远期价格和期货价格的关系

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（二）基本符号 S ：标的资产在时间t 时的价格。
ST ：标的资产在时间T 时的价格（在t 时刻这个值是个未知变量）
K ：远期合约中的交割价格。
f ：远期合约多头在t 时刻的价值。
F ：t 时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理
论价格。
r ： T 时刻到期的以连续复利计算的t 时刻的无风险利率（年利率）。
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二、远期价格和期货价格的关系
➢ 1、当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时， 交割日相同的远期价格和期货价格应相等。
➢ 2、当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格 就不相等。
（1）两者的大小取决于标的资产价格与利率的相关性。
• 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格； • 当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格高于期货价格。
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（2）两者的差异幅度取决于合约有效期限的长短。 当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。
在现实生活中，由于远期和期货价格与利率的相关性很 低，以致远期和期货价格的差别可以忽略不计。
• 在以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期 货合约。
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第二节 无收益资产远期合约的定价
➢ 无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产， 如贴现债券和不付红利的股票。
为T到T*时刻的无风险远期利率。
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对于无收益资产而言，可知：
F Ser(T t) F * Ser*(T*t)
两式相除消掉S后，得：F * Fer*(T*t)r(Tt)
根据：
(T * T) r * (T * t) r(T t)
可得不同期限远期价格之间的关系：
^
F * Fe r (T * T)
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二、外汇远期与外汇期货的定价
• 外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是
该外汇发行国连续复利的无风险利率，用 rf
表示。 • S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格;
K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外 汇的交割价格。
(S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率）
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➢则可以得出外汇远期合约的价值为： f Serf (T t) Ker(T t)
F E(ST )e(r y)(T t)
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F E(ST )e(r y)(T t)
y 值的大小取决于标的资产的系统性风险（ ）。（证券市场线方程） 若 0，则 y r ， F E(ST ) ； 若 0 ，则 y r ， F E(ST ) 。
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2、考虑如下含有期货空头的投机组合：
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➢ 这里的远期价格就是远期利率。
根据远期价格的定义，远期利率就是使远期 合约价值为0的协议价格（在这里为 rK ）。
即：
rF rˆ
∵
* (T *
t) (T
T* T
t)
∴ rF
* (T *
t) (T
T* T
t)
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• 例7：假设2年期即期利率为10.5%，3年期即 期年利率为11%。本金为100万美元的2年×3 年远期利率协议的合同利率为11%，则该合约 的理论合同利率为：
其现金流为：
t 时刻： Fer(T t) T 时刻： E(ST ) ，其中 E(ST ) 为资产在 T 时刻的预期现货价格。
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该投机组合的现值为：
Fer(T t) E(ST )e y(T t)
• 其中 y 为此项投机相对应的贴现率，它是投机者对该 投机组合的预期收益率。
假设市场是有效率的，即市场上所有投机 机会的净现值为0，则： Fer(T t) E(ST )e y(T t) 0
rF
rˆ
0.11 3 0.105 2 32
12.0%
而该合约的价值为：
f 100万 e0.1052 [1 e(0.110.12)(32) ] 8065.31美元
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四、一般结论：
➢ 在签署时，远期合约的交割价格等于当期的远 期价格，因此其初期价值等于0。
➢ 随着时间的推移，远期合约的价值会变为正值 或负值。根据远期合约中的交割价格（K）与 当前的远期价格（F），给出t时刻远期合约多 头的价值（f）的一般表达式：
F=（450－I）e0.07×1 =（450+2e－0.07 ×1）×e0 .07 =＄484.6/盎司
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第四节 支付已知收益率资产远期合 约的定价
• 支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与 该资产现货价格成一定比率的收益的资产。
外汇使这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行 国的无风险利率。
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➢ 即在t时刻，交割价格为K的远期合约多头的价 值比交割价格为F的远期合约多头的价值要高:
(F K )er(T t)
➢ 因为后者为0，所以交割价格为的远期合约多头 的价值为：
f (F K )er(Tt)
➢得证。
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第五节 期货价格与现货价格的关系
一、期货价格与现在的现货价格的关系 ➢ 基差=现货价格－期货价格
第13章 远期和期货的定价
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第一节 远期价格和期货价格的关系
一、基本假设与基本符号 （一）基本假设
1、没有交易费用和税收。 2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3、远期合约没有违约风险。 4、允许现货卖空行为。 5、我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。 6、期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。
➢ 根据F的定义，可从上式中算出支付已知收益率
的资产的远期价格 :
F Se(rq)(T t)
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• 例5：假设S&P500指数现在的点数为1000点， 该指数所含股票的红利收益率预计为每年5% （连续复利）。假定无风险利率为10%，3个月 S&P500指数期货的市价为1080点。则该期货合 约的价值为：
f (F K )er(Tt)
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• 证明：引入另一种内容基本相同，但交割价格 为F的远期合约。
• 由于交割价格与远期价格相同，按定义t时刻其 初始价值为0。 两者的区别只是在T时刻购买标的资产时支 付的价格不同。在T时刻两者支出现金流差为 （F-K），转换为t时刻的初始现金流差为：
(F K )er(T t)
➢ 构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ker(T t) 的现金；
组合C：一单位标的资产加上利率为无风险利率、 期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负 债。
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➢ 在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。 由此可以断定，这两种组合在t时刻的价值相 等。即：
f Ker(T t) S I f (S I ) Ker(T t)
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第三节 支付已知现金收益资产远期合约 的定价
• 支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生 完全可预测的现金流的资产。
✓ 如附息债券和支付已知现金红利的股票。 ✓ 黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要
花费一定的存储成本，存储成本可看成是负收 益。
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➢ 定义：已知现金收益的现值为I。（对黄金、白 银来说，I为负值）
➢ 当标的资产没有收益，或者已知现金收益较小、 或者已知收益率小于无风险收益率时，期货价 格应高于现货价格；
➢ 当标的资产的已知现金收益较大、或者已知收 益率大于无风险收益率时，期货价格应小于现 货价格。
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资产 无收益资产
交割价格为 K 的远期合 约多头的价值（ f ）
远期价格（F ）
S Ker(T t)
这样在 T 时刻，两种组合都等于一单位标的资产。由此可以断定，这两种
组合在t 时刻的价值相等。即：
f Ker(T t) S f S Ker(T t)
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二、现货—远期平价定理
当 f =0 时， F = K 。据此令上式中 f =0，则
F Ser(T t)
例1：假设有一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6 个月的远期合约多头。其交割价格为＄960，6个月期的无风 险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为＄940。
股价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产。 远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知
收益率资产的远期合约。
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一、支付已知收益率资产远期合约定价 的一般方法
➢ 构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ker(T t) 的现金； 组合D：eq(T t) 单位标的资产并且所有收入都再投资于该证券，
Ser(T t)
支付已知现金收益资
产，现金的现值为 I S I Ker(T t)
(S I )er(T t)
支付已知收益率证券q Seq(T t) Ker(T t) Se(rq)(T t)
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二、期货价格与未来现货价格的预期 之间的关系
以无收益资产为例：
1、考虑如下含有期货多头的投机组合： Fer(T t) 的现金加上一份期货多头。
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FRAs多方的现金流为:
T 时刻： A
T * 时刻： Ae rK (T*T )
这些现金流的现值即为FRAs多头的价值，即：
f Aer(T t) AerK (T * T ) erˆ(T * T ) er(T t) Aer(T t ) [1 e ] ( rK rˆ)(T * T )
➢ 根据的F定义，可从上式中求得 ：
F (S I )er(T t)
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• 例3：假设6个月期和12个月期的无风险利率分别 为9%和10%。再假定某十年期债券的现货价格为 ＄990。
• 而该证券一年期远期合约的交割价格为＄1001。 假定该债券在6个月和12个月后将收到＄60的利 息，且第二次付息日在远期合约的交割日之前。 则该远期合约多头的价值为：
则该远期合约多头的价值为：
f=940－960e－0.5×0.06=＄8.48