双星系统专题
《双星系统专题》课件
双星的分类和命名规则
双星可以根据物理特性、相对位置和运动状态进行分类。命名规则主要基于亮度、星座和发现顺序。 常见的命名规则包括谐特符号、巴伦斯特符号和德莫杰尔符号。
双星系统的观测方法
观测双星系统可以使用直接成像、分光和多普勒频移等方法。高分辨率望远镜和干涉仪能提供更精确的观测结果。 天文学家还使用双星系统的光变曲线、光谱和减光法研究系统的物理特性。
双星系统专题
欢迎来到《双星系统专题》PPT课件。本课件将介绍关于双星系统的定义、特 点以及其在天文学中的重要性和未来发展趋势。
双星系统的定义和特点
双星系统由两颗相互绕转的恒星组成，其特点是双星之间的引力相互作用导致它们围绕共同的中心点运动。 双星系统可以被分为接近双星、宽双星和奇异双星，具有不同的物理特性和观测特征。
双星系统的演化过程
双星系统经历了不同的演化阶段，包括星际云雾的坍缩、原恒星的形成、演化与发展，最终可能形成白矮星、中子 星或黑洞。 这个演化过程对于理解恒星的生命周期和宇宙的结构非常重要。
双星系统的重要性和应用领域
双星系统提供了研究恒星和行星形成、星际物质的演化以及重力相互作用的绝佳实验平台。 它们还被广泛应用于天体物理学、宇宙学和行星科学的研究。
双星系统的未来发展趋势
未来的研究将集中在更深入地探索双星系统的物理过程、进一步发展观测技 术以及发现更多新的双星系统。 这将有助于我们更全面地了解宇宙的结构和演化。Fra bibliotek结论和要点
• 双星系统由两颗相互绕转的恒星组成。 • 它们根据特征和观测方法进行分类。 • 双星系统在天文学研究中具有重要作用。 • 未来的研究将进一步推动双星系统的发展。
专题-双星问题
“双星”问题的分析思路两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。
双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。
一．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。
由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。
二．要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
三．要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：M 1： 22121111121M M v G M M r L r ω==M 2： 22122222222M M v G M M r L r ω==试由上式1.试推导1r 和2r 的表达式2.求出双星的运动周期和总质量在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。
练习1．美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行．设每个星体的质量均为M ，忽略其它星体对它们的引力作用，则（ ）A ．环绕星运动的周期为T=2πB ．环绕星运动的周期为T=2πC ．环绕星运动的线速度为D ．环绕星运动的角速度为2．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的4倍，两星之间的距离变为原来的2倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A ．TB ．TC ．TD ．T3．（多选）2012年7月26日，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（）A．它们做圆周运动的万有引力保持不变B．它们做圆周运动的角速度不变C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小4.（多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
2023届高三物理复习重难点突破33双星多星模型 卫星的变轨及能量问题 拉格朗日点(解析版)
专题33 双星多星模型卫星的变轨及能量问题拉格朗日点考点一双星模型双星系统：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，而且两颗星与该中心点总在同一直线上，如图，1.两个星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2L2＝m1ω21r1，Gm1m2L2＝m2ω22r22.两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω23.两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L4.由m1ω21r1＝m2ω22r2 得：两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2＝r2r15.双星的总质量公式m1＋m2＝4π2L3T2G推论：L3T2＝kM总6.双星的运动周期T＝2π)(213mmGL1．(多选)我国天文学家通过“天眼”（FAST，500米口径球面射电望远镜）在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统，如图所示，由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若恒星A的质量为3m，恒星B的质量为5m，恒星A和恒星B之间的距离为L，引力常量为G。
下列说法正确的是（）A．恒星A运行的角速度大于恒星B运行的角速度 B．恒星A与恒星B的线速度之比为5:3C．恒星A到O点的距离为35L D．恒星B的运行周期为π√L32Gm【答案】BD【解析】A．由于双星系统在相等时间内转过的圆心角相同，则双星的角速度一定相等，A错误；C．对恒星A有G5m×3mL2=3mω2rA对恒星B有G3m×5mL2=5mω2rB解得rArB=53又由于rA +rB=L解得rA=58L，rB=38L C错误；B．根据v=ωr解得vAvB=53B正确；D．恒星B的运行周期为T=2πω=π√L32GmD正确。
2．（2022·全国·高三课时练习）(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。
该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。
微专题4 双星系统和卫星变轨问题 教学设计
微专题4双星系统和卫星变轨问题类型一对双星系统的理解1．双星模型如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．2．双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．(3)两星的运动周期、角速度都相同．(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.【例1】(多选)图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示．双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比m A∶m B＝n∶1，则()A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1∶1B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶nD．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为1∶n2[解析]由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，二者做圆周运动的向心力之比为1∶1，故有m A r A ω2＝m B r B ω2，解得r A r B ＝m B m A ＝1n ，故A 、C 正确，B 错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为1∶n ，故D 错误．[答案] AC【例2】 如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A和B 分别在O 的两侧，引力常量为G .(1)求A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)求两星球做圆周运动的周期；(3)如果把星球A 质量的12搬运到B 星球上，并保持A 和B 两者中心之间距离仍为L .则组成新的稳定双星后星球A 半径和周期如何变化？[解析] (1)令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L ＝r ＋R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有G mM L 2＝mR 4π2T 2G mM L 2＝Mr 4π2T 2，可得R r ＝M m ，又因为L ＝R ＋r所以可以解得R ＝M M ＋m L ，r ＝m M ＋mL ； (2)根据(1)可以得到G mM L 2＝m 4π2T 2R ，R ＝M M ＋mL 两式联立解得T ＝4π2L 3（M ＋m ）G ＝2π L 3G （M ＋m ）； (3)根据R ＝M M ＋m L ，知M 变大，R 变大 根据T ＝ 4π2L 3（M ＋m ）G ＝2π L 3G （m ＋M ），知周期不变． [答案] (1)M M ＋m L m M ＋mL(2)2πL3G（M＋m）(3)半径变大周期不变[针对训练1]宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若A星轨道半径较大，则() A．星球A的质量大于B的质量B．星球A的线速度大于B的线速度C．星球A的角速度大于B的角速度D．星球A的周期大于B的周期解析：选B.根据万有引力提供向心力有m Aω2r A＝m Bω2r B，因为r A＞r B，所以m A＜m B，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；双星角速度相等，则周期相等，根据v＝ωr可知，v A＞v B，故B正确，C、D错误．[针对训练2](多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星A、B，A、B 的质量分别为m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知()A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3B．A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3C．A做圆周运动的半径为2 5LD．B做圆周运动的半径为2 5L解析：选BC.双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，则角速度相等，故A错误；向心力大小相等，有：m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为25L，B做圆周运动的半径为35L，故C正确，D错误；根据v＝ωr，角速度相等，双星的线速度比等于半径比为2∶3，故B正确．类型二卫星变轨问题卫星在运动中的“变轨”有两种情况：离心运动和向心运动．当万有引力恰好提供卫星所需的向心力，即G Mm r 2＝m v 2r 时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变，所需的向心力也会发生突变，而突变瞬间万有引力不变．(1)制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G Mm r 2>m v 2r ，卫星做近心运动，轨道半径将变小．所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动．(2)加速变轨：卫星的速率变大时，使得万有引力小于所需向心力，即G Mm r 2<m v 2r，卫星做离心运动，轨道半径将变大．所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．【例3】 北京时间2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10 min 后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道.2时23分，飞船的太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功．后续，天舟四号货运飞船与在轨运行的空间站组合体进行交会对接．若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是( )A ．对接前天舟四号的运行速率大于空间站组合体的运行速率B ．对接前天舟四号的向心加速度小于空间站组合体的向心加速度C ．天舟四号通过加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接D ．天舟四号先减速后加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接[解析] 对接前两者在同一轨道上运动，由万有引力提供向心力可知G Mm r 2＝m v 2r ＝ma ，解得v ＝G M r ，a ＝G M r 2 ，同一轨道，运行速率、向心加速度相等，A 、B 错误；飞船与空间站组合体在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，则所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C 错误；天舟四号先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D 正确．[答案] D【例4】 (多选)2022年3月23日，“天宫课堂”进行了第二次授课活动．授课过程中信号顺畅不卡顿，主要是利用天链系列地球同步轨道卫星进行数据中继来实现的．如图所示，天链卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B 时，再次点火进入圆形同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动．设地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g 0，卫星质量保持不变，则下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运动的周期均与地球自转周期相同B ．卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过B 点的加速度大小相同C ．卫星在轨道Ⅲ上的运行速率小于g 0RD ．卫星在轨道Ⅰ向轨道Ⅱ变轨时，火箭需在A 点点火向前喷气[解析] 同步轨道Ⅲ属于同步卫星轨道，与地球自转周期保持相同，轨道Ⅰ属于近地卫星轨道，与地球自转周期不相同，A 错误；根据万有引力充当合外力可知G Mm r 2 ＝ma ，所以卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过B 点的加速度相同，B正确；在地面上，则有G Mm R 2 ＝mg 0，对于轨道卫星，则有G Mm r 2 ＝m v 2r ，可解得v ＝g 0R 2r ，C 正确；卫星在轨道Ⅰ向轨道Ⅱ变轨时做离心运动，需要加速，故火箭需在A 点点火向后喷气，D 错误．[答案] BC[针对训练3] 一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度大小减小为原来的12 ，则变轨前后卫星的( ) A ．周期之比为1∶8B ．角速度大小之比为2∶1C ．向心加速度大小之比为4∶1D ．轨道半径之比为1∶2解析：选A.根据万有引力充当卫星绕地球运动的向心力：G Mm r 2 ＝m v 2r ，卫星的线速度v ＝ GM r ，由题知，速度大小减小为原来的12 ，则轨道半径增大到原来的4倍，即变轨前后轨道半径之比为1∶4；卫星的角速度ω＝v r ＝GMr 3 ，可得变轨前后角速度大小之比为8∶1；卫星的向心加速度a ＝v 2r ＝GM r 2 ，可得变轨前后向心加速度大小之比为16∶1；卫星的周期T ＝2πω ，可得变轨前后周期之比为1∶8，故B 、C 、D 错误，A 正确．[针对训练4] 如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：选B.从轨道1变轨到轨道2，需要加速做离心运动，A 错误；根据公式G Mm R 2 ＝ma 可得a ＝G M R 2 ，故只要到地心距离相同，加速度大小就相同，由于卫星在椭圆轨道1运动，到地心距离、引力的方向均在变化，所以运行过程的加速度在变，B 正确，C 错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在变，所以不同位置处速度不同，D 错误．[A 级——合格考达标练]1．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：选B.从轨道1变轨到2，需要加速逃逸，A 错误；根据公式G Mm R 2＝ma 可得a ＝G M R 2，故只要到地心距离相同，加速度则相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，到地心距离、引力的方向均在变化，所以运行过程的加速度在变，B 正确，C 错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在变，所以不同位置处速度不同，D 错误．2．如图所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大C ．c 加速可以追上同一轨道上的b ，b 减速可以等候同一轨道上的cD ．b 、c 向心加速度相等，且大于a 的向心加速度解析：选 B.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m 、轨道半径为r 、地球质量为M ，有G Mm r 2＝m v 2r ＝ma ，解得卫星线速度v ＝GMr ，由图可知，r a ＜r b ＝r c ，则b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度，故A 错误；由v ＝GMr 知，a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B 正确；c 加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b ；b 减速要做近心运动，不可以等候同一轨道上的c ，故C 错误；由向心加速度a ＝GM r 2知，b 、c 的向心加速度大小相等，且小于a 的向心加速度，故D 错误．3．(多选)图为两颗人造卫星绕地球运动的轨道示意图，Ⅰ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C 、D 为两轨道交点．已知轨道Ⅱ上的卫星运动到C 点时速度方向与AB 平行，则下列说法正确的是( )A ．两颗卫星的运动周期相同B ．卫星在Ⅰ轨道的速率为v 0，卫星在Ⅱ轨道B 点的速率为v B ，则v 0<v BC ．两个轨道上的卫星运动到C 点时的加速度相同D ．两个轨道上的卫星运动到C 点时的向心加速度大小相等解析：选AC.由轨道Ⅱ上的卫星运动到C 点时速度方向与AB 平行可知CD 为椭圆短轴的两个端点，由于圆的圆心与椭圆的左焦点重合，则由几何关系可知圆的半径与椭圆的半长轴相等，故由开普勒第三定律可知两卫星运行周期相等，A 正确；设有一个与椭圆相切于B 点、以地球为圆心的圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅱ上从B 点进入该圆轨道Ⅲ则需要加速，而由v ＝ GMr 可知卫星在轨道Ⅲ的速度必小于在轨道Ⅰ上的速度，故v 0>v B ，B 错误；卫星在C 点时的加速度(不是向心加速度)由牛顿第二定律有G Mm r 2＝ma ，即加速度a ＝G M r 2与卫星质量无关、与轨道形状无关，C 正确；卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，加速度即为向心加速度；卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动，在C点，其加速度沿垂直于速度方向上的分量才是向心加速度，故卫星在轨道Ⅱ上C点的向心加速度小于卫星在轨道Ⅰ上C 点的向心加速度，D错误．4．如图所示，在赤道发射场发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()A．该卫星在P点的速度大于11.2 km/sB．卫星在轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/sC．卫星在Q点需要适当加速，才能够由轨道Ⅰ进入轨道ⅡD．卫星在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点时的加速度解析：选C.11.2 km/s是卫星脱离地球束缚的最小发射速度，由于同步卫星仍然绕地球运动，则在P点的速度小于11.2 km/s，故A错误；7.9 km/s是卫星在地球表面飞行的环绕速度，根据万有引力提供向心力，由GMmr2＝mv2r可知v＝GMr，卫星在轨道Ⅱ上，半径变大，则运行速度小于7.9 km/s，故B错误；卫星需要加速，让卫星做离心运动，才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故C正确；根据GMm r2＝ma可知a＝GMr2，则卫星在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过Q点时的加速度，故D错误．5．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A∶r B ＝1∶2，则两颗天体的()A ．质量之比m A ∶mB ＝2∶1B ．角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C ．线速度大小之比v A ∶v B ＝2∶1D ．向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1解析：选 A.双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，有F ＝m A ω2r A ＝m B ω2r B ，所以m A ∶m B ＝2∶1，B 、D 错误，A 正确；由v ＝ωr 可知，线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2，C 错误．6．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中的A 、B 两星球绕其连线上的某固定点O 做匀速圆周运动，如图所示．现测得两星球球心之间的距离为L ，运动周期为T ，已知引力常量为G ，若R A >R B ，则( )A ．两星球的总质量等于4π2L 3GT 3B ．星球A 的向心力大于星球B 的向心力C ．星球A 的线速度一定小于星球B 的线速度D ．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小解析：选D.由题可知，双星的角速度相等，根据v ＝ωr ，且R A >R B ，则v A >v B ，C 错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B 错误；根据万有引力提供向心力，对A 有G M A M B L 2＝M A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R A ，对B 有G M A M B L 2＝M B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R B ，其中L ＝R A ＋R B ，解得T ＝4π2L 3G ()M A ＋M B ，M A ＋M B ＝4π2L 3GT 2，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减小，D 正确，A 错误．[B 级——等级考增分练]7．如图所示，半径为r 的圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，半长轴为a 的椭圆轨道Ⅱ为载人飞船的运行轨道，飞船在两个轨道相切点A 与空间站交会对接，已知飞船与空间站均绕地球运动，引力常量为G ，地球质量为M ，下列说法中正确的是( )A.空间站的运行速度大于第一宇宙速度 B ．在A 点对接时飞船应沿运行速度方向喷气 C ．飞船与空间站运行周期之比为r 3a 3D ．飞船在轨道Ⅱ经过A 点，喷气变轨前一刻的速度小于GM r解析：选 D.第一宇宙速度是物体绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站的运行速度不可能大于第一宇宙速度，故A 错误；载人飞船与空间站对接需向高轨道做离心运动，则需要向后点火加速，即飞船应沿运行速度相反方向喷气，故B 错误；设飞船的运行周期为T 1，空间站的运动周期为T 2，根据开普勒第三定律得a 3T 21 ＝r 3T 22 ，则T 1T 2＝a 3r 3，故C 错误；以r 为半径做圆周运动的物体，根据万有引力提供向心力得G mMr 2 ＝m v 2r ，得以r 为半径做圆周运动的物体的速度为v ＝GMr ，飞船在轨道Ⅱ经过A 点后做近心运动，喷气变轨前一刻的速度小于GMr ，故D 正确．8．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置(如图所示).若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R .不计卫星间的相互作用力，则以下判断正确的是( )A.这两颗卫星的加速度大小相等，均为Rgr B ．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2C.卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间为πr3R r gD ．卫星1中物体的速度为gr解析：选C.由GMm r 2 ＝ma 、GMm R 2 ＝mg ，得 a ＝gR 2r 2 ，A 错误；卫星1向后喷气时速度增大，所需的向心力增大，万有引力不足以提供其所需的向心力而做离心运动，与卫星2不处于同一轨道上了，B 错误；卫星1由位置A 运动到位置B 的过程，由t ＝θ360° T ＝16 T 、GMm r 2 ＝mr (2πT )2、GMm R 2 ＝mg 可得，t ＝πr 3R r g ，C 正确；由GMmr 2 ＝m v 2r 、GMm R 2 ＝mg 可得，卫星1中物体的速度v ＝ gR 2r ，D 错误．9．(多选)双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的)，则( )A ．b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B ．a 星的线速度大小为π（l ＋Δr ）TC ．a 、b 两颗星的轨道半径之比为l l ＋ΔrD ．a 、b 两颗星的质量之比为l －Δrl ＋Δr解析：选BD.由于双星系统是在相互间万有引力作用下绕连线上同一点做圆周运动，故二者连线始终过圆心，则二者在任意相同时间内转过的圆心角相等，故二者的转动周期相同，A 错误；由r a ＋r b ＝l 及r a －r b ＝Δr 得r a ＝l ＋Δr2 ，r b ＝l －Δr 2 ，故a 星的线速度大小为v a ＝2πr aT ＝π（l ＋Δr ）T ，B 正确；a 、b 两颗星的轨道半径之比为r a r b ＝l ＋Δr l －Δr ，C 错误；由F 引＝m a r a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2 ＝m b r b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2 有m a m b＝r b r a ＝l －Δrl ＋Δr，D 正确．。
《双星系统专题》课件
双星系统在天文学中的未来应用
天体演化研究
利用双星系统研究恒星演化过程和物理特性，深入理 解恒星的起源、演化和结局。
宇宙尺度结构研究
通过双星系统观测和研究宇宙尺度上的物质分布、星 系形成和演化等重要问题。
天体物理学实验验证
利用双星系统验证天体物理学的理论和模型，推动天 文学的发展和进步。
THANKS
银河系中心是一个高密度的恒星区域，其中存在大量的双星系统。这些 双星系统对于研究银河系中心的结构和演化具有重要的意义。
03
星系核
在一些星系的中心，存在超大质量的黑洞，周围环绕着大量的恒星。在
这些恒星中，有些会形成双星系统。这些双星系统对于研究星系核的演
化具有重要的意义。
03
双星系统的物理效应
双星系统的引力效应
双星系统专题
目 录
• 双星系统的定义与特性 • 双星系统的观测与发现 • 双星系统的物理效应 • 双星系统在天文学中的应用 • 双星系统的未来研究展望
01
双星系统的定义与特 性
双星系统的定义
总结词
双星系统是由两颗恒星绕共同质心旋转的系统。
详细描述
双星系统是由两颗恒星组成的系统，它们通过相互之间的引力作用相互绕转， 形成一个稳定的系统。双星系统可以是密近双星，也可以是分居双星。
恒星物理参数
双星系统中的恒星由于相互引力作用 ，其物理参数（如质量、半径、温度 等）会发生变化，通过对这些参数的 测量和研究，有助于深入了解恒星的 物理性质和演化规律。
双星系统在星系演化研究中的应用
星系结构
通过对双星系统的观测和研究，可以了解星系的结构和分布，探究星系的形成和演化过程。
星系动力学
双星系统中的恒星运动轨迹受到相互引力的影响，通过对这些运动轨迹的研究，可以深入了解星系的 动力学特征和演化机制。
双星系统专题
针对练习：
(04全国卷Ⅳ17)我们的银河系的恒星中大约四分之一是
双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相
互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做
匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S1到C
点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G.
由此可求出D S2的质量为
（ D）
二、要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度 也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
三、要明确两子星圆周运动的动力学关系。
物体1：
G
M1M L2
2
M1
v12 r1
M1r112
物体2：
G
M1M L2
2
M2
A 4π2r2 (r r1) GT 2
C 4π2r3 GT 2
B 4π 2 r13 GT 2
D 4π 2 r 2 r1
GT 2
总结
一、要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万 有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是 相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。
行星对该行星的万有引力的合力提 供。
(2)每颗行星转动的方向相同,运行 周期、角速度和线速度大小相等。
例1：宇宙中两颗相距较近的天体均为“双星”，它们以二 者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万 有引力的作用而吸引到一起。设两者的质量分别为m1 和m2，
两者相距L，求： (1).双星的轨道半径之比； (2).双星的线速度之比； (3).双星的角速度。
完整版双星问题试题及答案
双星问题一．解答题（共7小题）1．（2015秋?南京校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：（1）A星体所受合力大小F；A（2）B星体所受合力大小F；B（3）C星体的轨道半径R；C （4）三星体做圆周运动的周期T．2．（2015?大庆校级模拟）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？第1页3．（2015?万州区模拟）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m，星体2的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G．求该双星系统运动的周期．4．（2015秋?重庆校级月考）如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m、m．BA（1）求B的周期和速率．（2）A受B的引力F可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′．（用m、AA m表示）（）B第2页5．（2015春?重庆期末）地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T．（1）求地球同步通信卫星绕地球运行的角速度大小；（2）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球同步通信卫星的轨道半径．6．（2015春?抚顺期末）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．求两星球做圆周运动的周期．7．（2015春?澄城县期末）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀速圆周运动，求：（1）卫星的线速度；（2）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期．第3页一．解答题（共7小题）1．（2015秋?南京校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：（1）A星体所受合力大小F；A（2）B星体所受合力大小F；B（3）C星体的轨道半径R；C （4）三星体做圆周运动的周期T．【考点】万有引力定律及其应用；向心力．【专题】万有引力定律的应用专题．【分析】（1）（2）由万有引力定律，分别求出单个的力，然后求出合力即可．（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；（4）三星体做圆周运动的周期T相等，写出C的向心加速度表达式即可求出．【解答】解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：方向如图，则合力的大小为：，，方向如图；星受到的引力分别为：）同上，（2B第4页方向：沿x方向：沿y=可得：，合力的方向的受力分析可知，由于：，（3）通过对于B的中点处．所以：AD一定在BC的中垂线BC的中垂线AD的中点，所以圆心O经过C星：的受力大小与B的受力相同，对）（4由题可知C整理得：星C（3）（2B）星体所受合力大小是；1答：（）A星体所受合力大小是；是T（4）三星体做圆周运动的周期．；体的轨道半径是的质量相等，则运行的规律、C与【点评】该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B 运动的半径是相等的．画出它们的受力的图象，在结合图象和万有引力定律即可正确解答．大庆校级模拟）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的2015?．2（已观测到稳定的三星系统存在两种基本通常可忽略其它星体对它们的引力作用．三星系统，的圆轨道的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R5第页上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【考点】万有引力定律及其应用．【专题】万有引力定律的应用专题．【分析】明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．【解答】解：（1）在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力．=所以可得星体运动的线速度v=星体运动的周期T=（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，由万有引力定律和牛顿第二定律得：= ②又周期T=l=所以可解得：．）试求第一种形式下，星体运动的线速度为，周期为；（1答：）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为．（2【点评】万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．3．（2015?万州区模拟）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m，星体2的质量为2m，第6页两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G．求该双星系统运动的周期．【考点】万有引力定律及其应用．【专题】万有引力定律的应用专题．【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解．【解答】解：双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R，距星体2 为r=mR，有对星体1G①=2mr G②对星体2，有根据题意有R+r=L ③L T=2由以上各式解得πLπ答：双星系统运动的周期为2．【点评】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．4．（2015秋?重庆校级月考）如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m、m．BA（1）求B的周期和速率．（2）A受B的引力F可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′．（用m、AA m表示）（）B【考点】万有引力定律及其应用．【专题】万有引力定律在天体运动中的应用专题．【分析】双星系统构成的条件是双星的角速度相同，依靠它们之间的万有引力提供各自的向心力．由于两星球的加速度不同，必须采用隔离法运用牛顿定律分别对两星球研究，并通过数学变形求解．【解答】解：（1）双星是稳定的结构，故公转周期相同，故B的周期也为T．设A、B的圆轨道半径分别为r、r，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其21为ω．由牛顿运动定律：2r F=mω对A：1A12r F=FF=mωB对：BB22A设A、B之间的距离为r，又r=r+r，由上述各式得：21第7页=v）故（其中v A=解得：v B①，故（2 ）由于AB恒星间万有引力为：；F=G②将①式代入得到：F=点处质量为m′的星体对它的引力，则有：可等效为位于A受B的引力FO A③′=由②③联立解得：m，速率为）B的周期为T．答：（1为′m′的星体对它的引力，mB）A受的引力F可等效为位于O点处质量为2（A．双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，【点评】对于天体运动问题关键要建立物理模型．三点”一线．两星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“重庆期末）地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期春?5．（2015 ．相同，均为T ）求地球同步通信卫星绕地球运行的角速度大小；（1 g，求地球同步通信卫星的轨道半径．）已知地球半径为（2R，地球表面的重力加速度为万有引力定律及其应用；牛顿第二定律．【考点】——功能问题．电磁感应【专题】第8页、根据角速度与周期的关系，地球同步卫星绕地球运行的角速度大小为．1 【分析】、根据万有引力提供向心力，地球表面的物体受到的重力等于万有引力2，解二方程即可得出r．【解答】解：（1）地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T．根据角速度与周期的关系，地球同步卫星绕地球运行的角速度大小为．（2）设地球质量为M，卫星质量为m，引力常量为G，地球同步通信卫星的轨道半径为r，则根据万有引力定律和牛顿第二定律有对于质量为m的物体放在地球表面上，根据万有引力定律有0联立上述两式可解得）求地球同步通信卫星绕地球运行的角速度大小为；1 答：（（2）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则地球同步通信卫星的轨道半径为．【点评】对万有引力与天体的运动问题，一定要知道两个关系：①星球表面的物体受到的重力等于万有引力，②做匀速圆周运动的物体需要的向心力由万有引力提供．熟练掌握这两个关系可以解决一切天体运动的问题．6．（2015春?抚顺期末）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．求两星球做圆周运动的周期．【考点】万有引力定律及其应用．【专题】万有引力定律的应用专题．第9页【分析】该题属于双星问题，它们之间的万有引力提供向心力，它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离．代入公式即可解答．【解答】解：A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等．且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期．22R r=Mmωω则有：又由已知：r+R=L解得：对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：化简得答：两星球做圆周运动的周期：【点评】该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．7．（2015春?澄城县期末）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀速圆周运动，求：（1）卫星的线速度；（2）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期．【考点】万有引力定律及其应用．【专题】万有引力定律的应用专题．【分析】（1）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力求出卫星的线速度．）根据求出周期的大小．2 （【解答】解：（1）对于卫星，由万有引力提供向心力，得：质量为m′的物体在地球表面所受的重力等于万有引力大小，即：解得：）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为：2（代入数据得：第10页）卫星的线速度为；（1 答：）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为（2 ．【点评】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．第11页。
双星系统知识点
双星系统知识点一、双星系统的概念双星系统是指两个天体围绕着一个共同的重心运动的天体系统。
这种系统中，两个天体之间存在引力作用，它们围绕着共同的重心旋转。
在观测双星系统时，我们可以通过观察它们之间的相对位置和轨道周期等特征来了解它们的性质。
二、双星系统的分类1. 根据轨道周期分类：双星系统可以分为短周期和长周期两种类型。
短周期双星系统的轨道周期较短，通常在几天或几十天以内；而长周期双星系统的轨道周期较长，可能需要数年或数十年才能完成一次公转。
2. 根据距离分类：根据两个天体之间的距离，双星系统可以分为近距离和远距离两种类型。
近距离双星系统中，两个天体之间的距离通常小于1000个天文单位（AU）；而远距离双星系统中，两个天体之间的距离可能达到几万或几十万AU。
3. 根据性质分类：根据两个天体的性质，双星系统可以分为恒星-行星系统、恒星-恒星系统、行星-行星系统等不同类型。
其中，恒星-行星系统指的是一个恒星和一颗行星组成的双星系统；恒星-恒星系统指的是两个恒星组成的双星系统；而行星-行星系统则是由两颗行星组成的双星系统。
三、双星系统的形成双星系统的形成可以通过以下几种方式：1. 分裂：在分裂过程中，一个天体分裂成两个独立的天体，它们之间存在引力作用，最终形成了一个双星系统。
2. 合并：在合并过程中，两个天体相互靠近并发生碰撞，最终形成了一个新的天体。
如果碰撞后新天体仍然存在引力作用，则可能形成一个双星系统。
3. 凝聚：在凝聚过程中，原始物质逐渐聚集形成更大的物体。
当这些物体足够大时，它们之间可能发生引力作用，并最终形成一个双星系统。
四、双星系统对人类探索的意义1. 通过观测双星系统可以了解宇宙中物质分布和演化规律。
2. 双子座等多个著名双星系统是天文学家观测和研究恒星演化的重要工具。
3. 双星系统中的行星也是人类探索外太空的目标之一，因为它们可能存在生命的可能性。
五、双星系统的研究方法1. 观测：通过望远镜等设备观测双星系统的相对位置、轨道周期等特征来了解它们的性质。
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双星系统：
宇宙中两颗靠得比较近的恒星称为双星，它们离其它 星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽 略不计。它们绕两者连线上某固定点做匀速圆周运动。
（1）由于双星和该固定点O总保持三 点共线，所以在相同时间内转过的角度 必相等，即双星做匀速圆周运动的角速 度必相等，因此周期也必然相同。
哈柏太空望远镜拍摄的 天狼星双星系统，在左 下方可以清楚的看见天 狼伴星(天狼 B)。
例1：宇宙中两颗相距较近的天体均为“双星”，它们以二 者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万 有引力的作用而吸引到一起。设两者的质量分别为m1 和m2，
两者相距L，求： (1).双星的轨道半径之比； (2).双星的线速度之比； (3).双星的角速度。
（2）由于每颗星的向心力都是由双星 间相互作用的万有引力提供的，因ห้องสมุดไป่ตู้大 小必然相等。
近年来,天文学家们发现，大部分已知恒星都存在于双星甚至多星系统中。 双星对于天体物理尤其重要，因为两颗星的质量可从通过观测旋转轨道确 定。这样，很多独立星体的质量也可以推算出来。 在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。研究双星，不但对于 了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的 形成和演化，也是一个不可缺少的方面。
例2：（01北京.08宁夏卷）两个星球组成双星，它们在相互 之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周
运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总 质量。（引力常量为G）
例3：（06广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量 相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们 的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成 形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在
同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边
三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
行。设每个星体的质量均为m。
⑴试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。 ⑵假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之 间的距离应为多少？