Monte_Carlo随机有限元结构可靠度分析新方法
可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法
指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为
Var
IF (x)
1
N
1
N j 1
I
2 F
(xj)
NI
2 F
N 1
N 1 N
N j 1
I
2 F
(
x
j
)
1 N
N
I
F
(
xk
)
2
k 1
N 1
N
1
N
式中, f(xi) (i=1, 2, …, n)为随机变量xi的概率密度函数。
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte lo 可靠性分析
Monte Carlo 可靠性分析方法又称随机抽样法、概率模拟法 或统计试验法。该方法是通过随机模拟或者说统计试验来 进行结构可靠性分析的。由于它是以概率和数理统计理论 为基础的，故被无理学家以赌城Monte Carlo来命名。
否 IF(xj)=0
g(xj)≤0 ?
是 IF(xj)=1
m=m+IF(xj)
否 j=N?
是
Pˆf
m N
,
Var
Pˆf
Pˆf Pˆf2 N 1
结束
3 Monte Carlo 可靠性分析
常见分布随机数生成函数的调用格式
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte Carlo 可靠性分析
xS
)dxS
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
可靠性分析中的Monte Carlo方法研究
可靠性分析中的Monte Carlo方法研究可靠性分析是一种在工程领域中广泛应用的技术，旨在评估系统或部件是否能够在设计寿命内正常运行。
可靠性分析通常包括故障模式与风险分析、可靠性基准建立、物理实验测试与模拟等步骤。
其中，Monte Carlo方法是一种常用的模拟技术，可以帮助分析员对各种故障模式和参数变化进行预测和分析。
Monte Carlo方法源于二次大战期间的原子能研究，其原理是通过随机数的产生和重复模拟，得到一组输出结果，从而进行可靠性分析。
这种方法在可靠性分析和归因分析中有着广泛的应用，可用于评估复杂系统的运行可靠性、决定维护和保养需求，以及预测产品的使用寿命。
下面我们将介绍Monte Carlo方法在可靠性分析中的应用及其原理。
1. Monte Carlo方法在可靠性分析中的应用Monte Carlo方法可用于分析各种故障模式，包括可靠性设计、失效分析、维护策略评估、风险分析等。
通过Monte Carlo方法的分析，我们可以利用多种情景和参数组合，以及统计概率模型，预测故障率和可靠度水平。
具体应用包括：(1) 可靠性设计：借助Monte Carlo方法，我们可以在特定条件下预测系统或部件的可靠度，并利用这些信息制定可靠性目标，以确保设计和制造工艺符合可靠性需求。
(2) 失效分析：在分析过程中，我们可以通过Monte Carlo方法获取关键故障模式和因素，并对其进行深入研究和分析，以确定失败模式和根本原因，并采取相应的纠正措施。
(3) 维护策略评估：可利用Monte Carlo方法预测维护频率和寿命分布，并确定最佳的维护策略。
(4) 风险分析：可借助Monte Carlo方法评估系统可靠性和风险水平，特别是在处理故障、维修、极端工况等方面。
2. Monte Carlo方法原理Monte Carlo方法的原理是基于随机数模拟技术，从而预测各种故障模式和参数的发生概率。
其基本步骤和流程如下：(1) 获取随机变量首先，我们需要获取各种随机变量，包括输入参数、模型参数和输出参数等。
基于Neumann展开的Monte-Carlo随机扩展有限元法
扩展 有 限 元 法 （ Ｘ－ Ｆ Ｅ Ｍ）
扩 展 有 限 元 方 法 的 基 础 是 单 位 分 解 法
Ｍｏ ｎ ｔ ｅ — Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ模 拟 时 ， 首 先 根据 结构 特 点 对 常 规 有 限 元 的确 定性 控制 方 程 进 行 随 机 化 处 理 ， 结 构 的随 机
（ Ｐ Ｕ Ｍ） Ｊ ， 单位 分解 法 的思 想 是 任 意 函数 （ ）可 用 域 内一组 函数 Ⅳ， （ ） （ ）表示 ， 即
算效率高的优点， 并能保持较高的计算精度。利用矩阵级数理论讨论 了该方法的收敛性。最后通过 数值 算例验证 了该 方法的有效性 。 关 键 词： 计算效率， 数值方法收敛性 ， 裂纹扩展 ， 有 限元 法， Ｍ ｏ ｎ ｔ ｅ ． Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ 法， 随机模 型， Ｎ ｅ ｕ ｍ ａ ｎ ｎ 展开， 随机 扩展 有 限元 法
要 对 网格进 行重新 划分 ， 需要 极 大的计 算量 。为 解决该 问题 ， 提 高运算 效 率 ， 提 出一种新 的计 算裂 纹 问题 的 随机 方 法。该方 法结合 了扩展 有 限元 法与 随机 有 限元 法 的优 点 ， 通过 对扩展 有 限元控 制方程 进行 Ｎ ｅ ｕ ｍ ａ ｎ ｎ展 开 ， 可方便 地 处理 几何构 形的随机性 ， 不 需重新 划分 网格 。该方 法具有 计算 量 小， 计
』
（ １ ）
式中Ｎ ｉ （ ｘ ） 是有限单元形函 数， 满足∑ （ ）＝ １ 。
对 于裂 纹 问题 的位 移 向量 函数 ， 按 单 位 分解 法
可表示 成
盯
行 Ｍｏ ｎ ｔ ｅ ． Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ 模 拟 。而 若 结 构 的几 何 构 形 存 在 随 机性 ， 如含 裂纹 结构 的裂 纹 长度 、 位 置若存 在 不确 定 性， 有 限元 的 网格结 构经 常 需要 重新 划分 ， 无 法 简单 对 刚度 矩 阵进行 随 机化处 理 。扩 展有 限元 方 法可 以
可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法
E Pˆ f
1 N
E
N
IF (xj )
j1
E IF ( x j )
Pf
EIF (x) IF
E Pˆf IF
1 N
N
IF ( x j ) Pˆf
j1
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率估计值的方差可以通过对式(1)两边求方差得如下：
Var
Pˆf
Var
1 N
N j 1
如下
将可靠性灵敏度定义式做如下变换，可使可靠性灵敏度变 成数学期望的形式，之后就可以采用 Monte Carlo 数值模 拟来估计可靠性灵敏度。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
Pf
g( x)0 f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF ( x) f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn E[IF ( x)]
式中，I
F
(
x)
1, 0,
xF xF
为失效域指示函数；Rn为n维变量空
间；E[.]为数学期望算子。
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率为失效域指示函数的数学期望，依据大数定律，失 效域指示函数的数学期望可以有失效域指示函数的样本均值 来近似。
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
具有n设计变量的机械系统的功能函数可以表示为
Z g( x) g(x1, x2, ..., xn )
则极限状态方程g(x1, x2, …, xn)=0将结构的基本随机变
量空间分为失效域和可靠区域两部分。
结构可靠度分析中蒙特卡洛模拟的应用
结构可靠度分析中蒙特卡洛模拟的应用蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
不确定性是工程中存在的客观现象，它影响着结构的安全性。
结构概率设计考虑了实际工程中设计、施工、使用工程中的不确定因素，因此概率设计方法有广泛的应用价值，结构可靠度分析是以概率理论为基础的。
蒙特卡洛法又称随机抽样法或统计试验法。
该方法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的近似数值方法。
当用蒙特卡洛方法求解某一事件的概率时,可以通过抽样试验的方法,得到该事件出现的频率,将其作为问题的解。
采用蒙特卡洛法进行可靠度分析,可以回避结构可靠度分析中的数学困难,既可以不考虑功能函数的复杂性,而且其收敛速度与随机变量的维数无关,极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关,更无需将状态函数线性化和随机变量“当量正态”化,具有直接解决问题的能力。
用蒙特卡洛方法模拟结构失效概率时，由于模拟次数总是有限的，所以模拟结果是一个随机变量。
评价蒙特卡洛方法模拟结果好坏或模拟效率的指标是失效概率模拟结果的变异系数。
当变异系数较小时，说明失效概率的变异性小，模拟的准确性较高，模拟结果的可信度较大。
相反，当变异系数较大时，说明失效概率的变异性较大，模拟的准确性不高，模拟结果的可信度不大。
为了提高蒙特卡洛方法估算的精度，一种方法是增加模拟的次数，称为一般抽样法；另一种方法是采用一定的方法降低失效概率的变异系数，称为重要抽样方法。
一、一般抽样法一般抽样方法是结构可靠度蒙特卡洛模拟最基本的方法，重要抽样方法是以一般抽样法为基础的。
基于蒙特卡洛模拟的结构可靠性分析应用
；
譬 ；
ｊ
◇
４； １０ ｋ ０ 奠
； ｌ ； ＇ ｙＯ
ｃ
。 ｐ
基 于蒙特卡洛模拟 的
结 构 可 靠 性 分 析 应 用
● 陈龙
蒙特卡洛 方法 （Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ Ｍｅｔｈｏｄ），也 称计算 机随机模 拟方法 ，是二十世纪 四十年代 中期随着科学技术 的发展和 电子计算机的发明而被提 出的一种 以概率统计理 论为基础的数值计算方法，最早被用于研制原子弹的 “曼 哈顿计划 ”计划 ，现也被用于求解结构可靠性 问题 。因其 具有不受 限于功能 函数 的复杂性特征 ，随机 变量 的维度也 与函数的收敛速度无关 ，且试验次数越 多，结果越精确 ， 借助于现在 的计算机技术 ，也使得蒙特卡洛法用于结构 可 靠性计算成为 了可能并得到 了广泛 的普及 。 目前结构设计 可靠性往往只是针对框架 ，将概率统计学 引入 到结构 可靠 性 中，实际上形成 了一个全新 的结构设计理念 ，既是结 构 的抵抗力不是 总大于荷载效应 ，所有工程 结构都是在 一定 失效风 险下运行 的，结构可靠性 的理论 中 ，设计人 员所 要 做 的是保证结构失效概率 处于标准值 以下 ，将 蒙特 卡洛模 拟应用于结构可靠性 问题 的研究 回避 了可靠性 分析 中存在 的复杂 的数学 问题 ，也解决 了结构 可靠性研 究中存在的最 大 的问题 。
ｉＶ＝ （ ｔ）
（１０）
ｔ／． 为变异系数 ，由以下公式进 行计 算 ：
＝
虽然这 种计 算结 构可 靠性 方法较 为常用 ，当然 ，也 存在其局限性 ，当极限函数方程ｇ（ ， ．．．…五 ）中，五 变
量间没有任何联 系 ，也有其他的 方法可用于计算可 靠性 指 数 ，例 如Ｈａｓｏｆｅｒ—Ｌｉｎｄ所 提出 的可 靠性指数 的计 算 方法 便是其 中之一 。
基于蒙特卡洛法的结构可靠性分析
文献标识码：A
文章编号：1004-7204(2018)05-0041-06
Structural Reliability Analysis Based on Monte Carlo Method
WANG Yuan-shuai1，2,LIU Yu-shi1,2,ZHU Yi-sheng1，2 (1. The 723 Institute of CSIC，Yangzhou 225001； 2. China Shipbuilding Industry Environment and Reliability
Test Centre for Electric and Electronic Equipment，Yangzhou 225001)
Ａｂｓｔｒａｃｔ：The safety factor method is commonly used in traditional structural analysis which takes all parameters as the definite value and doesn’t consider the random characteristic of each parameter. In order to determine the influence of randomness of each parameter on structure analysis result, this paper uses the Monte Carlo method to carry on structural reliability analysis, and through probabilistic Finite Element Analysis module PDS, the analysis files are established by using APDL parametric modeling method, and the parameters of structural reliability and sensitivity are calculated with Monte Carlo simulation sampling, the reliability of the orifice plate is calculated by the typical engineering example. The calculation results show that the reliability of orifice structure is 94.4 % under the given boundary condition and under the load, the reliability analysis of structure with the PDS module combined with Monte Carlo method has certain practicability and validity. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Monte-Carlo method; structural reliability analysis; ANSYS-PDS
与有限元法相结合的结构可靠性分析
与有限元法相结合的结构可靠性分析作者：宣桂兰来源：《科技视界》 2014年第3期宣桂兰（无锡交通高等职业技术学校，江苏无锡 214000）【摘要】本文通过对可靠度分析的概述理解到现代工程分析中实体模型不确定因素众多，进而带来分析的不准确性。
基于有限元分析软件ANSYS提供的概率设计系统(PDS)的概率分析功能，使对结构的概率分析非常容易。
根据结构的失效模式来确定结构功能函数，由此建立结构极限状态方程，再运用结构可靠度分析中的蒙特卡洛法(MCS法)利用结构的失效频率来估算其失效概率。
在本文中提出了利用ANSYS的概率分析功能结合MCS法进行结构可靠性分析的方法，并通过一个实例具体说明了利用ANSYS的概率分析功能实现结构可靠性分析的可行性。
【关键词】可靠度分析；ANSYS；蒙特卡洛法0 引言有限元法作为一种实用的分析方法，随着高精度单元不断研究出来，有限元计算的精度越来越高，并且在工程实际的各个领域得到了充分的发展和应用。
正是基于这个原因，许多学者研究了将有限元法运用于结构可靠性分析设计中的可能性，拓展了可靠性的理论和方法，形成一个新兴的学科交叉研究热点。
ANSYS是一个功能非常强大的有限元分析软件，它自身机提供的概率分析功能可以对模型进行结构可靠性分析，能够从有限元分析的角度计算这些非确定性的输入参数对产品性能的影响，也可以确定有限元分析的某些计算结果不满足用户指定的设计准则的概率。
很好地将可靠性分析融入到了有限元计算中。
1 可靠性的基本理论结构的可靠度是指结构在规定的时间内、规定的条件下（正常使用极限状态和承载能力极限状态）完成预定功能的概率。
如结构的基本变量由X1,X2,···,Xn组成，且结构功能Z为基本变量的函数，则结构的功能函数（极限状态函数）可表示为：Z=g(X)=g(X1,X2,···,Xn)（1）在概率极限状态设计理论中，极限状态方程为：g(X1,X2,···,Xn)=0（2）通常在结构设计中，基本变量X1,X2,···,Xn为随机变量，如果把基本变量归结为结构抗力R和载荷效应S两大类，则结构功能函数可简化为：Z=R－S（3）所以在概率极限状态的结构设计中，必须满足下列条件，即：Z= g(R,S) =R－S≥0（4）由可靠性理论知，求一个结构的可靠度就是求极限状态函数g(X)≥0的概率，所以利用ANSYS概率分析功能计算出g(X)≥0的概率，就得到了结构的可靠度。
基于matlab的蒙特卡洛方法对可靠度的计算
——《可靠性工程》大作业目录目录 (2)摘要 (3)绪论 (4)一、编写MONTE CARLO模拟程序 (5)二、关于两个服从正态分布的可靠性验证 (8)三、非正态分布的验证 (10)四、总结 (11)参考文献 (12)摘要对于简单的概率计算，我们可以用离散或者连续的概率分布模型进行求解；但是对于复杂的模型的近似解的求解，蒙特卡洛方法是一种非常方便的方法。
蒙特卡洛方法将最复杂的计算部分交给了电机计算机来完成，极大的方便了我们的求解过程。
本文主要是用MATLAB编写蒙特卡洛的模拟程序，然后分别验证两个正态分布的模型和两个非正态分布的模型。
非正态分布的模型中的随机变量序列都是独立同分布的，这样我们可以方便的用列维-林德伯格中心极限定理进行处理。
【关键字】：复杂模型、蒙特卡洛、MATLAB、正太分布、独立同分布的非正态模型、列维-林德伯格中心极限定理绪论计算机技术的发展，促进了蒙特卡洛方法的推广、普及以及完善等。
蒙特卡洛方法诞生之初是不被重视的，因为当时的计算机技术没有达到与之匹配的程度。
蒙特卡洛模拟也称为随机模拟方法，或随机抽样技术。
它是一种以概率论和数理统计为基础，通过对随机变量的统计实验、随机模拟来求解问题近似解的数值方法。
它的主要思想是：为了求解数学、物理、化学及工程问题，建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问解；然后通过对模型或过程的观察或抽样来计算所求参数的统计特征（如均值、概率等），作为待解问题的数值解，最后给出所求解的近似值，而解的精度可用估计值的方差来表示。
蒙卡洛模拟的步骤是：首先建立简单而又便于实现的概率分布模型，使分布模型的某些特征（如模型的概率分布或数学期望）恰好是所求问题的解；然后根据概率分布模型的特点和计算的需要改进模型，以便减少方差，降低费用，提高计算效率；再对分布模型进行随机模拟，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量样本的随机抽样方法；最后建立各种统计量的估计，获得所求解的统计估计值及其方差。
基于蒙特卡洛重要抽样法的结构时变可靠性分析
李方义，男，副教授，主要从事机械结构可靠性分析与优化方面研究，Ｅｍａｉｌ：ｌｆｙ７０３＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ。
本文引用格式：严宇飞，李方义．基于蒙特卡洛重要抽样法的结构时变可靠性分析［Ｊ］．重庆理工大学学报（自然科学），２０２１，３５（６）：１０４ －１１２．
Ｃｉｔａｔｉｏｎｆｏｒｍａｔ：ＹＡＮＹｕｆｅｉ，ＬＩＦａｎｇｙｉ．ＴｉｍｅＶａｒｉａｎｔＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓＢａｓｅｄｏｎＩｍｐｏｒｔａｎｔＳａｍｐｌｉｎｇＭｏｎｔｅＣａｒｌｏＭｅｔｈｏｄ［Ｊ］． ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ），２０２１，３５（６）：１０４－１１２．
式中：ｔ为时间变量；载荷效应随机过程 Ｓ（ｔ）一般
含有永久载荷 Ａ（其通常为 ｎ维的随机向量）和可
变载荷随机过程 Ｑ（ｔ），即式（１）改写为：
Ｚ（ｔ） ＝ｇ（Ｒ（ｔ），Ｑ（ｔ），Ａ） ＝
Ｒ（ｔ）－Ｑ（ｔ）－Ａ
（２）
在实际工程问题中，结构抗力随机过程 Ｒ（ｔ）
的常见的退 化 形 式 有 指 数 退 化 形 式、对 数 退 化 形
本文将“蒙特卡洛重要抽样法”பைடு நூலகம்用于结构时
１０６
变 可 靠 性 问 题 之 中，并 结 合 “准 静 态 法 ”和 “ＦＯＳＭ”，提出一种基于蒙特卡洛重要抽样法的结 构时变可靠 性 分 析 方 法，使 得 本 文 方 法 不 仅 能 够 达到接近 ＭＣＳ的求解精度的程度，而且与 ＭＣＳ相 比，求解效 率 也 有 很 大 提 高。 本 文 给 出 本 文 方 法 的计算原理和具体的计算步骤，并以 ＭＣＳ、ＦＯＳＭ 以及本文方法对 ３个算例分别进行计算，通过 ３ 种方法的求解结果对比，证明本文方法的优越性， 为蒙特卡洛重要抽样法应用于结构动态可靠性分 析上提供新的方法和思路。
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M onte Carlo随机有限元结构可靠度分析新方法
王
摘
东 , 陈建康 , 王启智 , 陈
1
1
1
媛 ,黄
1
宇
2
( 1. 四川大学 水利水电学院 , 四川 成都 610065 ; 2 . 中国大唐集团公司 四川分公司 , 四川 成都 610031 )
要 : 基于条件抽样、 对偶抽样 及 N eum ann 展开技术 , 同时 , 为试图一定程度地解决 计算模型的不确 定性 问题 ,
c
考虑到岩石、 混凝土等材料的单轴抗压强度
和双轴等压强度
cc
不同的特性 , 将 3参数统一强度理论引入随机有
限元程序 , 建立了 M on te C arlo三维非线性随机有限元结构可靠性分析模型。 模拟成果表明 , 采用该模型的模拟收敛 性良好 , 模拟效率较高、 成本较低 , 可靠指标 值精度满足实用要求 , 在大型复杂结构的设计及可靠度分析研究中具 有实用价值。 关键词 : 结构可靠度 ; M onte C arlo随机有限元 ; 条 件抽样 ; 对偶抽样 ; N eum ann 展开 中图分类号 : O 242. 21; O213. 2; TV 31 文献标识码 : A
第 3期
王
东 , 等 : M onte C arlo随机有限元结构可靠度分析新方法
21
度联合会 JCSS 推荐方法, 又称 验算点法 ) 进行结 构可靠度分析。其他一些分析方法也或多或少地存 [ 4] 在着某种先天的缺陷 。 对于非线性的复杂概率问题, 以数理统计为基 础的蒙特卡洛 ( M onte Carlo , 以下简记为 M C ) 方法 在获得近似解方面具有很强的功能。其基本思想即 为统计实验与随机模拟。用该法分析结构可靠度的 优点是不需考虑功能函数的非线性和极限状态曲面 的复杂性 , 并且直观、 精确、 通用性强。但传统上认 为它计算量大、 效率低、 成本昂贵, 难于应用于大型 复杂结构的可靠度分析。对此 , 应历史地、 相对地来 看。一、 二十年前, 人们这样认识是无可厚非的 , 首 先是计算机硬件条件较差 , 用 M C 方法模拟的效率 和成本的确令人难以接受。而目前的计算机硬件发 展水平今非昔比 , 普 通 PC 的性能已超过了早期巨 型机水平, 运算、 磁盘子系统速度越来越快 , 存储容 量越来越大 , 价格越来越低 , 研究单位甚至建立起由 多台 PC 组成的可供并行式运算的局域网。硬件条 件的改变很大程度上克服了 M C 方法低效的缺陷。 另一方面, 几十年来, 在 M C 方法本身 , 国内外学者 在提高模拟效率和精度方面作出了不懈的努力 , 研 究出了适合不同问题特点的抽样方法和缩减方差技 术 , 不断改善和提高模拟的效率 , 为 M C 方法的实 [ 5- 6] 用化奠定了坚实的基础 。作者基于条件抽样、 对偶抽样及 N eum ann 展开技术, 同时将 3 参数统一 强度理论引入随机有限元程序, 建立了 M onte Carlo 3 维非线性随机有限元结构可靠性分析模型, 为大 型复杂结构可靠度分析提供一种新方法。
( 3) ( 4)
其中 ,
u0 = K R
-1
-1
un = K K un- 1 ( 5) 此前 , 有许多文献 [ 5 , 7 ] 认为 NSFEM 仅能考虑 ( 2) 结构的材料性质的随机性, 而不能或较难考虑荷载 的随机性。 事实上, 首先可以构造材料参数均值处的 -1 刚度矩阵 K, 并求解其逆阵 K , 对于任何一组随机 变量 ( 包括材料力学参数、 荷载等 ), 均可用 ( 4) 式先 求得均值刚阵 K 下的位移 u0, 然后由该组变量中的 材料参数构造 K 而获得 K, 之后按式 ( 5 ) 递推获得 un ( n = 1 , 2 , 3, ! ), 累加得到所求的 u =
。该
方法的本质是将设计中的主要不确定性因素进行量
收稿日期 : 2007- 12- 14 基金项目 : 中国科学院山地灾害与地表 过程重点 实验室开 放基 金资助项目 ( 08- 10) 作者简介 : 王 东 ( 1972- ) , 男 , 博士生 , 副教授 . 研究方向 : 水 工结构 , 坝工安全 .
当前, 在工程结构设计标准中逐步采用以结构 可靠度理论为基础的概率极限状态设计法 , 这已成 为国际工程结构领域的一个共同发展趋势
[ 1- 2 ]
化分析, 由以经验为主的定性分析阶段进入了以统 计数学为基础的定量分析阶段, 从定值设计观念向 非定值设计观念转变, 为实现优化设计 , 在安全与经 济之间选择最佳平衡创造了条件 , 做到工程结构设 计的进一步科学化、 合理化。 对于象拱坝这样的大型复杂非线性结构, 其应 力状态十分复杂, 结构功能函数无法以初始变量的 显式表达 , 并且其个别参数 (如 : 抗剪参数 ) 的变异 性较大, 无法用文献 [ 3] 所推荐的 JC 法 ( 国际安全
M C 法与有限元的最初结合 ( 20 世纪 70 年代 ) 应该是一个自然而然、 水到渠成的想法 , 但它距离工 程应用还有很大差距。 M C 随机有限元是建立在大量确定性有限元计 算的基础上的 , 严格意义上它不属于真正的随机有 限元 , 它更适合于 模拟有限元 或 统计有限元 这样的称呼。 但随机有限元的确是从这种最初的直 接 M C 有限元起步的。 后来的改进使 M C 随机有限元趋于实用。 到目 前, 改进比较成功的是 N eum ann 展开 M C 随机有限 元 ( NSFEM ) 和 拉 丁 超 立 方 抽 样 M C 随 机 有 限 元 。作 者 研 究 并 力 图 技 术 实 现 的 就 是 一 种 NSFEM。 同时为进一步提高模拟效率, 在随机抽样 中引入了条件抽样法和对偶抽样法。 条件抽样缩减方差基于以下原理 # # # 随机变
The N ew M ethod of Structural Reliability Analysis by M onte Carlo Stochastic F inite E lem ent
WANG D ong , CHEN J ia n kang , WANG Q i zhi , CHEN Yuan , H UANG Yuபைடு நூலகம்
[ 6, 8]
^ 量 P^ f 的条件期望 E (P f | X = X ) 是 P f 的一个无偏估
计值 , 其方差 Var [ E (P^f | X ) ] 达到方差缩减。 Va r (P^ f ), 据此可以
用(0 , 1 ) 伪随机数 U1 变换产生基本随机变量 X i 时 , 同时用 1 - U 1 产生另一组抽样值 , 则这两组抽 样值分别求得的 P f 是负相关的。 取这两组随机变量 的均值作为原随机变量的估计量 P^ f , 则其方差得到 缩减 , 这就是对偶抽样的基本原理。 把条件抽样和对 偶抽样二者结合起来, 可更有效的缩减方差。 N eum ann 展式的引入 , 实质上是为了解决有限 元的方程组求解效率问题。 随机有限元的随机刚阵 K 可分解为随机变量均 值处的刚阵 K 和刚阵的波动量 K 。 将其代入有限元 位移方程 u = K R, 最终会形成 N eum ann级数型式 的位移方程: u = u0 - u1 + u2 - u 3 + ! + ( - 1 ) un + !
n -1
1 M C 随机有限元分析模型
对于任何一个结构, 式 ( 1) 表示其功能函数 , 式 ( 2) 表示了结构所处的工作状态。 Z = R - S = g (X 1, X 2, !, X n ) 式中, R 为结构抗力, S 为作用效应。 < 0 , 失效状态 Z = g (X ) = 0 , 极限状态 ( 1)
第 40卷 第 3期 2008 年 5月
四川大学学报 (工程科学版 )
JOU RNA L O F S I CHUA N U N I V ER S I TY ( EN G I N EER I NG SC I ENCE ED I TI ON )
V o.l 40 N o. 3 M ay 2008
文章编号 : 1009 3087( 2008) 03 0020 07
1 1 1 1 2
Abstract : Based on the conditio na l expectation variance reduction , an tithetic variab le sam plin g and N eum ann ex pansio n techn ique , and in order to so lve the problem o f uncertain ty o f strength m odel partly , considering th e d ifferent character is tics o f un iax ial compressiv e streng th
(1 . Schoo l ofW ater R esource and Hydropow er , S ichuan U n iv. , C hengdu 610065 , Ch in a ; 2 . S ichuan Branch C om pany of Ch ina D atang Corporation , C hengdu 610031 , C h ina)
∃ u, 荷
i i= 0
n
载随机性在 NSFEM 中同样可以获得解决。
22
四川大学学报 ( 工程科学版 )
第 40卷
程序中仅需对均值处的刚阵做一次性分解求得 其逆阵 K , 以后的随机抽样循环求解计算, 只是形 成刚阵 , 做矩阵的减法、 乘法运算, 从而避免了矩阵 分解或求逆而使计算效率得以大大提高。 NSFEM 由于采用了 M C 随机模拟计算, 因此不 受随机变量波动范围的限制。 当随机变量的变异系 数较大 时, 或求 解的阶次 高于一 阶时 , N SFEM 较 TSFEM ( T ay lor展开随机有限元 ) 和 PSFEM (摄动随 机有限元 ) 有明显的优势。 一般情况下 , NSFEM 取 [ 4] 至三阶 ( n = 0 , 1 , 2 ) 即可满足精度要求 。 N eum ann 展开技术实 现的关键是如 何高效地 求解并存贮大型刚阵的逆阵, 同时要仔细地考虑内 存节约 , 因为刚阵的逆阵不再是稀疏矩阵。 对混凝土、 岩石类材料, 其双轴等压强度 单轴压缩强度