山东大学 自动控制原理 8-3离散系统分析

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8.6.3 离散系统稳定性分析
离散系统的稳定性，与系统参数及采样参数T等 均有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件 是系统的极点均在s平面左半部，s平面的虚轴就是稳 定区域的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中 含有ekTs项，因此分析采样系统在s平面上的极点分布， 就不像连续系统那么简单。
9
c*(t)
1
0
T
2T
3T
4T
5T 6T
7T
t
c*(t) = 0.368( t T) + ( t 2T) + 1.4( t 3T) + 1.4( t4T) + 1.147( t 5T) + 0.895( t 6T) + 0.802( t 7T) + 0.868( t 8T) + 0.993( t 9T) + …
8
再求闭环脉冲传递函数
G( z ) 0.368z 0.264 (z) 2 1 G ( z ) z z 0.632 0.368z 2 0.264z C ( z ) ( z ) R( z ) 3 z 2 z 2 1.632z 0.632
C(z) = 0.368z 1 + z 2 + 1.4z 3 +1.4z 4 + 1.147z 5 + 0.895z 6 + 0.802z 7 + 0.868z 8 + … c*(t) = 0.368( t T) + ( t 2T) + 1.4( t 3T) + 1.4( t4T) + 1.147( t 5T) + 0.895( t 6T) + 0.802( t 7T) + 0.868( t 8T) + 0.993( t 9T) + …
1、z域稳定的充分必要条件 根据s平面与z平面的映射关系及闭环极点与动态响应 的关系，容易算出离散系统稳定的充分必要条件 系统的闭环特征方程的全部根的模都小于１。或者 说，全部特征根都位于z平面以原点为园心的单位园内。 21
例8-28 设离散系统如图所示，其中T＝0.07(秒)， 试分析该系统的稳定性。
j
[s]
Im
[z]
0

0
1
Re
s /2
j
[s]
Im
[z]
0

0
Re
3
8.6.2 离散系统的动态性能分析
离散系统的瞬态响应，可以直接由时间响应结果获 得，因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的，这一 点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解， 直接在z区域中，通过分析零极点的位置关系而获得,这 对系统的设计是方便的。 1、离散系统的时间响应及性能指标求法 由时域解求性能指标的步骤： （1）由离散系统闭环脉冲传递函数(z)，求出输 出量的z变换函数
ZOH
1
c(t)
s(s+1)
解：求开环脉冲传递函数
1 e Ts 1 1 G( z ) 2 (1 z ) 2 s ( s 1) s ( s 1) 0.368z 0.264 ( z 1)( z 0.368)
tr = 2(s) ts = 5.3(s)
tp = 3(s)
ts = 5(s)
7
连续二阶系统: p% =16.3%，tr = 2.42(s)，tp = 3.6(s)，
例8-26 在例8-45中，增加零阶保持器，采样系统 如图示，T＝1(s)，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。
r(t)
+
-
kT 2
p3 p5 0 p6 p4
17
p1

4
T 8T
p7 1 p2
Re
过渡过程每经过８个采 样周期形成一个循环。
c(k)
k
对 p3 , p4所对应分量的振荡周期为 kT T 4T
2 2 对 p5, p6所对应分量的振荡周期为 kT 2 T 3T 3
18
2
c(k)
当pr =1时，极点位于单位园上的正实轴上，响应 cr prk = cr 为一常数，是一串等幅脉冲序列；
（2）负实轴上闭环极点 当1 < pr < 0 时，极点位于单位园上的负实轴上， 响应cr prk 为正、负交替的收敛脉冲序列； 当pr < 1 时，极点位于单位园外的负实轴上，响 应cr prk 为正、负交替的振荡发散脉冲序列；
M (1) n k c( kT ) cr pr D(1) r 1
( k 0,1,2,)
（1）正实轴上闭环极点 当0 < pr < 1时，极点位于单位园内的正实轴上，响 应 cr prk为单调收敛，且pr 越靠近原点，其值越小，收 敛越快。 12
当 pr >1时，极点位于单位园外正实轴上，响应cr prk 为单调发散，且pr 值越大，发散越快。
k c(k) c(k) c(k) k
k
k
19
综上分析，闭环脉冲传递函数极点在单位园内，对 应的瞬态分量均为收敛的，故系统是稳定的。当闭环极 点位于单位园上或单位园外，对应的瞬态分量均不收敛， 产生持续等幅脉冲或发散脉冲，故系统不稳定。 为了使离散系统具有较满意的动态过程，极点应尽 量避免在左半园内，尤其不要靠近负实轴，以免产生较 强烈的振荡。闭环极点最好分布在单位园的右半部，尤 为理想的是分布在靠近原点的地方。这样系统反应迅速， 过程进行较快。
M ( z ) b0 z b1 z bm 1 z bm b0 (z) n n 1 D( z ) a0 z a1 z a n1 z a n a0
m m 1
(z z ) (p p )
r 1 r i 1 n i
m
M (z) z C ( z ) ( z ) R( z ) D( z ) z 1
0
1T
2T
3T
t 4T
0
1T
2T
3T
1
t
6.1.１ s平面与z平面的映射关系 在z变换定义中已经确定了z和s变量之间关系如下 z = eTs 其中s是复变量，可写成s = +j，所以z也是复变量 z = eTs = eT e jT 写成极坐标形式为 z = z e j = eT e jT s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。 s平面与z平面的映射关系为 s平面 映射 z平面 ０ 右半平面 z １ 单位园外 =０ 虚轴 z =１ 单位园周 ０ 左半平面 z １ 单位园内 2
z C ( z ) ( z ) R( z ) ( z ) z 1
（2）用长除法将上式展成幂级数，通过z反变换求 4 得c*(t) 。
（3）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出p%、 tr、tp 、ts等性能指标。 例8-25 单位反馈采样系统如图所示，当T=1s， 试求单位阶跃响应c*(t)及动态性能指标。
r(t)
+
100
c(t)
-
s(s+10)
解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数
10z (1 e 10T ) G( z ) ( z 1)( z e 10T )
闭环特征方程为
z2 + 3.5z + 0.5 = 0 z1 = 0.15 z2 = 3.73 因为 z2 1，所以该系统是不稳定的。

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2 cr pr cos(k r r )
当 pr >1时，闭环复数极点位于单位园外；对应 的瞬态分量振荡发散； 当 pr < 1时，闭环复数极点位于单位园内，振荡 衰减，且 pr 越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛得 越快。 当 pr = 1时，闭环复极点位于单位园周上，对应 的瞬态分量是等幅振荡的脉冲序列。 以余弦规律振荡的瞬态分量，其振荡角频率与 共轭复极点的幅角r有关， r越大，振荡频率越高。 所以位于左半单位园内的复极点，瞬态分量的振荡频 率要高于右半单位园内的情况，振荡周期包含采样周 期T的个数k为
当pr = 1时，极点位于单位园上的负实轴上，响应 cr prk = (1)kcr 为正、负交替的等幅脉冲序列；
13
Im
Re 0 1
14
（3）z平面上的闭环共轭复数极点 复数极点总是共轭出现，一般表达式为
pr , pr 1 pr , pr pr e j r
cr pr cr 1 pr 1 cr pr cr pr
8.6 离散系统的时域分析
对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分 析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的值。然 而，当采样周期T 选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反 映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得 出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系 统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点，才会使离散理论 分析结果贴近连续信号的变化规律。 c(t) c(t)
k k k
k
cr cr e j r , cr cr e j r
cr pr cr 1 pr 1 cr e
k k j r
pr e
k
k
jk r
cr e
பைடு நூலகம் r
pr e jk r
k
cr pr
e
k
j ( k r r )
e j ( k r r )
k 2
r
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例8-27 设离散系统闭环脉冲传递函数的共轭复极 点以及负实轴上的极点分布如图所示，其中p1 , p2所具 有的相角1 ,2= /4， p3 , p4所具有的相角3 ,4= /2， p5 , p6所具有的相角5 ,6= 2/3， p7所具有的相角7=， 试确定相应的各瞬态分量的振荡周期和振荡角频率。并 画出瞬态分量变化图形。 Im 解：对 p1 , p2所对应分 量的振荡周期为