相似三角形应用题
相似三角形的判定边角边定理
目前相似三角形的判定定理已经比较完善，但仍有一些细节 和边缘问题需要进一步研究和探讨，以完善几何学的理论体 系。
05
练习与思考题
基础练习题
01
总结词
理解边角边定理的基本应用
02 03
题目1
已知$triangle ABC$和$triangle ABD$中，AB=AB，AC=AD，且 $angle BAC = angle BAD$，求证：$triangle ABC cong triangle ABD$。
03
边角边定理的应用
证明两个三角形相似
总结词
边角边定理是证明两个三角形相似的重要定理之一，通过比较两个三角形的两边和夹角是否相等，可 以判断两个三角形是否相似。
详细描述
边角边定理指出，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形相似。具体来说，如果 $triangle ABC sim triangle A'B'C'$，且$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$angle B = angle B'$，则根据 边角边定理，可以推断出$triangle ABC$与$triangle A'B'C'$相似。
性质
边角边定理是相似三角形判定定理的 一种，它提供了判断两个三角形是否 相似的依据。
边角边定理的证明
证明方法一
通过三角形的性质和角的相等关系，利用三角形的 全等定理进行证明。
证明方法二
利用反证法，假设两个三角形不相似，然后通过一 系列推理和计算，得出矛盾，从而证明边角边定理 。
证明方法三
利用向量方法，通过向量的加法、数乘和向量的模 长等性质，证明两个三角形的向量相等，从而得出 两个三角形相似的结论。
相似三角形应用题
相似三角形练习题一、解答填空题（共30小题）1、已知BD，CE是△ABC的高，BD•AC_________AB•CE（用两种方法）．2、如图，在△ABC中，D是AC上的一点，已知AB2=AD•AC，∠ABD=35°，则∠C=_________度．3、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO=_________ cm，DO=_________cm．4、如图，已知∠ABC=∠ACD，若AD=3cm，AB=7cm，则AC=_________cm．5、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AD=4，BD=1．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）则cosB的值为_________．6、如图，在平行四边形ABCD中，过顶点A的直线AF交CD于E点，交BC的延长线于F点．（1）则△ADE_________△FBA；（2）若E点为CD中点，则的值为_________．7、如图，在△ABC中，点D是AB中点，点E在边AC上，且∠AED=∠ABC，如果AE=3，EC=1，那么边AB=_________．8、如图，已知AB：AD=BC：DE=AC：AE，则∠ABD与∠ACE的关系_________．9、如图，已知△ABC中，点E、F分别是AC、AB边上的点，EF∥BC，AF=2，BF=4，BC=5，连接BE，CF相交于点G．（1）则线段EF=_________；（2）则=_________．10、如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF ∥AB交BC于F点．（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，CE=_________；（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，CE=_________．11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC⊥CD，若AD=9，BC=4，则AC的长为_________．12、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD=CE，则AB•CD_________AC•BD．13、（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD=_________度（精确到1°）；（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC=_________米（精确到0.01米）．14、（2009•陕西）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，楼高AB是_________m（结果精确到0.1m）．15、（2009•德城区）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m．住宅楼的高度为_________米．16、（2007•玉溪）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM=_________ m．17、（2005•济南）如图，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A⇒B⇒C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距_________米．（DE的长）（2）求张华追赶王刚的速度是_________m/s（精确到0.1m/s）．18、如图，一油桶高AE为1m，桶内有油，一根木棒AB长为1.2m，从桶盖的小口（A）处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端与小口（A）齐平，抽出木棒，量得棒上未浸油部分AC长为0.48m．桶内油面的高度DE=_________m．19、如图，某同学身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，此路灯高有_________米．20、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米．（1）一个实际或现实的问题只有数学化后，才有可能用数学的思想方法解决．请你认真读题，画出示意图，并在示意图上标注必要的字母和数字．（2）利用示意图，树的高度是_________米．21、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．教学大楼的高度AB是_________米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．22、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？_________（填（1）或（2）即可）．23、如图，灯泡在圆桌的正上方，当距桌面2m时，圆桌的影子的直径为2.8m，在仅仅改变圆桌的高度，其他条件不变的情况下，圆桌的桌面再上升_________米，其影子的直径变为3.2m．24、如图，马路MN上有一路灯O，小明沿着马路MN散步，当他在距路灯灯柱6米远的B 处时，他在地面上的影长是3米，问当他在距路灯灯柱10米远的D处时，他的影长DF是_________米．25、如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①小亮在路灯D下的影长为_________m；②建筑物AD的高为_________m．26、在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行﹣千七百七十五步见木．问邑方几何．”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K 位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），小城的边长为_________步．27、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，电视塔的高ED=_________米．28、已知：如图，一人在距离树21米的点A处测量树高，将一长为2米的标杆BE在与人相距3米处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，此树的高是_________米．29、一位同学想利用树影测树高AB．在某一时刻测得1m的竹竿的影长为0.7m，但当他马上测树影时，发现影子不全落在地上，一部分落在了附近的﹣幢高楼上（如图）．于是他只得测出了留在墙上的影长CD为 1.5m，以及地面部分上的影长BD为 4.9m．树高是_________米．30、如图，小龙要测量楼的顶层一根旗杆的顶端距地面的距离．他在地面上放置一面镜子，若小龙的眼睛距镜面中心点2米，镜面中心点距离小龙的脚1.2米，距离大楼底部12米，这根旗杆的顶端距地面的距离为_________米．答案与评分标准一、解答填空题（共30小题）1、已知BD，CE是△ABC的高，BD•AC=AB•CE（用两种方法）．考点：相似三角形的判定与性质。
图形的相似练习题
图形的相似练习题1、什么是图形的相似？答：图形的相似是指两个图形形状相同，大小可以不同。
2、什么是相似三角形？答：相似三角形是形状相同，大小不等的两个三角形。
二、基础应用1、下面的两个三角形是相似三角形吗？如果是，请说明理由。
答：是，因为它们的对应角相等，对应边成比例。
2、已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，请找出与它相似的三角形的三边长。
答：与它相似的三角形的三边长可以为6、8、10或者9、12、15等等。
三、提升练习1、在一张纸上画一个正方形，然后在纸上画一个与它相似的正方形。
验证这两个正方形是相似的。
答：在纸上画出两个正方形，通过测量它们的边长和角度来验证它们是相似的。
2、如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长有什么特点？答：如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长必须满足勾股定理。
四、拓展探究1、如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数有什么关系？答：如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数必须满足n:m=m:n。
2、如果两个图形是相似的，那么它们的其他属性（如面积、周长等）有什么关系？答：如果两个图形是相似的，那么它们的面积的比等于边长的比的平方，周长的比等于边长的比。
一、引言图形的相似是几何学中的一个重要概念，对于理解几何形状的性质和解决几何问题有着至关重要的作用。
为了确保学生对这个概念有深入的理解，我们进行了一次图形的相似单元测试。
以下是对本次测试的详细介绍。
二、测试内容本次测试旨在评估学生对图形相似的定义、性质和判定方法的理解和应用能力。
测试问题涵盖了基本概念、性质理解、判定方法以及应用题等多个方面。
1、基本概念：测试首先要求学生识别和理解图形相似的定义，包括相似图形的定义和性质。
2、性质理解：测试问题涉及图形相似的性质，如相似三角形的对应角相等、对应边成比例等。
3、判定方法：测试包括一些判定图形相似的方法，如利用角度、利用比例等。
备战中考数学(浙教版)巩固复习相似三角形(含解析)
备战中考数学（浙教版）巩固复习相似三角形（含解析）一、单选题1.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF的周长比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.１∶2.如图，△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=A D，则△ABC与△DEF的面积比是（）A.1：6B.1：5C.1：4D.1：23.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A. B.C.D.4.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶15.下列几个命题中正确的有（）(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似。
A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A.1︰2B.1︰3C.1︰D.2︰37.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是()A.1250km B. 125km C.12.5km D.1.25km8.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A.=B.=C.=D.=9.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，同时边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A.12mB.13.5mC.15D.16.5 m10.如图，小明把一个边长为10的正方形DEFG剪纸贴在△ABC纸片上，其中AB=AC=26，BC=20，正方形的顶点D，G分别在边AB、AC上，且AD=AG，点E、F在△ABC内部，则点E到BC的距离为（）A.1B.2C.D.11.如图所示，图中共有相似三角形（）A.5对B.4对C.3对D.2对二、填空题12.已知△ABC∽△A1B1C1 ，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1 = ________．13.假如在比例尺为1∶1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3. 4厘米，那么A、B两地的实际距离是________千米．14.把一个正多边形放大到原先的2.5倍，则原图与新图的相似比为___ _____15.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC___ _____．16.如图，G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，交AB、AC，分别于D、E两点,若△ADE的面积为5，则四边形BDEC的面积为______ __．17.假如=，那么=________18.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长是________．19.如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E．有以下结论：①∠ACP=15°；②△APE是等腰三角形；③AE2=PE•AB；④△APC的面积为S1 ，正方形ABCD的面积为S2 ，则S1：S2=1：4．其中正确的是________（把正确的序号填在横线上）．20.把一个多边形的面积扩大为原先的3倍，且与原先的多边形相似，则其周长扩大为原先的________倍．三、解答题21.要测量旗杆高CD ，在B处立标杆AB=2.5cm，人在F处．眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上．已知BD=3.6m，FB=2.2m，EF=1. 5m．求旗杆的高度．22.如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．四、综合题23.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O动身．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A动身，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时刻为t 秒（t＞0）．（1）当t=3秒时，直截了当写出点N的坐标；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，要求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？24.如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与A E交于点F，且．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若，求证：．25.已知线段a、b、c满足，且．（1）求a、b、c的值；| |（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】本题可依照相似三角形的性质求解，相似三角形的周长比等于相似比．【解答】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．【点评】本题要紧考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．2.【答案】C【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC：DF=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．故选C．【分析】由△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，依照位似图形的性质，即可得AC∥DF，即可求得AC：DF=OA：OD=1：2，然后依照相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DE F的面积比．3.【答案】D【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵，∴DE∥BC，选项C不符合题意；，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．故选：D．【分析】依照平行线分线段成比例定理对各个选项进行判定即可．4.【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故答案为：C．【分析】依照相似三角形面积的比等于相似比的平方得出答案。
相似三角形-专题(完整版-可打印)
相似三角形的判定--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清ID号：394499关联的位置名称（播放点名称）：例4及变式应用】【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（2014秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【答案与解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴=代入①=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG 是解题关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又， ∽，，． 【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.相似三角形的判定--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ).A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF ∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（2015•伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为．8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.（2014秋•射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E 是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用 1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
相似三角形比例计算棱锥体积
2. 棱锥体积的计算方法：简述棱锥体积的计算公式及应用场景，着重介绍棱锥体积计算的关键要素，如底面积、高度、棱长等，并结合实例进行演示。
3. 相似三角形比例计算棱锥体积实例分析：通过实例，逐步介绍如何利用相似三角形的比例关系计算棱锥体积，包括了步骤和技巧，并提供多组实际案例进行演练和巩固。
02
多尺度三角形比例
Multiscale Triangle Scale
大纲1：大小不一的相似三角形
大纲1：大小不一的相似三角形
1. 如何确定相似三角形的比例关系：介绍三角形的对应边长比例以及角度的相等关系，让学生明确如何使用这些条件来判断三角形相似，并且确定比例关系。
2. 相似三角形比例计算棱锥体积的实例：通过一道具体的应用题，让学生了解如何利用相似三角形的比例关系，来计算棱锥的体积。要求学生掌握该题目的解题思路，能够在实际应用中灵活运用。
1. 按比例放大图像
通过相似三角形的比例关系，在使用放大器或缩小器放大或缩小图像时，可以确定放大或缩小的比例，保持图像的相似性，避免图像变形或失真。
2. 计算图像放大后的面积或体积
在使用放大器或缩小器放大或缩小图像时，可以通过相似三角形的面积比例计算出图像放大后的面积，或者通过相似三角形的体积比例计算出图像放大后的体积，便于实际应用中的量化分析和设计。
Application Example 2: Digital Image Processing
缩小图像
缩小图像
1. 缩小比例的影响
根据相似三角形的比例，当两个三角形之间的两个相似边的长度比为a：b时，它们的面积比为a²：b²。因此，将一个图像的所有线性尺寸缩小为原来的一半，其面积和体积都将缩小为原来的1/4。
专题02相似三角形的判定(六个知识点八大题型二个易错点 )(解析版)
专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点）【目录】【学习目标】1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。
2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.例1：下列说法一定正确的是（）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．知识点2相似三角形的预备定理（重点）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC D 的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE D ∽ABC D ．例2：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米【答案】D 试题分析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ．∵AC ∥OP ，BD ∥OP ，∴△ACM ∽△OPM ，△BDN ∽△OPN ，∴BD BN OP ON =，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x ﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D ．知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果1A A Ð=Ð、1B B Ð=Ð，那么ABC D ∽111A B C D ．常见模型如下：例3：如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交AD 于点F ，OE OB ^交BC 边于点E ．求证：ABF D ∽COE D ．【难度】★★【解析】证明：Q 90BAC Ð=°，\90BAD CAD Ð+Ð=°，90ABO AOB Ð+Ð=°，又AD BC ^，OE OB ^，9090C CAD AOB EOC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，．BAD C ABO EOC \Ð=ÐÐ=Ð，．\ABF D ∽COE D ．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，1A A Ð=Ð，1111AB AC A B A C =，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.例4:如图，点D 是ABC D 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD D ∽ABC D ．【难度】★【解析】证明：Q 2AC AD AB =g ，AD AC AC AB\=，A A Ð=ÐQ ，\ACD D ∽ABC D ．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.例5：如图，点D 为ABC D 内一点，点E 为ABC D 外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==．求证：ABD D ∽ACE D ．【难度】★★【解析】Q AB BC AC AD DE AE== \ABC ADE D D ∽．\BAC DAE Ð=Ð， 即BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð．\BAD CAE Ð=Ð．Q AB AC AD AE= \ABD D ∽ACE D ．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC D 和111Rt A B C D 中，如果190C C Ð=Ð=°，1111AB BC A B B C =，那么ABC D ∽111A B C D ．例6：如图，在ABC D 和111A B C D 中，AD BC ^，1111A D B C ^，垂足为D 和1D ，且111111AC AB AD A CA BAD ==．求证：ABC D ∽111A B C D ．【难度】★【解析】证明：Q AD BC ^，1111A D B C ^，\11190ADC A D C Ð=Ð=o ．又Q 111111AC AB AD A C A B A D ==，\111Rt ADC Rt A D C D D ∽，\1C C Ð=Ð．同理可得：1B B Ð=Ð， \ABC D ∽111A B C D ．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似例7：如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点（DE 不平行BC ），若使△ADE 与△ABC 相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．【答案】∠ADE ＝∠C【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【详解】∵∠A 是公共角，如果∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，故答案为∠ADE=∠C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．题型二：寻找图形中的相似三角形个数例8：如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，EBC D ∽CDF D ．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得：////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理，可得：EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，进而可得：EBC D ∽CDF D ，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．题型三：相似三角形的判定定理应用例9：如图，点D 、E 分别在ABC V 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE V 与ACB △相似的是（ ）A ．AD AE AC AB =B ．AD AB AE AC =C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC=【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在ADE V 与ACB V 中，∵AD AE AC AB=，且A A ÐÐ=，∴ADE ACB V V ∽．故选:A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．题型四：利用相似三角形证明等积式例10．如图，D 、E 分别是ABC D 的边AB 、AC 上的点，且AED B Ð=Ð．求证：AE AC AD AB =g g ．【难度】★【解析】证明：AED B A A Ð=ÐÐ=ÐQ ，，AED \D ∽ABC D ，AD AE AC AB\=，即AE AC AD AB =g g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．例11.如图，ABC D 是等边三角形，120DAE Ð=°，求证AD AE AB DE =g g ．【难度】★★【解析】证明：Q ABC D 是等边三角形，60BAC ACB \Ð=Ð=°．Q 120DAE Ð=°，60DAB CAE \Ð+Ð=°．又60ACB E CAE Ð=Ð+Ð=°，DAB E \Ð=Ð． D D Ð=ÐQ ，DAB \D ∽DEA D ，AD AB DE AE\=， 即AD AE AB DE =g g ．题型五：相似三角形应用3 2210/ 223 10【答案】22.3/，∴∠∴，∴，BF'=CF=∴，∴，∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED V 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ^∴90FDE Ð=°又∵90ACB Ð=°∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF V 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ^，DG BC ^，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ^，DG BC^∴90DHC DGC Ð=Ð=°又∵90ACB Ð=°，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG Ð=°∵90FDE Ð=°∴HDG HDF EDF HDF Ð-Ð=Ð-Ð 即EDH FDGÐ=Ð又∵90DHE DGF Ð=Ð=°∴EDH FDGV V ∽题型八：与相似三角形有关的图形运动问题例15.把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF Ð=Ð=°，45C F Ð=Ð=°，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD D ∽CDQ D ，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为a ．其中090a °<<°，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（2）易证APD CDQ D D ∽， 得：AP AD CD CQ= AP CQ CD AD \·=·．又AC =Q ， CD AD \==， 8AP CQ \·=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻例16.在△ABC 中，直线DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是（）A ．AD AE BD EC =B ．∠ADE=∠ACBC ．AE ﹒AC=AB ﹒ADD ．AD DE AB BC=【答案】D 【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A 不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B 不符合题意；由AE ﹒AC=AB ﹒AD 得AD AC AE AB=，且∠A=∠A ，故可得△ABC 与△ADE 相似，所以选项C 不符合题意；而D 不是夹角相等，故选项D 符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．易错总结：找两个三角形的对应关系时，容易受思维定式的影响，想当然地把AB 与A1B1当成对应边，∠A 与∠A1当成对应角。
《27[1].2 相似三角形》2013年同步练习
![《27[1].2 相似三角形》2013年同步练习](https://img.taocdn.com/s3/m/5348fa1ac281e53a5802ff24.png)
《27.2 相似三角形》2009年同步练习一、解答题（共27小题，满分0分）1．如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于点E，若AC=a，BC=b，则DE的长为_________．2．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，DE⊥AM，垂足为E，若AB=6，AD=20，BM=8，求DE的长度．3．（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．4．如图，在离某建筑物4米处有一棵树AB，在某时刻，将1.2m长的竹竿A′B′竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为_________米．5．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是_________mm．6．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC的长为_________ cm．7．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为_________．8．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为_________时，△DAP与△PBC相似．9．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点，若不考虑其它因素，该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为_________cm．10．（2006•潍坊）晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．则路灯的高为_________米．11．（2006•安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m．他量得客厅高AB=2.8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF=3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？12．▱ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD=1：3，EF交AC于G．若AC=20，则AG=_________．13．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP=_________；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP=_________．14．如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM•PA=PN•BP．15．在△ABC中，AC=AB，∠A=36°，BD为角平分线，则△ABC和△BCD是什么关系？为什么？16．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1=∠2，，请说明△ABC∽△ADE．17．如图，，试说明：∠BAD=∠CAE．18．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△CBD？19．如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥BC，交AC于点E，求证：AD：AC=CE：BD．20．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD2=DF•DA；（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？21．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．22．如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连接AF，交BC于点G，交BD于点E．试说明：AE2=EG•EF．23．（2003•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号）24．（2008•宁夏）如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：（1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；（2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．25．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．26．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．求证：BD•CF=CD•DF．27．（2003•安徽）（创新学习）如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子|a﹣b|来表示“正度”，|a﹣b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|α﹣β|来表示“正度”，|α﹣β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．《27.2 相似三角形》2009年同步练习参考答案与试题解析一、解答题（共27小题，满分0分）1．如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于点E，若AC=a，BC=b，则DE的长为．∴∴∴∴故应填2．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，DE⊥AM，垂足为E，若AB=6，AD=20，BM=8，求DE的长度．∴3．（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．××﹣tx+6≠时，，即时，，即4．如图，在离某建筑物4米处有一棵树AB，在某时刻，将1.2m长的竹竿A′B′竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为 4.4米．．）m+4AB=5．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是48mm．∴6．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC的长为 4.5cm．∴∴7．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为7：3．8．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为，2，或4时，△DAP与△PBC相似．但应分当和）当；）当，9．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点，若不考虑其它因素，该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为75cm．∴10．（2006•潍坊）晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．则路灯的高为 6.6米．∴∴．∴11．（2006•安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m．他量得客厅高AB=2.8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF=3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？∴12．▱ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD=1：3，EF交AC于G．若AC=20，则AG=4．BC．进而得到，所以，即∴∴=∴13．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP=；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP=．PC+CQ=PA+AB+QB=（）×．PC=PC+CQ=PA+AB+QB=∴．14．如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM•PA=PN•BP．∴15．在△ABC中，AC=AB，∠A=36°，BD为角平分线，则△ABC和△BCD是什么关系？为什么？16．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1=∠2，，请说明△ABC∽△ADE．∵∴17．如图，，试说明：∠BAD=∠CAE．证明：∵18．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△CBD？时，即当．时，19．如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥BC，交AC于点E，求证：AD：AC=CE：BD．∴∴20．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD2=DF•DA；（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？∴=21．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．22．如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连接AF，交BC于点G，交BD于点E．试说明：AE2=EG•EF．有关，将其变形得∴∴，∴．23．（2003•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号）=．∴．．24．（2008•宁夏）如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：（1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；（2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．25．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．=，26．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．求证：BD•CF=CD•DF．AC27．（2003•安徽）（创新学习）如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子|a﹣b|来表示“正度”，|a﹣b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|α﹣β|来表示“正度”，|α﹣β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．）对同学甲的方案可改为用，等（参与本试卷答题和审题的老师有：MMCH；zcx；智波；lanyan；117173；zhjh；Liuzhx；CJX；cook2360；ln_86；csiya。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
经开学习中心学科教师辅导讲义
考点二：利用相似测量几何物体
1、如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm ．
2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 ．
3．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？
4.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
5.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
6.如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．
7.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）
8.小明(如图中ＡＢ)身高为１.６米ꎬ通过地面上的一块平面镜( 点Ｃ)ꎬ刚好能看到前方大树的树梢(点Ｅ)ꎬ此时他测得俯角为４５°,然后他直接抬头观察树梢,测得仰角为３０°.求树的高度ＥＤ.(结果保留根号)
9.如图ꎬ小明同学用自制的直角三角形纸板ＤＥＦ，测量树的高度ＡＢ，他调整自己的位置，设法使斜边ＤＦ保持水平ꎬ并且边ＤＥ与点Ｂ在同一直线上.已知纸板的直角边ＥＦ＝２０ｃｍꎬ斜边ＤＦ＝２０５ｃｍꎬ测得斜
边ＤＦ=
5
20，离地面的高度ＡＣ＝1.5ｃｍ，ＣＤ＝９ｍ。
求树高ＡＢ.
10、北京某单位为了缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)．
限时检测
1、（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，
求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD=_________度（精确到1°）；
（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC=_________米（精确到0.01米）．
2、（2009•陕西）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，楼高AB是_________m（结果精确到0.1m）．
3、（2009•德城区）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m．住宅楼的高度为_________米．
4、（2007•玉溪）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM=_________m．。