河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研考试数学(理)试题 含答案
(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概率;
(2)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案①的概率为 1 , 选择方案②的概率为 2 . 若甲、乙、丙三名骑
3
3
手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案①的概率;
(3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理
5. 某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上 的对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路 径的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据几何体的三视图知，该几何体是长方体，如图所示；
其展开图中，有三种情况，
从点 P（A）到 Q（B）的最短距离为 故选：C．
为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 中不正确的为（ ）
1.16x﹣30.75，以下结论
A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差
第1页
B．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米
D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米
A. (1, 2]
B. (1, 4]
C.[2,+∞)
D.[4，+∞)
11.直线 y= a 与函数 f (x) = tan(ω x + π )(ω > 0 )的图象的相邻两个交点的距离为 2π,若 f(x)在(-m,m) (m> 0) 4
上是增函数,则 m 的取值范围是( )
A. (0, π ] 4
=yˆ 1.16x − 30.75, 以下结论中不正确的为()
A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米
4.函数 f (x) =| x | − a (a ∈R) 的图象不可能是 x
第3页
＝2 ．
6. 设 m，n 为正数，且 m+n＝2，则 1 n 3 的最小值为（ ） m1 n 2
A．
B．
C．
D．
解：当 m+n＝2 时，
，
因为
，
当且仅当 m+1＝n+2，即
， 时取等号，则
，即最小
值为 ．
故选：D．
7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表
衡水中学 2019—2020 学年度高三下学期第九次调研考试
数学（理科）
一、选择题(本大题包括 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.)
1.已知集合 =A {x | 0 < x < 2}, B= {x | log1 x < 2}，则 A∪B=()
2
A. R
B. {x | 0 < x < 2} C. {x|x>0}
即 sinC（1+3cosA）＝0，
因为 sinC≠0，
，且 D．
所以 cosA＝﹣ ，
由余弦定理可得 a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA＝ bc＝2，
所以 bc＝3，
由△ABC 的面积公式可得 S＝
＝
＝
． 故选：A．
第4页
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
解：当 i＝1 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2；
示即为：在
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则
的面积 S＝
1 4
ab 2
a2
b2 2
c2
2
.
根据此公式，若
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
解：由 acosB+（b+3c）cosA＝0，
可得 sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA＝0，
即 sin（A+B）+3sinCcosA＝0，
B. (0, π ] 2
C. (0, 3π ] 4
D. (0, 3π ] 2
12.已知函数 f (= x)
(x2
−
2x)ex ,
若方程
f(x)=a
有
3
个不同的实根
x1,
x2 ,
x3 (x1
<
x2
<
x3 ), 则
a x2 −
2
的取值
范围是( )
A. [− 1 , 0) e
B. (− 2 , 0) e2
4
2
3c)cosA=0,且 a2 − b2 − c2 = 2, 则△ABC 的面积为()
A. 2
B. 2 2
C. 6
8.执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为()
D. 2 3
A. -3
B. 1
C. − 1
D.2
3
2
9.若 0<a<b<1,x=ab,y=ba,z=logba,则 x,y,z 大小关系正确的是
C. (− 2 , 2e 2 ) e2
D. (0, 2e 2 )
二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.)
13.(x − 1 )7 的展开式的第 2 项为____ 7x
14.已知△ABC 中，AB=3, AC=5, BC=7,若点 D 满足= AD 1 AB + 1 AC, 则 DB ⋅ DC = ____ 32
(2)已知 a>0,b>0,且 a + 2b =2, 求证: f (x)− | x |≤ a2 + 4b2 .
（理科九调数学）
参考答案与试题解析
一、 选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）
1. 已知集合 A x 0 x 2 ， B x log1 x 2 ，则 A B （ ）
() 5.某几何体的三视图如图，该几何体表面。上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为 A,B，则在
该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路径的长度为（）
A. 5
B. 6
C. 2 2
D. 10
6.设 m, n 为正数，且 m+n=2,则 1 + n + 3 的最小值为( ) m+1 n+ 2
解：对于 A，身高极差大约是 25，臂展极差大于等于 30，故 A 正确；
对于 B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，
身高高一些，
展臂就会长一些，故 B 正确；
对于 C，身高为 190 厘米，代入回归方程可得展臂等于 189.65 厘米，但不
是准确值，故 C 正确；
对于 D，身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，但不是准
并延长分别交 C1 于
A,B
两点,连接
AB,△OMN
与△OAB
的面积分别记为 S∆OMN
和 S∆OAB , 设 λ
=
S∆OMN S∆OAB
.
(1)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程;
(2)求 λ 的取值范围.
21.已知函数 f (x) =x2 − aex −1 (1)若 f(x)有两个不同的极值点 x1, x2 , 求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下，求证: ex1 + ex2 > 4 .
﹣1+ ＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，0）上单调递增，图象为 D；
第2页
（3）当 a＜0 时，﹣1+ ＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
令 1+ ＝0 得 x＝ ，∴当 x＞ 时，1+ ＞0，当 0＜x＜ 时，1+
＜0， ∴f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，图象为 B； 故选：C．
15.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , 若 a2 + a=4 18, S=17 459, 则数列{(−1)n ⋅ a3n}的前 n 项和 Tn = ____
16.已知三棱锥 D 一 ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,AD⊥平面
ABC, AC = 3, BC = 1, cos ∠ACB= 3 sin ∠ACB, AD= 2 ,则球 O 的表面积为_____
a
选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程
x= 2 + 2 cosθ
在平面直角坐标系中，曲线
C
的参数方程为
y
=
2
sin θ
( θ 为参数)，直线 l 的参数方程为
x = −
2t 2
(t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
确值，
回归方程上的点并不都是准确的样本点，故 D 错误；
故选：D．
4. 函数 f x x a （
x
）的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：f（x）＝
，∴f′（x）＝
．
（1）当 a＝0 时，f（x）＝
，图象为 A；
（2）当 a＞0 时，1+ ＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
令﹣1+ ＝0 得 x＝﹣ ，∴当 x＜﹣ 时，﹣1+ ＜0，当﹣ ＜x＜0 时，
河北衡水中学2020年第二学期高三年级第九次调研考试理科综合卷参考答案
高三下学期第九次调研考试理科综合生物部分1—6BDCABC29（9分）（1）S M CDK2（2）G0物质和能量的浪费（3）G23（4）71430.（11分）（1）①高脂肪低糖类（KD）②IAV感染3天后，实验组的生存率显著高于对照组(2分)③无明显变化显著增加（2）①a：A基因敲除小鼠b：KD饮食c：KD饮食d：小鼠生存率②1组小鼠的生存率显著低于2组(2分)31.（9分）（1)能量在流动过程中逐级递减，经过五个营养级后剩余的能最不足以维持一个种群的生长发育和繁殖。
（2分）（2)错误（1分）；食物链是从生产者开始的（2分）。
（3)直接（1分）（4)不合理（1分）：大量捕杀蝙蝠会破坏生态系统原有的营养结构和生物多样性，导致生态系统稳定性降低，不利于生态系统的稳定（2分）。
(答案合理即可）31.（10分）（1）B1对B2、B3为显性，B2对B3为显性Z B2W和Z B3W多节数：中节数：少节数=8:5:3（2）设计方案：F1中多只多节数雄性家蚕蛾分别与中节数雌性家蚕蛾挑选方案：中节数雌性家蚕蛾（或不出现少节数家蚕蛾）37.（15分）(1)乳酸（1分）；(2)提供无氧环境（2分）；防止杂菌污染（2分）；(3)D（2分）；(4)玫瑰红（2分）；标准显色液（2分）；标准显色液设计浓度范围太窄，使待测浓度不在区间内；（2分）增大标准显色液的浓度范围进一步实验（2分）（或者：标准显色液浓度梯度过大，使待测浓度难以找到相近的；缩小浓度梯度至，进一步实验）38、（除标注外，每空2分，共15分）（1）自然界物质循环的规律少消耗、多效益、可持续（2）物质循环再生物种多样性人类的干扰（3）浮床生态工艺法垃圾分类处理掩埋（1分）化学部分7.C8.A9.A10.D11.C12.B13.D26.（14分）（1）CO(NH2)2+H2O2=CO(NH2)2·H2O2（2分）（2）b（1分）温度过高会导致过氧化氢、尿素分解（2分）（3）聚四氟乙烯化学性质稳定，铁质材料易被氧化（1分）（4）4H2O2+Cr2O72-+2H+=2CrO5+5H2O（2分）4CrO5+12H+=4Cr3++6H2O+O2↑（2分）（5）滴入最后一滴KMnO4标准溶液时，溶液变为浅粉色，且半分钟内不褪色（2分）（6）16%（2分）27.（14分）（1）+6（1分）重结晶（1分）（2）MoO3、SO2（2分）（3）MoO3+CO32-=MoO42-+CO2↑（2分）将焙烧产品粉碎、搅拌、适当升高温度或适当提高Na2CO3溶液的浓度等（答出合理的两点即可）（2分）（4）98.5（2分）（5）①Cl-促进碳钢的腐蚀，SO42-抑制碳钢的腐蚀；硫酸浓度增大，会使碳钢钝化（2分）②替代空气中氧气起氧化剂作用（2分）28.（15分）I.（1）-90.77kJ·mol-1（2分）（2）较低温度（1分）（3）①200（L/mol）2（2分）②C（2分）II.（1）＜（2分）（2）＞（2分）（3）①CH3OCH3-12e-＋3H2O＝2CO2＋12H+（2分）②（2分）35.（15分）[化学——选修3：物质结构与性质]（1）；17；sp2、sp3；sp2、sp3（每空1分）（2）①羟氯喹仅比氯喹多一个羟基，可以与水形成更多的氢键，故水溶性更好。
河北衡水中学2020届高三下期第九次调研考试理科综合卷(参考答案)
高三下学期第九次调研考试物理部分二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.D [金属的逸出功是由金属自身决定的，与入射光频率无关，A 项错误；光电子的最大初动能E km 与入射光的强度无关，B 项错误；根据爱因斯坦光电效应方程E km ＝hν－W 0，可知最大初动能E km 随入射光频率增大而增大，但不成正比，C 项错误；E km －ν图线的斜率与普朗克常量有关，D 项正确。
]15．C [由v t 图线可求得两图线交点的横坐标为t ＝2 s 。
有a 甲＝0－105 m/s 2＝－2 m/s 2，a乙＝6－02－1 m/s 2＝6 m/s 2，所以|a 甲|∶a 乙＝1∶3，故D 错；由图象可求得甲的位移x 甲＝12×10×5 m ＝25 m ，乙的位移x 乙＝12×6×1 m ＋6×3 m ＝21 m 。
t ＝5 s 时两物体位于同一位置，所以t ＝0时甲物体在乙物体后4 m ，故C 正确；运动过程中，t ＝2 s 前甲的速度大于乙的速度，t ＝2 s 后乙的速度大于甲的速度，所以前面甲追乙，后面乙追甲，故A 错；2 s ～5 s 时间内，甲物体位移x 1＝12×6×3 m ＝9 m ，乙物体位移x 2＝6×3 m ＝18 m ，t ＝5 s 时两物体位于同一位置，所以t ＝2 s 甲物体在前，乙物体在后，故B 错。
]16.B [粒子运动周期T ＝2πmqB ，可知速度变化前后，粒子的两次运动周期不变，设以速率v射入磁场时运动轨迹的半径为R 1，画出粒子运动过程图如图甲所示，根据几何关系可知，粒子在磁场中运动所转过的圆心角θ1＝90°，半径R 1＝r 。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期第九次调研试题文(含解析)
【详解】 BC AC AB (1, a 2) ,
由| BC | 1,可得 (1)2 (a 2)2 1 ,解得 a 2 ,
则 AB AC 2 1 2 2 6 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.
5.已知 a log5 2 ， b log0.5 0.2 ， c 0.50.2 ，则 a, b, c 的大小关系为（ ）
c2 2
b2
2
，若
a2
sin
C
5 sin
A
,
(a
c)2
16
b2
，则用“三斜
求积”公式求得 ABC 的面积为（ ）
3
1
A. 2
B. 3
C. 2
பைடு நூலகம்
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可求得 ac ,进而可求得 a2 c2 b2 6 代入“三斜求积”公式即可求得结
果.
【详解】 a2 sin C 5sin A ， a2c 5a ， ac 5 ,因为 (a c)2 16 b2 ，
设
2
a
，则 f x的极大值恒小于 0 等价于 g x恒小于 0.
gx a x
∵
x
a x2 x
0
在
0,
a
上在恒成立
∴ g x在 0,
a
上单调递增
g x g a a ln a 3 a 0 ln a 3
∴
2
，即
2.
∴ a e3 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转
sin
由 f (x) 在 4 内有且只有两个极值点可得 6 10 ，再由
2019-2020学年河北省衡水中学高三第二学期第九次调研(理科)数学试卷 解析版
2019-2020学年高三第二学期第九次调研（理科）数学试卷一、选择题.1．已知集合A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|＜2}，则A∪B＝（）A．R B．{x|0＜x＜}C．{x|x＞0}D．{x|＜x＜} 2．复数z＝上的虚部为（）A．B．C．D．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米4．函数f（x）＝|x|﹣（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．6．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2C．D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3B．C．D．29．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝log b a，则x，y，z大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A．（1，2]B．（1，4]C．[2，+∞）D．[4，+∞）11．直线y＝a与函数f（x）＝tan（）（ω＞0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上是增函数，则m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，] 12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（）A．[，0）B．（，0）C．（，）D．（0，）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分.）13．（x﹣）7的展开式的第2项为．14．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足，则•＝15．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4＝18，S17＝459，则{（﹣1）n•a3n}的前n 项和T n＝．16．已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC ＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）17．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M在棱PA上，，且二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，试求λ的值．19．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．如图，椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为的F1、F2，离心率为；过抛物线C2：x2＝4by焦点F的直线交抛物线于M、N两点，当|MF|＝时，M点在x 轴上的射影为F1．连结NO，MO并延长分别交C1于A、B两点，连接AB；△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB，设λ＝．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）求λ的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2﹣ae x﹣1．（1）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：+＞．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若A（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且，求证：．参考答案一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分.）1．已知集合A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|＜2}，则A∪B＝（）A．R B．{x|0＜x＜}C．{x|x＞0}D．{x|＜x＜}【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．解：∵，∴A∪B＝{x|x＞0}．故选：C．2．复数z＝上的虚部为（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴复数上的虚部为．故选：A．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米【分析】就会图形对各个选项分别判断即可．解：对于A，身高极差大约是25，臂展极差大于等于30，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B正确；对于C，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10厘米的两人展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；故选：D．4．函数f（x）＝|x|﹣（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】讨论a的范围，利用导数判断f（x）的单调性得出答案．解：f（x）＝，∴f′（x）＝．（1）当a＝0时，f（x）＝，图象为A；（2）当a＞0时，1+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令﹣1+＝0得x＝﹣，∴当x＜﹣时，﹣1+＜0，当﹣＜x＜0时，﹣1+＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，图象为D；（3）当a＜0时，﹣1+＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，令1+＝0得x＝，∴当x＞时，1+＞0，当0＜x＜时，1+＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，图象为B；故选：C．5．某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知该几何体是长方体，结合题意画出图形，结合图形求出点P到Q 的最短距离．解：根据几何体的三视图知，该几何体是长方体，如图所示；其展开图中，有三种情况，从点P（A）到Q（B）的最短距离为＝2．故选：C．6．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由，结合已知m+n＝2可考虑利用基本不等式求解．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2C．D．2【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得cos A ＝﹣，由余弦定理可得bc的值，根据公式即可求解△ABC的面积公式．解：由a cos B+（b+3c）cos A＝0，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A＝0，即sin（A+B）+3sin C cos A＝0，即sin C（1+3cos A）＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝﹣，由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bc cos A＝bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝＝＝．故选：A．8．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3B．C．D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当i＝1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2；当i＝2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣，i＝3；当i＝3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝，i＝4；当i＝4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝2，i＝5；当i＝5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝6；a的值是以4为周期的循环，由2020÷4＝505，故当i＝2021时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，故选：D．9．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝log b a，则x，y，z大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x【分析】根据0＜a＜b＜1即可得出a b＜a a＜b a＜1，log b a＞1，从而得出x，y，z的大小关系．解：∵0＜a＜b＜1；∴a b＜a a＜b a＜b0＝1，log b a＞log b b＝1；∴x＜y＜z．故选：A．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A．（1，2]B．（1，4]C．[2，+∞）D．[4，+∞）【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d，根据圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，可得d≥1，解得即可．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，则直线bx﹣ay+4a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝，∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥1，∴≥1，即e＝≤4，又e＞1，故e的取值范围为（1，4]，故选：B．11．直线y＝a与函数f（x）＝tan（）（ω＞0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上是增函数，则m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]【分析】根据直线y＝a与函数f（x）图象的相邻两个交点距离为一个周期，求出ω的值，写出f（x）的解析式，求出它的单调增区间，再求m的取值范围．解：直线y＝a与函数f（x）＝tan（）图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则T＝2π，所以ω＝＝，所以f（x）＝tan（x+），由kπ﹣＜x+＜kπ+，解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，（k∈Z）；所以函数f（x）在（﹣，）上是单调增函数；又f（x）在（﹣m，m）上是单调增函数，即（﹣m，m）⊆（﹣，），解得0＜m≤；所以m的取值范围是（0，]．故选：B．12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（）A．[，0）B．（，0）C．（，）D．（0，）【分析】先求导，判断函数的单调性，可得x2的范围，再构造函数g（x）＝xe x，根据导数和函数单调性以及最值的关系即可求出a的范围．解：由f（x）＝（x2﹣2x）e x，∴f′（x）＝（x2﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝±，当x＞或x＜﹣，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当﹣＜x＜，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，由图象可得﹣＜x2＜0，又＝＝x2，设g（x）＝xe x，（﹣＜x＜0），∴g′（x）＝（x+1）e x，∴g′（x）在（﹣，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数，由g（﹣1）＝﹣，g（﹣）＝﹣，g（0）＝0，可得的取值范围为[﹣，0），故选：A．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分.）13．（x﹣）7的展开式的第2项为﹣x5．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得（x﹣）7的展开式的第2项．解：（x﹣）7的展开式的第2项为T2＝••x5＝﹣x5，故答案为：﹣x5．14．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足，则•＝﹣12【分析】利用向量的加减法以及向量的平方化简，通过向量的数量积转化求解即可．解：＝，所以：，以及AB＝3，AC＝5，BC＝7，cos∠BAC＝＝﹣可得＝＝，所以＝（）•（﹣）＝＝＝﹣12．故答案为：﹣12．15．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4＝18，S17＝459，则{（﹣1）n•a3n}的前n 项和T n＝．【分析】根据题意，求出数列{a n}的通项公式，进而可得数列{a3n}构成首项为9，公差为9的等差数列，据此分n为奇数、偶数两种情况讨论，求出{（﹣1）n•a3n}的前n项和，综合即可得答案．解：因为{a n}是等数差数列，S17＝459⇒17a9＝459⇒a9＝27，而a2+a4＝18，所以，解得d＝3，a1＝3，则a n＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*；数列{a3n}构成首项为9，公差为9的等差数列；若n为偶数，则，若n为奇数，则T n＝﹣9+18﹣27+36+…﹣9（n﹣2）+9（n﹣1）﹣9n＝﹣，故T n＝；故答案为：．16．已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC ＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为8π．【分析】由题意画出图形，分别设出三角形ABC与ADC的外接圆的圆心，作垂线找到三棱锥外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．解：如图：由cos∠ACB＝sin∠ACB，可得，则∠ACB＝30°．在△ABC中，∵AC＝，BC＝1，∠ACB＝30°，∴AB＝．则△ABC为等腰三角形，设△ABC的外心为G，连接BG交AC于E，由正弦定理求得BG＝1，求解三角形可得BE＝，则EG＝．取CD中点F，则F为三角形ACD的外心，过F作平面ACD的垂线，过G作平面ABC的垂线，两垂线相交于O，则O为三棱锥D﹣ABC的外接球的球心，其半径R＝＝．∴球O的表面积为．故答案为：8π．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）17．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）＝sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A，cos A，由余弦定理可得：bc，且当b＝c时等号成立，从而可求bc sin A≤，从而得解．解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：1+bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．因此S＝bc sin A≤，所以△ABC面积的最大值为．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M在棱PA上，，且二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，试求λ的值．【分析】（1）设AC的中点为O，连接PO，推导出△ABC为直角三角形，点O为△ABC 的外接圆圆心．PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．解：（1）证明：如图，设AC的中点为O，连接PO，由题意，得BC2+AB2＝AC2，则△ABC为直角三角形，点O为△ABC的外接圆圆心．又点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．（2）解：由（1）可知PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），设＝，λ∈[0，1]，＝（1，0，1），M（λ﹣1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，0，﹣1），＝（2﹣λ，0，﹣λ），设平面MBC的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，1，），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，1，1），∵二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，∴cos＜＞＝＝＝，解得，即M为PA的中点．19．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【分析】（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05，由此能估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率．（Ⅱ）设事件B为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件∁i 为“甲乙丙三名骑手中恰有i（i＝0，1，2，3）人选择方案（1）”，则P（B）＝P（C2）+P（C3），由此能求出三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率．（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X件，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资求出随机变量Y1的分布列、EY1和随机变量Y2的分布列、EY2，由EY1＞EY2，建议骑手应选择方案（1）．方法2：求出快餐店人均日快递量的期望是62，方案（1）日工资约为50+62×3＝236，方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236，由此得到骑手应选择方案（1）．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2+0.15+0.05＝0.4所以P（A）估计为0.4．（Ⅱ）设事件B为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件∁i为“甲乙丙三名骑手中恰有i（i＝0，1，2，3）人选择方案（1）”，则P（B）＝P（C2）+P（C3）＝所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以随机变量Y1的分布列为Y1140170200230260290320P0.050.050.20.30.20.150.05所以EY1＝140×0.05+170×0.05+200×0.2+230×0.3+260×0.2+290×0.15+320×0.05＝236同理随机变量Y2的分布列为Y1100130180230280330P0.10.20.30.20.150.05 EY2＝100×0.1+130×0.2+180×0.3+230×0.2+280×0.15+330×0.05＝194.5因为EY1＞EY2，所以建议骑手应选择方案（1）方法2：快餐店人均日快递量的期望是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62因此，方案（1）日工资约为50+62×3＝236方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236故骑手应选择方案（1）．20．如图，椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为的F1、F2，离心率为；过抛物线C2：x2＝4by焦点F的直线交抛物线于M、N两点，当|MF|＝时，M点在x 轴上的射影为F1．连结NO，MO并延长分别交C1于A、B两点，连接AB；△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB，设λ＝．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）求λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，以及双曲线的离心率公式可求出答案，（Ⅱ）设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理和弦长公式求出|OM|，|OA|，|OB|DE的长，再根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出λ的取值范围解：（Ⅰ）由抛物线定义可得，代入x2＝4by有，即c2＝7b﹣4b2①又得到c2＝3b2代入①，解得，所以C1的方程为，C2的方程为x2＝4y；（Ⅱ）设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得到x2﹣4kx﹣4＝0，则x1x2＝﹣4，设k ON＝m，k OM＝m'，则，所以，②设直线ON的方程为y＝mx（m＞0），由，解得x N＝4m，所以，由②可知，用代替m，可得，由，可得，所以，用代替m，可得，所以，，＝，（m＝1时等号成立）所以λ的取值范围为[2，+∞）．21．已知函数f（x）＝x2﹣ae x﹣1．（1）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：+＞．【分析】（1）讨论导函数f′（x）＝2x﹣ae x有两个实根，在分离参数a＝，然后讨论函数g（x）＝单调性得出结论；（2）利用结论不等式，变形成指数型不等式结论去证明．解：（1）函数f（x）＝x2﹣ae x﹣1，∴f′（x）＝2x﹣ae x，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴f′（x）＝2x﹣ae x＝0有两个根，即a＝，即y＝a与y＝g（x）＝有两个交点，∴g′（x）＝，当x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝，当x→﹣∞时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→0，∴当a∈（0，）时，y＝a与y＝g（x）＝有两个交点，∴实数a的取值范围（0，）．（2）证明：由f′（x1）＝2x1﹣ae＝0，f′（x2）＝2x2﹣ae＝0，有即；由不等式，设lnx1＝t1，lnx2＝t2，则，所以上述不等式变为；所以＜；故+＞成立．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若A（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）依题意，曲线C：（x﹣2）2+y2＝4，故x2+y2﹣4x＝0，即ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ；直线l：y＝1﹣x，即x+y﹣1＝0，即ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，故；（Ⅱ）将直线l的参数方程（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0中，化简可得，设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝1，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且，求证：．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义，分类讨论解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）对于任意x∈R，先根据绝对值不等式f（x）﹣|x|≤1，再根据基本不等式，即可证明．解：（Ⅰ）由f（x）＞3﹣|x+2|，可得|x+2|+|x+1|＞3，则或或，解得x＜﹣3或∅或x＞0，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞），证明（Ⅱ）f（x）﹣|x|＝|x+1|﹣|x|≤|x+1﹣x|＝1，∵a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab≥2﹣2×（）2＝1，当且仅当a＝2b时，即a＝，b ＝时取等号，∴≥1，∴．。
2020年4月18日衡水中学2020届高三下学期第九次调研考试理科综合答案
且小于弹簧弹力的力时，物块不动。超过弹簧拉力时，摩擦力会反向向左，即若使物块运动，则要克服的
是摩擦力与弹簧拉力之和。在最右端时最大，也就是至少需要力 2μmg，所以 A 错误；物块开始运动时，
如果弹力向右，则 a＝F，如果弹力向左，则 a＝F－2μg，所以F－2μg≤a≤F，所以 B 正确；从物块开始
a＝a1＋a2＝x4＋x3－x2＋x1＝4.0 m/s2。
2
4t2
(2)滑块下滑过程中经过位置 3 时速度大小
v3＝x2＋2t x3＝0.0442×8＋0.00.5054 9 m/s≈1.0 m/s。
(3)由牛顿第二定律得 a＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝gsin 37°－μgcos 37°，
m 解得μ＝0.25。
2
[答案] (1)4.0(2 分) (2)1.0(2 分) (3)0.25(2 分) 23.[解析] (1)铜电线的直径 d＝1 mm＋12.5×0.01 mm＝1.125 mm。 (2)P 测量的电压大于 N 测量的电压，故 P 是电压表 V2，N 是电压表 V1。 (3)偏大，由于没考虑电压表 V1 的分流作用，使测得的铜电线的电阻偏大。
(4)分析电路可知，通过铜电线的电流 Ix＝IR＝UR1，Rx＝U2－Ix U1＝U2U－1U1R＝
，整理得U2 U1
＝
1＋
Rx·
1， R
根
据题
图
丙
可
知
斜
率
k＝Rx＝7.50－1.00 2.50－0
Ω＝2.60 Ω，S＝πr2＝πd2＝0.994 mm2，ρ＝RxS＝
正确；运动过程中，t＝2 s 前甲的速度大于乙的速度，t＝2 s 后乙的速度大于甲的速度，所以前面甲追乙，
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
2020届河北省衡水中学高三下学期第九次调研数学(理科)试题及其详细解析
(3)当 a 0 时, 1
a x2
0
,∴
f
(x) 在 (, 0) 上单调递减,
令1
a x2
0得x
a ,
∴当 x
a
时,1 Biblioteka a x20,当0 x
a
时,1
a x2
0,
第 3 页 共 25 页
∴ f (x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a , ) 上单调递增,图象为 B;
故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研 究函数的单调性，属于中档题.
2020 届河北省衡水中学高三下学期第九次调研 数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | 0 x 2} ， B x | log1 x 2 ，则 AUB （ ）
2
A． R
B． x | 0 x 2 C．x | x 0
D．
x
|
1 4
x
2
【答案】C
【解析】先化简集合 A，B，再求 A U B .
【详解】
D． 5 i 26
i 5 i
z
1
5
i ，所以 z
i
的虚部为 5 .
26 26 26
5i
26
故选： A
【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.
3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测 第 1 页 共 25 页
量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展
Q 1 n3 1 1 1 m1 n 2 m1 n 2
m n3 1
5
1
河北衡水2020届高三调研考试理数试题
3 3河北衡水2020届高三调研考试理数试题一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）1．已知集合 A ＝{x ∈R|x +1＞0}，B ＝{x ∈Z|x ≤1}，则 A ∩B ＝A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{0，1}D ．{1}6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和B ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和C ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和D ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和2．复数 1+ i 1+ 2i 2 A ． 110C ． 3 10的共轭复数的虚部为B ． - 1 10 D ． - 310 7．如图 1，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M ，N ，Q 分别 是线段 AD 1，B 1C ，C 1D 1 上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为3．有一散点图如图所示，在 5 个（x ，y ）数据中 去掉 D （3，10）后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小 B ．相关系数 r 变小 C ．相关指数 R 2变小D ．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱35A ．2B ．1C ．D ．2 2⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫x 2 y 28．如图直角坐标系中，角α 0 < α < 2 ⎪ 、角 β - 2 < β < 0⎪4. 已知双曲线 C : - = 1 12 4，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与 C 的两条 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭5渐近线的交点分别为 P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ |＝ A ．2B ．4C ．6D ．8的终边分别交单位圆于 A 、B 两点，若 B 点的纵坐标为 - ，13α ⎛ α α ⎫ 15．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小 且满足 S= ，则 sin cos -sin ⎪ + 的值 球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时， ∆AOB 45 122 ⎝ 2 2 ⎭ 2 12 5 记取出的红球数为 ξ2，则（ ）A ．E ξ1＜E ξ2，D ξ1＜D ξ2B ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＞D ξ2C ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＜D ξ2D ．E ξ1＞E ξ2，D ξ1＞D ξ2A ． - 13B ．C ． -D ．13 13 13⎛ 2 3x ( 9. 已知函数 f (x ) = sin ωx - cos ωx (ω > 0) ，若集合{x ∈(0 ， π ) | f (x ) = -1} 含有 4 个元素， 二、填空题（共 4 题，每题 5 分）n则实数 ω 的取值范围是 ⎛ 13. 已知二项式 2x - 1 ⎫ ⎪ 的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比是 2︰5，则 x 3 的系 A ． [ 3 , 5)2 2B ． ( 3 , 5]2 2C ． [7 , 25)2 6D ． (7 , 25]2 6⎝⎭ 数为10．已知抛物线 y 2 = 4x 上有三点 A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为 3，6，-2 ，则 的重心坐标为 ∆ABC 14. 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数 的一条性质：14( ,1) 9B ． 14 ,0)9C ． (14 , 0)27D ． (14 ,1)27甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增； 丙：函数 f （x ）的图象关于直线 x ＝1 对称；丁：f （0）不是函数的最小值． 11．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 M 是对角线 AC 1 上的点（点 M 与 A、C 1 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是15. 已知△ABC 的一内角 A = π3, AB = 10, AC = 6 ，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设 AO = m AB + n AC ，则 m +3n 的值为16．已知 ∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 A = 2B ，则 c +2b 的取值ba①存在点 M ，使得平面 A 1DM ⊥ 平面 BC 1D ； ②存在点 M ，使得DM // 平面 B 1CD 1 ； 范围为 ．三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【4月衡水九调理数】衡水中学2020届高三下学期第九次调研考试理科数学试卷及答案解析
A． 5 26
B． 5 i 26
C． 5 26
D． 5 i 26
3. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进
行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身
高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x﹣30.75，以下结论中不正 确的为（ ）
（2）若 A0,1 ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M ，N ，求 1 1 的值．
AM AN
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知函数
0,
2
C．
0,
3 4
D．
0,
3 2
第2页
12. 已知函数
﹣
，若方程
有 3 个不同的实根 x1，x2，x3（x1
＜x2＜x3），则
x2
a
2
的取值范围是（
）
A．
1 e
,
0
B．
e
2
2
,
0
C．
e
2
2
,
2e
2
二、 填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）
D． 0, 2e 2
17. 设
.
（1）求 的单调区间；
（2）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 若
，，
求 面积的最大值．
18. 如图，在三棱锥
中，已知
，
，顶点 在平面 上的射影为
的外接圆圆心．
（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2）若点 M 在棱 PA 上，
，且二面角
的
余弦值为 ，试求 的值．
19. 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案①规 定每日底薪 50 元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案②规定每日底薪 100 元， 快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元，该快餐连锁 店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为[25， 35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理 得到如图所示的频率分布直方图．
河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学(文)试题
2019—2020学年度第二学期下九调考试高三年级数学试卷（文科）一、选择题 1.若全集U =R ，集合{}11A x x =-<<，{}(2)0B x x x =-≤，则()U A C B ⋂为（ ）A.{}02x x << B. {}01x x <<C. {}01x x ≤<D. {}10x x -<<【答案】B∵集合(){}20B x x x =-≤ ∴{0B x x =≤或}2x ≥ ∴{}02U C B x x =<< ∵集合{}11A x x =-<< ∴{}()01U A C B x x ⋂=<< 故选B.2.已知复数2(1)(1)i z i i +=-，则下列结论正确的是（ ）A. z 的虚部为iB. 2z =C. z 的共轭复数1z i =-+D.2z 为纯虚数【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ,即可求得结果. 【详解】()()()2221(1)12222====1(1)+11112i i i i i i iz ii i i i i i -++++==+-++-,z的虚部为1,z =1z i =-,()22=12i z i +=.故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.3.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 2【答案】C 【分析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案. 【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人， 所以获得“诗词能手”的称号的概率为：162405= 所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为：21045⨯= 故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.4.已知向量(2,2)AB =u u u r ，(1,)=u u u r AC a ，若||1BC =u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C 【分析】由||1BC =u u u r ,可得2a =,再利用坐标运算求出AB AC ⋅uu u r uuu r .【详解】(1,2)BC AC AB a =-=--u u u r u u u r u u u r,由||1BC =u u u r,可得22(1)(2)1a -+-=,解得2a =,则21226AB AC ⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r,故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A 【分析】 利用10,,12等中间值区分各个数值的大小． 【详解】551log 2log 52a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为（ ）A. 12B. 1361D. 15【答案】C 【分析】将三棱柱展开两次如图,不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线,正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示，在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值. 由已知求得矩形的长等于616⨯=,宽等于5,由勾股定理22d 6561=+=故选:C.【点睛】本题考查棱柱的结构特征,空间想象能力,几何体的展开与折叠,体现了转化(空间问题转化为平面问题,化曲为直)的思想方法. 7.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212211,2,111n n n a a S S S ++==++=+，则n S =（ ）A.()12n n +B.12n -C.21n -D.121n -+【答案】C 【分析】对已知()()()221111n n n S S S ++++=+，进行化简，令1n n b S =+，可得221n n n b b b ++⋅=，即{}n b 为等比数列，利用121,2a a ==可计算出n b 的首项和公比，从而可求得n b 的通项，得到n S 的通项. 【详解】()()()221111n n n S S S ++++=+Q ， 令1n n b S =+221n n n b b b ++∴⋅=，可得{}n b 为等比数列，设其公比为q1112212112,114b S a b S a a =+=+==+=++= 212b q b ∴==，111222n n n n b b q --∴=⋅=⨯= 121n n n S b =-=-，故选C 项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.8.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点A 22，则双曲线的离心率为（ ）A.3B.13C. 3D.【答案】C 【分析】设双曲线的右顶点为(),0a ,一条渐近线方程为by x a=,即0bx ay -=,运用点到直线的距离公式和离心率公式,计算即可得到所求值.【详解】设双曲线的右顶点为(),0a ,一条渐近线方程为by x a=,即0bx ay -=,由题意可得3ab a c ==,则3b c =,由222=c a b +可得13a c =所以3c e a ==. 故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线离心率的问题,难度较易.9.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC V 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =，若2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC V 的面积为（ ）A.B.C.12D. 2【答案】D 分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果. 【详解】2sin 5sin a CA =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC V 2=. 故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.10.将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，则函数()2221y x m n x =--+在[)6,+∞上为增函数的概率是（ ）A.12B.34C.56D.23【答案】B 【分析】基本事件总数6636N =⨯=，由函数()2221y x m n x =--+在[)6,+∞上为增函数，得26m n -≤，求出满足此条件的事件个数，由古典概型概率计算公式求解即可.【详解】将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，基本事件总数6636N =⨯=， 若函数()2221y x m n x =--+在[)6,+∞上为增函数，则26m n -≤，36个基本事件中满足26m n ->的有：（4，1），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共9个， ∴函数()2221y x m n x =--+在[)6,+∞上为增函数包含的基本事件的个数36927M =-=，∴函数()2221y x m n x =--+在[)6,+∞上为增函数的概率273364M p N ===. 故选：B【点睛】本题考查的是概率与函数的综合问题，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基本事件的个数，属于中档题.11.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象过两点(,0)4A B π，()f x 在(0,)4π内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（ ）A.()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()3sin 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. ()sin 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()3sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由()f x 在(0,)4π内有且只有两个极值点可得610ω<≤，再由sin 2ϕ=，0ϕπ<<，得到4πϕ=或34πϕ=，分别对ϕ进行讨论即可.【详解】()f x 在(0,)4π内有且只有两个极值点，则35444T T π<≤，610ω<≤，又sin 2ϕ=， 0ϕπ<<，所以4πϕ=或34πϕ=； 当4πϕ=时，sin()044ππω+=，解得*14,k k N ω=-+∈，若7ω=时，()sin 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)4π内极大值点为28π，极小值点为528π，满足题意； 当34πϕ=时，3sin()044ππω+=，解得*34,k k N ω=-+∈， 若9ω=时，()3sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)4π内极小值点为12π，极大值点为736π，不符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力，数形结合思想，是一道中档题. 12.已知 2.71828e =L ，设函数21()ln 2f x x bx a x =-+存在极大值点0x ，且对于b 的任意可能取值，恒有极大值0()0f x <，则下列结论中正确的是（ ） A.存在0x =，使得01()f x e<-B.存在0x =，使得0()f x e >-C. a 的最大值为2eD. a 的最大值为3e 【答案】D 分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为()0f x '=有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行转化求解即可. 【详解】由题意得，函数的定义域为()0,∞+，()af x x b x'=-+. 若函数()f x 存在极大值点0x ，则()f x 有解，即20x bx a -+=有两个不等的正根，则212124000b a x x b x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，得()0b a >>.由()0a f x x b x '=-+=可得12x x ==分析易得()f x 的极大值点为10x x =，且2000x bx a -+=.∵()0b a >>∴(10x x ===∴()f x 的极大值为()2222000000000111ln ln ln 222f x x bx a x x x a a x x a x a =-+=--+=-+-. 设()(21ln ,2g x a x x a x =--∈，则()f x 的极大值恒小于0等价于()g x 恒小于0. ∵()20a a x g x x x x-'=-=>在(上在恒成立∴()g x在(上单调递增∴()3ln02g x g a a <=≤，即32≤.∴3a e ≤. 故选：D.【点睛】本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大． 二、填空题 13.若4cos()45πα-=，则sin 2α=__________． 【答案】725【详解】因为4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由二倍角公式得到21cos(2)2cos ()24παπα+--= 1sin 216225a +== ，故得到7sin225α=． 故答案为7sin225α=． 14.已知实数,x y 满足约束条件210240x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的取值范围为___.【答案】[5,9] 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出210240x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的可行域,如图:解得()1,2,(2,3)A B 将3z x y =+变形为3y x z =-+平移直线3y x z =-+由图可知当直线3y x z =-+经过点()1,2A时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最小值为325z =+=,当直线3y x z =-+经过点()2,3B 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3239z =⨯+=所以3z x y =+的取值范围是[5,9]. 故答案为:[5,9].【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题. 15.已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于223+，则球O 的体积等于___. 【答案】43π 【分析】当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,根据该四棱锥的表面积等于223+,确定该四棱锥的底面边长和高,进而可求球的半径r ,从而可求球的体积.【详解】由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,Q 该四棱锥的表面积等于223+设球O 的半径为r ,则2,AC r SO r ==，如图,∴该四棱锥的底面边长为2AB r =,则有22212(2)4222223r r r r ⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝+⎭.1r ∴=. ∴球O 的体积是43π. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查球内接多面体及球的体积,解题的关键是确定球的半径,再利用公式求解,难度一般.16.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c +的圆与过1F 的直线l 相切于点N ，设l 与C 的交点为,P Q ，若2PQ PN =u u u v u u u v ，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】2. 因为以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆过1F 的直线l 相切与点N ，A 1F =a c +，故可知直线的倾斜角为030，设直线方程为()2222422332301x c b a y b cy b x y ab ⎧=-⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩ 设点P ()()1122,,,x y Q x y ，根据条件2PQ PN =u u u v u u u v 知N 点是PQ 的中点，故得到222233a c b cN b a ⎛ -⎝⎭，因为22223333b c b a NA l a cab a -⊥⇒=--故得到32340 2.e e e -+=⇒=故答案为2.点睛：这个题目考查的是双曲线的离心率的求法；圆锥曲线中求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子．三、解答题（第17～21题为必考题，第22、23为选考题） 17.设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式：（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）113(21)(23)n n n +-++ 【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列{}n a 是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差d ,即可得到数列{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出数列21{}n n a a +的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n 项和n S . 【详解】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d ,因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =,所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈);(2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和:1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 113(21)(23)n n n +=-++.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前n 项和,难度不大.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE .（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED ∆面积的最小值是4时，求此时点E 到底面ABCD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）由题意可证得ACBD ⊥，PA BD ⊥，从而可得BD ⊥平面P AC ，再由面面垂直的判定定理即可证出.（2）连接OE ，由（1）可得BD OE ⊥，BED ∆面积的最小值是4时，可求出CE ，作EH PA ∥交AC 于H ，可知EH⊥平面ABCD ， 由OE CEEH OC⋅=即可求解.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥. 又PA AC A =I，∴BD ⊥平面P AC .又BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面P AC .（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面P AC ，OE ⊂平面P AC . ∴BD OE ⊥.∵8BD =，由()min 142BDE S BD OE ∆=⋅⋅=，得min ()1OE =. ∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值1.此时22223122CE OC OE =-=-=作EH PA ∥交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由223OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离23EH =.（1）（2）【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定定理、线面垂直的定义，属于中档题.19.某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的检测数据进行分析，若空气质量指数值在[0，300]内为合格，否则为不合格.表1是甲方案检测数据样本的频数分布表，如图是乙方案检测数据样本的频率分布直方图.表1：API值[0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] 大于300天数9 13 19 30 14 11 4（1）将频率视为概率，求乙方案样本的频率分布直方图中a的值，以及乙方案样本的空气质量不合格天数；（2）求乙方案样木的中位数；（3）填写下面2×2列联表（如表2），并根据列联表判断是否有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关.表2：甲方案乙方案合计合格天数_______ _______ _______不合格天数_______ _______ _______合计_______ _______ _______附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）0.0022a =，11天；（2）170；（3）表格见解析，有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关 【分析】（1）根据频率和为1列出等式求解a ，用乙方案样本中空气质量指数值大于300的频率乘以总天数即可得解；（2）根据中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的列出等式即可求得中位数；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.【详解】（1）由频率分布直方图知，()0.00100.00300.00400.00500.00300.0018501a ++++++⨯=，解得0.0022a =， ∴乙方案样本中不合格天数0.00225010011⨯⨯=（天）； （2）根据图1，得()0.00100.00300.0040500.4++⨯=， 又0.0050500.25⨯=，∵0.40.250.65+=， ∴中位数在（150，200]之间，设中位数为x , 则()0.41500.00500.5x +-⨯=，解得170x =, ∴乙方案样本的中位数为170； （3）由题意填写22⨯列联表如下，由表中数据，计算()222009611894 3.53210010018515K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， Q 3.532 2.706>，∴有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关. 【点睛】本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>20l x y -+=:与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点()0,M m ，使22OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 22182x y += (2)m >m <试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到abc 的值，从而得到椭圆方程；（2）将向量模长的方程两边平方得到OA OB ⊥u u u v u u u v ，即·0OAOB =u u u v u u u v，即12120x x y y +=，联立直线和椭圆得到二次方程，带入韦达定理得到参数范围．解析：（1）由已知得2222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解方程组得a b c ===∴椭圆1C 的方程为22182x y +=，（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y kx m =+，由22182y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()()22222418480,16820*k x kmx m k m +++-=∆=-+>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222848,4141km m x x x x k k -+=-=++，()()()2222121212122841m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+， 由22OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v 得OA OB ⊥u u u v u u u v ，即·0OAOB =u u u v u u u v ，即12120x x y y +=，故228580k m =-≥，代入（*）式解得5m >或5m <-． 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.设函数()sin x f x e m x n =-+（其中 2.71828e ≈⋯，m ，n 为常数）（1）当1m =时，对()0,x ∈+∞有()0f x >恒成立，求实数n 的取值范围；（2）若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为10x y --=，函数()()2g x xf x x =+-的零点为0x ，求所有满足[]0,1x k k ∈+的整数k 的和．【答案】（1）[)1,-+∞；（2）2-. 【分析】 （1）由()0f x '>恒成立可知()f x 单调递增，由此得到()()010f x f n >=+≥，进而求得结果；（2）由切线方程可确定()0f '和()0f ，从而构造方程求得,m n ；将()0g x =化为()210x h x e x=--=，由()h x '可确定()h x 单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到k 所有可能的取值，从而求得结果.【详解】（1）当1m =时，()sin x f x e x n =-+，()cos 0x f x e x '∴=->，当0x >时，e 1x >，[]cos 1,1x ∈-，()0f x '∴>对任意的()0,x ∈+∞都成立，()f x ∴在()0,∞+单调递增，()()01f x f n ∴>=+，要使得对()0,x ∈+∞有()0f x >恒成立，则10n +≥，解得：1n ≥-，即n 的取值范围为[)1,-+∞.（2）()cos x f x e m x '=-Q，()011f m '∴=-=，解得：0m =，又()011f n =+=-，2n ∴=-，()2x f x e ∴=-，()2x g x xe x =--，显然0x =不是()g x 的零点，20x xe x ∴--=可化为210x e x--=， 令()21xh x e x =--，则()220x h x e x'=+>，()h x ∴在(),0-∞，()0,∞+上单调递增. 又()130h e =-<，()2220h e =->，()311303h e -=-<，()2120h e-=>，()h x ∴在()3,2--，()1,2上各有1个零点，()g x ∴在[]3,2--，[]1,2上各有1个零点，∴整数k 的取值为3-或1，∴整数k 的所有取值的和为312-+=-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、由切线方程求解函数解析式、函数零点问题的求解；求解整数解的关键是能够通过构造函数的方式，结合零点存在定理确定零点所在区间. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)P -，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11||||PA PB +的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=，l 的直角坐标方程20x y -+=（2）3【分析】(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换; (2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.【详解】(1)已知曲线C :12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩(α为参数), 则曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=,直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则l 的直角坐标方程20x y -+=;(2)直线l的参数方程为2222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 代入曲线C :22(1)4x y ++=,化简得2230t t --=,设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t , 则122t t +=,123t t =-,所以12121212121111|||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==()21212124143t t t t t t +-==. 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大. 23.已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.. 所以a的取值范围是[2,)考点：不等式选讲.。