2017年广东省普通高校本科插班生招生考试 - 副本

2017年广东省普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目

要求）

1、下列哪个式子是不正确的 A.

lim 0n

n e

-→+∞

= B. 1lim 1n

n e →∞

=

C. 2

11

lim 11

x x x →-=- D. 1

0lim(1)n n n e →+= 2、已知函数参数方程为arctan x t t =-，2

ln(1)y t =+，则

2

t dy

dx

==

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1 3、设

()f x 在[,]a b 上连续，在(,b)a 内可导，且()(b)f a f =，则曲线()y f x =在(,b)

a 内平行于x 轴的切线

A.仅有一条

B.至少有一条

C.有两条

D.不存在 4、已知

21

()d 4xf x x =?

，则30f x =?

A ．2 B.4

C. 8

D.0 5

、已知

11

(,)d dx f x y y -?

?，转换成极坐标的形式

A ．

120(cos ,sin )d o

d f r r r πθθθ?

? B.1

00(cos ,sin )d d f r r r r πθθθ???

C.

120

0(cos ,sin )d d f r r r r π

θθθ??

? D.1

02

(cos ,sin )d d f r r r r ππθθθ-???

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当0x →时，

()2f x x ，则0sin 3lim

()

x x

f x →= 。

7、

1p >，则1

1

p dx x

+∞

=?

8、已知函数(,)z z x y =具有二阶连续偏导数，且21y dz dx dy x x

-=

+，

则2z x y

?=?? 。 9、二阶齐次常系数微分方程90y y

''-=的通解y = 。

10、

11

(1)

n n n ∞

=+∑和为 。 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11、计算极限30

e 31lim 1cos x x x x →??

-- ?-??

。 12、2

(0)x y x x =>，求y '。 13

、已知

1

()f x =?

，求()f x 的凹凸区间和拐点。

14、求不定积分

cos(2)x x dx +?。

15、3

()tan 0x y z z --+=，求z z x y

??+?? 。 16、求

3

x

D

e d σ??

，中2:,1,0D y x x y ===。 17、已知曲线D 经过点(0,1), 且曲线上任意一点的切线斜率都为2x y +,求曲线D 的方

程。

18、判断级数2114()!n

n n

n ∞

=-∑的收敛性。

四、综合题（大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19

、已知函数()f x =

（1）求()y f x =的水平渐近线方程；

（2）求由(),0,1,0y f x x x y ====所围成图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积。 20、已知函数1

()arctan f x x

=, （1）证:当10,()()2

x

f x f x π

>+=恒成立；

（2）求()f x x =在[0,)∞ 上有几个实根。

2017年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、C 2.D 3.B 4.C 5. B

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、

32 7、11

p - 8、21x - 9、3312x x C e C e -+ 10、1 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11、33330000231313333lim lim lim lim 911cos 12

x x x x

x x x x e x e x e x e x x x

→→→→-----?====-。

12、22

ln x x

x

y x e ==,

故222ln 211

(2ln )(2ln )(2ln 1)x x

x x y e

x x x x x x x x x x

+'=?+?=+=+ 。

13

、

()f x '=

()f x ''=

=

,

令

()0f x ''= ，解得1x = .

当1x > 时,()0f x ''> ；当1x < 时, ()0f x ''< ,

故函数()f x 的凹区间为(1,)+∞ ,凸区间为 (,1)-∞ ,拐点为(1,0) 。

14、

cos(2)sin(2)sin(2)sin(2)x x dx xd x x x x dx +=+=+-+???

sin(2)cos(2)C x x x =

++++

15、令3

(,,)()tan ,F x y z x y z z =--+则 2223(),3(),1sec ,x

y z F x y F x y F z =-=--=-+

故22223()3(),,1sec sec 1

y x z z F F z

x y z x y x F z y F z ?-?-=-==-=?-?-

因此22

22

3()3()0.1sec sec 1

z z x y x y x y z z ??--+=+=??--

16、积分区域D 如图所示，由被积函数的特点选择先y 后x 的积分，即

2:01,0.D x y x ≤≤≤≤ 则

2

3

3

3

21

1

x x x x x D

e d dx e dy e y

dx σ==??????

3

3

1

21

013

x x x e dx e

==?

1

(1)3

e =

- 17、设曲线D 的方程为(),y y x =由题可知2,y x y '=+ 变换为2,y y x '-= 这是一个一

阶线性微分方程，由其通解公式得 1(2)dx dx

y

e xe dx C ---??=+?

(2)x

x e xe dx C -=+? (2)x

x e xde C -=-+? (22)x

x x e

xe e dx C --=-++?

22x

x Ce =--+（C 为任意常数）， 又由(0)1,y =可知3C

= ，即223x y x e =--+。

18、22111

1414()!!n n

n n n n n n n ∞

∞∞

===-=-∑∑∑ ，

令1144!4

,lim lim lim 01!(1)!41

n n n n n n n n n n n n n υυυ++→∞→∞→∞=

=?==<++ ， 可知级数

14!

n n

n ∞

=∑ 收敛， 而级数

2

11

n n

∞

=∑为1p > 的p 级数，可知其收敛， 故由级数的基本性质可知原级数收敛。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

19、（1）

11

lim ()1x x x f x →∞+=== ，

故函数()y f x =的水平渐近线方程为1y =； （2）当01x ≤≤时,()0f x > ，故所求旋转体体积为

1

20x

V dx π=?

21

20121x x

dx x

π++=+? 1

1

2

02(

1)1x

dx dx x π=++?

?

2

10(1ln(1))x

π=++

(1ln 2)π=+ 。 20、（1）令11

()()()arctan arctan F x f x f x x x

=+=+ ，

22

21

11

F ()()111x x x

x '=

?-

+++

22

11

011x x

=-+=++， 则可知()C F x = ，C 为常数。 当1x = 时，(1)

C (1)(1)4

4

2

F f f π

π

π

==+=

+

=

，

故当0x >时，1()()()2

F x f x f x π

=+=恒成立；

（2）令g()()x f x x =-,则211

()(arctan )101g x x x x

''=-=--<+ ， 故()g x 在[0,)+∞ 上单调递减。又

1lim ()lim (arctan )02

x x g x x x π

+

+

→→=-=> ， 1

lim ()lim(arctan

)x x g x x x

→∞

→∞

=-=-∞， 则()0g x =在[0,)+∞上有且仅有一个实根， 即()f x x =在[0,)+∞上只有一个实根。