多模态多目标差分进化算法求解非线性方程组
多目标差分进化算法
多目标差分进化算法
多目标差分进化算法（Multi-Objective Differential Evolution，MODE）是一种用于解决多目标优化问题的进化算法。
与单目标差分进化算法类似，MODE也是一种基于群体的全局优化方法，它可以在不使用任何显式约束的情况下解决复杂的多目标问题。
MODE是由Kalyanmoy Deb和Amrit Pratap等人于2002年提出的。
这种方法通过维护一组个体来进行多目标优化，并使用不同的权重向量（或目标向量）来评估每个个体的适应度。
在MODE中，每个权重向量都被视为一个目标问题的不同实例，个体的适应度被定义为它们在所有目标问题中的表现。
采用差分进化算法的操作方式，MODE在每一代中对群体进行进化。
具体来说，对于每个个体，MODE将选择三个不同的个体作为参考点（也称为候选个体）。
然后，通过与参考个体进行差分操作，生成一个试探个体。
试探个体的适应度被评估，并与当前个体进行比较。
如果试探个体的适应度更优，则将其保留到下一代中，并用其替换当前个体。
在MODE中，采用了一种精英策略来维护较好的解。
具体来说，在每一代中，由于同一权重向量的多个个体可能收敛到同一解决方案，MODE将更新每一个权重向量中最优的个体，并将其保留到下一代中。
因此，这种策略可以确保每个权重向量都有一个最优解，进而使模型达到更好的全局优化效果。
总之，多目标差分进化算法是一种有效的全局优化方法，能够高效地解决多目标优化问题。
在实践中，MODE已被广泛应用于各种领域中，如机器学习、工程设计、经济学和环境管理等。
多目标进化算法在非线性方程组中的应用
多目标进化算法在非线性方程组中的应用作者：张成李明辉来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2011年第2期张成，李明辉（沈阳化工大学数理系，辽宁沈阳 110142）摘要：将非线性方程组问题转化为多目标函数优化问题，利用NSGA-Ⅱ的非支配集的构造方案和基于拥挤距离排序方法产生子代种群，依适应度排序选择子代个体进行下一代优化.本文将NSGA-Ⅱ中遗传算法GA替换为进化策略ES，通过非支配集的调整与拥挤距离重新排序可以进一步提升收敛速度，同时避免种群的早熟，保证初始种群个体的优良性能得以继承.仿真实验表明，本文算法可以进一步提高非线性方程组解的精确性和求解效率，从另一个角度为非线性方程求解提供了一中新的途径.关键词：非线性方程组;多目标进化算法;进化策略;全局收敛中图分类号：TP301.6 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）02-0016-031 非线性方程组通常方程组形式如下：公式（1.1）中X是n维向量，方程组中共有m个方程.若（1.1）中的方程为非线性，传统算法通常有两类方法：一类是属于线性方法，把非线性方程组化为一种近似的非线性方程组，构造迭代格式，逐渐接近准确解，达到一定精度就停止计算；另一类是属于函数极值的方法，即由这些非线性函数构造出一个目标函数，把方程组的求解问题转化为求目标函数的极值点的问题.典型的算法有：牛顿迭代法和梯度下降法[1-3].这两类方法在低次、低维、“性质”较好的非线性方程组中求解取得了较好的效果，但遇到多维、高次、“性质”较差的非线性方程组，则显得力不从心.本文提出基于进化策略多目标函数优化算法，将其应用到非线性方程组的求解过程中，完全可以克服非线性的约束.2 多目标进化算法公式（1.2）中min表示向量极小化，即向量目标函数f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T 中的各子目标函数fk(x)都尽可能地极小化.多目标进化算法的基础是进化算法，它的处理对象是多目标优化问题MOP（Multi-Objective Problem）.如图1所示这里给出一个基于Pareto的多目标进化算法的一般流程.就一个具体的MOEA来说，如何选择构造非支配集的方法，采用什么样的策略来调整非支配集的大小，如何保持非支配集的分布性，是决定一个MOEA性能的重要内容.Srinivas和Deb于1993年提出了NSGA,Deb等于2000年在NSGA的基础上，提出了NSGA-Ⅱ，该算法已经成为其他MOEA的比较对象.NSGA-Ⅱ中提出非支配集的非劣排序思想，同时引入拥挤距离排序的方法，以便形成新的种群.2.1 非支配集的构造方法设群体Pop的规模大小为N，将群体Pop按照某种策略进行分类排序为m个子集P1,P2,…Pm，且满足下列性质：2.2 保持解群体分布性和多样性的方法为了保持解群体的分布性和多样性，Deb提出了个体聚集距离的概念.依据个体所处的层次及其聚集距离定义一个偏序集，构造新群体时依次在偏序集中选择个体.在产生新的群体时，通常将优秀的同时聚集密度比较小的个体保留并参与下一代进化.聚集密度小的个体其聚集距离反而大，一个个体的聚集距离可以通过计算与其相邻的两个个体在每个子目标上的距离差之和来求取.如图2所示，设有两个目标函数f1，f2个体i的聚集距离是图中虚线四边形的长与宽和.3 基于多目标函数优化的非线性方程组解法公式（1.1）可以看成具有m个目标的优化问题，即多目标优化问题.寻求方程组的根，就是在寻求ads(fi(X)),i=1,2,…,m极小值（最小值）.极小值在最优边界中出现，利用适应度选择出适应度最高的个体即为方程组的一个解，具体过程如下文描述：4 仿真实验4.1 非线性方程组[4]表1给出了利用改进遗传算法[5]和进化策略算法[6]及本文算法解方程组经过matlab仿真所得的结果.可以看出在收敛速度上与其余两种算法相同.但是在收敛精度上要高于以上两种算法，对于要求解精度高的问题改进算法十分有效.4.2表2对进化策略算法、耦合神经网络算法[7]与本文算法关于解此方程组所得结果做了比较.表2中数据说明，本文算法可以搜索到问题的全部解，且精度高、误差小.4.3表3对进化策略算法与本文算法及matlab函数工具解法关于解此方程组所得结果做了比较.对于此方程组求解困难较大，具有三种函数形式，通过传统的方法求解不易求出方程的根.方程组是三角函数、对数函数、指数函数构成的超越函数，应用改进改进算法可以高精度、高速度求出方程组的解.经仿真测试，应用改进的多目标进化算法，在收敛速度和收敛精度上性能都比较有效，对解决一些相对复杂的函数优化、工程问题是可以应用的，但从多样性的角度考虑，还有一定的不足，需要进一步改进.5 结论本章通过对多目标优化问题的详细介绍和分析，提出了应用多目标函数优化的方法解决非线性方程组的又一中解法，并且给出具体算法流程.Parero非劣排序、拥挤距离和拥挤度相关理论是本文算法提出的理论基础，将本文方法在非线性方程组求解中的应用，通过实例进行了对比分析，说明改进算法在精度和速度上相对其它算法有所提高.参考文献：〔1〕黄像鼎,曾钟钢,马亚南.非线性数值分析[M].武汉：武汉大学出版社,2000.〔2〕李耀辉,刘保军.非线性代数方程组实根求解研究现状综述[J].武汉科技大学学报（自然科学版）,2004,27(3):326-330.〔3〕李董辉,童小娇,万中.数值最优化[M].北京：科学出版社,2005.〔4〕张明,周永权.基于进化策略的非线性方程组求法[J].计算机工程与设计,2009,30(11):2634-2636.〔5〕郑金华.多目标进化算法及其应用[M].北京：科学出版社，2007，163-167.〔6〕张明,周永权.基于进化策略的非线性方程组求解[J].计算机工程与设计,2009,30(11)：2634-2636.〔7〕彭晓华,冯永安.遗传算法的改进及其在方程组求解中的应用[J].辽宁工程技术大学报,2004，23(2):272-274.。
多目标优化论文：多目标优化多目标进化算法网格机制自适应网格
多目标优化论文：多目标优化多目标进化算法网格机制自适应网格多目标优化论文：多目标优化多目标进化算法网格机制自适应网格【中文摘要】进化算法求解多目标优化问题已经成为多目标优化领域研究的热点之一,现实中的优化问题通常具备两个或两个以上相互冲突的目标。
跟单目标优化问题有唯一的最优解不同,多目标优化问题的最优解是一组折中解,通常称为Pareto最优解集。
多目标进化算法是模拟生物自然选择的随机搜索算法,并且在求解高度复杂的非线性多目标优化问题有很大的优势,因此,在过去的二十年里引起了学术界众多学者的关注,同时得到快速的发展。
然而,大部分算法在处理MOPs和CMOPs时,很少考虑从已有的信息(如:种群信息、进化轨迹、优良个体分布等)中进行学习、交流。
另外,已有的算法没有考虑种群全局信息对进化的作用。
实际上这些信息对进化种群的影响也是非常重要的,进化种群必须在特定的信息中才能更好的进化。
另一方面, 自适应网格技术其难点在于每维目标上单元网格的尺寸很难确定,如果其尺寸确定后,即网格总数相应的确定。
一般情况下,种群中的个体所占的网格数目是非常少,导致分布性在一定程序上受到影响。
本文主要针对网格机制多目标进化算法进行研究,所做的主要工作包括下面两个方面:第一,提出一种网格激励机制的约束多目标进化算法(C-GIEA)。
大多数约束多目标进化算法没有考虑种群中的信息交流,缺乏指导性的搜索。
C-GIEA利用网格保存各种信息和约束条件来引导种群进化。
一方面,对约束空间有很强的搜索能力,使其向更优的搜索区域逼近,最终向最优解靠近;另一方面,通过种群状态调整网格中其它信息,实现种群与这些信息相互学习和共同进化。
并反过来实现对种群的促进、导向功能。
通过与2个著名算法的对比实验,结果表明C-GIEA在解集的收敛性、分布广泛性和分布均匀性有良好的性能。
第二,提出混合自适应网格进化算法(HAGA)。
自适应网格算法中的单元网格在每个目标上的尺寸很难确定。
一种用于多目标优化的改进差分演化算法的开题报告
一种用于多目标优化的改进差分演化算法的开题报告1.研究背景和意义多目标优化一直是优化领域中的一个热点问题，根据不同的约束条件，可以转化为不同类型的多目标优化问题。
例如，某些复杂的工程优化问题、机器学习模型中的参数调优问题、金融风险控制等都涉及到多目标优化问题。
然而，传统的单目标优化算法无法直接处理多目标优化问题。
因此，解决多目标优化问题是当今计算机科学和工程学的重要任务之一。
差分演化算法作为一种群体智能算法，已被广泛用于解决多目标优化问题。
虽然该算法的性能已被证明在解决大多数单目标优化问题时都具有优异的性能，但是在解决多目标优化问题时，由于其在搜索过程中的有效性、收敛速度等方面的限制，差分演化算法仍需要改进。
因此，本文主要研究一种新的改进差分演化算法，用于解决多目标优化问题。
通过准确的实验结果和性能评估，比较该算法与其他算法的性能和优缺点，为差分演化算法在多目标优化问题上的应用提供更加实用和有效的方法和技术支持。
2.研究内容与方法本文的研究重点是改进差分演化算法用于多目标优化问题，具体研究内容包括：（1）对原始差分演化算法进行深入分析，确定其在解决多目标优化问题上存在的问题和不足之处；（2）提出一种改进的差分演化算法，通过引入新的搜索策略和变异方法等来增强其适应性和搜索能力；（3）设计和实现多目标优化问题的实验环境，分别采用本文提出的算法和其他已有算法进行对比，评估其性能和优缺点；（4）根据实验结果，分析所提出算法的性能和应用效果，为多目标优化问题的解决提供新的研究思路和参考指导。
研究方法主要包括理论分析、算法设计与实现、实验验证和性能评估等方面。
在算法设计和实现过程中，本文将采用MATLAB或Python等现代计算机语言进行编程实现，并结合实际多目标优化问题对算法进行测试和验证。
3.预期目标和意义本文预期达到以下目标：（1）针对多目标优化问题的特点，提出一种改进的差分演化算法，通过引入更加有效、高效的搜索策略和变异方式，增强其适应性和搜索能力；（2）设计和实现多目标优化问题的实验环境，采用多种算法进行性能比较和分析，从而验证改进差分演化算法的有效性和可行性；（3）运用所提出的算法解决具有多个目标和约束条件的实际问题，形成一套有效的计算工具和算法，为实际应用提供支持和指导。
差分进化算法在多目标路径规划中的应用
ｉｔ ｔ ｎ ｌｅｏ ｎｔ ｎｆ ｌ ｏｕｉｎ ｒ ｏ ｕａｉｎ Ｂ ｕ ｙｎ ｆ ｅｍｕｔ ｏｊｃ ｖ ｉ ｒ ｕｉｎｖ ｈｃｅ ｎｅ ｉ ａ ｒｃ ｇ ｉｏ ｅｄｉ ｅ ｌｔ ａｙｃｍｐ ｔｔ ． ｙｓ ｄ ｉｇｏ ｌ－ｂｅｔ ｅ ｓ ｉ ｔ ｅ ｉ ｍａ ｏ ｉ ｉ ｎｖ ｏ ｏ ｔ ｈ ｔ ｉ ｉ ｄ ｔｂ ｏ ｌ
进 行分 货 、配 货 ，并将配 好 的货物 及 时送交 客户 的 活 动 。在 物流配 送 的各 项业 务 中，多 目标优 化 问题 普 遍存在 ，本 章讨 论物 流配送 路径 的优化 ， 即通 过 制 定合 理 的配 送路 径 ，迅 速而 经济 地将 货物 送 到客
引 言
物 流配 送是 指按 客户 的订 货要 求 ，在配 送 中心
保证 或 只 能保证 得 到一辆 车 的服 务 ，所 有车 辆都 从 配送 中心 出发 ，最后 回到配送 中心 。 Ｊ ａ ｒｎ ｅ于 １９ 最 先将 遗传 算法 用 于 Ｖ Ｐ ． ｗ ｅｃ Ｌ ２ ９ Ｒ 的研 究 ，有 效 的解 决 了 Ｖ Ｐ Ｗ 问题 。对 于 解决 多 ＲＴ 目标 车辆 路径 优 化方 面 ，Ｔ ｎ等人 …于 ２ ０ ａ ０ ６年提 出
裴振 奎 ，刘
摘
真 ，赵艳 丽
（ 中国石油大学 （ 华东 ） 计算机与通信工程 学院，山东 东营 ２ ７ ６） ５０ １ 要：针对差分进化算法其算法思想简明、实现方便而得到了国际进化计算研 究领域的认可 ，多 目标 问题 中，由于
各 目标之间经常是相互制约的，因此优化难度相当大 。带时间窗的多 目标物流配送车辆路径优化 的多约束性使得它很
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｉｗ ｆｔ ｅ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｏ ｕ ｉ ｎ ａｇ ｒ ｈ ｐ ｏ ｏ ｅ ， ｈ ｏ ｇ ｔｏ ｅ ａｇ ｒ ｈ ａ ｅ ｅｖ ｄ ｓ ｒ ｃ ： ｎ ｖ ｅ ｏ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｖ ｌ ｔ ｌ ｏ ｔ ｍ ｒ ｐ ｓ ｄ ｔ ｅ ｔ ｕ ｈ ｆｔ ｌ ｏ ｉ ｍ ｈ ｓ ｒ ｃ ｉ ｅ ｈ ａ ｏ ｉ ｈ ｈ ｔ
多目标智能拆分差分进化算法
多目标智能拆分差分进化算法说到“多目标智能拆分差分进化算法”这个话题，咱们先得深呼吸一下——嘿，别紧张，咱们一块儿慢慢来聊聊。
听上去是个超级复杂的东西，对吧？你可能会想，“这听起来像是从科幻电影里跑出来的怪物名！”其实啊，它说的就是一种方法，用来解决在做决策时，面对多个目标的情况下，怎么选个最优方案。
哦，不是那种像吃饭时犹豫“要不要加辣”的纠结，而是面对多个目标，怎么能聪明地找到最合适的解法。
先别急，别皱眉，咱们从生活中的小事聊起。
你可能在考虑买个新手机，是选择功能强大的旗舰款，还是看中性价比的中档款？两者各有优缺点，这就是咱们说的“多目标”。
每个人都有自己的需求，有人要拍照好，有人要电池耐用，或者看个性价比等等。
你能不能立刻做出决定？肯定很难。
你要是在想，“我到底该怎么做？”这就和咱们今天聊的这个算法有点像。
差分进化算法是啥呢？想象一下，差分进化就像一群人排队投票，每个人都有个投票的权利。
大家根据自己手头上的经验（也就是算法中的“候选解”），一步一步地去修改自己的想法，然后看看哪一方案最靠谱。
就像买手机一样，你可以看到别人试过什么，做了哪些选择，再根据自己的情况调整选项。
差分进化的关键，简而言之，就是“跟随群体的智慧”，大致上是通过“变异”和“重组”来不断优化，直到找到一个最好的解决方案。
你问那“多目标”怎么办？别急，没那么复杂，咱们可以理解为，它是在同一时间考虑好几个目标，有点像考试的时候，既要兼顾题目的难度，又要考虑时间的限制。
你想着拿到高分，但也得抓紧时间答完试卷。
这个多目标拆分的精髓就是，如何能让这两个目标同时尽可能达到最理想的平衡，而不是偏重一个，忽视了另一个。
你可能会问，为什么这个算法叫“拆分”？好问题！拆分嘛，意思就是说，把复杂的问题拆成几个小块来处理。
就像你做饭，得先切菜、备料，然后炒菜，再加点调味品，最后上桌。
没有哪个步骤能省略，只有一步步来，才能做出最美味的菜肴。
差分进化算法也差不多，首先把复杂问题拆成多个小目标，再逐个突破，最后合力解决。
基于差分进化算法求解非线性方程组
基于差分进化算法求解非线性方程组作者：林彬王正锋来源：《环球市场信息导报》2016年第04期非线性方程组在现实生活中的应用非常广泛，特别是在工程学、计算机科学、信号与信号处理、通信及航空等学科和领域内经常遇到，许多实际问题都需要转化为方程或方程组后才能求解。
然而，一些传统的方法已不能很好地解决这类问题。
近年来，一种新颖的方法即差分进化算法在各种算法中脱颖而出。
和传统算法相比，它具有实现简单，稳定性较强，求得近似解快等优点，在非线性函数的优化问题中得到了广泛应用。
本文主要运用差分进化算法来求解非线性方程组，通过仿真体现了差分进化算法在求解非线性方程组时的高效性和通用性。
方程求根问题一直以来都是一个具有重要实践意义的问题。
在科学技术和工程应用等领域中涉及的一些问题，通常需要先转化为方程或方程组的求根问题，然后再进行求解。
其中，非线性方程组的求解是比较常见的一类问题，因而其求解方法一直以来都是数学和工程应用中的重要研究内容。
近十几年来，国内外的许多专家学者对非线性方程组的求解问题作了大量的研究，提出了许多行之有效的方法，常用的有牛顿法、迭代法、梯度法和共轭方向法等。
但这些方法对方程组的要求较高，在求解一些相对复杂的方程组时还存在着一些缺陷。
近年来，进化算法被广泛应用于优化问题的求解中。
由于差分进化算法在求解非凸、多峰以及非线性函数等的优化问题上表现出显著的稳定性，在同样精度的要求下，差分进化算法的收敛速度更快，因而在求解优化问题及其他领域中得到了广泛的应用。
差分进化算法介绍差分进化算法（DE）是最近几年流行的、比较新颖的一种进化算法，又称为差异演化算法、微分进化算法、微分演化算法、差分演化算法等，它是由Storn等人于1996年为求解切比雪夫多项式而提出的。
该算法是对生物进化进行模拟的一种随机模型，通过一次一次的迭代，使得适应环境的那些个体被保留了下来。
算法的基本思想及特点。
DE的基本思想是从一个随机生成的初始群体开始，从中随机选取两个个体，将其差向量作为第三个个体的随机变化源，再对差向量进行加权，然后按照特定的规则和第三个个体相加，从而产生变异个体，该过程称为变异；然后，将变异个体与某个预先决定的目标个体进行参数混合，从而产生新的实验个体，该过程称为交叉；如果新的实验个体的适应度值比目标个体的适应度值要好，则在下一代实验个体中选取新的目标个体来替换原有的目标个体，否则保留下当前的目标个体，该过程称为选择。
面向多模态优化问题的小生境差分进化算法研究
面向多模态优化问题的小生境差分进化算法研究面向多模态优化问题的小生境差分进化算法研究摘要：随着优化问题的复杂性不断增加，单模态优化算法在解决多模态优化问题上存在着不足。
为了有效地解决这一问题，本文提出了一种面向多模态优化问题的小生境差分进化算法。
通过引入小生境概念和差分进化算法，该算法能够在搜索过程中有效地发现和保留多个优秀的解。
实验结果表明，所提算法能够在多模态优化问题上取得较好的性能和鲁棒性。
关键词：多模态优化问题；小生境；差分进化算法；性能；鲁棒性1. 引言多模态优化问题是实际问题中常见的一类优化问题，旨在找出问题空间中的多个局部或全局最优解。
传统的单模态优化算法通常只能找到一个最优解，对于多模态优化问题来说，效果较差。
因此，研究如何解决多模态优化问题具有重要意义。
近年来，差分进化算法作为一种全局优化方法，已被广泛用于解决各类优化问题。
差分进化算法通过采用种群演化的方式，在问题空间中搜索最优解。
然而，传统的差分进化算法往往只能收敛到单个最优解，对于多模态问题的探索能力较弱。
为了增强差分进化算法在多模态优化问题上的表现，本文提出了一种面向多模态优化问题的小生境差分进化算法。
该算法通过引入小生境的概念，将种群分为多个小生境，并在每个小生境中进行独立的演化。
同时，通过差分进化算子和局部搜索策略，该算法能够搜索到各个小生境中的局部最优解，并根据适应值的大小将精英个体流动到其他小生境，从而实现全局最优解的搜索。
2. 小生境差分进化算法2.1 算法流程小生境差分进化算法的流程如下：1) 初始化种群：随机生成初始个体，并初始化适应值；2) 划分小生境：将种群划分为多个小生境，每个小生境包含一定数量的个体；3) 演化小生境：对每个小生境进行独立的演化，包括选择、交叉和变异等操作；4) 更新适应值：更新种群中每个个体的适应值；5) 精英个体流动：根据适应值的大小，将精英个体从一个小生境流动到其他小生境；6) 终止条件判断：判断是否满足终止条件，若满足则输出结果，否则返回步骤3。
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ＸｕＷｅｉｗｅｉ１，ＬｉａｎｇＪｉｎｇ１，ＹｕｅＣａｉｔｏｎｇ１，ＱｕＢｏｙａｎｇ２
（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００１，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ＆ ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ＺｈｏｎｇｙｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００７，Ｃｈｉｎａ）
一，由于其容易实现、可控参数少等特点，已经被一些研究者用 来求解非线性方程组。陈海霞等人［９］提出将非线性方程组转 换为一个不可微优化问题，并用光滑函数代替不可微的极大值 函数，最终结果表明该算法在求解非线性方程组的准确性和有 效性上均优于其他同期算法。针对差分进化算法进化后期收 敛缓慢和稳定性不强的缺陷，刘利斌等人［１０］将拟牛顿法插入 到差分进化算法中，有效地提高了差分进化算法的收敛速度和 鲁棒性。封全喜 等 人 ［１１］通 过 代 理 约 束 概 念 和 修 正 极 大 熵 函 数，将非线性方程组转换为无约束优化函数，并利用自适应正 交差分进化算法来求解，验证了所提算法的有效性。
０ 引言
非线性方程组的求解一直以来都是数学学科中的一个难 题。在实际生活中，很多物理、生物、工业里复杂的问题都可以 看做是非线性 方 程 组 问 题 ［１，２］。 考 虑 到 非 线 性 方 程 组 本 身 的 复杂性，如何有效地获得非线性方程组的所有解已成为目前研 究的主要目标。传统数学方法如牛顿法、拟牛顿法、欧拉法、复 合形法、梯度法、迭代法、共轭方向法、混沌法、最速下降法、单 纯型法等，大多对问题的初始值具有很严格的要求；另外对于 某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数学方法也具有一 定的局限性。与传统数学方法相比，进化算法是一种成熟的具 有高鲁棒性和广泛适用性的全局优化方法，具有自组织、自适 应、自学习的特性，能够不受问题性质的限制，有效地处理传统 数学方法难以解决的复杂问题。因此，利用进化算法求解非线 性方程组已成为当前一个重要的研究方向。目前应用于求解 非线 性 方 程 组 的 主 要 进 化 算 法 有 遗 传 算 法［３］、差 分 进 化 算 法［４］、人工鱼群算法［５］、人工蜂群算法［６］、人工萤火虫算法［７］、 布谷鸟算法［８］等。差分进化算法作为当前流行的进化算法之
第 ３６卷第 ５期 ２０１９年 ５月
计算机应用研究 ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏｌ３６Ｎｏ５ Ｍａｙ２０１９
多模态多目标差分进化算法求解非线性方程组
许伟伟１，梁 静１，岳彩通１，瞿博阳２
（１．郑州大学 电气工程学院，郑州 ４５０００１；２．中原工学院 电子信息学院，郑州 ４５０００７）
摘 要：针对当前算法在求解非线性方程组时面临解的个数不完整、精确度不高、收敛速度慢等问题，提出一种 多模态多目标差分进化算法。首先将非线性方程组转换为多模态多目标优化问题，初始化一个随机种群，并对 种群中全部个体进行评价；然后通过非支配解排序和决策空间拥挤距离选择机制，挑选种群中的一半优质个体 进行变异，在变异过程中采用一种新的变异策略和边界处理方法以增加解的多样性；最后通过交叉和选择机制 使优质个体进行进化，直到搜索到全部最优解。在所选测试函数集和工程实例上的实验结果表明，该算法能够 有效地搜索到非线性方程组的解，并通过与当前四种算法进行比较，该算法在解的数量和成功率上具有优越性。 关键词：非线性方程组；多模态；多目标；差分进化；非支配解排序 中图分类号：ＴＰ１８３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１３６９５（２０１９）０５００６１３０５０６ ｄｏｉ：１０．１９７３４／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１３６９５．２０１７．１１．０７３４