3-远期和期货定价

总是将标的资产中远期多头到期时无法获得的确 定性收益剔除，而对于标的资产的剩余部分以无风 险利率计算终值，就得到理论的远期价格
2012-13第1学期
3远期 和期货
四 一般结论
直观理解 假设标的资产无收益，投资者A计划出售一单位标 的资产，以下两种方法应该是等价的—— 在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约， 合约到T时刻交割获得F 在当前时刻出售标的资产获得S，并以无风险 利率r贷出，这样在T时刻可以获得确定性收入 Ser(T-t） ——由于t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的 两种确定性收入也应相等
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3远期 和期货
二 基本假设和符号
符号 T：到期时间，单位为年 t：现在的时间，单位为年。T-t代表剩余时间（年） S：标的资产在时间t时的价格 ST：标的资产在时间T时的价格 K：交割价格 f：多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值 F：t时刻远期（期货）价格 r：无风险利率（年利率，复利）
3远期 和期货
三 远期合约的定价
平价定理的证明 当交割价格小于现货价格的终值时—— 若K<(S-I)er(T-t)，套利者卖空标的资产，做 多远期，最终实现(S-I)er(T-t)-K的无风险利润
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3远期 和期货
三 远期合约的定价
支付已知收益率资产的远期合约定价 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额 为Ke-r（T-t)的现金
2012-13第1学期
3远期 和期货
一 远期价值和远期价格
使得期货合约价值为零的交割价格
期货价格
对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值” 这个概念——由于期货每日盯市结算、每日结清浮 动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零
2012-13第1学期
3远期 和期货
一 远期价值和远期价格
远期和期货价格之间的关系 远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的， 其差别主要体现在交易机制和交易费用的差异上 在大多情况下，我们可以合理地假定远期价格与期 货价格相等，并都用F来表示
远期价格是使远期合约 价值为零的交割价格
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例：S&P500股指期货定价
2007年9月20日，美元3个月无风险利率为 3.77%，S&P500指数预期红利收益率为1.66%。当该 指数为1518.75时，2007年12月到期的S&P500股指 期货相应的理论价格应为多少
F Se
例：支付已知现金收益资产远期合约的价值
设6月期和12月期无风险利率分别为4.17%和 4.11%，市场上一种10年期国债现货价格为990元， 该证券1年期远期合约的交割价格为1001元，该债 券在6个月和12个月后都将收到60元的利息，且第 二次付息在远期合约交割之前，求该合约的价值
I 60 e
持有成本模型
如果我们用c表示持有成本，远期价格就为——
F Sec (T t )
f ( F K )e
r (T t )
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3远期 和期货
四 一般结论
非完美市场条件下的远期定价
1.存在交易成本的时候，假定每一笔交易的费率为 Y，那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定 的值，而是一个区间——
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3远期 和期货
三 远期合约的定价
平价定理的证明 当交割价格小于现货价格的终值时—— 若K<Ser(T-t)，套利者可以卖空标的资产，将 所得收入以无风险利率投资，期限为T-t。同时买 进一份标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时 刻，套利者收到本息Ser(T-t)，并以现金K购买一单 位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，实 现了Ser(T-t)-K的无风险利润
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3远期 和期货
三 远期合约的定价
无套利定价法 本章所用的定价方法为无套 利定价法——构建两种投资组 合，令其终值相等，则其现值 一定相等 ——否则就可进行套利，即卖 出现值较高的投资组合，买入 现值较低的投资组合，并持有 到期末，套利者就可赚取无风 险收益
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3远期 和期货
三 远期合约的定价
三类标的资产的定价
不同类型的标的资产，其定价公式有区别，我们 主要考察三类资产的远期定价 无收益资产，如贴现债券 支付已知现金收益的资产，如附息债券 支付已知收益率的资产，如外汇、股票指数
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3远期 和期货
三 远期合约的定价
无收益资产的远期合约定价
一 远期价值和远期价格
远期合约本身的价值
远期价值
在远期合约签订时，可以认为其价值为0 在远期合约签订以后，远期价值一般不再为0，将 随着标的资产价格的变化而变化
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3远期 和期货
一 远期价值和远期价格
使远期合约价值为零的交割价格
远期价格
远期合约在签订时约定的交割价格 远期合约签订后，远期价格与交割价格通常不相等， 其差异的贴现决定了远期价值
组 合 A
远期 合约
现金
组 合 B
标的资产
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额 为Ke-r(T-t)的现金 组合B：一单位标的资产
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当期t
远期T
组 合 A 组 合 B
1）一份远期合约多头
r (T t ) f Ke S 2） Ke-r（T-t) 的现金
f
ST-K
Ke-r(T-t)
( r q )(T t ) (3.77%1.66%)%3/12
1518.75 e
1526.78
3远期 和期货
四 一般结论
F Ser (T t ) r (T t ) F ( S I )e (T t ) F Se( r q）
三个公式
4.17%0.5
60 e
Βιβλιοθήκη Baidu
4.11%1
116.35 87.04
f S I Ke
r (T t ) 4.11%1
990 116.35 1001 e
3远期 和期货
三 远期合约的定价
F (S I )er (T t )
现货-远期平价定理
持有成本
不支付红利的股票没有保存成本和收益，所以持 有成本就是利息成本r 股票指数的资产红利率为q，其持有成本就为r-q 货币的收益率为rf，其持有成本是r-rf 对黄金和白银等投资性商品而言，若其存储成本 与现货价格的比例为u，则其持有成本就为r＋u
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3远期 和期货
四 一般结论
Se
rl (T t )
, Se
rb (T t )

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3远期 和期货
四 一般结论
非完美市场条件下的远期定价
Ke
r ( T t )
一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可 由e-q(T-t)单位标的资产和Ke-r(T-t)单位无风险负债 构成
2012-13第1学期
3远期 和期货
三 远期合约的定价
现货-远期平价定理
F Se( r q )(T t )
该远期价格等于按无 风险利率与已知收益 率之差计算的现货价 格在T时刻的终值
2012-13第1学期
例：无收益资产远期合约的价值
一标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6 个月的远期合约，其交割价为$960, 6个月的无风 险利率为6%，已知该债券的现价为$940，求远期合 约多头的价值
f S Ke
r (T t )
940 960e
0.060.5
8.37
40 e
0.03990.25
40.40
例：远期价格的期限结构
2007年8月31日，美元3月期与6月期的无风险 利率分别为3.99%和4.17%。某不支付红利的股票3 月期远期合约价格为20元，该股票6月期远期的价 格应为多少？
3远期 和期货
三 远期合约的定价
不同期限远期价格之间的关系
2012-13第1学期
3远期 和期货
二 基本假设和符号
基本假设 没有交易费用和税收 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 没有违约风险 允许现货卖空 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在 没有套利机会下的均衡价格 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率
远期价格是使远期合约 价值为零的交割价格
2012-13第1学期
3远期 和期货
三 远期合约的定价
平价定理的证明 当交割价格大于现货价格的终值时—— 若K>(S-I)er(T-t)，套利者可以借钱做多标的资 产，同时做空远期合约，最终实现K-(S-I)er(T-t) 的 无风险利润
2012-13第1学期
r (T t ) r (T t ) S 1 Y e , S 1 Y e
2012-13第1学期
3远期 和期货
四 一般结论
非完美市场条件下的远期定价
2.借贷存在利差的时候，如果用rb表示借入利率， 用rl表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般 是rb>rl。这时远期和期货的价格区间为——
2012-13第1学期
例：平价定理
设美元3月期无风险利率为3.99%，市场上正 在交易一个期限为3月期的股票远期合约。标的股 票不支付红利且当前市价为40美元，那么这份远期 合约的合理交割价格应该为多少？ 如果交割价格为40.20美元，套利者如何操作 可获取无风险利润。
F Se
r ( T t )
组合B： e-q（T-t)单位证券并且所有收入 都再投资于该证券，其中q 为该资产按连续 复利计算的已知收益率
2012-13第1学期
3远期 和期货
三 远期合约的定价
f Ker (T t ) Seq (T t ) f Se
q ( T t )
支付已知收益率资产的远期合约定价
2012-13第1学期
3远期 和期货
三 远期合约的定价
f Ker (T t ) S I
支付已知现金收益资产的远期合约定价
f S I Ke
r (T t )
一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可 由一单位标的资产和(I+Ke-r(T-t))单位无风险负债 构成
2012-13第1学期
S
K
3）1单位标的资产
ST
3远期 和期货
三 远期合约的定价
f S Ker (T t )
无收益资产的远期合约定价
无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现 货价格与交割价格现值的差额 或者说,一单位无收益资产远期合约多头等价于一 单位标的资产多头和Ke-r(T-t)单位无风险负债的资 产组合
远期价格的期限结构
F Se F * Se
2012-13第1学期
r (T t )
r *(T * t )
F * Fe
r *(T *t ) r (T t )
3远期 和期货
三 远期合约的定价
支付已知现金收益资产的远期合约定价 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额 为Ke-r（T-t)的现金 组合B：一单位标的资产加上本金为I的负 债
2012-13第1学期
3远期 和期货
四 一般结论
持有成本 出售现货和卖出远期合约的确定性收入应该相等， 我们用持有成本概念来概括远期价格与现货价格的 关系。持有成本的基本构成如下： 持有成本＝保存成本＋无风险利息成本－标的资产 在合约期限内提供的收益
2012-13第1学期
3远期 和期货
四 一般结论
金融工程
2012-13第一学期
金融工程
第三章 远期与期货定价
区分三个概念：远期价值、远期价格与期货价格
远期定价
远期与期货价格的一般结论
2012-13第一学期
3远期 和期货
一 远期价值和远期价格
远期合约本身的价值
远期价值
远期价格 使远期合约价值为零的交割价格
期货价格
2012-13第1学期
3远期 和期货
3远期 和期货
三 远期合约的定价
无收益资产的现货-远期平价定理
F Ser (T t )
远期价格是使远期合约 价值为零的交割价格
2012-13第1学期
3远期 和期货
三 远期合约的定价
平价定理的证明 当交割价格大于现货价格的终值时—— 若K>Ser(T-t)，套利者可以按无风险利率r 借入S 现金，期限为T-t。然后购买一单位标的资产，同时 卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻， 该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金， 并归还借款本息Ser(T-t)，实现了K-Ser(T-t) 的无风险 利润