第九章_债券久期的基本概念案例
债券-久期及其应用
以各期现金流占债券价格的比重为权重的加 权平均到期时间。
D
久期的作用
久期不仅仅是一个时间概念，其真正价值 在于它能反映债券价格对利率变动的敏感 性，是度量利率风险的一个重要工具。
特性
二、久期在债券管理中的作用
久期在债券管理中的策略利率的免疫策略 目标：消除组合的利率风险 途径：使组合中资产久期等于负债久期
案例分析
某银行有7年期的负债，年贴现率为7=3*w+(1-w)(1+1/10%) w=50%
什么是久期？
久期的最初定义源于1938年的Frederic Macaulay，他用贴现的方法计算证券投资的平均 回收时间的时候提出的这个概念，这个概念最初 是一个时间概念。例如银行一笔11年期按揭贷款 的久期是8.254年，意味着银行在前面8.254年的 时间是在收回本金，其后才是银行赚取的利润。
麦考利久期与应用
1、久期定义
回顾： 票面利率较高债券的价格变动要大于票面利率较低债券的 价格变动; 较长期限债券的价格变动要大于较短期限债券的价格变动。 久期将债券的票面利率、利率支付次数、到期期限以及到 期收益率综合在一起形成了一个以时间单位命名的概括性 衡量标准,从而大大提高了债券评价的准确性。
债券久期计算
For personal use only in study and research; not for commercial use债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法（1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性（3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4 如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B 的价格的变化久期（Duration）一、久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
第九章_债券久期的基本概念案例
第九章_债券久期的基本概念案例债券久期是描述债券价格对利率变化的敏感性指标，它能够帮助投资者理解债券投资的风险和回报。
在这个案例中，我们将介绍久期的基本概念，并通过一个具体的案例来说明如何计算债券久期以及如何使用久期来评估债券的价格变动。
久期的基本概念：债券久期是一个衡量债券价格对利率变化的敏感性的指标。
久期越长，债券价格对利率变化的敏感性越高，反之则越低。
久期可以帮助投资者了解债券价格的波动性，并在投资决策中提供参考。
久期的计算：债券久期的计算需要用到债券的现金流量和到期时间。
具体来说，久期可以通过以下公式计算：久期=Σ(现金流量×时间×期限权重)/债券价格在这个公式中，现金流量是指债券每个支付期的现金流入或流出，时间是指每个支付期的距离，期限权重是指每个支付期的现金流量在所有现金流量中所占的比例。
债券价格是指当前的债券市场价格。
案例介绍：假设有一家公司发行了一种10年期、票面利率为5%的债券。
该债券每年支付一次利息，并在到期时支付一次本金。
现在假设债券的市场价格为1000元。
计算久期：首先，我们需要计算每个支付期的现金流量和时间。
在这个案例中，每年支付一次利息，所以现金流量为50元。
债券到期时间为10年，所以共有10个支付期，即时间为1年至10年。
然后，我们需要计算每个支付期的期限权重。
由于每个支付期的现金流量相同且债券到期时间相等，所以每个支付期的期限权重均为1/10。
现在，我们可以利用上述数据计算久期了。
根据上述公式，久期等于：久期=(50×1×1/10+50×2×1/10+...+50×10×1/10)/1000简化公式后，久期等于：久期=550/1000=0.55根据计算结果，该债券的久期为0.55年。
久期的应用：债券久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变化的敏感性。
例如，如果利率上升，债券价格往往会下降；反之，如果利率下降，债券价格会上升。
债券久期计算计算债券久期例题e
债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率〔贴现率8%〕，票面利率为8%，期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法〔1〕运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均〔2〕将久期看作债券价格对贴现率的弹性〔3〕运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4 如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B 的价格的变化久期〔Duration〕一、久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期〔简记为D〕。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的假设干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略〞的理论根底，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫〞的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提那么是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV〔Ct〕是债券未来第t期可现金流〔利息或资本〕的现值，T是债券的到期时间。
债券久期计算
欢迎阅读债券久期计算例：假设债券A 刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。
债券B 是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券2 （1（2（334债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影t其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生的时间；Ct为第t期的现金流；F为该金融工具的面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市场利率。
实际上，公式(公式3)的分母正是该金融工具的市场价值，因此，久期公式又可表示为：(公式3)其中：P表示该金融工具的市场价值或价格。
三、久期的计算过程举例下面试举一例来说明久期的计算过程。
假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时市场利率为12%，则该种债券的久期为：(年)期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高，其久期越短。
马考勒久期定理1、只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间2、直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间3、统一公债的马考勒久期等于[1+1/Y] ，其中Y是计算现值采用的贴现率四、马考勒久期与债券价格的关系对于给定的收益率变动幅度，马考勒久期越大，债券价格的波动幅度越大：到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键因素，与久期存在以下的关系：1234响)六、修正马考勒久期通常，久期值还得再除以1+ｙ/ｍ加以修正，ｙ即债务工具的收益率，ｍ为每年发生现金流的次数，这个修正久期用Ｄ*表示，即Ｄ* =Ｄ/(1+ｙ/ｍ)。
债券的久期是什么
债券的久期是什么最近，债券市场出现了一些波动，投资者对于债券市场也有了更多的关注，在很多关于债券的分析文章或者投资建议中，常常出现“久期”这个词。
那么久期是什么意思呢?下面就让店铺带着大家一起去了解一下什么是债券的久期吧。
债券久期的概念由于决定债券价格利率风险大小的因素主要包括偿还期和息票利率，因此需要找到某种简单的方法，准确直观地反映出债券价格的利率风险程度。
经过长期研究，人们提出“久期”(Duration)的概念，把所有影响利率风险的因素全部考虑进去。
这一概念最早是由经济学家麦考雷(F.R.Macaulay)于1938年提出的。
他在研究债券与利率之间的关系时发现，在到期期限(或剩余期限) 并不是影响利率风险的唯一因素，事实上票面利率、利息支付方式、市场利率等因素都会影响利率风险。
基于这样的考虑，麦考雷提出了一个综合了以上四个因素的利率风险衡量指标，并称其为久期。
久期表示了债券或债券组合的平均还款期限，它是每次支付现金所用时间的加权平均值，权重为每次支付的现金流的现值占现金流现值总和的比率。
久期用D表示。
久期越短，债券对利率的敏感性越低，风险越低;反之，久期越长，债券对利率的敏感性越高，风险越高。
债券久期在债券投资中的重要意义举例来说，对于久期为4.5年的债券，当收益率下降1%，则债券价格上涨约4.5%，而对于久期为10年的债券，当收益率下降1%，则债券价格上涨10%。
而在实际的投资过程中，我们也可以通过调整债券组合的久期，从而实现控制组合的风险的目的。
一个例子是利率免疫。
在债券投资过程中，利率的变动常常使投资者承担一些风险，比如投资者持有的债券到期时间小于投资期限时，当利率出现下跌的时候，投资者在投资期间获得的利息收入只能以较低的水平进行再投资，从而难以实现预期的收益水平;而当投资者投资的债券到期时间大于其投资期限时，如果出现利率上升，其只能以相对较低的市场价格将持有的债券进行变现，从而对于投资者的收益带来一定损失。
第九章麦考利久期与
例题
久期为8，收益率上升10个基点的资产价格 变动幅度有多大？ 代入（3-7）： dP/P=-8×10bps=-80bps=-0.08%
二、久期在债券管理中的作用
久期又是如何成为评价债券工具的呢?久期的性质可以给 出答案。首先,付息债券的久期一般小于其到期日,而无息 债券的久期与其到期日相同。其次,债券的票面利率与久 期存在反向关系,即票面利率越高久期越短。第三,债券的 到期日与久期成反向关系。在其他条件不变的条件下,久 期以递减的速度随到期日的增加而增加。第四,到期收益 率与久期成反向关系。第四,组合久期的计算———久期 的可加性（即m种债券构成的债券组合的久期等于这m种 债券的久期的加权平均，其权重是各种债券价值在组合债 券总价值中的比重）。 久期在债券管理中的策略主要有利率的掉期策略以及利率 的免疫策略。
利率的掉期策略
D 当预测市场利率下降时,修正久期越大 D = 1+r ,债 券价格的上升幅度越大,从而对投资者越有利。所 以,在这种情况下,投资者就应该选择修正久期大 的债券；当预测市场利率上升时,修正久期越小, 债券价格下降的幅度越小,为使投资者避免更大的 损失,投资者应该持有久期较短的债券。利率的掉 期策略就是基于以上原理,当预期利率上升时,建 议投资者把具有较长久期的债券转换成较短久期 的债券；当预期利率下降时,把具有较短久期的债 券转换成较长久期的债券。
短期和长期国库券价值变动之相加得到总 资产价值变动值,正好与负债价值变动值相 等。这样免疫策略就有效地保护了租赁公 司免遭资产和负债的收益率的10个基点的 变动的风险,此外,这个证券组合还是有利可 图的,因为资产的收益超过了负债成本。资 产组合收益率是单项资产收益率的加权平 均数。在本例中组合收益率为: 68.97%×0.12+31.21%×0.08=10.75%。
债券久期的基本概念案例
两个常用术语：
PB－－－债券的现行价格，Δ PB－－－债券的价格变动 D－－－债券的久期； Δ i－－－－预期利率的变动
D* DM
(1)
1 i
D*称为修正久期
D**(美元久期)＝ D*(修正久期)×PB
(2)
PB D*PBi D**i (3) 8
金融工程课程
PB D*PBi 的推导
因为，
PB
PB PB
D i
1 2
C
B
(i)
2
令CB表示凸度
CB
1 PB
d 2 PB di 2
1 PB (1 i)2
T
t(t 1)Ct (1 i)t
14
五、 凸度
金融工程课程
例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
t
Ct (1 i)t
dPB t
di
tCt (1 i)t1
1 (1 i)
t
tCt (1 i)t
t
( dPB
tCt (1 i)t
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB
(1 i)
9
金融工程课程
因为，
dPB DM di
PB
(1 i)
dPB D*PB di
PB D*PB i D**i
金融工程课程
第九章 债券久期的基本概念
【本章学习要点】 久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章
涉及的其他重要概念有： 麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风 险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期 期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组 合资产的风险免疫有一定的理解和认识。
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加总
104.62
514.42
DM =(514.42/104.62)=4.92（年）
表 9－1 例题9-1久期的计算
7
金融工程课程
两个常用术语：
PB－－－债券的现行价格，Δ PB－－－债券的价格变动 D－－－债券的久期； Δ i－－－－预期利率的变动
D* DM
(1)
1 i
D*称为修正久期
D**(美元久期)＝ D*(修正久期)×PB
时间的加权值 t×Ct/(1+i)t
9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 100.00
0.93
8.33
0.86
7.72
0.79
7.14
0.74
6.62
0.68
6.13
0.63
5.67
0.63
63.02
8.33 15.43 21.43 26.46 30.63 34.03 378.10
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB
(1 i)
9
金融工程课程
因为，
dPB DM di
PB
(1 i)
dPB D*PB di
PB D*PB i D**i
10
金融工程课程
例题9-2：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为5％， 债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生 怎样的市场变化？
率的变化
12
五、 凸度
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系； 债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度
PB b
c
a
D E
B G
A
F a’
C b’
i0 c’
-△i
△i
金融工程课程
i
13
五、 凸度
金融工程课程
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；
凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；
(2)
PB D*PBi D**i (3) 8
金融工程课程
PB D*PBi 的推导
因为，
PB
t
Ct (1 i)t
dPB t
di
tCt (1 i)t1
1 (1 i)
t
tCt (1 i)t
t
( dPB
tCt (1 i)t
总现值
M
tPt
＝ t 1 M Pt t 1
5
金融工程课程
M
M
tCt /(1 i)t
tCt M
t1
Ct /(1 i)t
PB
tWt t 1
t 1
Wt
Ct /(1 i)t
M
Ct /(1 i)t
Pt
M
Pt
Pt PB
1
金融工程课程
第一节 麦考利久期 一、债券价格与市场利率的关系 二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算 三、修正久期、美元久期及债券价格变化估计 四、久期的数学解释 五、凸度 第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系 一、 久期与债券到期期限的关系 二、 久期与市场利率之间的关系 三、 久期与债券票息率之间的关系 第三节 债券的风险免疫 一、 久期与债券的风险免疫 二、 债券组合的久期与免疫资产的组合 三、 免疫债券组合的免疫分析 四、 实践中存在的问题
i 解 ： PB ＝125美元
＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PBi 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
PB
DM PB (1 i)
i
4.6 125 0.004 1.05
2.19美元
11
四、 久期的数学解释
金融工程课程
第九章 债券久期的基本概念
【本章学习要点】 久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章
涉及的其他重要概念有： 麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风 险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期 期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组 合资产的风险免疫有一定的理解和认识。
2
第一节 麦考利久期
金融工程课程
一、债券价格与市场利率的关系
（１）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。 （２）息票额较大的债券的变动幅度小于息票额较低的债券的变动幅度。
对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量 ，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？ 答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做“久期”的特征量。“久期”是资 产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的 。
t 1
t 1
6
金融工程课程
例题9-1： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。市场利率为8％。债 券的到期期限为6年。计算该债券的久期。
解： i＝8%
Ct ＝9元 M ＝6
时间 t
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 6.00
票息额 Ct
折现因子 1/(1+i)t
折现值 Ct/(1+i)t
3
久期的定义及其用途
金融工程课程
（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价 值变化作出大致的估计。
（２）风险管理。
4
金融工程课程
二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算
（１）麦考莱久期估算法
将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值 的比率。
D
时间加权现值
金融工程课程
市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率 的函数，记为，
PB PB (i)
PB
dPB di
i
PB dPB PB di
PB
i
D* dPB di
PB
PB D* PB i
债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利
1 PB (1 i)2
T
t(t 1)Ct (1 i)t
14
五、 凸度
金融工程课程
例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
PB
dPB di
i
1 2
d 2 PB di2
(i) 2
PB PB
dPB di PB
i
1 2
d 2 PB di2 PB
(i ) 2
d 2 PB
CB
di2 PB
PB PB
D i
1 2
C
B
(i)
2
令CB表示凸度
CB
1 PB
d 2 PB di 2