北航 材料力学 全部课件 习题答案
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第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案
M ( x2 ) Fx2 M C ,
图 13-9 根据卡氏定理，得
C
1 [ EI
a 0
( Fx1 )(
x1 )dx1 a
a 0
( Fx2 )(1)dx2 ]
5Fa 2 （） 6EI
A A
13-10 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数，试用卡氏定理计算横截面 A 的挠度 与转角 。
3 3
3 3
–F
F 2
3 Fa 3 3 Fa 12
3 Fa 12
3
a
3 6
9
故有
ΔB
求 AB 的运算过程列表如下： i 1 2 3
i 1
3
F Ni FNi li 3Fa （←） EA 12EA
li
a a a
F Ni
2 3a 1
FNi
F
F Ni FNi l i
2 3 F 3
3a 1
–F
3 F 3
3 F 6
3a
F 2
故有
5 3 F 6
AB
F Ni FNi li 5 3F （） EA 6 EA i1
3
(b) 解：求Δ B 和 AB 的单位状态分别示如图 13-17b（1）和 b（2） 。
图 13-17b 求 Δ B 的运算过程列表如下：
i 1 2 3 4
转角。
图示刚架，承受载荷 F 作用。设弯曲刚度 EI 为常数，试用卡氏定理计算截面 C 的
题 13-9 图 解：在截面 C 处假想附加一矩为 M C 的力偶（见图 13-9） ，由图可得
M x1 ( F
北航材料力学实验考试题库 ppt课件
实验值： 理论值：
(2)计算扭矩：
实验值：
理论值：
材料力学实验
Page5
BUAA
➢ 复习提纲
实验8：偏心拉伸
(1)最大轴向正应变
(2)弹性模量：
(3)偏心距：
材料力学实验
Page6
BUAA
➢ 电测法知识点
掌握相对相加，相邻相减原则。
能通过观察应变片，分辨出公线。
会画电路图：1/4桥、半桥、全桥
材料力学实验
Page7
BUAA
材料力学实验
➢ 考试注意事项
考前实验室开放时间：5月20、21日（10:00-16:20）;
考试时不许带任何资料；（自带实验报告纸、笔、尺子、计算器）
实验报告要求：
（1）实验目的
其它扣分点：
（2）实验设备/工具
➢损坏仪器或工具；
（3）实验原理（受力分析图）
（摔百分表、卷直尺）
（4）加载方案（按照拟定的重复次数加载） ➢未整理仪器设备；
BUAA
➢ 复习提纲
实验5：直梁弯曲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
材料力学实验
四点弯曲（虚线为应变片粘贴截面） 三点弯曲（虚线为应变片粘贴截面）
Page3
BUAA
➢ 复习提纲
实验6：梁变形
(1)简支梁：
(2)悬臂梁：
求黑色砝码重量：
材料力学实验
验证位移互等定理：
Page4
BUAA
➢ 复习提纲
实验7：弯扭组合
(1)计算弯矩：
（5）组桥方案（电路图）
（卸载、拆线、拆百分表）
直径、厚度等需测量三次取平均） （7）数据处理（画图题需注意标明坐标轴
➢未在规定时间内完成；
(2)计算扭矩：
实验值：
理论值：
材料力学实验
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➢ 复习提纲
实验8：偏心拉伸
(1)最大轴向正应变
(2)弹性模量：
(3)偏心距：
材料力学实验
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➢ 电测法知识点
掌握相对相加，相邻相减原则。
能通过观察应变片，分辨出公线。
会画电路图：1/4桥、半桥、全桥
材料力学实验
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考试时不许带任何资料；（自带实验报告纸、笔、尺子、计算器）
实验报告要求：
（1）实验目的
其它扣分点：
（2）实验设备/工具
➢损坏仪器或工具；
（3）实验原理（受力分析图）
（摔百分表、卷直尺）
（4）加载方案（按照拟定的重复次数加载） ➢未整理仪器设备；
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实验5：直梁弯曲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
材料力学实验
四点弯曲（虚线为应变片粘贴截面） 三点弯曲（虚线为应变片粘贴截面）
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实验6：梁变形
(1)简支梁：
(2)悬臂梁：
求黑色砝码重量：
材料力学实验
验证位移互等定理：
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➢ 复习提纲
实验7：弯扭组合
(1)计算弯矩：
（5）组桥方案（电路图）
（卸载、拆线、拆百分表）
直径、厚度等需测量三次取平均） （7）数据处理（画图题需注意标明坐标轴
➢未在规定时间内完成；
北航材料力学实验考试题库及答案
北航材料力学实验考试题库及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 在材料力学实验中，下列哪种材料最适合用于拉伸实验？A. 钢材B. 塑料C. 木材D. 玻璃答案：A2. 以下哪种实验方法可以测量材料的弹性模量？A. 拉伸实验B. 压缩实验C. 扭转实验D. all of the above（以上都对）答案：D3. 在材料力学实验中，以下哪个因素对实验结果影响最小？A. 环境温度B. 试样尺寸B. 试样形状C. 试样材料答案：C4. 以下哪个实验可以用来测量材料的泊松比？A. 拉伸实验B. 压缩实验C. 扭转实验D. 弯曲实验答案：A5. 在材料力学实验中，以下哪种情况不需要进行实验误差分析？A. 实验数据波动较大B. 实验结果与理论值相差较大C. 实验过程中出现异常现象D. 实验结果与预期一致答案：D二、填空题（每题10分，共40分）6. 在拉伸实验中，试样断口附近的应力称为______。
答案：断口应力7. 材料的弹性模量E与泊松比μ之间的关系为：E =____________。
答案：2(1 + μ)8. 在扭转实验中，扭转角φ与扭矩T和长度l的关系为：φ = ____________。
答案：Tl/GI_p9. 在材料力学实验中，以下哪个参数表示材料的强度？__________。
答案：屈服强度或抗拉强度10. 在弯曲实验中，中性轴是指______。
答案：弯曲轴线三、判断题（每题10分，共30分）11. 在材料力学实验中，实验数据波动较大，说明实验结果可信度较低。
（对/错）答案：错12. 在拉伸实验中，试样断口形状对实验结果有较大影响。
（对/错）答案：对13. 在扭转实验中，扭矩与扭转角成正比。
（对/错）答案：对四、简答题（每题15分，共45分）14. 请简述拉伸实验的步骤。
答案：（1）准备试样：根据实验要求，选用适当尺寸和形状的试样；（2）安装试样：将试样安装在拉伸实验机上；（3）加载：按照预定的加载速率对试样进行拉伸；（4）记录数据：观察并记录试样的变形和载荷；（5）卸载：卸载后，观察试样的断口形状和位置；（6）分析数据：计算材料的屈服强度、抗拉强度、弹性模量等参数。
第十一章北航 材料力学 全部课件 习题答案
n 2 π 2 EI 4l 2 由上式并取 n=1，即得压杆的临界载荷为 Fcr (n 0,1,2,)
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
第八章 北航 材料力学 全部课件 习题答案
8-18 构件表层一点处的应力如图 a 所示，为了测量应力，在该点沿 0°，45°与 90°
粘贴三个应变片，幷测得相应正应变依次为 0 , 45 与 90 （图 b） 。已知材料的弹性模量为 E， 泊松比为，试根据上述测试应变值，确定该点处的正应力x，y 与切应力x。
题 8-18 图 解：当45°与45°时，相应截面的正应力为 5 x y x y cos90 sin 90 x y 2 2 2 x y x y x y 5 cos(90 ) sin(90 ) 2 2 2 根据广义胡克定律，45°方位的正应变则为
1 ( y x ) E 联立求解式（a） ， （b）与（c） ，于是得
σ (
30 10 20sin 90 )MPa 40.0MPa 2 30 10 τ ( sin 90 )MPa 10.0MPa 2
(b)解：由题图所示应力状态可知，
σ x 30MPa，σ y 10MPa，τ x 20MPa，α 22.5
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
Fs F 20kN， | M | Fa 201kN m 20kN m
微体 A，B 和 C 的应力状态依次如图 8-9 a,b 和 c 所示。
图 8-9 对于图 a 所示应力状态，其正应力为
3
σA
|M | 6 20 103 N 6.00 107 Pa 60.0MPa 2 2 Wz 0.050 0.200 m
7
100 80 100 80 cos(120 ) 50sin(120 )( MPa) 128.3 MPa 2 2 根据广义胡克定律，得 30° 的正应变为
第十五章北航 材料力学 全部课件 习题答案
设圆盘材料的密度为，试计算圆轴内的最大弯曲正应力。
题 15-7 图 解：作用在圆轴上的横向惯性力为
Fd
由此在轴内引起的Hale Waihona Puke 大弯矩为πd12 2 h 4
5
M max
而最大弯曲正应力则为
Fd l π hl 2 d12 2 8
max
32M max 4hl 2 d12 πd 3 d3
第 15 章 动载荷
15-2 图 a 所示圆截面轴 AB，在截面 C 处装有飞轮。在矩为 M 的扭力偶作用下，
A
轴与飞轮以角加速度转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为 J，轴的转动惯量忽略不计，试分 析轴的受力，画轴的扭矩图。
题 15-2 图 解：作用在飞轮上的惯性力偶矩为
M ε J
而其方向则与角加速度的方向相反（图 b） 。可见，
Δst
代入相关数据，得
l M x M x M x1 M x1 4 Pl 3 2 2 dx1 dx2 0 0 EI EI 3EI l
Δst
4 300 1.003 m 2.22 10 2 m 3 0.040 0.030 3( 200 109 ) 12
题 15-3 图 解：惯性力集度为
1
qd
轴力方程为
F l F (l x ) l
FN ( x ) qd (l x )
杆的轴向变形为
l
F l Fl (l x )dx 0 lEA 2 EA
15-4
长度为 l = 180mm 的铸铁杆，以角速度 绕 O1O2 轴等速旋转。若铸铁密度
F
得
x
0, [σ ]( A dA) ( Adx )ω2 x [σ ] A 0
题 15-7 图 解：作用在圆轴上的横向惯性力为
Fd
由此在轴内引起的Hale Waihona Puke 大弯矩为πd12 2 h 4
5
M max
而最大弯曲正应力则为
Fd l π hl 2 d12 2 8
max
32M max 4hl 2 d12 πd 3 d3
第 15 章 动载荷
15-2 图 a 所示圆截面轴 AB，在截面 C 处装有飞轮。在矩为 M 的扭力偶作用下，
A
轴与飞轮以角加速度转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为 J，轴的转动惯量忽略不计，试分 析轴的受力，画轴的扭矩图。
题 15-2 图 解：作用在飞轮上的惯性力偶矩为
M ε J
而其方向则与角加速度的方向相反（图 b） 。可见，
Δst
代入相关数据，得
l M x M x M x1 M x1 4 Pl 3 2 2 dx1 dx2 0 0 EI EI 3EI l
Δst
4 300 1.003 m 2.22 10 2 m 3 0.040 0.030 3( 200 109 ) 12
题 15-3 图 解：惯性力集度为
1
qd
轴力方程为
F l F (l x ) l
FN ( x ) qd (l x )
杆的轴向变形为
l
F l Fl (l x )dx 0 lEA 2 EA
15-4
长度为 l = 180mm 的铸铁杆，以角速度 绕 O1O2 轴等速旋转。若铸铁密度
F
得
x
0, [σ ]( A dA) ( Adx )ω2 x [σ ] A 0
复习(北航材料力学课堂教学课件)
极值应力，主应力，广义胡克定律)
第八章1－4节(强度理论、组合变形)
Page2
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
基本解题思路
校核强度
应力 强度计算 设计截面
外力 内力
变形
许用载荷 刚度计算 解静不定问题
Page3
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
基本概念
1、内力与应力
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本讲内容
复习
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
考试范围
第一章1－5节（材料力学的任务、基本假设） 第二章2－7节（材料的力学性能、强度条件、拉压杆变形） 第三章1－7节（动力传递、扭转切应力、强度、刚度条件） 第四章1－5节（剪力、弯矩图，用微分关系画图） 第五章1－4节（弯曲正应力，切应力，强度条件） 第六章1－3、5节（积分法、叠加法、计算梁变形 ） 第七章1－5节(平面应力状态分析—解析法与应力圆法，
Tl
GI P
d2w M(x) dx2 EI
w
C1
Fk l n EI
C2
Fk l n1 EI
叠加法 3221 8663
1
1 E
1
( 2
3 )
叠加法
Page6
BUAA
典型
组合变形 问题
弯扭组合：
MECHANICS OF MATERIALS
强度
r3 2 4 2 r3 M 2 T 2 /W r4 2 3 2 r4 M 2 0.75T 2 /W
第八章1－4节(强度理论、组合变形)
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MECHANICS OF MATERIALS
基本解题思路
校核强度
应力 强度计算 设计截面
外力 内力
变形
许用载荷 刚度计算 解静不定问题
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基本概念
1、内力与应力
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本讲内容
复习
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MECHANICS OF MATERIALS
考试范围
第一章1－5节（材料力学的任务、基本假设） 第二章2－7节（材料的力学性能、强度条件、拉压杆变形） 第三章1－7节（动力传递、扭转切应力、强度、刚度条件） 第四章1－5节（剪力、弯矩图，用微分关系画图） 第五章1－4节（弯曲正应力，切应力，强度条件） 第六章1－3、5节（积分法、叠加法、计算梁变形 ） 第七章1－5节(平面应力状态分析—解析法与应力圆法，
Tl
GI P
d2w M(x) dx2 EI
w
C1
Fk l n EI
C2
Fk l n1 EI
叠加法 3221 8663
1
1 E
1
( 2
3 )
叠加法
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典型
组合变形 问题
弯扭组合：
MECHANICS OF MATERIALS
强度
r3 2 4 2 r3 M 2 T 2 /W r4 2 3 2 r4 M 2 0.75T 2 /W
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
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l
x x 0 2 2
l
ql
q
2
ql 3 dx 12EWz
6-10
图示截面梁，由№18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kN· m，材料的弹性模
量 E = 200GPa，泊松比 = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。
题 6-10 图 解：1.截面几何性质 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 6-10。
bh3 h 3 d 2 h2 12 12
dI z 12 d 2 h 2
由此得
h
3 d d， b d 2 h 2 2 2
3
6-8
图 a 所示简支梁，由№18 工字钢制成，弹性模量 E = 200 GPa， a=1m。在均布
C ,max
由此得
qa 2 E C 4Wz
q
代入式（a） ，得
4 E CWz a2
M max
于是得梁的最大弯曲正应力为
9 E CWz 8
max
M max 9 E C 9(200109 Pa)( 3.0104 ) 67.5MPa Wz 8 8
3. 应力计算（解法二） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
题 6-13 图 解：1.画剪力、弯矩图 左、右支座的支反力大小均为 F / 3 ，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示 如图 6-13a 与 b。
图 6-13 2．求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图 c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为
σ1max
M 1 6 Fa 2 Fa Wz 3bh2 bh2 M 4 Fa σ 2 max 2 2 Wz bh
a 3a b , h 2 2
所以，ADB 对 z 轴的惯性矩为
2 bh3 bh h bh3 1 a 3a 3a 4 36 2 3 12 12 2 2 64 3
I z ,t
中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为
I z ,r
a (2h ) 3 a 3a 3a 4 2 12 12 2 4
载荷 q 作用下，测得截面 C 底边的纵向正应变 = 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
题 6-8 图 解：1. 内力分析 梁的弯矩图如图 b 所示，横截面 C 的弯矩为
MC
梁内的最大弯矩则为
qa 2 4 9qa 2 32
(a)
M max
2. 应力计算（解法一） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
6
6-12
图 a 所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷 F 作用。现用纵截面 AC 与
横截面 AB 将梁的下部切出，试绘单元体 ABCD 各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是 如何平衡的。
题 6-12 图 解： 1. 单元体的应力分析 梁内各横截面的剪力相同，其值均为 F；在固定端处，横截面上的弯矩则为 M (0) Fl 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图 b 所示。在横截面 AB 上，弯曲切应力按抛 物线分布，最大切应力为
M Wz μ σ max E
AB b
bM
EWz
0.29 0.094 20 103 m 200109 185106
1.474105 m 0.01474mm
3．计算上半腹板 CD 的长度改变量 距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为
σ ( y1 )
该处的横向应变为
My1 Iz
（ y1 以向上为正）
( y1 )
由此可得线段 CD 的伸长量为
My1
EI z
ΔCD ε dy1
0
h1
M
EI z
3
0
h1
y1dy1
2
Mh12
2 EI z
0.29 20 10 0.0793 m 5.49 106 m 0.00549mm 2 200109 1660108
题 6-3 图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为
ρmin R1
依据
σ
Ey ρ
1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
σ t,max
Ey1 R1 Ey2 R1
σ c, max
6-6
图 a 所示正六边形截面，边长为 a，试计算抗弯截面系数 Wz 与 Wy。
题 6-6 图 解：1. Wz 计算 由图 b 可以看出，
Fy F2 F1 2 2 0
M A F1l F3 3 2 l 2h
说明单元体满足平衡条件。
F
F
h
F
3Fl h 0 3
6-13
图示矩形截面简支梁，承受矩为 Me=Fa 的集中力偶作用。截面的宽度为 b，高
度为 h。试绘单元体 ABCD 的应力分布图（注明应力大小） ，并说明该单元体是如何平衡的。
F2
F 2
F3
M (0) S z ( ) bh h 12 3Fl Fl 2 4 bh3 2h Iz
F4 bl 3F 3Fl bl 2bh 2h
3. 单元体的平衡 根据上述计算结果，得
7
Fx F3 F4
3Fl 3Fl 0 2h 2h
M z1 0，Fx 2 3 Fx1 3 Fy 2 a
h
h
Fa Fa Fa 0 3 6 6
由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出） 。
6-14
梁截面如图所示，剪力 F s = 200kN，并位于 x-y 平面内。试计算腹板上的最大
弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。
题 6-14 图 (a)解：截面形心至其顶边的距离为
yC
0.020 0.100 0.010 0.120 0.010 2 0.080 m 0.020 0.100 0.120 0.020 0.04818m
惯性矩和截面静矩分别为
9
Iz [
0.100 0.0203 0.010 0.1203 0.100 0.020 0.038182 2 12 12 2 4 6 4 2 0.010 0.120 0.03182 ]m 8.29210 m S z ,max 0.09182 0.020 0.09182 3 m 8.431105 m 3 2 S z 0.100 0.020 0.03818m 3 7.636105 m 3
3F 2bh 在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为 6 Fl c,max 2 bh 在纵截面 AC 上，作用有均匀分布的切应力，其值为
max
3F
2bh
在横截面 CD 上，作用有合力为 F1=F/2 的剪切分布力。 2. 单元体的受力分析 根据上述分析，画单元体的受力如图 c 所示。图中，F2 代表横截面 AB 上由切应力构成的 剪切力，F3 代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4 则代表纵截面 AC 上由切应力构 成的剪切合力。 显然，
4 11 3a 4 3a 4 5 3a 4 192 12 16
Wy
Iy z max
5 3a 4 1 5 3a 3 16 a 16
6-7
图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。
C ,max E C
由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为
4
max
计算结果相同。
M max 9 E C 9qa 2 4 C ,max E C 67.5 MPa 2 MC 32 qa 8
6-9
图示简支梁，承受均布载荷 q 作用。已知抗弯截面系数为 Wz，弹性模量为 E，
(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为 0.110 0.150 0.075 (0.110 0.020) 0.100 0.070 yC [ ]m 0.081m 0.110 0.150 (0.110 0.020) 0.100 惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为
左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为
1 Fy1 Fy 2 F 6
纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为
FSx x (ab)
3．检查单元体的平衡方程是否满足
Fa 2h
Fx 0，Fx 2 Fx1 FSx
Fa Fa Fa 0 h 2 h 2h F F Fy 0，Fy1 Fy 2 6 6 0
I y ,t
中部矩形截面对 y 轴的的惯性矩为
hb3 bh b a 11 3a 4 36 2 3 2 192
2
2
I y ,r
于是得整个六边形截面对 y 轴的惯性矩为
2ha 3 3a 4 12 12
I y 4 I y ,t I y ,r
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
4 3a 4 3a 4 5 3a 4 64 4 16
3
于是得整个六边形截面对 z 轴的惯性矩为
I z 4 I z ,t I z ,r
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
Wz
2. Wy 计算 ADB 对 y 轴的惯性矩为
Iz 5 3a 4 2 5a 3 y max 16 a 3 8
于是得腹板上的最大弯曲切应力为
τ max
FS S z ,max I zδ
200103 8.431105 N 1.017108 Pa 101.7MPa 6 2 8.29210 0.020m
x x 0 2 2
l
ql
q
2
ql 3 dx 12EWz
6-10
图示截面梁，由№18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kN· m，材料的弹性模
量 E = 200GPa，泊松比 = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。
题 6-10 图 解：1.截面几何性质 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 6-10。
bh3 h 3 d 2 h2 12 12
dI z 12 d 2 h 2
由此得
h
3 d d， b d 2 h 2 2 2
3
6-8
图 a 所示简支梁，由№18 工字钢制成，弹性模量 E = 200 GPa， a=1m。在均布
C ,max
由此得
qa 2 E C 4Wz
q
代入式（a） ，得
4 E CWz a2
M max
于是得梁的最大弯曲正应力为
9 E CWz 8
max
M max 9 E C 9(200109 Pa)( 3.0104 ) 67.5MPa Wz 8 8
3. 应力计算（解法二） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
题 6-13 图 解：1.画剪力、弯矩图 左、右支座的支反力大小均为 F / 3 ，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示 如图 6-13a 与 b。
图 6-13 2．求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图 c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为
σ1max
M 1 6 Fa 2 Fa Wz 3bh2 bh2 M 4 Fa σ 2 max 2 2 Wz bh
a 3a b , h 2 2
所以，ADB 对 z 轴的惯性矩为
2 bh3 bh h bh3 1 a 3a 3a 4 36 2 3 12 12 2 2 64 3
I z ,t
中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为
I z ,r
a (2h ) 3 a 3a 3a 4 2 12 12 2 4
载荷 q 作用下，测得截面 C 底边的纵向正应变 = 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
题 6-8 图 解：1. 内力分析 梁的弯矩图如图 b 所示，横截面 C 的弯矩为
MC
梁内的最大弯矩则为
qa 2 4 9qa 2 32
(a)
M max
2. 应力计算（解法一） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
6
6-12
图 a 所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷 F 作用。现用纵截面 AC 与
横截面 AB 将梁的下部切出，试绘单元体 ABCD 各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是 如何平衡的。
题 6-12 图 解： 1. 单元体的应力分析 梁内各横截面的剪力相同，其值均为 F；在固定端处，横截面上的弯矩则为 M (0) Fl 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图 b 所示。在横截面 AB 上，弯曲切应力按抛 物线分布，最大切应力为
M Wz μ σ max E
AB b
bM
EWz
0.29 0.094 20 103 m 200109 185106
1.474105 m 0.01474mm
3．计算上半腹板 CD 的长度改变量 距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为
σ ( y1 )
该处的横向应变为
My1 Iz
（ y1 以向上为正）
( y1 )
由此可得线段 CD 的伸长量为
My1
EI z
ΔCD ε dy1
0
h1
M
EI z
3
0
h1
y1dy1
2
Mh12
2 EI z
0.29 20 10 0.0793 m 5.49 106 m 0.00549mm 2 200109 1660108
题 6-3 图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为
ρmin R1
依据
σ
Ey ρ
1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
σ t,max
Ey1 R1 Ey2 R1
σ c, max
6-6
图 a 所示正六边形截面，边长为 a，试计算抗弯截面系数 Wz 与 Wy。
题 6-6 图 解：1. Wz 计算 由图 b 可以看出，
Fy F2 F1 2 2 0
M A F1l F3 3 2 l 2h
说明单元体满足平衡条件。
F
F
h
F
3Fl h 0 3
6-13
图示矩形截面简支梁，承受矩为 Me=Fa 的集中力偶作用。截面的宽度为 b，高
度为 h。试绘单元体 ABCD 的应力分布图（注明应力大小） ，并说明该单元体是如何平衡的。
F2
F 2
F3
M (0) S z ( ) bh h 12 3Fl Fl 2 4 bh3 2h Iz
F4 bl 3F 3Fl bl 2bh 2h
3. 单元体的平衡 根据上述计算结果，得
7
Fx F3 F4
3Fl 3Fl 0 2h 2h
M z1 0，Fx 2 3 Fx1 3 Fy 2 a
h
h
Fa Fa Fa 0 3 6 6
由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出） 。
6-14
梁截面如图所示，剪力 F s = 200kN，并位于 x-y 平面内。试计算腹板上的最大
弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。
题 6-14 图 (a)解：截面形心至其顶边的距离为
yC
0.020 0.100 0.010 0.120 0.010 2 0.080 m 0.020 0.100 0.120 0.020 0.04818m
惯性矩和截面静矩分别为
9
Iz [
0.100 0.0203 0.010 0.1203 0.100 0.020 0.038182 2 12 12 2 4 6 4 2 0.010 0.120 0.03182 ]m 8.29210 m S z ,max 0.09182 0.020 0.09182 3 m 8.431105 m 3 2 S z 0.100 0.020 0.03818m 3 7.636105 m 3
3F 2bh 在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为 6 Fl c,max 2 bh 在纵截面 AC 上，作用有均匀分布的切应力，其值为
max
3F
2bh
在横截面 CD 上，作用有合力为 F1=F/2 的剪切分布力。 2. 单元体的受力分析 根据上述分析，画单元体的受力如图 c 所示。图中，F2 代表横截面 AB 上由切应力构成的 剪切力，F3 代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4 则代表纵截面 AC 上由切应力构 成的剪切合力。 显然，
4 11 3a 4 3a 4 5 3a 4 192 12 16
Wy
Iy z max
5 3a 4 1 5 3a 3 16 a 16
6-7
图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。
C ,max E C
由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为
4
max
计算结果相同。
M max 9 E C 9qa 2 4 C ,max E C 67.5 MPa 2 MC 32 qa 8
6-9
图示简支梁，承受均布载荷 q 作用。已知抗弯截面系数为 Wz，弹性模量为 E，
(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为 0.110 0.150 0.075 (0.110 0.020) 0.100 0.070 yC [ ]m 0.081m 0.110 0.150 (0.110 0.020) 0.100 惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为
左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为
1 Fy1 Fy 2 F 6
纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为
FSx x (ab)
3．检查单元体的平衡方程是否满足
Fa 2h
Fx 0，Fx 2 Fx1 FSx
Fa Fa Fa 0 h 2 h 2h F F Fy 0，Fy1 Fy 2 6 6 0
I y ,t
中部矩形截面对 y 轴的的惯性矩为
hb3 bh b a 11 3a 4 36 2 3 2 192
2
2
I y ,r
于是得整个六边形截面对 y 轴的惯性矩为
2ha 3 3a 4 12 12
I y 4 I y ,t I y ,r
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
4 3a 4 3a 4 5 3a 4 64 4 16
3
于是得整个六边形截面对 z 轴的惯性矩为
I z 4 I z ,t I z ,r
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
Wz
2. Wy 计算 ADB 对 y 轴的惯性矩为
Iz 5 3a 4 2 5a 3 y max 16 a 3 8
于是得腹板上的最大弯曲切应力为
τ max
FS S z ,max I zδ
200103 8.431105 N 1.017108 Pa 101.7MPa 6 2 8.29210 0.020m