向量加减运算及几何意义
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2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
向量加减法向量的加减法平面向量加减法加减法运算加减法互为逆运算加减法简便运算小数加减法简便运算向量运算空间向量与立体几何向量的运算
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量减法及其几何意义
定义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
人教版数学第二章2 向量减法运算及其几何意义 (共25张PPT)教育课件
?
如何作图得到
思考2：分组讨论 合作探究
B
A
o
B
B
C
O
A
o
A
D
C
思考3：
1 在 平 面 内 任 取 一 点 O
B
b
b
a
O
a
A
共起点, 连终点, 指向被减向量
向量减法 几何意义
测测你的反应速度
尝试运用法则
bd c
a
bd
c
a
作 法 :
A
BD
C
bd
a
c
O•
1.在 平 面 上 任O取 ,作O 点Aa,OBb,OC
；书一笔
清远，盈
一抹恬淡
，浮华三
千，只做
自己；人
间有
情，心中有爱
，携一米
阳光，微
笑向暖
。
口
罗
不
是
。
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
向量加减运算及几何意义
B
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
人教A版数学必修 向量减法运算及其几何意义 课件(共21)
B
a +(b)
b
b
O
a
A
a
b
a +(b)
C
D
作 图 方 法 ： 已 知 a,b,在 平 面 内 任 取
一 点 O， 作 OA=a,OB=b,则 BA=a-b.
四、向量减法的几何意义:
a b 的 作 图 方 法 : ①将两向量平移,使它
们有相同的起点.
b a
B
ab
②连接两向量的终点.
b
O
a
A ③箭头点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
注意共起点.共线向量不适用
3.向量加法的交换律 :
rr rr a + b = b + a.
4.向量加法的结合律 :
rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
则BA=ab,DC=cd.
例 2 .已 知 平 行 四 边 形 A B C D ,A B =a ,A D =b ,
你 能 用 a ,b表 示 向 量 A C ,D B 吗 ？ D C
b
解：由向量加法的平行四边形法则，
我们知道
AC=a+b;
Aa
B
同样，由向量的减法，知
D B = A B A D = a b .
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
向量减法运算及其几何意义 课件
【审题路线图】1.向量的加减运算⇒向量加减法的三 角形法则⇒化简. 2.看到作图⇒向量加减法的三角形法则⇒作图的一般步 骤⇒作图.
【解析】1.选B.根据题意,得 AB BC AD AC AD DC. 2.方法一:如图①,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b， 则 OB＝a＋再b作， 则OC＝c， CB＝a＋b－c.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应 用.
3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分析 图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b，
则OB＝a＋再b作， 连CB接＝cO，C,则
OC＝a＋b－c.
【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b, 然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的 起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量.
3.设a表示向西走10km,b表示向北走10 3 km,则a-b表 示( ) A.向南偏西30°走20 km B.向北偏西30°走20 km C.向南偏东30°走20 km D.向北偏东30°走20 km 【解析】选A.由减法的三角形法则易求得.
4. PA PB =________. 【解析】 PA PB BA. 答案:
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
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练一练
A1A2+A2A3=_______
(A1A2+A3A4 )+A2A3=______
AD １.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
D C
5
A
2
B
向量加 法
和 的运算,叫做向量的加法。 1、求两个向量____ 三角形法则 或_____________ 平行四边形法则 2、 向量的加法可由__________ 求得。 “首尾相接” 3、利用三角形法则求向量和要__________ ，
向量的起点放在一起。 利用平行四边形求向量和要将_______________
a b
向量加法
三 角 形 法 则: C
b
平行四边形法则: C B
b b
B
A
a
A
O
a
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
练习1：如图：已知向量 a 、b 用向量加法的三角形法则作出 a b 。
(1) （2）
ab
a
(3)
b
b
a
ab ab
(4)
a
a
b
b
ab
尝试练习二：
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
B
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An 思考7： 等于什么向量？ uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An = OAn
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
回顾：
（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
思考：
如设
实数
a 的相反数记作 a 。
（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
一、相反向量： 设向量
a
，我们把与
a
长度相同，方向相反
的向量叫做
a
的相反向量。记作： a
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a 文字表述为：以同一起点的两个 向量为邻边作平行四边形，则以公共 起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
对 于 零 向 量 与 任 一 向a 量 ,我们规定 a 0 0 a a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1) 两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2) 位移的合成是三角形法则的物理模型.力的合成 为平行四边形法则的物理模型.
两个向量的和仍 然是一个向量.
向量的加法的三角形法则：
a ab
b
A
C
b
a
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
B
首 尾 相 接 首 尾 连
已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作
a b。
b
OACB ，
a
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
b
平行四边形法则
B
练习2：如图，已知
(1)
a 、b
，用向量加法的平行四边形法则作出 a b 。
练习：限时2分钟
1.化简: AB DF CD BC FA 已知| a | 8, | b | 6, 则 | a b | 的最大值和
最小值各是什么
2.已知| a | 6, | b | 14, | c | 3, 则 | a b c | 有
当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B
b
C A
AC = a + b
AC = a + b
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
1、 共线
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
a+ b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
D
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
A A
a
ab
a
b
ab ba
(a b) c a (b c).
如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. a c
+
a ,b
+
c
b
a
b b a a+ b
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
C
D
A
B
AD AB BD
AD 4
tan DAB 3 DAB 60 答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 60.
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
5.共线向量： 向量可以平移，平行向量都可以平移到同一条 直线上，因此平行向量又称作共线向量
引入1：
由于大 陆和台湾没 有直航，因 此要从上海 去台湾探亲， 乘飞机 要先从上海 到香港，再 从香港到台 北，这两次 位移之和是 什么？
规定： 0 的相反向量仍是 0。 （1） (a) a （2）a (a) 0
(a) a 0
（3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法： a b a (b)
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？ a (b) 设 AB b, AC a
a， b不共线或共线反向 a， b共线且同向
a， b反向且 a b a， b反向且 a b
练习题
1.若a表示“向南走10km”， b表示“向西走10 3km”，
60走 20km. 则a b表示向南偏西 ________.
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值.
最大值和最小值吗 ?
回顾与小结
1
本节课学习的数学知识
1.向量加法三角形法则
2.向量加法的平行四边形法则 3.向量加法满足交换律与结合律
a+ b = b+ a
(a + b) + c = a + (b + c)
2
本节课学习的数学方法
特殊与一般，归纳与类比，数形结合， 几何作图，向量加法的实际应用
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
上海
台北
香港
O上海
由于大 陆和台湾没 有直航，因 此要从上海 去台湾探亲， 乘飞机 要先从上海 到香港，再 从香港到台 北，这两次 位移之和是 什么？
台北
B
A香港
O OA+AB=OB
B
A
• 向量加法的定义:我们把求两个 向量 a, b的和的运算,叫做向量 的加法, a b 叫做 a, b 的和向量.
２.根据图示填空
E
g
e
f
a
D d
(1)a b (2)c d
c f
f g
A
c
B
b
C
(3)a b d (4)c d e
数学应用
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （） 1 OA OC (2) BC FE (3) OA FE
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An + AnO