高一数学三角函数讲义

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高一数学三角函数讲义

三角函数讲义知识要点:一、角的概念与推广:任意角的概念;象限角（轴线角）、终边相同的角;二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线:如右图,有向线段A Ｔ与M Ｐ O Ｍ分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。

三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:1、常数代换法：如：αααααα2222tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=2、配角方法：ββαα-+=)(()βαβαα-++=)(222βαβαβ--+=3、降次与升次:22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+= 以及这些公式的变式应用。

4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。

5、常见三角不等式:（1）、若x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈则π (２)、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π（３）、1cos sin ≥+x x 6、常用的三角形面积公式：（1）、c b a ch bh ah S 212121===(2)、B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===（3）、S =四、三角函图象和性质:正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换万能公式:2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α例1 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ,求3c ｏｓ 2θ + 4ｓｉn 2θ 的值。

三角函数第九课(倍角公式降次公式)讲义高一上学期数学人教A版

三角函数第九课§倍角公式、降次公式知识点：一、公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；一号公式：22sin cos sin ααα= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；二号公式：22cos 1sin 2αα-= 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．三号公式：22cos 1cos 2αα+= ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．二、例题例1、已知),2(,135sin ππαα∈=，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

例２、已知,53cos =α求sin2α，cos2α，tan2α的值。

例3、已知1tan 2,3α=求tan α的值．例4、计算 1．sin22︒30’cos22︒30’=__________________; 2．=-π18cos22_________________; 3．=π-π8cos 8sin 22____________________; 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8__________________. 5．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin __________________;6．=α-α2sin 2cos 44____________________; 7．=α+-α-tan 11tan 11___________________; 8．=θ-θ+2cos cos 212______________________.二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题1、已知cos α=－33,且tan α<0，则sin2α的值等于（）A ．322B ．13C ．－322 D ．－13 2、已知sin 2α=53，cos 2α=－54，则角α是（） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 3、已知sin α＋cos α= 13，则sin2α= （） A ．89 B ．－89 C ．±89 D ．322 4、若x = π12 ，则sin 4x －cos 4x 的值为（）A ．21 B ．21- C ．23- D ．23 5、52cos5cos ππ的值等于（） A 、 41 B 、 21 C 、2 D 、 4 二、填空题 1、求值：（cos 210°－cos 280°）2＋sin 220° = ． 2、已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝95，则sin2θ等于____ _______．三、解答题1、若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。

5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)

【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =

=
3
，cos
2
tan =

=
3
−1
3
2
所以sin =
=

=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.

（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，

= − , −

（4）在角的终边上取一点

则 −
则 =

,

=−
=

,

−

= −；
−, ，即 = −, = , = ，

当 = 或

时，点的坐标是(, )和(− ， )

一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，
即 = .
π

转 3 弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

7.2.1三角函数概念-高一数学(苏教版必修第一册)课件

M
A
o
1x
T
课堂达标
2. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1)

3
(2)
;
5
;
6
(3) -
2
;
3
解: (3)
(4)
13
.
6
(4)
T
y
y
-
M o
-
P
2
3
A
1 x
13
6
o
M A
1
P
正弦线 MP,
余弦线 OM,
正切线 AT.
T
x
谢谢
7.2三角函数概念
学习目标
1、正弦余弦正切函数的定义
2、三角函数线
复习引入
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎样定义的?
问题2. 在直角坐标系中, 如果知道锐角终边上一点的坐标, 你能求
y
出的三角函数吗?
sin
对边
斜边
作PM⊥x 轴于M,
设 |OP| r, 则
(x, y)
( - ) ( - )
o
x
( - ) ( + )
o
x
( + ) ( - )
sin
cos
问题3. 能不能证明你的结论？
tan
第一象限角终边上的点的坐标, x>0, y>0, r>0;
y
sin
r
x
y
>0. cos >0. tan >0.
r
x
第一象限角的三种三角函数值都为正.
活动：请同学们归
x -3

三角函数的概念高一数学精讲课件

则 PM y , P0M 0 y0 ，OM x ,OM 0 x0 ,
OMP OM0P0.
所以得到 P0M0 PM ,
1r
即 y0
y.
r
因为
y与
y0 同号，所以
y0
y r
，即sin
y.
r
同理可证：cos x ，tan y .
r
x
PART 2 三角函数值的正负
根据三角函数的定义，请将三角函数值的符号填入下图：
所以tan 672 0；
（3）因为3 2，所以3角的终边位于 x轴的非正半轴上，所以tan3 0.
练习.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是 144mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数
3
2 1 0 1 2 3 -1
2 22
222
tana 0
3 3
1
3
/
3
-1 3 0
3
例题探究
例3. 确定下列三角函数的符号（1）sin250° （2）tan(-672°) （3）tan3π
解：（1）因为250 是第三象限角，所以sin 250 0；（2）因为672 48 360 2，所以672 角的终边与48
() ( )
y
() ( )
O
x
() ( )
O
x
() ( )
O
x
() ( )
PART 3 特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0
6
sina 0 1 2
432
2 31
22
2 3 5
3 46
3 21 0 2 22

(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数

高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k kαα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z终边在x轴上的角的集合为{}180,k kαα=⋅∈Z终边在y轴上的角的集合为{}18090,k kαα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k kαα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k kββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*nnα∈N所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭问题1各是第几象限角问题：已知α角是第三象限角，则2α，2问题21．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

高一数学讲义第六章三角函数

高一数学讲义第六章三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ．函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ．说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ．函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ．结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1；当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-；当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1；当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性．解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+，则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--，则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立；若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值．解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值：（1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠；（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =．（2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =．说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点．基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期：（1）()sin sin 2f x x x =+；（2）()sin f x x x =；（3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++；（7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间：（1）sin 0x >；（2）cos 0x <；（3）1sin 2x >；（4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期：（1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++；（3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数．正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像．例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期：（1）()()tan 0y ax b a =+≠；（2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小：（1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小；（2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小；（3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）：（1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，；（3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，；（4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，；（5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，．解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。

高一数学必修课件第一章三角函数

积化和差与和差化积公式
要点一
积化和差公式
$sin x cos y = frac{1}{2}[sin(x + y) + sin(x - y)]$，$cos x sin y = frac{1}{2}[sin(x + y) - sin(x - y)]$，$cos x cos y = frac{1}{2}[cos(x + y) + cos(x - y)]$，$sin x sin y = frac{1}{2}[cos(x + y) - cos(x - y)]$。
PART 02
三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
正弦函数图像
正弦函数y=sinx的图像是一个周期函数，图像呈现波浪形，周期为2π。在区间[0, 2π]内，图像从原点开始，上升到最高点(π/2, 1)，然后下降到最低点(π, -1)，再上升到原点。
正弦函数性质
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx。其值域为[-1, 1]，在区间[0, π/2]内单调递增，在区间[π/2, π]内单调递减。
应用
余弦定理主要用于解决已知三角形的三边求角或者已知三角形的两边及夹角求第三边的问题。
判断三角形形状问题
通过已知条件判断三角形形状
利用正弦定理、余弦定理以及三角形的内角和性质，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
三角形形状的判断方法
除了利用正弦、余弦定理外，还可以通过比较三角形的三边长度关系或者利用三角形的面积公式等方法来判断三角形的形状。
等问题。
PART 05
三角函数在生活、生产中的应用
振动、波动问题中三角函数模型建立
简谐振动

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三角函数讲义
知识要点:
一、角的概念与推广：任意角的概念；象限角（轴线角）二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；
弧长公式：r l α=
扇形面积：S=α22
121r r l =⋅
三角函数线：如右图，有向线段AT 与MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。

三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：
1、常数代换法：如：αααααα2222
tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=
2、配
角方
法：
β
βαα-+=)(
()βαβαα-++=)(2
2
2
βαβ
αβ--
+=
3、降次与升次：2
2cos 1sin 2
αα-= 22cos 1cos 22
αα+= 以及这些公式的变
式应用。

4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中a
b
=
θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。

5、常见三角不等式：
（1
）、若
x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭
⎫
⎝⎛∈则π （2）、若
2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭
⎫
⎝⎛∈x x x 则π
（3）、1cos sin ≥+x x 6、常用的三角形面积公式：
（
1
）
、
c b a ch bh ah S 2
1
2121===
（2）、
B ac A bc
C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
（3）、
S =
四、三角函图象和性质：
正弦函数图象的变换：
()()
αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换
万能公式：
2tan 12tan
2tan ,2tan 12tan 1cos ,2
tan 12tan
2sin 2
2
2
2α
-α
=αα+α-=αα
+α
=
α 证：2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α
2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α
2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α
例1 已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ
+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。

解：∵
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴
53
tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式57
2122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-=
2.已知sin x =
54，且x 是锐角，求2
cos 2sin x
x ±的值。

)55,553(- 3．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1︒x x y 2cos 2sin = )21,21(min max -==
y y 2︒x x y 2cos sin 2-= )2
1
,23(min max -==y y
3︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )2
3
,3(min max -==y y
4．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4π
5．求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[π
π-上的最小值。

)221(- 关于三角函数的几种解题技巧
一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：
1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道
)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：
例1 已知θθθθ33cos sin ,3
3
cos sin -=
-求。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3
1cos sin 31)33(
cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39
43133]313)33[(332=⨯=⨯+=
例2 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +
解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α =（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2
=1-2)21(2⨯ =211- =2
1
二、关于“托底”方法的应用：
在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下：
例 3 已知：tg α=3，求α
αα
αcos sin 2cos 3sin +-的值。

解：由于tg α=30cos 2
≠⇒+
≠⇒απ
παk
故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+
⋅⋅
-ααα
ααααα
α
αtg tg
例4 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?
三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±++=±x b a b x b a a b a x b x a sin cos sin cos 2
2222
2
由于1)(
)(
22
2
22
2
=+++b
a b b
a a 。

故可设：2
2
sin b
a a A +=
，则
A A sin 1cos -±=，即：2
2
cos b
a b A +±
=
∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，
22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a +
例1 求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（A ） A ．231+ B ．13- C ．2
3
1- D ．13+。

高一数学三角函数讲义