高斯投影正反算公式83
高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012：超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差围的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
高斯投影正反算公式
⾼斯投影正反算公式⾼斯投影坐标正反算⼀、基本思想：⾼斯投影正算公式就是由⼤地坐标（L ，B ）求解⾼斯平⾯坐标（x ，y ），⽽⾼斯投影反算公式则是由⾼斯平⾯坐标（x ，y ）求解⼤地坐标（L ，B ）。
⼆、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第⼀偏⼼率：e a= 椭球第⼆偏⼼率：e b'=⾼斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''?''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''?''=ηηρηρρ其中：⾓度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央⼦午线经度； N 为⼦午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为⼦午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ??=--++-+02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ?=++++=+++=++=+ =??02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；⾼斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央⼦午线经度。
python高斯投影公式
python高斯投影公式
高斯投影是一种将地球椭球面上的经纬度线投影到平面上的方法，常用于地图制作和地理信息系统等领域。
在Python中，可以使用以下公式进行高斯投影：
1. 投影正反解公式：
正解公式：X=F(L)= L (1+sin(L))
反解公式：L=F^{-1}(X)
其中，L为经度，X为投影坐标。
2. 投影变换公式：
纬度变换公式：B=B0-g(L)
经度变换公式：L=L0-e(X)
其中，B为投影坐标，B0为地球椭球面上的纬度，L为投影坐标对应的经度，L0为地球椭球面上的经度，g(L)和e(X)分别为纬度和经度的变换函数。
需要注意的是，高斯投影公式是一种近似解法，其精度受到地球椭球模型、投影范围和投影方式等因素的影响。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的投影公式和参数。
高斯投影高斯投影正算公式
高斯－克吕格投影也称等角横切椭圆柱投 影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投 影，1569）的一种，它由德国科学家高斯 处理三角测量成果时首先提出，后经克吕 格完善（1919） ，我国于1952年起正式采 用高斯－克吕格投影。
四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作 为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺 分幅海图或赤道附近的航空图。
《大地测量学基础》（FOUNDATION OF GEODESY）
高斯－克吕格投影 高斯平面坐标系与大地坐标系
的关系（1）
测绘学院一系大地测量教研室
上节课内容回顾
☺ 长度比？ m d s
dS
☺ 椭球面到平面的长度比在什么方 向取极值？
子午方向和卯酉方向 MNcosB
☺ 最大角度变形？ sin a b
② 分带的方法
1) 6°带划分 (n为带号 )
6°带中央子午线的经度计算公式 L0 6 n3
已知6°带中央子午线的经度反算带号
n
1 6
(L0
3
)
计算任意经度所在投影带的带号公式
nL的 整 数 商 （ 1有 余 数 时 ） 6
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
② 分带的方法
2) 3°带划分 (n'为带号 )
3°带中央子午线的经度计算公式 L0 3 n
已知3°带中央子午线的经度反算带号 n L 0 3
计算任意经度所在投影带的带号公式 n L 1.5 1 3
③ UTM分带的方法
UTM的分带是从经度180°起向东每6°为一 带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；
（135°02′30″）
南海南沙群岛的曾母 暗沙（3°52′）
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
昆明冶金高等专科学校测绘学院
2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
昆明冶金高等专科学校测绘学院
二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
大地测量学第四章 7高斯投影坐标正反算
2
∂y + ∂l
得长度比的通用公式： 得长度比的通用公式：
E ( dq ) 2 + 2 F ( dq )( dl ) + G ( dl ) 2 m = r 2 ( dq ) 2 + ( dl ) 2
m0 = X
高斯投影坐标正算（ ） 高斯投影坐标正算（3）
dm0 dX dB N cos B c = =M =N cos B , m1 = N cos B = cos B dq dB dq M V
子午线曲率半径
m2 = N sin B cos B 2
等量纬度定义式
N c o s 3 B (1 − t 2 + η 2 ) m3 = b N m4 = s i n B c o s 3 B ( 5 − t 2 + 9η 2 ) 24 N cos5 B (5 − 18 t 2 + t 4 ) m5 = 120
？
上式为与方向有关的长度比的通用公式。 上式为与方向有关的长度比的通用公式。 长度比的通用公式 上式在什么条件下与方向无关？ 上式在什么条件下与方向无关？
F = 0
E = G
柯西.黎曼条件（ 柯西 黎曼条件（续） 黎曼条件
正形条件： 与 无关 即满足： 无关， 正形条件：m与A无关，即满足： F = 0
π ab 面积比：P = = ab π
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 a=b • 按投影面分类 : 圆锥面 圆柱(椭圆柱) 面 平面投影 等距投影 a=1 or b=1 等积投影 a·b=1
高斯投影坐标计算
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
式中m0 , m1 , 是待定系数，它们都是纬度B的函数
2) 由第三个条件即正形投影条件可知
y x x y 和 l q l q
分别对l 和q求偏导数并代入上式得
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y) 函数式：
l 2 ( x, y)
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x (2) x (3) 正形投影条件。
1) 由第一个条件（x 坐标轴投影成中央子午线，是投 影的对称轴）可知
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
B B f ( n2 y 2 n4 y 4 = Bf高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
B 2 2 2 x 6367452 .1328 (a0 (0.5 (a4 a6l )l )l N ) cos B sin B y (1 (a3 a5l 2 )l 2 )lN cos B
实用公式的系数
N 6399596 .652 [21565 .045 (108.996 0.603cos2 B) cos2 B] cos2 B 2 2 2 a 32144 . 5189 [ 135 . 3646 ( 0 . 7034 0 . 0041 cos B ) cos B ] cos B 0 cos2 B) cos2 B 0.04167 a4 (0.25 0.00253 2 2 a ( 0 . 167 cos B 0 . 083 ) cos B 6 0.001123 cos2 B) cos2 B 0.1666667 a3 (0.3333333 a 0.00878 (0.1702 0.20382cos2 B) cos2 B 5
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§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33）式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
由第三个条件知：qyl x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式----=++++++=+++5533156342442204523164253l dqdm l dq dm l dq dm l m l m l m l dqdm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即dq dm m dqdm m dqdm m 2312013121⋅=⋅-==(8-35)(8-35)是一种递推公式，只要确定了0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l时有：0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线)B V Mr M B N dq dB M dBdXcos cos 2==== 得：B V cB N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-37,38)B B Ndq dB dB dm dq dm m cos sin 22121112=⋅-=⋅-= (8-39)依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ (8-42) 8.3.2高斯投影坐标反算公式x,y ⇒B,l投影方程：),(),(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由x 求底点纬度(垂足纬度)f B ,对应的有底点处的等量纬度f q ，求x,y 与l q qf ,-的关系式，仿照(8-10)式有，),(),(y x l ly x q q ==由于y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将l q ,展开为y 的幂级数；又由于是对称投影，q 必是y 的偶函数，l 必是y 的奇函数。
++=+++=33144220y n y n l y n y n n q (8-45),,,210n n n 是待定系数，它们都是x 的函数.由第三条件知：y l x q ∂∂=∂∂，yqx l ∂∂-=∂∂， (8-21) (8-45)式分别对x 和y 求偏导数并代入上式⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++++++=+++ 5533156342452314422064253y dx dn y dx dn y dx dn y n y n y n y n y n n y dxdn y dx dn dx dn 上式相等必要充分条件，是同次幂y 前的系数相等，,41,31,21,34231201dxdn n dx dn n dx dn n dx dn n -==-==第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度f B ，也就是x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为f q 。
也就是在底点展开为y 的幂级数。
由(8-45)1式f q n =0依次求得其它各系数ff f f f f f r B N M B N M dX dB dB dq dX dq dX dq dX dn n 1cos 11cos 01==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===(8-51)ff f f f B N t dX dB dB dn dX dn n cos 221212112-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (8-51)1………… 将6420,,,n n n n 代入(8-45)1式得()()62224264422422484612018061cos 720465cos 24cos 2yt t tB N t y tB N t y B N t q q ff f ff ff fff f ffffff f ηηηη++++--+++-=-(8-55)1()f fff f f ffffB N y t t B N y t q q 266422224422cos 24)465(cos 4ηη-++-=-()f ff fB N y t q q 36633cos 8-=- (8-55)将531,,n n n 代入(8-45)2式得(8-56)2式。
(最后表达式) ②求f B B -与y x ,的关系。
由(8-7)式dB BN Mdq cos =知： )(),(f f q f B q f B == (8-47))()(dq q f q q q f B f f f +=-+= (8-48)按台劳级数在f q 展开+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332226121)(dq dq B d dq dq B d dq dq dB q f B f f ff (8-49) ()()() +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3332226121f ff f f f f q q dq B d q q dq B d q q dq dB B B(8-50)由(8-7)式可求出各阶导数：f f fB V dq dB cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (8-53) )341(cos sin 4222f f f f f B B dq B d ηη++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (8-54)1 )2771351(cos 2442222333f f f f f f f f ft t t B dq B d ηηηη-+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(8-54)2 …………………将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y 幂集合得高斯投影坐标反算公式(8-56)1,()()()()22242552233642542222328624285cos 12021cos 6cos 459061720935242f f f f f ff f f ff f f ff ff fff f f ff f ff f f t t t B N y t B N y B N y l y t t y NM t y t tNM t y N M t B B ηηηηη+++++++-=++--+++-=(8-56)归纳由),(y x p 求),(l B P 的基本思想：由点),(y x p 得到底点)0,(x f ，将底点f 作为过渡，也就是说将坐标原点o 移到f 点，先求),(),(21y x Q l y x Q q q f ==-关系式，再将),(1y x Q q q f =-关系式代入)(3f f q q Q B B -=-关系式得),(4y x Q B B f =-关系式，最后将坐标原点移回到o 点,从而求得),(l B P 点。
8.3.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释①当B=0时x=X=0，y 则随l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y 轴。
当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x 轴，其长度与中央子午线长度相等。
两轴的交点为坐标原点。
②当l=常数时(经线),随着B 值增加，x 值增大，y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。
又因B B cos )cos(=-，即当用-B 代替B 时，y 值不变，而x 值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
③当B=常数时(纬线)，随着的l 增加，x 值和y 值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。
又当用-l 代替l 时，x 值不变，而y 值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。
由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。
④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。