中国人口的预测模型(例2)

姓名：江少青

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中国人口的预测模型

摘要

如今，中国面临着严重的人口爆炸问题。日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。造成了非常大的影响。为了祖国的可持续发展和人民的幸福，解决人口问题刻不容缓。我国目前面临的人口老龄化日益加重、出生人口性别比居高不下、流动迁移人口持续增加以及人口与资源环境的矛盾日益尖锐等问题。

建立人口数学模型，可以用来预测世界、国家和地区的人口，但是研究人口问题的主要目的，不仅是能够预测将来的人口，而是要能动地控制人口的数量，改善人口的年龄结构。人口问题是一个关系全局的重要问题，人口的变动会影响到基本国策的制定，影响到劳动就业的安排，社会福利事业的安排，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规划。所以正确的预测人口对处理人口、资源、经济的关系，才能使人民的生活水平尽早富裕，同时促进社会的可持续发展提供有力的支持和保障。

本文就上述问题，综合考虑各个影响因素后，通过对1982年到1998年的全国人口数量的统计数据，建立数学模型对此问题进行了研究分析。分别建立了人口指数增长模型和Logistic增长模型。模型通过假设，建立起合理的模型，利用Matlab软件对数据的处理以及根据数据拟合求解模型。最后通过模型的函数关系及其图像来预测中国未来两百年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。

关键词：Matlab 人口模型可持续发展

一．问题的重述

表1列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），

（1） 试建立人口的指数增长模型，并进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2） 设自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量为200000万人。请建立

Logistic 模型，并进行预测，与实际人口数据进行比较。

二．问题的提出

众所周知,中国是世界文明的历史古国。五千年光辉灿烂的文明让中国成为盘踞在亚洲的巨龙。作为世界第一人口大国，中国的人口变动影响着国家基本政策的制定，社会福利事业的发展，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规范。只有正确的处理人口资源经济关系，我们才能更好的促进社会的可持续性发展。人口总数的预测是人口研究中最重要的意义，同时也是进行其他预测的基础。人口预测的基本方法是在认识人口发展变化的客观规律和人口变量的特征及其内在联系的基础上，建立数学模型，通过计算机软件处理来进行测算。

三．模型假设和变量说明

1．模型的假设：

假设（1）：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比，即人口增长率是一个常数。?不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响，不考虑国际间的大面积迁入迁出；城乡间的转移对中国总人口数造成的影响可以忽略不计；市、镇、乡的各个人口数据比例能够代表全国总人口市、镇、乡的人口比率；短期内国家自身政策不会发生改变。

假设（2）：人口增长率是人口数量的一个递减函数，即人口增长率是随着人口的增大而变小的。假定此函数为一次线性函数；在中国的自然资源和环境条件下，其所容纳的人口数量有一个最大值。

2．符号的说明： x 中国的总人口数

r 人口的增长率

t 时间变量（0 t 代表1982年）

0x 模型中t=0时的人口数

m x 最大容纳人口数量

问题分析

四．模型的建立与求解

问题1 指数增长模型

令每年对应的时刻t 的人口数量为)(t x ，由于人口数量比较庞大，由假设（1）可知：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比，r 是一个常数，)(t x 可近似的看成是连续并且可微的函数。t 到t t

∆+时间段内人口的增量为：

通过变换得： )()()(t rx t

t x t t x =∆-∆+ （1） 令0→∆t 时，则有

)(t rx dt

dx =。 （2） 所以)(t x 满足微分方程：

⎪⎩⎪⎨⎧==0

)0()(x x t rx dt dx （3） 求解微分方程（3），得到指数人口增长模型： rt e x t x 0)(= （4）

由表1的数据利用Mat 软件画图工具作出人口数量与时间t 的散点图，如图1所示。

图1

利用Matlab 软件对人口指数增长模型rt

e x t x 0)(=，根据图1散点图进行拟合作出如图2所示回归曲线[1]。

图2

同时求得：

把系数代入式子（4）得到人口指数增长模型表达式： t e t x 0130.02247.10)(= （5）

由式子（5）可得：∞→t

时，)0()(>∞→r t x ，表明时间无限增大时，人

口也是无限增长的。

问题2 Logistic 增长模型

仔细分析指数增长模型可以发现只有在最初的一个很短时期内，才可以把人口的净增长率近似看作一个常数。但是随着人口的不断增长，由于受环境资源，

所能承受的人口容量的限制，人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高，人口增长率随之变小。

由假设（2）我们可以将净增长率r 看作人口的线性函数，记作))((t x r 。方程

（1）可改为

)())(()(t x t x r dt

t dx = （6） 设)())((t cx a t x r +=，由前面的分析设r x r =))0((，0)(=m x r ，即有

⎪⎩

⎪⎨⎧==+=0)())0(()())((m x r r x r t cx a t x r （7） 由式子（7）可求得))(1())((m

x t x r t x r -=。将其代入（6）中可得： ⎪⎩

⎪⎨⎧=-=0)0()())(1()(x x t x x t x r dt t dx m （8） 解方程组（8），得Logistic 增长模型[2]：

rt m m

e x x x t x ---=)1(1)(0 （9）

分析式子（9），增长率0>r ，当∞→t

时，m x t x →)(，表明时间无限增大

时，人口是趋向一个最大值的。 运用MATLAB 软件对Logistic 增长模型

rt m m e x x x t x ---=)1(1)(0，根据图1散点图进行拟合作出如图3所示回归曲线。

图3

同时求得系数：

将系数代入（9）得到Logistic 增长模型表达式：

t e t x 0304.0)1702

.10201(120)(---= （10） 五．模型的检验