【自动控制】3-4 高阶系统的时域分析
bm1s bm an1s an
m
Kr (s zi )
q
i 1 r
(s p j ) (s2 2 kk s k2 )
j 1
k 1
13:06
在单位阶跃信号下的响应：
m
C(s) s
q
Kr (s zi )
i 1
1
(s p j ) r (s2 2 kk s k2 ) s
13:06
一、高阶系统的单位阶跃响应
a0
dn dt n
c(t)
a1
d n1(t)
an c(t )
b0
dm dt m
r(t) b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
进行拉氏变换可得：
(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
13:06
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
1
0.5
0
-0.5
第三章 时域分析法 第四节 高阶系统的时域分析
13:06
3-4 高阶系统的时域分析
项目
内容
教学目的
掌握高阶系统的阶跃响应时域表达形式，运动的 五种模态，高阶系统近似为二阶系统的条件。
教学重点
高阶系统的降阶处理方法以及matlab图形分析方法 。
教 学 难 点 高阶系统复数域表达式的部分分式形式的推导。
-1
-1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
Impulse Response 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Impulse Response 14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
13:06
运动的模态
按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正 负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：
❖ 一阶模态 e pjt
pj<0 一阶收敛模态 pj>0 一阶发散模态
❖ 二阶模态 ent sin(bt )
n 0 n 0 n 0
二阶收敛模态 二阶等幅振荡模态 二阶发散模态
13:06
传递函数：
Impulse Response 1.2
1
s 1
(s)
0.8
(s 0.2)2 1
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
传递函数：
(s)
A1s B1 s2 b2
零极点分布图：
j b
0
13:06
Amplitude
运动模态4
c(t) Asin(bt )
s 1
(s)
1.5
Impulse Response
s2 1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
0a
13:06
Amplitude
运动模态5
c(t) Aeat sin(bt )
Impulse Response 12
10
s 1
8
(s) (s 0.1)2 1
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
运动模态总结
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
Impulse Response 1
Amplitude
运动模态2
c(t) Ae pt
Impulse Response 14
12
1
(s)
10
s 1
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
-a 0
13:06
Amplitude
运动模态3
c(t) Aeat sin(bt )
Bk kk
2 2
kk
Ck
k2
]
L1[
Bk (s kk )
(Ck
Bk kk)
k k
1
2 k
1
2 k
]
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
B e kkt k
cos(k
1
2 k
)t
Ck
k
Bk kk
1
2 k
e kkt
sin(k
1
2 k
)t
A ekkt k
(s) A s p
零极点分布图：
j
-p
0
13:06
Amplitude
运动模态1
c(t) Ae pt
Impulse Response 1
0.9
1
0.8
(s) s 1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
传递函数：
(s) A s p
零极点分布图：
j
0p
13:06
j 1
k 1
A0 s
q j 1
Aj s pj
r k 1
s2
Bk s Ck
2 kk s k2
进行拉氏反变换：
L1 (
A0 s
)
A0
q
L1 (
j 1
Aj ) s pj
q
L1 (
Aj
)
j 1
s pj
q
Aje pjt
j 1
13:06
L1[
s2
Bk s Ck
2 kk s
k2
]
L1[
Bk (s kk ) (s kk )2
sin
dkt k
Dk
13:06
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0 Aje pjt Akekkt sin dkt k
j 1
k 1
结论(性能分析)：
1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶 振荡子系统的时间响应函数项组成；
2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t 的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳 态输出为A0。
2
2.5
Time (sec)
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0
Aje pjt
A e kkt k
sin
dkt k
j 1
k 1
结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定
如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它 决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平 面的极点决定)，随t的推移最终趋于其对应的稳定 值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个系 统对外显示是发散的。
讲授技巧及注 尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲
意事项
清楚，再将表达式和图形一一对应起来。
13:06
•描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系 统。
工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当 地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。
原因： 1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往 往是不必要的，甚至是无意义的。
自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析
目录1系统稳定性分析 (1)2高阶系统的时域响应 (2)2.1系统单位阶跃响应曲线 (2)2.2系统单位斜坡响应曲线 (4)2.3系统单位加速度响应曲线 (5)2.4动态性能指标计算 (6)2.4.1动态性能指标计算 (6)2.4.2动态性能指标计算 (6)2.5 稳态性能指标计算 (9)3根轨迹图绘制 (10)3.1根轨迹数据计算 (10)3.2用MATLAB绘制根轨迹图 (11)4心得体会 (12)参考文献 (13)本科生课程设计成绩评定表高阶系统的时域分析1 系统稳定性分析给定参数系统稳定性分析： 对于开环传递函数))(95()()(2a s s s s b s K s G p ++++=在给定条件K=15,a=2,b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特征方程为:D(s)=S 4+7S 3+19S 2+33S+60=0其劳斯表为S 41 19 60 S 3 7 33 0 S2 14.3 60 S 1 3.6 0 S 0 60从表中可以看出，第一列系数符号全部为正，故系统是稳定的。
2高阶系统的时域响应K=15，a=2，b=4时，系统的开环传递函数为:G p=15（s+4）s(s2+5s+9)(s+2)=15s+60s4+7s3+19s2+18s系统为Ⅰ型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。
系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60R(s)2.1系统单位阶跃响应曲线当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=1S，系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1S运用MATLAB程序作图如图2-1，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);step(G);grid on;xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位阶跃响应')图2-1 系统阶跃响应由图中数据可得:上升时间为t=1.02sr峰值时间=1.73stp调节时间=33.1sts超调量σ%=78%稳态误差为=0ess当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=1s2,系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1s2运用MATLAB程序作图如图2-2，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=t;lsim(G,u,t);grid on; xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位斜坡响应')图2-2 单位斜坡响应当输入为单位加速度函数信号时，R(s)=1s3,系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1s3运用MATLAB程序作图如图2-3，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=(0.5*t.^2);lsim(G,u,t)grid on;xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位加速度响应')图2-3 单位加速度响应2.4动态性能指标计算2.4.1主导极点法控制系统的暂态性能指标通常是零初始条件下，通过系统的阶跃响应的特征定义的，系统的暂态性能指标实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析
ct 1 a1 exp nt cos d t a2 exp nt sind t a3 exp Pt
其中： d n 1 2
2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
三阶 系统
ct
1
e
xp
n
t
cosd
t
1
2
s
ind
t
二阶 系统
从以上分析中看出，极点的类型决定了输出情况 ❖系统稳定 所有极点在s-p左半面（全为“左根”）
两者相比，仅仅是多了一项由新增极点确定的衰减项
1
a3 b 2 b 21
a3 0 a3 exp Pt 0
b 2 b 21 2 b 12 1 2 0
新增极点引发的自由运动模态项对过渡过程的影响是：
使最大超调减小，使调节时间增加
3
1.闭环极点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
首先讨论典型三阶系统的瞬态响应，然后进行更具一般形式 的高阶系统的瞬态响应分析。从下面的讨论中，可以看到:
高阶系统的瞬态响应是由若干个一阶系统和二阶系 统的瞬态响应线性叠加而成。
1
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的闭环传函可表示成：
(s)
C(s) R(s)
(s
P)(s2
Pn 2 2ns
n2 )
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工 程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶 系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函 数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便 将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二 阶系统进行分析研究。
3.4 高阶系统的时域分析
(s)
(s
0.9s 1)(0.01s 2
1 0.08s
1)
s1 1, s2,3 4 j9.2, z1 1.1
主导极点
高阶系统中离虚轴最近的极点，如与虚轴的距离小于其他极点 离虚轴距离的1/5，且该极点附近没有零点，可以认为系统的响
应主要由该极点决定，称之为主导极点。
非主导极点对应时间响应在上升时间之前能基本衰减完，只 影响0~tr一段，对过渡时间ts等性能指标无影响。
主导极点可为实数，也可为共轭复数。具有一对共轭复数主 导极点的高阶系统可当作二阶系统分析。
3、系统零点和极点共同决定了系统响应曲线形状。对系数很小 的运动模态或衰减很快的运动模态可以忽略，这时高阶系统 就近似为较低阶系统。
主导极点
• 求高阶系统的时间响应很是困难，通常将多数高阶系统化 为一、二阶系统加以分析。
• 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极 点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点， 他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用， 可以忽略。这就是所谓的主导极点的概念
高阶系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点决定即输入信号决定暂态分量就是系统的自由运动模态形式由传递函数极点决定
第三章 线性系统时域分析法
3.4 高阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时间响应
常见高阶系统的单位阶跃响应如下图所示：
高阶系统时间响应高Fra bibliotek系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量
稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点 决定，即输入信号决定
暂态分量就是系统的自由运动模态，形式由传递函数 极点决定。
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
自动控制原理第三章
3-2 一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统
3-2-1 一阶系统数学描述 RC电路 其微分方程为： 电路， 例如 RC电路，其微分方程为：
R + r(t) _ I
1 Cs
+ C c(t) _ C(s)
ɺ T c+c = r
其中：c(t) 为电路输出电压， 其中： 为电路输出电压， R(s) UR r(t) 为电路输入电压， 为电路输入电压， T=RC为时间常数 为时间常数 由原理图得系统结构图。 由原理图得系统结构图。 R(s) 当初始条件为零时，其传递函数为: 当初始条件为零时，其传递函数为 C ( s) 1 = Φ ( s) = 一阶惯性环节 R(s) Ts + 1
t − 1 2 c (t ) = t − Tt + T 2 1 − e T 2
误差： 误差：
(t ≥ 0)
t − e (t ) = r (t ) − c (t ) = Tt − T 1 − e T 2
(t ≥ 0)
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
1 R
-
1 Ts
C(s)
6
3-2-2 一阶系统单位阶跃响应 系统输入： 系统输入：R(s ) = 1 系统输出： 系统输出：C ( s ) = Φ ( s ) R( s ) = 1 ⋅ 1 Ts + 1 s 1 T = − s Ts + 1 变换， Λ−1变换，得：h( t ) = 1 − e ,t ≥ 0 阶跃响应的特点： 阶跃响应的特点： 1 1) 在 t=0 时的斜率最大，为： 时的斜率最大，
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】
第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。
一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。
表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。
二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。
表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。
三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。
2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
3.4 高阶系统的时域分析
z
5以及
n
p
5
n
2
n
(s)
z n p ( s 2
2
2
j ds n ) n一对共轭复数极点产生的瞬态分量 是按指数衰减的正弦振荡曲线。
第四节 高阶系统的时域分析
由上述分析可以得出： （4）系统中离虚轴最近极点附近没有零 点，其它极点离虚轴的距离是这个 （1）高阶系统的时域响应是由惯性环节 极点3（或5）倍以上，这个为主导 和二阶振荡环节的响应函数所组成。 极点。 （2）所有闭环极点必须位于左半平面系 （5）高阶系统中加入校正装置，使系统 统才能稳定。如果有一个极点在右 具有一对合适的共轭复数主导极点， 半平面，系统不稳定。 此时系统的动态性能比较理想。 （3）极点的实部在左半平面上离虚轴远 （6）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极 近，确定相应的瞬态分量衰减快慢； 子,在系统动态响应中可以忽略不计。
第四节 高阶系统的时域分析
共轭复数极点的瞬态分量:
σ ω 式中： sk= +j Ak=|Ak|e j∠Ak Akeskt+Ak+1esk+1t
Akeskt+Ak+1esk+1t
σ sk+1= -jω Ak+1=|Ak+1|e־j∠Ak+1
系数可表示为
σt
=2|Ak|e cos( t+∠Ak ) ω
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近 似的估计分析。
高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
例：
(s)
n (s z)
3.3高阶系统的时域分析
j 1
k 1
式中，q+2r=n, q为实数极点的个数；r为共轭复数极点的对数。
部分分式展开，并设0＜ζk＜1,取拉氏反变换，并整理
q
r
h(t) A0
Ajesjt
B e kkt k
c os ( k
1
2 k
)t
j 1
k 1
r k 1
Ck
k
Bk kk
3、 调节时间的计算
ts
1
n
ln
2
n
si
m s1 zi
i2 n
i1 m
s1 si
zi
i2
i 1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，但可 减小系统的超调量和调节时间。
高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭 主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能指标来估 算高阶系统的动态性能。
设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点: 系统单位阶跃响应的近似表达式：
s1,2 s jd , 0 1
C(s) M (s) 1 N(s) s
1
2 k
e kk t
s in( k
表明
1
2 k
)t,
t
0
（1）响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。当所 有闭环极点都位于左半s开平面时，系统是稳定的。
（2）零极点对系统性能的影响。
三、闭环主导极点
自控原理(3)
2003-09/10
<自动控制原理>(3-17)
3．4 高阶系统的时域分析 1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控 制系统。 2、分析方法：
1）定性分析； 2）主导极点法； 3）计算机分析 3 主导极点与偶极子问题 ① 主导极点： 在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、 且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主 导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。 主导极点法： 利用主导极点代替系统全部闭环极点来 估算系统性能的方法，称为主导极点法。 一般要求：
t
td tr tp ts b 单位阶跃信号作用下 反馈系统的过渡过程曲线
误差带△一般取0.02或0.05 ⑵ 动态性能指标： 延迟时间 td ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半 时所需要的时间；
上升时间 tr ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要 的时间；
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2003-09/10
j
S1 S2
j
0
0
t
② ξ = 1时，（临界阻尼） S1 ，S2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ξ＜1时，（欠阻尼） S1 ，S2 为一对具有负实部的共轭复根。
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2003-09/10
<自动控制原理>(3-08)
④ 当ξ=0时，（无阻尼，零阻尼） S1 ，S2 为一对幅值相等的虚根。
⑤ 当ξ＜0时，（负阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。
结论分析： a) tr 、tp 、ts 、td 与ωn 的关系（反比关系）；
b)
tp 、td与ξ的关系（正比关系）；
ts与ξ的关系（反比关 系）；
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