平面向量的数量积及其几何意义

课型: 新授课 主备人:邱璐璐 审核人:许志强 审批:臧书华

一、学习目标：

1.预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

2.了解向量的模、夹角等公式。

二、自学探究：

1.平面向量数量积的坐标运算

设两个非零向量 ,则a ·=

这就是说, 2.平面向量的夹角,模

(1)设a =(x,y),22y x +=,︱a ︱= (2)设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), a = = ; ︱a ︱=

(3) 设a ,都是非零向量, a =(x 1,y 1), =(x 2,y 2), θ是两向量的夹角,

则cos θ = =

若a ⊥b 则cos θ =

设),(11y x a =，),(22y x =，则⊥

⇔

三、预习自测:

1.已知a =(-3,4), b =(5,2),求︱a ︱,︱b ︱, a ·b

课型: 新授课 主备人:

邱璐璐 审核人:许志强 审批:臧书华

例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状, 并给出证明.

变式:求与向量a b =(1, )的夹角相等

c 的坐标

例2.设a =(5,-7), b =(-6,-4),求a ·

及a ,b 的夹角θ(精确到1°)

变式:已知三角形三顶点坐标为A(1,0),B(0,1),C(2,5)

求(1)2 AB →+ AC →

的模

(2) co s ∠BAC

(3)试判断△ABC 的形状

课堂评价练习

1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), △ABC的形状是( )

A直角三角形 B锐角三角形

C钝角三角形 D等边三角形

2.已知a=(x,2), =(-3,5),且它们的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )

a=3,4垂直的单位向量是__________

3.()

4.已知a=(1,2)b=(1,2),则︱a+b︱=

5. a=(4,-3), ︱b︱=1,a·b=5,则的坐标为

6.

5.设a和都是非零向量，则

1).a⊥则

2).当a与同向时，︱a·︱=

当a与b反向时，︱a·b︱=

特别地，a·a= 或︱a︱=

3).︱a·b︱≤

6. 数量积的运算律：

例

求

例

k

变式:已知a与的夹角为θ, |a|=2，||=3，

分别在下列条件下求a·

(1)θ=135o (2)a//b(3)a⊥b

课堂评价练习

1.已知a,b,c为非零向量,下列说法正确的是( )

A 若︱a·b︱=︱a︱︱b︱,则a//b

B若a·c=b·c,则a=b

C若︱a︱=︱b︱,则a·c=b·c

D若(a·b)︱c︱=︱a︱(b·c)

2.已知|a|=3，||=5，且a+k与a-k垂直则k=( )

A 3

5B

3

5

±

C

4

5

±

D

9

25

±

3.若|a|=4,a·=6,则在a方向上的投影等于

4.已知向量a与b的夹角为120°, |a|=1，|b|=3,则︱5a-b︱=

5.已知a为非零向量,且满足(a-2)⊥a,(-2a)⊥,求a与的夹角