0 r lRA 0 r S d RB RA RA , C d d 2
en
+
+
E
d+ l
+
eτ
导体内部电势相等
U AB
AB
E dl 0
A
B
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1 实心导体
E 0
2
q E dS 0
S
+
+ + + +
+
S
+
q 0
有空腔导体
空腔内无电荷
0
+
+ +
结论 导体内部无电荷
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
S1
电荷分布在表面上
E d S 0 ， q 0 i
S2
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
S1
q内 q
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q ，外表面有感应电荷 q （电荷 守恒）