第四章 第三节

2
(C) 1 10
2
(D) 3 2 2
2
(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边
上的动点.则
uuur uuur DE CB
的值为__________，DuuEur

uuur DC
的最大值为
__________.
【思路点拨】
【规范解答】(1)选A.由题意得
uuur uuur uuur 2 tAB AD AD 0 1 1. uuur uuur uuur uuur uuur DE DC (tAB AD) AB t 1.
答案：1 1
uuur uuur AE tAB，0 t 1，
【拓展提升】向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时 应灵活选择相应公式求解.
(2)由a·b=0可得a=0或b=0．( )
(3)由a·b=a·c及a≠0不能推出b=c．( )
(4)在四边形ABCD中，
uuur AB

uuur uuur uuur DC且AC BD

0，则四边形ABCD为
矩形.( )
【解析】(1)正确.由数量积及向量线性运算的定义易得正确.
(2)不正确.因为当a⊥b时也有a·b=0，而不必a=0或b=0．
第三节 平面向量的数量积
考纲 要求
1.理解平面向量数量积的含义及物理意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件
1.平面向量的数量积
(1)定义
条件 表达形式
两个非零向量a,b以及它们的夹角θ a·b=_|_a_|_|_b_|_c_o_s__θ__
ab
(4)cos θ=__|_a_||_b_|__. (5)a·b≤_|_a_|_|_b_|_.
3．数量积的运算律 (1)交换律：a·b=b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b=_λ__(_a_·__b_)_=_a_·__(_λ__b_)_. (3)分配律：a·(b+c)=_a_·__b_+_a_·__c_.
(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为
3
，若向量b1=e1-
2e2,b2=3e1+4e2，则b1·b2=____________.
【解析】b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1·e2-8|e2|2.
又∵〈e1,e2〉= 3,|e1|=1,|e2|=1,
∴b1·b2=3-2cos
∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，
cos ＝ a b ＝ －6 ＝－1 . | a || b | 43 2
又θ∈［0，π］，∴θ＝ 2 .
3
(2)可先平方转化为向量的数量积． |a+b|2＝(a+b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a+b|＝ 13. 同理，|a-b| ＝ a2 2a b b2＝ 37.
(3)由向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角， 得 (2ta 7b) (a tb) 0，
| 2ta 7b || a tb |
即(2ta＋7b)·(a＋tb)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0， 解得－7<t<－ ，
2
当夹角为π时，也有(2ta＋7b)·(a＋tb)<0，
夹角
x1x 2＋y1y 2
cos θ＝___x_12＋__y_12__x_22_＋__y_22 __
向量垂直的 充要条件
a⊥b⇔a·b=0⇔__x_1x_2_+_y_1_y_2=_0__
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算
的运算结果是向量.( )
()
(A)4
(B)3
(C)2
(D)0
【解析】选D.由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋
2c·b＝0.
2.已知向量a=(1,2)，b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b，
c⊥(a+b)，则c=( )
(A) (7 , 7)
93
(B) ( 7 , 7)
39
(C) (7 , 7)
2
〈AB, AC〉 60，
uuur uuur uuur uuur
AB AC AB AC cos 60 2，
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
BQ CP ［(1 )AC AB］ AB AC
3，
2
即

uuur 2 AB
(2
3
答案：
3
考向 1 平面向量数量积的概念及运算
【典例1】(1)(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，
AB=2，设点P，Q满足
uuur AP

uuur uuur AB，AQ

1



AuuCur，λ∈R，若
uuur BQ

uuur CP


3，则λ=(
)
2
(A) 1
2
(B) 1 2
【规范解答】(1)选C.∵2a+b=(3,3)，a-b=(0,3)，
设2a+b与a-b的夹角为α，
(2a b) a b
cos

9
2，
2a b a b 3 2 3 2
又α∈［0,π］，故 .
4
(2)选A.a-b=(1-x,4),
由a⊥(a-b)，得1-x+8=0，∴x=9.
39
(D) ( 7 , 7)
93
【解析】选D．设c=(m,n)，则a+c=(1+m,2+n)，a+b=(3,-1),
对于(c+a)∥b，则有-3(1+m)=2(2+n)，
又c⊥(a+b)，则有3m-n=0，则有m 7 ,n 7 .
9
3
3．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方 向上的投影是____________． 【解析】b在a方向上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos 60° ＝1. 答案：1
2
即当λ= 1时，向量λa+b与a-b的夹角为90°.
2
【拓展提升】 1.根据平面向量数量积的性质：若a,b为非零向量， cos (a夹b角
| a || b |
公式)，a⊥b⇔a·b=0等，所以平面向量的数量积可以 用来解决有关角度、垂直问题. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等 于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量 不共线时两向量的夹角为钝角.
【变式训练】(1)若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条
件(8a-b)·c=30，则x=( )
(A)6
(B)5
(C)4
(D)3
【解析】选C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，
所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30.即：18+3x=30，解得：x=4，
故选C.
但此时夹角不是钝角，
设2ta＋7b＝λ(a＋tb)，λ<0，
2t＝， ＝－ 14，
可求得
7＝t，
0，
t＝－
14 . 2
t 14 ， 2
∴所求实数t的范围是(－7，－ 1)∪4
2
(－ 14 ，－1)．
2
2
【互动探究】本例题(1)中若条件不变，问题改为“λ为何值 时，λa+b与a-b的夹角为90°”，则如何求？ 【解析】由条件得λa+b=(λ+1,2λ-1)， a-b=(0,3)， 若λa+b与a-b的夹角为90°， 则(λa+b)·(a-b)=3(2λ-1)=0， 解得λ= 1.
uuur uuur
1)AB AC 1
uuur 2 AC

3，
2
所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)= 3，
2
解得 1 .
2
(2)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x,y轴建
立
直角坐标系Duu，Eur 设Et,(t1，，Cu0uBu)r， 00≤,t1≤,1，则D(0,1)，B(1，0)，
(2)向量的投影 设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_|_a_|_c_o_s__θ__； 向量b在a方向上的投影是_|_b_|_c_o_s__θ__.
(3)平面向量数量积的几何意义 数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影_|_b_|_c_o_s__θ__的乘积.
uuur uuur uuur
uuur uuur
BQ AQ AB 1 AC AB，
uuur uuur uuur uuur uuur
CP AP AC AB AC.
uuur uuur 又Q BQ CP

3，且
uuur AB

uuur AC

2，
uuur uuur
4．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹
角为___________．