上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
上海市高一数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
上海市高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，A B = ．2.设函数()1f x x x =++，()1g x x x =+-，则函数()()f x g x ⋅的定义域为 ．3.已知函数()f x 满足()fx x =，则()4f = ．4.将函数()3f x x =的图像向右平移2个单位后，得到函数()g x 的图像，则()2g = ．5.已知常数a R ∈，设集合[),A a =+∞，{}1,0,1B =-，若B A ⊆，则a 的最大值为 ．6.设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，若()13f a -=，则a = ．7.已知常数a R +∈，函数()212x x x af -=+为奇函数，则a = ．8.已知常数a R ∈，函数()24a x x x f =-+在[]1,4上有两个不同的零点，则a 的取值范围为 ． 9.已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a = ． 10.设,,x y z R +∈，满足236xyz==，则112x z y+-的最小值为 ． 11.已知常数a R +∈，函数()()22log f x a x =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为 ．12.已知常数a R ∈，设函数()()3232122x a f x x x a =+-+-，定义域为30,⎛⎫⎪⎪⎝⎭.若()f x 的最小值为0，则a = ．二、选择题13.已知常数Q α∈，下图为幂函数y x α=的图像，则α的值可以是（ ）A ．23B ．32C ．23-D ．32-14.设集合()(){}120A x x x =+-≥，201x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15.设集合(){},,,1,1,1yz x S x y z xy z x y z ===>>>且x y z ≠≠，则S 中（ ）A ．元素个数为0B ．元素个数为3C ．元素个数为6D ．含有无穷个元素16.若函数()f x 的图像上存在关于直线y x =对称的不同两点，则称()f x 具有性质P .已知,a b 为常数，函数()2g x a x x =+，()21bx h x x =+，对于命题：①存在a R +∈，使得()g x 具有性质P ；②存在b R +∈，使得()h x 具有性质P ，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题B ．①和②均是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题三、解答题17.已知常数a R ∈，函数()21f x x a =-+. （1）若3a =-，解不等式()0f x ≤；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围. 18.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x ≥时，221x x =-+. （1）求函数()()()0g x f x x x =-≥的零点；（2）若()f x 为偶函数.当0x <时，解不等式()43f x x <--.19.研究发现，在40分钟的一节课中，注力指标p 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩（1）在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；（2）根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.已知常数a R +∈，函数()21f x x ax =-+.（1）若3a =，解方程()341log 3x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（2）设函数()()12g x f x =⎡⎤⎣⎦.若()g x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调进减，求a 的取值范围；（3）设集合(){}3,1A x f x x a x a ==+-≥-的元素个数为n ，求n 关于a 的函数()n a 在R +表达式.21.已知函数()f x ，()g x 的定义域分别为12,D D ，若存在常数C R +∈，满足：①对任意01x D ∈，恒有01x C D +∈，且()()00f x f x C ≤+.②对任意01x D ∈，关于x 的不等式组()()0f x g x ≤≤()()0g x C f x C +≤+恒有解，则称()g x 为()f x 的一个“C 型函数”.（1）设函数()1103113x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩和()1102102x x g x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩求证：()g x 为()f x 的一个“12型函数”；（2）设常数a R ∈，函数()()31f x x ax a =+≥-，()()21g x x x =≥-.若()g x 为()f x 的一个“1型函数”，求a 的取值范围：（3）设函数()()240f x x x x =-≥.问：是否存在常数t R +∈，使得函数()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、填空题1.{}1,2,32.[)0,+∞3.164.05.1-6.37.1 8.[)3,49.1± 10.11.(]0,112.24二、选择题13.C 14.B 15.A 16.B三、解答题17.（1）[]1,2 （2）1a ≥ 18.（1）1x = （2）()1,0- 19.（1）82 （2）不能 20.（1）5x =（2）113,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）当()0,3a ∈时，()0n a =； 当(){}2,263a ∈+∞-时，()1n a =；当(3,2a ∈⎤⎦时，()2n a =.21.（1）略 （2）[)0,+∞（3）)4⎡++∞⎣上海实中高一下学期期末考试数学试卷一．填空题1．57 lim57n nn n n→∞-=+________．2．函数()22cos31y xπ=-的最小正周期为________．3．已知在ABC中，a、b、c分别为A∠、B∠、C∠所对的边，若2222b c a bc+-=，则A∠=________．4．若数列{}n a的前n项和23nnS=+，则其通项公式为________．5．求和：111112123123n++++=+++++++________．6．已知数列{}n a的前n项和4nnS t=+，若{}n a为等比数列，则t=________．7．设无穷数列{}n a的公比为q，若()245limnna a a a→∞=+++，则q=________．8．若{}n a为等比数列，0na>，且20182a=，则2017201912a a+的最小值为________．9．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2a=，2sin sinA C=，若B为钝角，1cos24C=-，则ABC的面积为________．10．已知函数()()5sin2f x xθ=-，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5xπ∈，若函数()()3F x f x=-的所有零点依次记为123,,,,nx x x x，且1231n nx x x x x-<<<<<，*n N∈，若123218322222n n nx x x x x xπ--++++++=，则θ=________．二．选择题11．已知函数()()sinf x xωϕ=+（0ω>，ϕπ<）的图像如图所示，则ϕ的值为（）A．4πB．2πC．2π-D．3π-12．用数学归纳法证明()*11111112324n n N n n n n ++++≥+++∈+时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ） A ．121k + B ．11211k k -++ C ．112122k k +++ D ．112122k k -++13．将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A ．12t =，s 的最小值为6π B ．32t =，s 的最小值为6π C ．12t =，s 的最小值为3π D ．32t =，s 的最小值为3π 14．对于数列12,,x x ，若使得0n m x ->对一切*n N ∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,y y ，且()1006y y y R =∈，若()()111*22n n n n n n n n y N f y y y n f y y y ππ-+-⎧⎪=⎨⎛⎫+-< ∈⎪⎝⎭≥⎪⎩，则当01y=时，下列结论正确的应为（ ）A ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为2πB ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3πC ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为4πD ．数列12,,y y 的“准最大项”不存在三．解答题15．如图，在梯形ABCD 中，AB a =，BC b =，12CD a =-，G 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，求向量EF 和AG （结果用向量a 、b 表示）．16．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n c 对任意*n N ∈，都有1212222nn n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．17．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()cos f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0w >，()0,θπ∈．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多； （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．18．对于任意*n N ∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．（1）已知数列：1，1m +，2m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列n S 是“K 数列”？（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，*n N ∈，设()11nn n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 四．附加题19．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足()*1112n n A A n n N n +-=+∈，且11a =，数列{}n b 满足()*2120n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．（1）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，…，求该数列的前n 项和n S ； （2）设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数l 、()m k l m <<，使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不存在，请说明理由．20．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+，数列{}n b 满足12b =，24b =，且等式211n n n b b b -+=对任意2n ≥成立．（1）将数列{}n a 与{}n b 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,n n a b a b a b ，设该新数列为{}n c ，求数列{}n c 的通项公式和前2n 项的和2n T ；（2）对于（1）中的数列{}n c 的前n 项和n T ，若n n T c λ≥⋅对任意*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围．参考答案一．填空题 1．1- 2．13 3．4π 4．15 122n n n -=⎧⎨≥⎩ 5．21n n + 6．1- 7．12 8．4 910．9π二．选择题11．C 12．D 13．A 14．B 三．解答题 15．34EF a =，()23AG a b =+． 16．（1）n a n =；（2）20132．17．（1）()2200cos 30063f n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭； （2）一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”． 18．（1）2m >或3m <-；（2）11a d +>且0d ≥；（3）536λ> ． 四．附加题19．（1）n a n =，1n b n =-，222,243,4141,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，*k N ∈；（2）存在21l k =-，2452m k k =-+．20．（1）2 1 222n n n n k c n k=-⎧⎪⎨⎪=⎩，*k N ∈，21222n n T n +=+-；（2）1λ≤．上海市高一下学期期末考试数学试卷一．填空题： 1、计算：5arcsin sin6π⎛⎫= ⎪⎝⎭______； 2、关于未知数x ，y的方程组对应的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，则此方程组的解x y +=______；3、设3,sin 2a α⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2α=______；4、已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3x π=，则a =______；5、已知平面向量a ，b ，满足3a =，3b =-，则2a b +=______； 6、设11S 2=，222121S 2=++，22322312321S =++++，……，2222222123321n S n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++．希望证明()2213n n n S +=，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到1k +应添的项是______．（不用化简）7、已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______；8、若数列{}n a 为无穷等比数列，且()1231lim 2n n n a a a a a -→∞+++⋅⋅⋅++=-，则1a 的取值范围是______；9、设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则123456789a a a a a a a a a =______； 10、已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 11、如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD ⋅=______；12、已知平面直角坐标系内定点()1,1A ，动点B 满足2AB =，动点C 满足3CB =，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为______；二．选择题 13、要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只要把函数3sin 2y x =的图像（） A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移6π个单位 14、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心15、已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 16、设O 为ABC △所在平面内一点，满足2730OA OB OC --=，则ABC △的面积与BOC △的面积的比值为（）A 、6B 、83C 、127D 、4三．解答题17、解关于x 、y 的一元二次方程组()3322ax y a x a y +=--⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，并对解的情况进行讨论． 18、已知x R ∈，设()3cos ,sin cos m x x x =-，()2sin ,sin cos n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 的最小值，并求出函数()f x 取最小值时x 的值；（2）设ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，c =ABC △的面积S 的最大值．19、已知ABC △内接于O ，AB c =，BC a =，CA b =，O 的半径为r ．（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值．20、已知平方和公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，其中*n N ∈. （1）记()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，其中*n N ∈，求()20f 的值；（2）已知()()22222213214948242n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，求自然数n 的值； （3）抛物线2y kx =、x 轴及直线:AB x a =围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以a n 为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，n 等于这些内接矩形面积之和． 2222231a a a a a a a n k k k k a n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n →+∞时的极限值．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线2y x =，抛物线y x 、x 轴及直线:4AB x =围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积．21、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈，数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213111333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+- ⎪⎝⎭成立．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．参考答案：一、填空题：1、6π； 2、307； 3、4±； 456、()221k k ++；7、75-； 8、()()4,22,0--⋃-； 9、0； 10、()()7,11,7-⋃；11、52-； 12、25π； 二、选择题：13、C ； 14、A ； 15、B ； 16、A ；三、解答题：17、3a =，无数个解；1a =-，无解；3,1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩； 18、（1）min 2y =-，6x k ππ=-+，k Z ∈； （2） 19、（1）56π； （2）2；20、（1）47980； （2）72；（3）163； 21、（1）113n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）21n -；（3）存在，1c ，2c ，5c 或2a ，3c ，5c ；。
上海高一下学期期末考试数学试卷含答案(共3套)
上海市黄浦区高一下学期期末考试数学试卷一、填空题1．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是 ． 2．方程11232x -=的解为 ． 3．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若其终边经过点(3,4)P -，则sin α= ．4．若1cos 3α=，则cos2α= ．5．函数2()2(0)f x x x x =+≥的反函数为1()f x -= ．6．在A BC △中，若面积2221()4S A C A B BC =+-，则A = ．7．函数tan 63y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为 ．8．若1tan 3x =，(,2)x ππ∈，则x = （结果用反三角函数值表示）．9．若1tan 24α=，则tan tan 44ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．10．设ϕ∈R ，函数sin(3)y x ϕ=+的图像与x 轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为 ． 11．若函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标 是 ．12cos αα-化成sin()A αϕ+（0A <，02ϕπ<≤）的形式，则ϕ= ．二、选择题13．“M N >”是“lg lg M N >”成立的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．下列函数中，周期是π的偶函数为（ ）．A ．cos 2xy = B ．sin 2y x = C ．|sin |y x = D ．sin ||y x =15．为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点（ ）．A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位16．已知()2k k πα≠∈Z ，sin()cos()tan()sin()cos()tan()k k k k k k παπαπαπαπαπα---+++++的值为（ ）． A ．3- B ．1- C ．1 D ．3三、解答题17．已知3cos 5ϕ=-，3,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 3πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭和sin 6πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．（1）证明对数换底公式：log log log a b a NN b=（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >） （2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18．19．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在矩形A B C D ''''的四条 边上，3AB =，5BC =．如果AB 与A B ''的夹角为α，那么 当α为何值时，矩形A B C D ''''的周长最大？并求这个最大值．20．已知函数21()lg31x af xx a++=-+，其中a为非零实常数．（1）若1a=，求函数()f x的定义域；（2）试根据a的不同取值，讨论函数()f x的奇偶性．21．在A BC△中，A、B所对的边长为a、b，45A=︒，b=（1）若a=B；（2）讨论使B有一解、两解、无解时a的取值情况．参考答案一、填空题1．285-︒2．6 3．45-4．79-5．10)x-+≥6．4π7．(65,61),k k k-+∈Z8．1arctan3π+9．1210．3π11．(0,2)-12．56πϕ=【第12cos2sin()2sin cos2cos sinαααϕαϕαϕ-=-+=--，由待定系数法，得cos2cos2sin11sin2ϕϕϕϕ⎧=⎪⎧-=⎪⎪⎨⎨-=-⎪⎩⎪=⎪⎩，又02ϕπ<≤，∴56πϕ=．方法二：由辅助角公式及诱导公式sin sin()x xπ=-+，5cos2sin()2sin()66ππαααα-=-=-+，即56πϕ=．二、选择题13．B 14．C 15．D 16．B【第16题解析】①k为奇数，即21()k m m=+∈Z时，原式sin(2)cos(2)tan(2)sin(2)cos(2)tan(2)m m mm m mππαππαππαππαππαππα+-+-+-=++++++++，sin()cos()tan()sin cos tan1sin()cos()tan()sin cos tanπαπαπααααπαπαπαααα-----=++=++=-+++--；②k为偶数，即2()k m m=∈Z时，原式sin(2)cos(2)tan(2)sin(2)cos(2)tan(2)m m mm m mπαπαπαπαπαπα---=+++++，sin()cos()tan()sin cos tan1sin cos tan sin cos tanαααααααααααα-----=++=++=-；综上，原式的值为1-，选B．三、解答题17．由题意，4sin5ϕ=-，∴cos cos cos sin sin333πππϕϕϕ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin 666πππϕϕϕ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．说明：由诱导公式sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可直接得到sin cos 63ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．（1）设log b N x =，写成指数式x b N =． 两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =．因为0b >，1b ≠，log 0a b ≠，因此上式两边可除以log a b ，得log log a a Nx b=． 所以，log log log a b a N N b=． （2）23333325333log 18log 3log 22log 22log 18log 32log 25log 25mm+++====．19．由题意可知C BC A DA B AB α'''∠=∠=∠=，02πα≤≤，而cos 3cos B A AB αα'==，sin 5sin AA AD αα'==， 所以3cos 5sin A B B A AA αα''''=+=+． 同理可得，3sin 5cos B C αα''=+．于是矩形A B C D ''''的周长为2()2(3cos 5sin 3sin 5cos )A B B C αααα''''+=+++8(sin cos )4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．所以，当42ππα+=，即4πα=时，矩形A B C D ''''的周长最大，最大值为20．（1）(,3)(2,)-∞-+∞；（2）①2a =时，5()lg5x f x x +=-，定义域为(,5)(5,)-∞-+∞，关于原点对称，55()lglg ()55x x f x f x x x -+--===---+，∴此时()f x 为奇函数， ②0a ≠且2a ≠时，()f x 的定义域一定关于原点不对称，∴此时()f x 为非奇非偶函数．21．（1）由正弦定理，得3sin 60sin sin a b B B A B =⇒=⇒=︒或120B =︒； （2）①0sin a b A <<，即03a <<时，B 无解；②sin a b A =或a b ≥，即3a =或32a ≥时，B 有一解； ③sin b A a b <<，即332a <<时，B 有两解． 说明：第（2）问的解法一为固定边b （即AC ）和角A ， 以C 为圆心，边a （即BC ）为半径作圆弧，该圆弧 与角A 除AC 外的另一边所在射线的交点即为点B ． 解法二为应用正弦定理sin sin a b A B =，得3sin B a =（*），其中30,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 方程（*）的解B 的个数，即函数3sin ,0,4y B B π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭与水平直线3y a =交点的个数．上海市嘉定区第二学期高一期末考试试卷数学试题（满分100分，答题时间90分钟）一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知一个扇形的半径为4，圆心角大小为2弧度，则扇形的弧长为 ． 2．已知点(3,4)P -在角α的终边上，则sin α= ． 3．已知193x +=，则x= ．4．函数π()2sin(2)3f x x =+的最小正周期是 ．5．已知在等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，则10a = ． 6．已知{}n a 是等比数列，12a =，414a =，则公比q = ． 7．函数π()sin()3f x x =-的单调递增区间是 ．8．已知)sin(5cos 4sin 3ϕ+=-x x x ，则tan ϕ= ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为32-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和4nn S a =+，则a = ．11．已知某等腰三角形一个底角的余弦值为32，则这个三角形顶角的大小为_____ ________（结果用反三角表示）．12．曲线)0,0(sin >>+=ωωA k x A y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωπ2,0上截直线4=y 和6-=y 所得弦长相等且不为0，则参数k 和A 要同时满足 ．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“4πα=”是“sin 2α=”的……………………………………………………（ ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3455⎛⎫⎪⎝⎭，，则tan(π)θ+的值为…………………………………………………………………………………………（ ）． （A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-15．数列{}n a 成等比数列的充要条件是……………………………………………………（ ）．（A ）q q a a n n (1=+为常数） （B ）0221≠=++n n n a a a （C ）q qa a n n (11-=为常数） （D ）21++=n n n a a a16．已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是……………………………………………………………………………………（ ）．（A ）2π2sin 76y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （B ）2π2sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分8分）.解关于x 的方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++．18．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分.数列{}n a 中，)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+．（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ．19．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分. 已知常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+，x ∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求a 的值．20．(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，某货轮在A 处看到灯塔B 、C 分别在货轮的北偏东75︒和北偏西30︒的位置，其中A 、B 相距126海里，A 、C 相距83海里，当货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，此时灯塔B 在货轮的北偏东120︒的位置．（1）求货轮从A 行驶到D 处的距离； （2）求灯塔C 与D 处的距离．21.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2nn a =(*n ∈N )，试举反例说明数列{}n a 不是T 数列； （2）若27n b n n =-+ (*n ∈N )，证明：数列{}n b 是T 数列．第二学期高一年级测试 数学试题参考答案（满分100分，答题时间90分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知一个扇形的半径为4，圆心角大小为2弧度，则扇形的弧长为 ．8 2．已知点(3,4)P -在角α的终边上，则sin α= ．4sin 5α= 3．已知193x +=，则x= ．14．函数π()2sin(2)3f x x =+的最小正周期是 ．π5．已知在等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，则10a = ．19 6．已知{}n a 是等比数列，12a =，414a =，则公比q = ．21 7．函数π()sin()3f x x =-的单调递增区间是 ．π5π2π,2π,66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 8．已知)sin(5cos 4sin 3ϕ+=-x x x ，则tan ϕ= ．43-9．已知数列{}n a 的前n 项和为32-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．1(1)2(2)n n a n n -=⎧=⎨≥⎩10．已知等比数列{}n a 的前n 项和4nn S a =+，则a = ．1-11．已知某等腰三角形一个底角的余弦值为32，则这个三角形顶角的大小为_____ ________（结果用反三角表示）．954arcsin或（91arccos ）12．曲线)0,0(sin >>+=ωωA k x A y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωπ2,0上截直线4=y 和6-=y 所得弦长相等且不为0，则参数k 和A 要同时满足 ． 5,1>-=A k二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13．“4πα=”是“sin 2α=”的…………………………………（ A ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3455⎛⎫⎪⎝⎭，，则tan(π)θ+的值为……………………………………………………………………（ C ）． （A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-15．数列{}n a 成等比数列的充要条件是 …………………………………（ B ）．（A ）q q a a n n (1=+为常数） （B ）0221≠=++n n n a a a （C ）q qa a n n (11-=为常数） （D ）21++=n n n a a a16．已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 …………………………………………………………………（ D ）．（A ）2π2sin 76y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （B ）2π2sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5必要的步骤.17．(本题满分8分）.解关于x 的方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++． 解：222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++4010110x x x x +>⎧⎪∴->⇒>⎨⎪+>⎩…………………………………………………………2分 又22log (4)(1)log 2(1)x x x +-=+…………………………………………4分 即(4)(1)2(1)x x x +-=+……………………………………………………6分23()x x ∴==-或舍即方程的解为2x = …………………………………………………………8分 18．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分.数列{}n a 中，)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+．（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ．解：（1）21112111*=+++=++∈+n n n n a a a a N n 时为常数，………………………4分∴数列{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列．…………………………………6分（2）因为数列{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列，…………………………8分所以n n a 21=+，即12-=nn a ． …………………………………………………10分.19．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分. 已知常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+，x ∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求a 的值．解：(1) 当1a =时，2()sin 22cos f x a x x =+2πsin 22cos sin 2cos 21)14x x x x x =+=++=++………………………3分又x ∈R，所以()1f x ⎡⎤∈⎣⎦………………………………………………4分（2）2()sin 22cos f x a x x =+为偶函数即22()()sin(2)2cos ()sin 22cos f x f x a x x a x x -=⇒-+-=+……………………6分22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+………………………………………………8分即2sin 20a x =对一切x ∈R 成立，所以0a =…………………………………………10分20．(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，某货轮在A 处看到灯塔B 、C 分别在货轮的北偏东75︒和北偏西30︒的位置，其中A 、B 相距126海里，A 、C 相距83海里，当货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，此时灯塔B 在货轮的北偏东120︒的位置．（1）求货轮从A 行驶到D 处的距离； （2）求灯塔C 与D 处的距离．解：(1)在△ABD 中，60ADB ∠=︒，45B =︒，126AB =……………………………2分由正弦定理得2126sin 224sin 3AB BAD ADB⨯===∠(海里)．…………………5分A 处与D 处的距离是24海里； ……………………………………………………6分 (2)在△ADC 中，由余弦定理，得2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅∠………………………………………8分即()2223248322483=192CD =+-⨯⨯⨯所以83CD = (海里)．……………………………………………………………11分∴灯塔C 与D 处的距离为83 海里. ……………………………………………12分21.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2nn a =(*n ∈N )，试举反例说明数列{}n a 不是T 数列；（2）若27n b n n =-+ (*n ∈N )，证明：数列{}n b 是T 数列． 解：（1）若2nn a =，取12a =、24a = 、38a =，则1352a a +=即1322a aa +> 所以数列{}n a 不是T 数列．（也可以举其它反例）……………………………………6分（2）由27n b n n =-+，得：2222127(2)7(2)2(1)14(1)20n n n b b b n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-≤ 即212n n n b b b +++≤所以数列{}n b 满足212n n n b b b +++≤． ……………………………………………9分 又274924n b n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当3n =或4n =时，n b 取得最大值12，即12n b ≤，故存在常数12M =，使得n b M ≤综上，数列{}n b 是T 数列．………………………………………………………12分上海市静安区高一下学期末数学试卷一、填空题1，余弦函数y ＝cos x 在闭区间[2](Z)k k π∈________，上是增函数．2．数列{}n a 满足113,5n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式*__________()n a n N =∈ 3．函数()tan()6f x x π=+的定义域为________4．已知21tan(),tan()544παββ+=-=，则tan()4πα+=________5．数列{}n a 的通项*sin()2n n a n n N π=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=________6．已知1sin cos 5αα+=，且324ππα≤≤，则cos2α=________7．已知x ＝3是函数2()log (1)2f x ax x =+-的零点，则a ＝________ 8．已知函数arcsin(cos )y x =的定义域为2(,)33ππ-，则该函数的值域为________9．在实数1和81之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作n T ，再令*3log ()n na T n N =∈．则数列{}n a 的通项公式__________.n a =10．在△ABC 中， ,,A B C ∠∠∠所对的边长分别为a ，b ，c ．设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和12c b =，则tan B ＝________ 二、选择题11． sin 240°的值是（ ）11 B.D. 22.A -12． 设34sin ,cos 55αα=-=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ）A. (3,4)B. (4,3)C. (4,3)D. (3,4)----13．对于函数()sin(2)6f x x π=+，下列命题：①函数()sin(2)6f x x π=+对任意x 都有()()66f x f x ππ+=-．②函数()sin(2)6f x x π=+图像关于点5(,0)12π对称．③函数()sin(2)6f x x π=+图像可看作是把y ＝sin 2x 的图像向右平移12π个单位而得到． ④函数()sin(2)6f x x π=+图像可看作是把y ＝sin （x ＋π6）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ． 2C ．3D ． 4三、解答题14．已知α为第一象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+15．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++．(1)求k 的值；（2）求这段时间水深（单位： m ）的最大值．16.已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数， 且当x ＞0时， f （x ）＝lg x ． （1）当x ＜0时，求函数y ＝f （x ）的解析式； （2）求不等式f （x ）＜1的解集。
2020-2021学年上海市上海中学高一下学期数学期末考试卷(含详解)
上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．5.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．7.已知(0,2))z απ=∈，则z 的取值范围是__________．8.已知z C ∈，方程3i 13i z z z ⋅-=+的解为___________．9.已知直线a ，b 垂直，直线c 与a 所成的角为6π，则c 与b 所成角的范围是___________．10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．11.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0B.1C.2D.314.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1B.2C.3D.415.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心16.在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且D A ，一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为（） A.393B.15326+ C.433 D.373三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在平面直角坐标系中，向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()sin ,cos n x x = ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若m n ⊥，求tan x 的值．18.空间四边形ABCD 中，AB AC ≠，AE 是ABC 的边BC 上的高，DF 是BCD △的边BC 上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．19.在OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得:1:5OM OA =，:1:4ON OB =，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a = ，OB b = ，用a ，b表示向量OP ．20.如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A QA B的值；若不存在，说明理由．21.设复平面中向量OP对应的复数为P z ，给定某个非零实数z ，称向量()()()()Re ,Im P P z OP z z z z =⋅⋅ 为OP的z -向量．（1）已知()11,OA x y = ，()22,OB x y =，求()()z OA z OB ⋅ ；（2）对于复平面中不共线的三点A ，B ，C ，设()'OA z OA = ，()'OB z OB =，()'OC z OC =，求''':A B C ABCS S △△；（3）设()(),,0v x y x y => ，()i 1,0= ，()0,1j = 的z 向量分别为'OV ，OE ，OF ，已知()',OV u v = ，1'OV E S S =△，2'OV F S S =△，求v的坐标（结果用1S ，2S ，z 表示）．上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．【答案】4343,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】【分析】根据单位向量的求法，即可得答案.【详解】由题意得：与a 平行的单位向量为()4,343,555aa -⎛⎫±=±=±- ⎪⎝⎭.故答案为：4343,,5555⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.【答案】8【解析】【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置.与个数【详解】若三角形在平面的同侧,此时到ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的平面有两个.因为正三角形的边长为3,所以三角形的高为22>,所以当平面经过中位线EF 时,根据线面平行的性质可知,此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为1cm .同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个.所以满足条件的平面共有8个.故答案为8.【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查了空间想象能力，属于中档题.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．【答案】1i -【解析】【分析】根据复数的运算法则计算．【详解】由已知1i 1i1i (1i)(1i)1211z zz --===-+----．故答案为：1i -．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．【答案】8【解析】【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得220z bz c ++=的另一根为1，再由韦达定理可得(1)(1)2=c，即可求出c 的值.【详解】由题意得实系数一元二次方程220z bz c ++=的另一根为1-，再由韦达定理可得(1)(1)2+-=c，得8c =.故答案为：85.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．【答案】0b =且1a ≠-【解析】【分析】化简1+z z ，再由1+z z是实数，虚部为0，分母不为0化简，即可得答案.【详解】由题意，1+z z 是实数，即2222(1))(1(1)(1)(1)+-+++==++++++-+++a bi a a b bia bi a bi a bi a a i a bib b 为实数，可得0b =且22(1)0++≠a b ，即0b =且1a ≠-.故答案为：0b =且1a ≠-.6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，列出方程组，求得x ，y ，即可得答案.【详解】因为()()2452x y a b a x y b -+=+- ，且向量a ，b不共线，所以2542x y x y-=⎧⎨=-⎩，解得2,1x y ==-，所以1x y +=.故答案为：17.已知(0,2))zαπ=∈，则z的取值范围是__________．【答案】2 2⎣【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．【详解】由题意z=====，20sin1α≤≤，233321sinα≤≤+，所以22z≤≤．故答案为：2⎣．8.已知z C∈，方程3i13iz z z⋅-=+的解为___________．【答案】1z=-或13iz=-+【解析】【分析】两边取共轭复数后可得方程组，得到2z z+=-，再将2z z=--代入方程得到关于复数z的方程，因式分解从而求得复数z.【详解】两边取共轭复数后可得方程组：3i13i3i13izz zzz z-=+⎧⎨+=-⎩①②，②-①得2z z+=-，把2z z=--代入②得：2(23i)(13i)0z z+-+-=，即(1)(13i)0z z++-=，∴1z=-或13iz=-+.故答案为：1z=-或13iz=-+.9.已知直线a，b垂直，直线c与a所成的角为6π，则c与b所成角的范围是___________．【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】考虑到直线c与a所成的角为6π，把,,a b c平移到一个圆锥上，a为圆锥PO的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，由母线PC 到底面直径AB 所成角可得结论．【详解】不妨平移,,a b c 为：a 为圆锥PO 的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，如图，对于任意一条母线PC ，当C 是半圆弧 AB 中点时，PC 与AB 所成角为2π，当C 不是半圆弧 AB 中点时，作//CD AB 交底面圆于D ，PC 与AB 所成角为PCD ∠（此角为锐角），cos PCD ∠12CDPC=，而0CD AB<≤，所以0cos OA PCD PA <∠≤，即2PAO PCD π∠≤∠<，3PAO π∠=，所以32PCD ππ≤∠<，综上32PCD ππ≤∠≤，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．【答案】4【解析】【分析】在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，根据线面垂直的判定定理，可证1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为所求，分别求得各个边的长度，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】延长11C D ，在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，连接1A C 、CE ，如图所示因为1AA ⊥底面ABCD ，则1AA ⊥平面1111D C B A ，又1A E ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，因为11AA DD ∕∕，所以11A E DD ⊥，所以1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为直线1A C 与侧面11DCC D 所成角，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以23AC =在1Rt A AC △中，2114AC A A AC =+=，在11Rt A D E △中，12sin 603A E =︒=，所以在1Rt A CE 中，1113sin 4A E A CE A C ∠==.所以对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为34.故答案为：3411.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.【答案】5【解析】【分析】由题意可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，0AB AD =，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，由完全平方数的最值，可得最值．【详解】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，则0AB AD =，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++=，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为所以最小值与最大值的和为故答案为：【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力．12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．【答案】2【解析】【分析】根据空间中，直线的位置关系，分析即可得答案.【详解】空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，只有2种情况：正四面体模型，各个夹角为60︒，且满足异面，甲烷模型，各个夹角为10928'︒，且满足异面，故答案为：2二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质判断（1）（3），（2）结合线面垂直的判定定理和性质定理判断．【详解】（1）空间四边形的对角线一定不相交，否则变成平面四边形，正确；（2）如图四边形ABCD 的四个角都是直角，若ABCD 不是平面四边形，则,AB CD 不共面，显然不平行，过C 作//CE AB ，任取一点E ，连接DE ，则AD CE ⊥，又AD CD ⊥，而CD CE C = ，,CD CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE ，同理BC ⊥平面CDE ，所以//AD BC ，即,AD BC 共面，则ABCD 是平面四边形，矛盾．所以假设不成立，ABCD 是平面四边形，正确．（3）平行四边形的四个顶点中无三点共线，但它们共面，错误．正确的命题有2个．故选：C ．14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】结合正方体可得正确的选项.【详解】如图在正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1A ABC -的四个侧面都是直角三角形，故选：D .【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+ ，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC 重心.【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦ ，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC 的重心。
上海中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
上海中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、填空题（每空3分，共39分）1．已知点(1,0)A ，(3,0)B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ． 〖解 析〗点(1,0)A ，(3,0)B ，∴(2,0)AB =，∴(4BC AC AB =-=-，3)(2--，0)(6=-，3)-．〖答 案〗(6,3)--2．已知复数1z i =--，则|(1)|z z -= ． 〖解 析〗1z i =--，1z i =-+，(1)(2)(1)3z z i i i ∴-=+-+=-+，|(1)|z z ∴-．〖答3．若(2,1)a =-，(3,4)b =-，则a 在b 方向上的数量投影是 2- ． 〖解 析〗向量(2,1)a =-，(3,4)b =-，所以2(3)(1)410a b ⋅=⨯-+-⨯=-， 所以a 在b 方向上的数量投影为||cos 2||(3)a b a b θ⋅-===--．〖答 案〗2-4．在正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB 与平面11A BC 所成角的余弦值为 ． 〖解 析〗以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，(1B ，1，0)，1(1B ，1，1)，1(0A ，1，1)，1(1C ，0，1)，则1(0,0,1)BB =，设(n x =，y ，)z ⊥平面11A BC ，111(1,0,1),(1,1,0)A B A C =-=-， 则1111001001x n A B x z y x y n A C z =⎧⎧⋅=-=⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎩，所以(1,1,1)n =，棱1BB 与平面11A BC 所成角为θ，所以1111sin |cos ,|||||||3BB n BB n BB n θ⋅=〈〉===⋅cos θ=．〖答 5．设x 为虚数，若11x x +=-，则202220221x x-= ． 〖解 析〗11x x+=-，210x x ∴++=， 2(1)(1)0x x x ∴-++=，即310x -=，31x ∴=， 202236741x x ⨯∴==，202220221110x x ∴-=-=．〖答 案〗06．在四面体ABCD 中，若棱AC 与BD 所成角为60︒，且4AC BD ==，则连接AB ，BC ，CD ，DA 四条棱的中点所得四边形的面积为 ．〖解 析〗如图，空间四边形ABCD 中，棱AC 与BD 所成角为60︒，且4AC BD ==，分别取AB ，BC ，CD ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ， 则////EF GH AC ，且122EF GH AC ===， //////EH GFBD ，且122EH GF BD ===，60HEF ∴∠=︒，或120HEF ∠=︒，不妨取60HEF ∠=︒，∴连接各边中点所得四边形的面积22sin 60EFGH S =⨯⨯︒=〖答 案〗7．在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是12i +，2i -+，12i --，则第四个复数是 ．〖解 析〗设正方形的三个顶点对应的复数分别为12OA i =+，2OB i =-+，12OC i =--， 设(OD a =，)(b a ，)b R ∈，3AB OB OA i =-=--，13BC OC OB i =-=-，1(3)(1)(3)0⨯-+-⨯-=，AB BC ∴⊥，∴AB DC =，即3(12)()i i a bi --=---+，∴2113b a --=-⎧⎨--=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，∴(2,1)OD =-，即第四个复数是2i -．〖答 案〗2i -8．已知a 、b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，则a 与b 的夹角为 ． 〖解 析〗3a b +与75a b -垂直，22(3)(75)715160a b a b a b a b ∴+⋅-=-+⋅=① 又4a b -与72a b -垂直，22(4)(72)78300a b a b a b a b ∴-⋅-=+-⋅=② 由①②得222a b a b ==⋅， 又由cos ||||a b a b θ⋅=⋅，易得：1cos 2θ=，则60θ=︒．〖答 案〗60︒9．已知方程220()x x m m R ++=∈的两根α，β满足||4αβ-=，则m = ． 〖解 析〗由根与系数的关系可得，2αβ+=-，m αβ=，||4αβ∴-==，4416m ∴-=，3m ∴=-．〖答 案〗3-10．正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为 ．〖解 析〗设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ， 则EFG ∆是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG ∆这样的三角形截面共有4个． 正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴∆是边长为1的正三角形，可得1sin 602EFG S EF FG ∆=︒=； 取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC ∆、ADC ∆的中位线，//12EI AC ∴=，//12GH AC =，得//EI GH =，∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD =且AC BD ⊥，//12EI AC =，//12HI BD =，EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于434313EFG EGHI S S ∆+=+⨯．〖答 311．已知z 为虚数，且121z z z=+是实数，221z z z =+也是实数，则3z 的值为 ． 〖解 析〗设z x yi =+（其中x ，y R ∈，且0)y ≠，则实数22222212222222222222()[(1)2](1)(1)1()(1)2(1)4(1)4x yi x yi x yi x y xyi x x y y x y i Z x yi x y xyi x y x y x y x y ++++--+++--====+++-++-++-+，22(1)0(0)y x y y ∴--=≠，221x y ∴+=，对于实数2Z ，同理求得222x y x +=-，联立解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12z ∴=-，31z ∴=．〖答 案〗112．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA =，||1OB =，OP tOA =，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取得最小值，当0106t <<时，cos θ的取值范围为 ． 〖解 析〗由题意可得21cos OA OB θ⋅=⨯+，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-=--， 22222||(1)||||2(1)OP t OB t OA t t OA OB ∴=-+--⋅22(1)44(1)cos t t t t θ=-+--2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+，由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，0106t <<，12cos 1054cos 6θθ+∴<<+，54cos 0θ+>，11cos 28θ∴-<<-，即cos θ的取值范围为11(,)28--．〖答 案〗11(,)28--．13．ABC ∆中，·2?3?AB AC BA BC CACB +=，则sin C 的最大值为． 〖解 析〗222cos 2b c a AB AC bc A +-==，222·2a c b BA BC +-=，222·2a b c CACB +-=， ∴2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=，即22223a b c +=，22222221(2)3cos 2?223636a b a b a b c a b ab C ab ab b a b a +-++-∴===+当且仅当36a bb a=即b=时取等号， 7sin 3C C∴=． 〖答 二、选择题（每题4分，共16分）14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中，其中正确的是( )A ．若m α⊂，//n α，则//m nB ．若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥C ．若n αβ=，//m n ，则//m α且//m βD ．若αγ⊥，//βγ，则//αβ〖解 析〗对于A ，若m α⊂，//n α，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误； 对于B ，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，由//βγ，则m γ⊥，故B 正确； 对于C ，若n αβ=，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故C 错误；对于D ，若αγ⊥，//βγ，则αβ⊥，故D 错误． 〖答 案〗B15．若非零不共线的向量a ，b 满足||||a b b +=，则( ) A ．|2||2|a a b >+ B ．|2||2|a a b <+C ．|2||2|b a b >+D ．|2||2|b a b <+〖解 析〗|2|||||||2||a b a b b a b b b +=++++=，a ，b 是非零向量，∴必有a b b +≠，上式中等号不成立，2|||2|b a b ∴>+．〖答 案〗C16．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则(λ= )A B ．2 C D〖解 析〗如图：连接63A A ，14A A ，27A A ，63A A 与14A A 相交于B ， 在14A A 上取一点C ，使得176A C A A =，则716A A A C =，设3||BA m =，则6372||||(2A A A A m m m ==+=+， 由图可知，6471646672722222m m A A A A A A A C A B A A A A ++=+==⨯=，λ=〖答 案〗D17．在等腰三角形ABC ∆中，AB AC ⊥，2BC =，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上的一个动点，ABD ∆沿AD 翻折至△AB D '使B D DC '⊥，点A 在面B CD '上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是( )A ．线段NO 为定长B ．||[1CO ∈C ．存在D 的某个位置使得180AMO ADB '∠+∠>︒ D ．存在D 的某个位置使得AC B D '⊥ 〖解 析〗如图所示，对于A ，AOC ∆为直角三角形，ON 为斜边AC 上的中线，122ON AC ∴==为定长，故A 正确；对于B ，D 为M 时，1AO =，1CO =，||[1CO ∴∈，故B 正确； 对于D ，B D DC '⊥，AC B D ⊥'，ACDC C =，B D ∴'⊥平面ADC ，AM ⊂平面ADC ，AC B D ∴⊥'，B D ∴'⊥平面ADC ，AM ⊂平面ADC ，BD AM ∴'⊥，∴当D 与M 重合时，满足AC B D ⊥'，故D 正确；对于C ，当点D 在点M 右边时，90AMO ∠<︒，且90ADB ∠'<︒， 故不满足180AMO ADB ∠+∠'>︒，当点D 在点M 左边时，二面角A CD B --'的平面角为θ， 则180AMO ADB ADB θ∠+∠'=︒-+∠'，ADB θ>∠'，180AMO ADB ∴∠+∠'<︒，故C 错误．〖答 案〗C三、解答题（本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤）18．（6分）复数2(1)(8)156()z i m i m i m R =+-++-∈，求实数m 的取值范围使得： （1）z 为纯虚数；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限． 解：222(1)(8)156(815)(6)z i m i m i m m m m i =+-++-=-++--，（1）z 为纯虚数，需满足28150m m -+=且260m m --≠， 可得5m =；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限，需满足28150m m -+>且260m m --<， 解得23m -<<，即实数m 的取值范围为(2,3)-．19．（8分）已知正方形ABCD 所在平面外一点P 满足PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若45PDA ∠=︒，求AF 与BC 所成角的大小． （1）证明：取PD 中点G ，连接FG ，GA ，F 为PC 中点，//FG CD ∴，且12FG CD =，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，//AE CD ∴，12AE CD =，//FG AE ∴，且FG AE =，∴四边形AEFG 是平行四边形，//EF AG ∴，EF ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：取AC 中点M ，连接DM ，FM ，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥，45PDA ∠=︒，PA AD ∴=，设正方形ABCD 的边长为a，则AM MD ==， PA ⊥平面ABCD ，FM ∴⊥平面ABCD ，且1122FM PA a ==，由勾股定理得AF ==，同理得FD =， //BC AD ，AF ∴与AD 所成角FAD ∠即为AF 与BC 所成角，由余弦定理得22222233cos 2a a a AF AD DF FAD AF AD +-+-∠===⋅，故FAD ∠=，故AF 与BC所成角的大小为． 20．（8分）已知向量(3m =，1)，单位向量n 与向量m 的夹角为3π． （1）求向量n ；（2）若向量n 与坐标轴不平行，且与向量2(3p x =，2)x y -垂直，令254t y x =++，请将t 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最大值．解：（1）设(,)n x y =，向量n 是单位向量，221x y ∴+=， 向量n 与向量m 夹角为3π，cos 3π∴=，∴1y +=，解方程组2211x y y ⎧+=⎪+=，解得01x y =⎧⎨=⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴(0,1)n =或3(2n =，1)2-． （2）(0,1)n =与坐标轴平行，不成立；∴3(2n =，1)2-，又向量n 与向量22(3,)p x x y=-垂直， ∴221()()02x y +-⋅-=，2230x x y ∴-+=，即223y x x =-， 又22254(3)54364t y x x x x x x =++=-+++=-++，2()364f x x x ∴=-++，230x x -+，103x∴，2()364f x x x ∴=-++， 230x x -+，∴103x，22()3643(1)7f x x x x ∴=-++=--+，[0x ∈，1]3， ∴当13x =时，117()()33max f x f ==．21．（10分）如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为(1i A i =，2，3，4)．（1）当1A ，2A ，3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123AA A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线性材科复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？解：（1）设1(0)OA a a =>，根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，1A ，2A ，3A ，4A 两两连接后得到四面体1234A A A A 为正四面体，延长4AO 交平面123A A A 于点B ，则4A B ⊥平面123A A A ，连接1A B ，则1OA B ∠就是1OA 与平面123A A A 所成角，设141,A A l A B ==则，在Rt △41A A B 中，1A B =，在△41A A B 中，2221414A A A B A B =+，∴222))l a =+，解得l =，1A B ∴==，1cos OA B ∠=，1OA ∴与平面123A A A 所成角大小为arccos3．（2）2121()2A A =1）可得12A A =，解得a =．∴要用某种线性材科复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料：1100(4)100a ⋅⋅=． 22．（13分）我们学过二维的平面向量，其坐标为1(t α=，2)(k t t R ∈，1k =，2)，那么对于*(n n N ∈，2)n 维向量，其坐标为1(t α=，2t ，，)(n k t t R ∈，1k =，2，，)n ．设*(n n N ∈，2)n 维向量的所有向量组成集合1{|(n A t αα==，2t ，，)n t ，k t R ∈，1k =，2，，}n ．当1(t α=，2t ，，)({0n k t t ∈，1}，1k =，2，，)n 时，称为n A 的“特征向量”，如21{|(A t αα==，2)t ，k t R ∈，1k =，2}的“特征向量”有1(0,0)α=，2(0,1)α=，3(1,0)α=，4(1,1)α=．设1(x α=，2x ，，)n x 和1(y β=，2y ，，)n y 为n A 的“特征向量”，定义|α，111122221|[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y β=+--++--+++--．（1）若α，3A β∈，且(1α=，1，0)，(0β=，1，1)，计算|α，|α，|α，|β的值； （2）设4B A ⊆且B 中向量均为4A 的“特征向量”，且满足：α∀，B β∈，当αβ=时，|α，|β为奇数；当αβ≠时，|α，|β为偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（3）设*(,2)n B A n N n ⊆∈，且B 中向量均为n A 的“特征向量”，且满足：α∀，B β∈，且αβ≠时，|α，|0β=．写出一个集合B ，使其元素最多，并说明理由．解：（1）|α，1|[(110)(110)(000)]22α=+-++-++-=，|α，1|[(101)(110)(011)]12β=+-++-++-=．（2）设1(a α=，2a ，3a ，4)a ，1(b β=，2b ，3b ，4)b ，{0i a ∈，1}，{0i b ∈，1}(1i =，2，3，4)，当αβ=时，|α，1234|a a a a β=+++为奇数，则仅有1个1或3个1， 当αβ≠时，|α，411|(||)2i i i i i a b a b β==+--∑为偶数，①仅有1个1时，41()2i i i a b =+=∑，为使|α，|β为偶数，则41||2i i i a b =-=∑，即i a 与i b 不同时为1，此时1{(1B =，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}，4个元素． ②仅有3个1时，41()6i i i a b =+=∑，为使|α，|β为偶数，则41||2i i i a b =-=∑，即i a 与i b 不同时为0，此时2{(0B =，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}，4个元素． ③若1B α∈，2B β∈，则|α，|1β=，舍去， 综上所述，集合B 中的元素个数最大值为4．（3）{(0B =，0，0，0)⋯，(1，0，0⋯，0)，(0，1，0，0)⋯，(0，0，10)⋯⋯，(0，0，0，⋯，1)}，此时B 中有1n +个元素，下证其为最大，对于任意两个不同的元素α，β，满足|α，|0β=， 则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于1n +个元素，由于(0α=，0，0，⋯，0)与任意元素β都有|α，|0β=， 所以除(0，0，0，⋯，0)外至少有1n +个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足i i x y l ==， 此时|α，|1β不满足题意， 故B 中最多有1n +个元素．。
上海市高一数学下学期期末考试试题(含解析)22
当 时，若后添入的数 ，则一定不适合题意，从而 必是数列 中的某一项 ，
则
.
整理得 ，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。
综上：符合题意的正整数 .
【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．
的值域为A， .
(1)当 的为偶函数时，求 的值；
（3）因为 ， ， ，检验知 ，3，4不合题意， 适合题意．当 时，若后添入的数 则一定不适合题意，从而 必定是数列 中的某一项，设 则 误解，即有 都不合题意．故满足题意的正整数只有 ．
【详解】解（1）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍），则
又 ，所以
（2）由 ，得 ，
所以 ， ， ，
则由 ，得
而当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列
【详解】当 时，左边为 ，故选C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.
的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数 的图象重合 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的图象分别向左平移 个单位，向右平移 个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数 的图象重合，可分别得最新 ， 的方程，解之即可．
（3）由条件得 ，再由 ， ，可得 ．由 的图象最新点 ， 对称求得 ，可得 ．再由 的图象最新直线 成轴对称，所以 ，可得 ， ，由此求得 满足的条件．
【详解】解：（1）因为函数 为偶函数，所以 ，
得 对 恒成立，即 ，
所以 .
（2）
上海市最新高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市控江中学2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3. 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期.【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为：1. 【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =_________． 【答案】3. 【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值，然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==，得42a =，所以，37454272a q a ===，3q ∴=，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题. 4.已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】 【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=，故答案为：13.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________． 【答案】29arccos 48π-. 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围得出角C 的值.【详解】由余弦定理得22222246929cos 224648a b c C ab +-+-===-⨯⨯，0C π<<，29arccos48C π∴=-，故答案为：29arccos 48π-. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.6.在ABC ∆中，角A 所对的边为a ，若2a =，且ABC ∆的外接圆半径为2，则A =________． 【答案】6π或56π. 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sin A 的值，结合角A 的取值范围得出角A 的值. 【详解】由正弦定理可得4sin a A =，所以，1sin 42a A ==， 0A π<<，6A π∴=或56π，故答案为：6π或56π.【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.7.已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．【答案】23nn a =+. 【解析】 【分析】由题意得出()1332n n a a +=--，可得出数列{}3n a -为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列{}3n a -的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】设()12n n a x a x ++=+，整理得12n n a a x +=+，对比可得3x =-，()1323n n a a +∴-=-，即1332n n a a +--=，且132a -=， 所以，数列{}3n a -是以2为首项，以2为公比的等比数列，13222n nn a -∴-=⨯=，因此，23n n a =+，故答案为：23nn a =+.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.已知数列{}n a的通项公式为()*124,2,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答）【答案】395. 【解析】 【分析】由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【详解】由题意可得()()1717151821232212281232S =+++++=+++++++()8878321221140395122⨯+-=+=-+=-，故答案为：395.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.9.在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______. 【答案】12. 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值． 考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．10.已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 【答案】[)()2,33,4【解析】 【分析】根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.【详解】由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q qq a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；③当1q =时，113lim 114n n q q a a →∞⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.在数列{}()*n a n N∈中，12a=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S -成等比数列，则()2lim 1n n n n a →∞++⋅=________． 【答案】2-. 【解析】 【分析】由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()22n n n S a S =-，化简得出1122n n n S S S --=+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的表达式，于是可求出()2lim 1n n n n a →∞++⋅的值. 【详解】当2n ≥时，由题意可得()22n n n S a S =-，即()()212n n n n S S S S -=--，化简得1122n n n n S S S S --+=，得1122n n n S S S --=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，11112n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列， ()1111222n nn S ∴=+-⋅=，2n S n∴=，则()12222211n n n a S S n n n n n n-=-=-=-=----， 因此，()()222211121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n nn a →∞→∞→∞+++-++=-=-⋅=--+，故答案为：2-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.12.设集合{}2016,nA n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{}012,2、{}122,2、等等．记这136个二元子集1B 、2B 、3B 、、136B ，设{}()*,1136,i B x y i i N=≤≤∈，定义()1S B x y =-，则()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答） 【答案】1835028 【解析】 【分析】分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、、162时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【详解】当二元子集较大的数为12，则较小的数为02； 当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、、152.由题意可得()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+()()301216011532222162222⨯---++⨯----()231612316121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+()2316122215216=⨯+⨯++⨯+， 令23161222152S =⨯+⨯++⨯，得31617212142152S =⨯++⨯+⨯，上式-下式得()21523161717217212222152152214212S --=+++-⨯=-⨯=--⨯-，化简得2172142S =+⨯，因此，()()()()2171231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，故答案为：1835028.【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题13.已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ++等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式结合条件()sin 2cos x x x ϕ+=+得出cos ϕ、sin ϕ的值，由tan 2ϕ=结合同角三角函数得出cos ϕ、sin ϕ的值，于此可得出结论.【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎨⎪+=⎩可得sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由辅助角公式)sin 2cos sin sin cos cos sin 55x x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭()x ϕ=+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 因此，“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的必要非充分条件，故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.14.已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.3πB.4π C.6π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】 将点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式，得出()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，可得出ϕ的最小值.【详解】由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈， 因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ）A. 6B. 0C. 4D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值.【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17.在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*153n a n n N =-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦，因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.设函数()222cos 24sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，定义域为R ． （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =的解集．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【解析】 分析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解出x 的范围得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由()2f x =1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解出该方程可得出结果. 【详解】（1）()222cos 24sin 3f x x xπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭221cos 22cos 2cos sin 2sin423cos 22332x x x x x ππ-⎛⎫=++⋅=-+ ⎪⎝⎭1sin 222sin 2cos cos 2sin 2233x x x x ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）令()2223f x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 52236x k πππ∴-=-+或()2236x k k Z πππ-=-+∈， 解得4x k ππ=-或()12x k k Z ππ=+∈，因此，关于x 的方程()2f x =的解集为,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+． （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）10n a n =-，23n n b -=；（2）227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出关于d 、q 的方程，求出这两个量，然后分别求出数列{}n a 、{}n b 的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1n =可得出1c 的值，再令2n ≥，由112233n n n b c b c b c b c a ++++=得出112233111n n n b c b c b c b c a ---++++=，两式相减可求出n c ，于此得出数列{}n c 的通项公式.【详解】（1）由题意得()()2211244a f d d d d =-=-=-+，()291a f d d =+=，()229184444d a a d d d d =-=--+=-，解得1d =-，且()()221239a d =-=-=，()()119110n a a n d n n ∴=+-=--=-，()()2221244b f q q q q =-=-=-+，()241b f q q =+=，2242244b qq b q q ∴==-+， 0q ≠且1q ≠，整理得2430q q -+=，解得3q =，()2221b q ∴=-=，2113b b q ∴==，由等比数列的通项公式可得11211333n n n n b b q ---=⋅=⋅=； （2）由题意可知，对任意的n *∈N ，11223310n n n b c b c b c b c a n +++=+=-.当1n =时，119b c =，11927c b ∴==； 当2n ≥时，由11223310n n b c b c b c b c n ++++=-，可得1122133111n n b c b c b c b c n --++++=-，上述两式相减得1n n b c =-，即231n n c -=-，213n n c -∴=-.127c =不适合上式，因此，227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知常数R λ∈且3λ>-，在数列{}()*n a n N∈中，首项1aλ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，*n N ∈.（1）设12n n n b a a +=-，*n N ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式； （2）设2nn n a c =，*n N ∈，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，()1*(3)2n n b n N λ-=+⋅∈；（2）证明见解析，()()*334n N n c n λλ+-∈+=；（3）79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）令1n =，求出2a 的值，再令2n ≥，由143n n S a +=+，得出143n n S a -=+，将两式相减得1144n n n a a a +-=-，再利用等比数列的定义证明1nn b b -为常数，可得出数列{}n b 为等比数列，并确定等比数列{}n b 的首项和公比，可求出n b ； （2）由题意得出()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，再利用等差数列的定义证明出数列{}n c 为等差数列，确定等差数列{}n c 的首项和公差，可求出数列{}n c 的通项公式；（3）求出数列{}n a 的通项公式，由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，再利用参变量分离法可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1n =时，有2143S a =+，即21143a a a +=+，213333a a λ∴=+=+； 当2n ≥时，由143n n S a +=+，可得143n n S a -=+，将上述两式相减得1144n n n a a a +-=-，12n n n b a a +=-，()11111114422242222n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a a b a a a a a a -+---------∴====---， 且()12123323b a a λλλ=-=+-=+，所以，数列{}n b 是以13b λ=+，以2为公比的等比数列，()()132n n b n N λ-*∴=+⋅∈； （2）由（1）知()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，2n n n a c =，由等差数列的定义得()1111111322322224n n n n n n n n n n n a a a a c c λλ-+++++++⋅-+-=-===， 且1122a c λ==，所以，数列{}n c 是以12c λ=为首项，以34λ+为公差的等差数列， 因此，()()3331244n n c n λλλλ++-+=+-=；（3）由（2）知，()3324nn n n a c λλ++-==，()2332n n a n λλ-∴=++-⋅⎡⎤⎣⎦， 由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >， 由0n a <，得()330n λλ++-<， 得()6313363111n n n n n λ-+-<==-+++在7n ≤时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在7n ≤时单调递减，则66933184n -≥-=-+，此时，94λ<-；由0n a >，得()330n λλ++->， 得()6313363111n n n n n λ-+->==-+++在8n ≥时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在8n ≥时单调递减，则66733193n -≤-=-+，此时，73λ>-.综上所述：实数λ的取值范围是79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.21.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围； （3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【解析】 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式； （2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈，由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈， 得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==， 由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号， （i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意； （iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.。
上海年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)
一、填空题1.若sin cos 1α⋅β=，则cos sin α⋅β=_______________.2.设12,x x 是方程233sin cos 055x x -π+π=的两解，则12arctan arctan x x +=________.3.000sin 20sin 40sin 80⋅⋅=.4.公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于．5.解方程x +log 2(2x -31)=5__________________。
6.若tanθ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________7.函数y=arcos(21－x 2)的值域是_______________．8.在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则22b a +=.9.已知函数4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为_____10.设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =_____________．11.已知a >0且a ¹1，试求使方程有解的k 的取值范围是___。
12.设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a t s r <<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ： ,14,13,11,7，则=36a 。
二、选择题13.设f(x)=x 2－πx,α=arcsin 31,β=arctan 45,γ=arcos(－31),δ=arccot(－45)，则（）A ．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)B ．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C ．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D ．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)14.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n≥1)，且a 1=9，其前n项之和为S n 。
上海市高一下学期期末考试数学试题(共3套,含参考答案)
11．如图，在 Rt△ABC 内有一系列的正方形，它们的边长依次为 a1，a2，…，an，…，若 AB=a， BC=2a，则所有正方形的面积的和为 ．
12．定义 N*在上的函数 f（x），对任意的正整数 n1，n2，都有 f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），
且 f（1）=1，若对任意的正整数 n，有
，则 an= ．
二、选择题：
13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ）
A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx）
C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx）
14．如图是函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R 的部分图象，则下列命
4．方程 sin2x=sinx 在区间[0，2π）内解的个数是 4 ． 【考点】三角方程．
【分析】方程即 sinx=0 或 cosx= ，结合正弦函数、余弦函数的图象以及 x∈[0，2π），分别求 得 x 的值，可得结论 【解答】解：方程 sin2x=sinx，即 2sinxcosx=sinx，即 sinx=0 或 cosx= ．
则 f（2n+1）+1=2[1+f（2n）]，an+1=2an 所以，数列{an}是等比数列，公比 q=2，首项 a1=4． 所以 an=4×2n﹣1=2n+1， 故答案为：2n+1
二、选择题： 13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ） A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx） C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx） 【考点】反三角函数的运用． 【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论． 【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））， 又 arccos（﹣α）=π﹣arccosα， ∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos（sinx）））=﹣
上海市2020年高一下学期数学期末试卷(附答案)
上海市高一下学期数学期末试卷一、解答题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，且终边经过点（1，2），则sinα的值为_________．2．函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_________．4．若log23=m，用含m的式子表示log281，则log281=_________．5．方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．6．函数y=3cos2x的单调递减区间为_________．7．不等式log（x2+1）＜﹣1的解集为_________．8．若将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为_________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为_________．10．已知函数f（x）=．下列命题：①f（x）为奇函数；②函数f（x）的图象关于直线x=对称；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点；其中正确命题的序号是_________．11．在△ABC中，已知3cscA=cscB•cscC，3sesA=secB•sesC，则cotA的值为_________．12．如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“|sinx|=1”的（）A．充分非必要条件B．必要分充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件14．给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别是（）A．ω=1，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=﹣D．ω=2，φ=﹣16．学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC 的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）•sin（2α+β）=cos（+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解B．关于x的方程α•（log4x）2+β•log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8分）已知cosα=，α∈（0，），sinβ=﹣，β∈（π，），求cos（α﹣β）的值．18．（8分）设函数f（x）=log2（9x﹣5）．（1）求使得f（x）＞2成立的x的集合；（2）解方程f（x）=log2（3x﹣2）+2．19．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（+）=1，且a=2，求b+c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log3（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f﹣1（x）+log t存在零点，求实数t的取值范围；（3）若不等式f（x）﹣m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．21．（14分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）=具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．。
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共3套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无 效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚；3．本试卷共 21 道试题，满分 100 分，考试时间 90 分钟．一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得 3 分，否则一律得零分．1．已知角 α 满足 sin α < 0 且 cos α < 0 ，则角 α 是第 象限的角．2．在数列{a } 中，若 a = 3, a n1n +1= a + 4 ，则 a = _______________． n 53．方程 4x - 2x - 2 = 0 的解是_____________．4．函数 f ( x ) = 1 - 2sin 2 x 的最小正周期是_____________．5．若 tan x = 2 （ x ∈ (0,π ) ），则 x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数 y = sin x + cos x 的最大值是．7．函数 y = log ( x 2 - 2 x ) 的单调增区间是________________．28．若等比数列{a } 满足： a + a = 5 ，且公比 q = 2 ，则 a + a = ____________．n 13359．在 ∆ABC 中, ∠ABC = 60︒ ,且 AB = 5, AC = 7 ,则 BC =．10．若不等式 (a - 1)sin x - 1 < 0 对于任意 x ∈ R 都成立， 则实数 a 的取值范围是____________．11．已知函数 f ( x ) =| log | x - 1|| （ a > 0 ， a ≠ 1 ），若 x < x < x < x ， a 1234且 f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) ，则 1 2 3 4 1 1 1 1+ + + = ____________．x x x x1 2 3 412．已知递增数列{a } 共有 2017 项，且各项均不为零， an2017= 1 ，若从{a } 中任取两项na , a ，当 i < j 时， a - a 仍是数列{a } 中的项，则数列{a } 的各项和 Sijjinn2017= ___________．2 ”是“函数 f ( x) = sin( x + ϕ ) 为偶函数”的2二．选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分．13．“ ϕ =π（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数 y = lg(2 - ax) 在 (-1,1) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（）A ． (0,2)B ． (0,+∞)C ． (0,2]D ． (-∞,2]15．若数列{a } 对任意 n ≥ 2 （ n ∈ N * ）满足：(a - annn -1- 2)(a - 2a nn -1) = 0，下面给出关于数列{a } 的 n四个命题：（1）{a } 可以是等差数列； （2）{a } 可以是等比数列；n n（3）{a } 可以既是等差数列又是等比数列 （4）{a } 可以既不是等差数列又不是等比n n数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个16．设函数 f ( x ) = m cos( x + α ) + n c os( x + β ) ，其中 m , n,α , β 为已知实常数， x ∈ R ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若 f (0) = f (π) = 0 ，则 f ( x ) = 0 对任意实数 x 恒成立； 2B ．若 f (0) = 0 ，则函数 f ( x ) 为奇函数；C ．若 f (π) = 0 ，则函数 f ( x ) 为偶函数；2D ．当 f 2 (0) + f 2 (π) ≠ 0 时，若 f ( x ) = f ( x ) = 0 ，则 x - x = 2k π（ k ∈ Z ）．12 1 2三．解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分 8 分)已知 tan α = -2, tan(α + β ) = 1 π，求 cot( - β ) 的值．7 22 ] ，使等式 [ f ( x)]2 + f ( x) + m = 0 成立，求实数 m 的取值范围．为“互换函数”，当 0 ≤ x < 1 时, g ( x ) = log ( x + 1) ，且 g ( x ) 在 (-1,1) 上是偶函数,求函数18．（本题满分 8 分） 在 ∆ABC 中，a, b , c 分别是 A, B, C 所对的边，若 ∆ABC 的面积是 3 15 ，b - c = 2 ，cos A = -14BC 的长．19．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分． 已知公差不为零的等差数列{a } 满足： a + a = 8 ，且 a , a , a 成等比数列．n12125（1）求数列{a } 的通项公式．n（2）记 S 为数列{a } 的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S > 60n + 800 ？若存 nnn在，请求出 n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分．．求已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + 3 cos x) -（1）求函数 f ( x ) 的单调减区间；3 2， x ∈ R ．（2）若存在 x ∈ [0,π21．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是定义在集合 M 上的函数，对于任意的 x ∈ M ，都有f (g ( x )) = g ( f ( x )) 成立，称函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 M 上互为“互换函数”．（1）函数 f ( x ) = 2 x 与 g ( x ) = sin x 在 M 上互为“互换函数”，求集合 M ；（2）若函数 f ( x ) = a x （ a > 0 且 a ≠ 1 ）与 g ( x ) = x + 1在集合 M 上互为“互换函数”，求证： a > 1 ；（3）函数 f ( x ) = x + 2 与 g ( x ) 在集合 M = {x | x > -1 且 x ≠ 2k - 3, k ∈ N *} 上互2g ( x ) 在集合 M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响 程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不 给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得 3 分，否则一律得零分． 1．三 2．19 3． x = 1 (填“1”也对) 4． π 5． arctan 26． 27． (2,+∞) 8． 20 9． 810． (0,2) （填“ 0 < a < 2 ”也对）解：令 t = sin x ， x ∈ R ，则 t ∈ [-1,1] ．由已知得，不等式 (a - 1)t - 1 < 0 对于任意 t ∈ [-1,1] 都成立．⎧ f (-1) < 0 ⎧(a - 1) ⋅ (-1) - 1 < 0又令 f (t ) = (a - 1)t - 1 ，则 ⎨ ，即 ⎨ ，⎩ f (1) < 0 ⎩(a - 1) ⋅1 - 1 < 0解得 0 < a < 2 ．所以所求实数 a 的取值范围是 0 < a < 2 ． 11． 2解法一：设 g ( x ) =| log | x || （ a > 0 ， a ≠ 1 ），则 g ( x ) 为偶函数，其图像关于 y 轴对称，a而函数 f ( x ) =| log | x - 1|| （ a > 0 ， a ≠ 1 ）的a图像是由 g ( x ) 的图像向右平移一个单位得到的，yf ( x )所以 f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称，f ( x ) 的大致x1Ox 2x 3 x4x图像如图所示．由已知及 f ( x ) 的图像特征可得x = 1x < x < 1 < x < x ，且 | log (1 - x ) |=| log (1 - x ) |=| log ( x - 1) |=| log ( x - 1) | ．1234a1a2a3a4由 | log (1 - x ) |=| log (1 - x ) | 得a 1a2log (1 - x ) = log (1 - x ) 或 log (1 - x ) = - log (1 - x )a 1a2a1a2即 log (1 - x ) = log (1 - x ) 或 log (1 - x ) = loga 1 a 2 a 1a 11 - x21 - x1 - 1 1 - a 1 + 1 1 + aa a 1 1 - a 1 1 + a a - 1 1 - a 1 + a 1 + a2017 22则有 1 - x = 1 - x 或1 - x =1，所以 x = x （舍）或 (1 - x )(1 - x ) = 1 ．12112122 由 (1 - x )(1 - x ) = 1 得 x x = x + x ．1 21 212由 | log (1 - x ) |=| log (1 - x ) |=| log ( x - 1) |=| log ( x - 1) | 同理得 x x = x + x ，a 1a2a3a43 434所以 1x 11 1 1 x + x + + + = 1 x x x x x2 3 4 1 22 + x + x3 x x 3 44 = 1 + 1 = 2 ．解法二：（特殊值法）令| log | x - 1||= 1，解得 x = 1 - a 1 1或 x = 1 - a 或 x = 1 +a a1 1 1 1 1 1 1 1或 x = 1 + a ．则 + + + = + + +x x x x 1 2 3 41 1 1 1 a 1 a 1= ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = 1 + 1 = 2 ．1 - 1 +a a12．1009解：由题意知， a < a < a < ⋅ ⋅ ⋅ < a 1232017 ，则 0 < a - a < a - a < ⋅⋅⋅ < a213 12017 - a ，且 a - a （ j = 2,3,⋅ ⋅ ⋅,2017 ）都是数列{a } 中的项．所以1 j 1 n a2017 - a = a1 2016 , a2016- a = a12015,⋅ ⋅ ⋅, a - a = a ，2 1 1即 a2017 - a2016= a2016 - a 2015= ⋅⋅⋅ = a - a = a ，2 1 1因此数列{a } 是以 a 为首项，以 a 为公差的一个等差数列，n111则 a = a + 2016d = 2017 a = 1 ，可得 a = d = ，2017 1 1 1 因此 S 2017 = 2017a + 1 2017 ⨯ 20162⨯ d = 1009 ，即 S 2017 = 1009 ．二．选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格 内直接填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 f ( x ) = (k cos α + k cos α ) cos x - (k sin α + k sin α )sin x ．11221122若 f (0) = 0 ，则得 k cos α + k cos α = 0 ；若 f (π) = 0 ，则得 k sin α + k sin α = 0 ．11221 12 2于是当 f (0) = f (π) = 0 时， f ( x ) = 0 对任意实数 x 恒成立，即命题 A 是真命题；2当 f (0) = 0 时， f ( x ) = -(k sin α + k sin α )sin x ，它为奇函数，即即命题 B 是真命题；1122当 f (π) = 0 时， f ( x ) = (k cos α + k cos α ) cos x ，它为偶函数，即命题 C 是真命题；1 12 2tan x = k cos α + k cos α ，于是 cot( π- β ) = tan β = 3 ，所以 cot( 2 - β ) = tan β ，………………………………………………………2 分- (-2)= 7 = 7 = ⋅ = 3 ，…………………………………………………………7 分1 5 7 5π当 f 2(0) + f 2( ) ≠ 0 时，令 f ( x ) = 0 ，则2(k cos α + k cos α ) cos x - (k sin α + k sin α )sin x = 0 ，1 1221122上述方程中，若 cos x = 0 ，则 sin x = 0 ，这与 cos 2 x + sin 2 x = 1 矛盾，所以 cos x ≠ 0 ．将该方程的两边同除以 c os x 得k cos α + k cos α1 12 2 ，令 1 1 2 2 = m （ m ≠ 0 ） k sin α + k sin α k sin α + k sin α11221122则 tan x = m ，解得 x = k π + arctan m （ k ∈ Z ）．不妨取 x = k π + arctan m ， x = k π + arctan m （ k ∈ Z 且 k ∈ Z ），1 12212则 x - x = (k - k )π ，即 x - x = n π （ n ∈ Z ），所以命题 D 是假命题．121212三．解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤．17．(本题满分 8 分)解法一：由 tan(α + β ) = 1 7 得 tan α + tan β 1= ．…………………………………4 分1 - tan α ⋅ tan β 7将 tan α = -2 代入上式，得tan β - 2 1= ，…………………………………………6 分1 +2 tan β 7解得 tan β = 3 ． …………………………………………………………………………7 分π2 2- β ) = 3 ．………………………………8 分解法二：因为 cot(π又 tan β = tan[(α + β ) - α ] = tan(α + β ) - tan α 1 + tan(α + β ) ⋅ tan α…………………………………5 分1 15 15 7 1 + ⋅ (-2)7 7所以 cot( π2 - β ) =3 ． ………………………………………………………………………8 分由 ⎨解得 ⎨ bc = 24 c = 4解：（1）设等差数列 {a } 的公差为 d （ d ≠ 0 ），由题意得 ⎨1⎩(a 1 + d )2 = a 1 ⋅ (a 1 + 4d )化简，得 ⎨ ⎩ d 2 = 2a d 因为 d ≠ 0 ，所以 ⎨ ，解得 ⎨ 1 2 解：（1） f ( x ) = cos x(sin x + 3 cos x) -33 ) ………………………………………………………………3 分18．（本题满分 8 分）解：（1）由 cos A = -1 415（ 0 < A < π ）得 sin A = 1 - cos 2 A = ．………………2 分4因为 ∆ABC 的面积是 3 15 ，则1bc s in A = 3 15 ，所以 bc = 24 ．………………4 分2⎧b - c = 2 ⎧b = 6 ⎩ ⎩． ………………………………………………………………6 分由余弦定理得 BC = 1b 2+ c 2- 2bc cos A = 62+ 42- 2 ⨯ 6 ⨯ 4 ⨯ (- ) = 8 ，4即 BC 的长是 8 ．………………………………………………………………………………8 分19．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分．⎧a + a + d = 81 n⎧2a + d = 811．……………………………………………………………………2 分⎧2a + d = 8 ⎧a = 21⎩ d = 2a 1 ⎩ d = 4…………………………………………4 分 所以 a = a + (n - 1)d = 4n - 2 ，n1即数列{a } 的通项公式是 a = 4n - 2 （ n ∈ N * ）． ……………………………………5 分n n（2）由（1）可得S = na + n (n - 1)⨯ d = 2n 2 ．……………………………………7 分 n 1假设存在正整数 n ，使得 S > 60n + 800 ，即 2n 2 > 60n + 800 ，n即 n 2 - 30n - 400 > 0 ，解得 n > 40 或 n < -10 (舍) ．…………………………………9 分所以所求 n 的最小值是 41 ． ………………………………………………………………10 分20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分．3= sin x cos x + 3 cos 2 x - 2 21 1 + cos2 x3 1 3 = sin 2 x + 3 ⨯ - = sin 2 x + cos 2 x 2 2 2 2 2= s i n2(x + π所以所求函数 f ( x) 的单调减区间是 ⎢k π + 12 , k π + 7π ⎤ （2）当 x ∈ [0, ] 时， π 3 ≤ 2 x +,1] 时， t 2 + t ∈ [-由 2k π + π 2 ≤ 2 x + π3 ≤ 2k π + 3π 2（ k ∈ Z ）解得 k π + π 12 ≤ x ≤ k π + 7π 12（ k ∈ Z ）．………………………………………………5 分⎡⎣ 12 ⎥⎦， k ∈ Z ．……………6 分π2 π 3≤4π 3， - 3 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 ，2 3即 -3 ≤ f ( x ) ≤ 1 ． ………………………………………………………………………8 分2令 f ( x ) = t （ t ∈ [- 3 3 ,1] ），则关于 t 的方程 t 2 + t + m = 0 在 [-2 2,1] 上有解，即关于 t 的方程 - m = t 2+ t 在 [-3 ,1] 上有解．2当 t ∈ [- 31,2] ．…………………………………………………10 分2 41 1所以 - m ∈ [- ,2] ，解得 m ∈ [-2, ] ．4 41因此所求实数 m 的取值范围是 [-2, ] ．………………………………………………12 分421．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分． 解：（1）由 f ( g ( x ) = g ( f ( x )) 得 2sin x = sin 2 x化简得， 2sin x(1 - cos x) = 0 ，所以 sin x = 0 或 cos x = 1．……………………………1 分由 sin x = 0 解得 x = 2k π 或 x = 2k π + π ， k ∈ Z ，即 x = 2k π 或 x = (2k + 1)π ， k ∈ Z ．……………………………………………………2 分 又由 cos x = 1解得 x = 2k π ， k ∈ Z ．……………………………………………………3 分所以集合 M = {x | x = 2k π ，或 x = (2k + 1)π , k ∈ Z } ，即集合 M = {x | x = k π , k ∈ Z } ．……………………………………………………………4 分（2）证明：由题意得， a x +1 = a x + 1 （ a > 0 且 a ≠ 1 ）．………………………………5 分变形得a x (a - 1) = 1 ，所以 a x = 1 a - 1． ………………………………………………6 分因为a x>0，则1a-1>0，所以a>1．………………………………………………8分（3）当-1<x<0，则0<-x<1，所以g(x)=g(-x)=log(1-x)．2因为函数g(x)在(-1,1)上是偶函数，则g(x)=g(-x)．所以g(x)=log(1-x)，2因此当-1<x<1时，g(x)=log(1+|x|)．……………………………………………10分2由于f(x)=x+2与函数g(x)在集合M上“互换函数”，所以当x∈M，f(g(x)=g(f(x))恒成立．即g(x)+2=g(x+2)对于任意的x∈M恒成立．即g(x+2)-g(x)=2．……………………………………………………………………11分于是有g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2，g[x+2(n-1)]-g[x+2(n-2)]=2，……g(x+2)-g(x)=2．上述等式相加得g(x+2n)-g(x)=2n，即g(x+2n)=g(x)+2n．………………13分当x∈(2n-1,2n+1)（n∈N）时,x-2n∈(-1,1)，所以g(x-2n)=log(1+|x-2n|)．2而M=(-1,1) (1,3) (3,5) ⋅⋅⋅ (2n-1,2n+1) ⋅⋅⋅，n∈N，所以当x∈M时，g(x)=g((x-2n)+2n)=g(x-2n)+2n=log(1+|x-2n|)+2n．…………………14分21．已知向量a=(2,m),b=(-1,1)，若向量a与b垂直，则m等于_______．a+a=0（n∈N*）,且a=1，a=，lim(a+a++a)=__.n12212n12．设数列{a n}是首项为0的递增数列，函数f n(x)=|sin(x-a n)|,x∈[a n,a n+1]满足：对于任意的实数金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.→→→2．不等式2x-1x+1<0的解为___．3．已知tanθ=2，θ是第三象限角，则s ecθ=．4．方程log(1-2x)=-1的解x=__________．25．函数f(x)=arccos x(1<x<1)的值域是.26．若点(4,2)在幂函数f(x)的图像上，则函数f(x)的反函数f-1(x)=.7.数列{}的通项an n=n⋅sin nπ2，前n项和为S，则Sn13=．8．若数列{a}满足2an n+21n→∞9．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)，f(x)=log(1-x)，则函数f(x)在(1,2)12上的解析式是f(x)=．10．在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列命题正确的是_____________．①总存在某个内角α，使得cosα≥12；②存在某钝角∆ABC，有tan A+tan B+tan C>0；③若2a⋅BC+b⋅CA+c⋅AB=0，则∆ABC的最小角小于π．611．如图，在直角梯形A BCD中，AB//CD,AB=2,AD=DC=1,P段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，DQ=λDC,CP=(1-λ)CB,是线则AP⋅AQ的最大值为________．1nm∈[0,1)，fn(x)=m总有两个不同的根，则{an}的通项公式是an=．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的个单位，若所得图象与原图象重合，则 f ( ) 不 a相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量 a 、 b ，“函数 f ( x ) = (ax + b )2为偶函数”是“ a ⊥ b ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数 f ( x ) = cos ω x （其中 ω > 0 ）的图象向右平移π π3 24可能等于（）A ． 0B ．1C ．22D ．3215．已知各项均不为零的数列 {a n } ，定义向量 c n = (a n , a n +1 ) ， b n = (n, n + 1) ， n ∈ N *． 下列命题中真命题是( )A ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n // b n 成立，则数列{a n } 是等差数列B ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n // b n 成立，则数列{a n } 是等比数列C ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n ⊥ b n 成立，则数列{a n } 是等差数列D ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n ⊥ b n 成立，则数列 {a n } 是等比数列16．函数 f ( x ) = x 3 + arctan x 的定义域为 R ，数列 { }是公差为 d 的等差数列，若na1009= -1 ， m = f (a ) + f (a ) + f (a ) + + f (a1 2 32016) + f (a2017) ，则 （ ）A ． m 恒为负数B ． m 恒为正数C ．当 d > 0 时， m 恒为正数；当 d < 0 时， m 恒为负 数D ．当 d > 0 时， m 恒为负数；当 d < 0 时， m 恒为正数三、解答题（本大题共 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题 满分 8 分.已知 | a |= 3 ， | b |= 4 ，且 a 与 b 的夹角为120 0 ．（1）求 b 在 a 上的投影；（2）求 | 2a + 3b | ．解：6 ) , sin x) ， n = (1, sin x) ， f ( x) = m ⋅ n .218．（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 8 分，第二小题满分 6 分.已知向量 m = (sin(2 x +π（1）求函数 y = f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间；B（2）记△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 f ( ) =2b = 5,c = 3 ，求 a 的值．解：2 + 1 2，19．（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 8 分，第二小题满分 6 分.已知数列 {a n}的前 n 项和为 S n ， a = 1 ， a 1n +1= 2S + 1 ，等差数列{b }满足 b = 3, b = 9 ．n n 3 5（1）分别求数列{a n }， {b }的通项公式；n1（2）若对任意的 n ∈ N * ， (S + ) ⋅ k ≥ b 恒成立，求实数 k 的取值范围．n n解：20．（本题满分 16 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 8 分，第二小题满分 8 分.2π如图，在四边形ABCD中，已知∠A BC=π，∠A CD=，∠BAD=，AD=24，设∠BAC=θ(ππ332π12≤θ≤6)．（1）求AB（用θ表示）；（2）求AB+BC的最小值.（结果精确到0.01米）解：CBA D21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分,第二小题满分8分.给定常数c>0，定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|．数列a，a，a，…满足a123（1）若a=-c-2，求a及a；123n+1=f(a),n∈N*．n（2）求证：对任意n∈N*，an+1-a≥c；n（3）是否存在a，使得a，a，a，…，a…成等差数列？若存在，求出所有这样的a；若不存在，说1123n1明理由．解：4． 2 2 ． -1 < x < 13． - 5 4． - 15． (0， ) 6． x 2 （ x ≥ 0 ）18． 解：（1） f ( x ) =31 - q 1 - 3 2令 c = 2 3n - 6 3n 3n 3n -1 3n n -1，= c =29 9金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题π237. 78．19． log (x - 1)10．①③11． 212．1 2二、选择题13．C 14．D 15．A 1 6．A三、解答题17． 解： （1） - 2（2） 6 31sin 2 x + ， 2 2n (n - 1)π2最小正 周期为 π ，单调递减区间为[k π +（2） a = 1 + 3 或 a = -1 + 3 ．π 3π, k π + ], k ∈ Z ； 4 419． 解：（1）由 an +1= 2S + 1 ----①得当 n ≥ 2 时 a = 2Sn nn -1+ 1----②，① - ②得 an +1- a = 2(S - S n nn -1) ，∴ an +1= 3a , ；n当 n = 1 时 a = 2a + 1 = 3 = 3a ， ∴ a = 3n -1211nb - b = 2d = 6,∴ d = 3,∴ b = 3 + (n - 3) ⨯ 3 = 3n - 6 ；5 3na (1- q n ) 1 - 3n 3n - 1（2） S = 1 = =n，3n - 1 1 3n - 6∴ ( + )k ≥ 3n - 6 对 n ∈ N * 恒成立， 即∴ k ≥ 22 2 3n对 n ∈ N * 恒成立，n n n -1 ， c - c = - =3n - 6 3n - 9 -2n + 7 ，当 n ≤ 3 时， c > cn n -1，当 n ≥ 4 时， c < cn∴ (c ) n max3 2 ， k ≥ ．，得AC=由BC所以AB+BC=32sin(θ+π)sin(12≤θ≤6，所以12时，AB+BC取得最小值8+83≈21.8620．解：（1）三角形ACD中，∠CDA=θ+π6，由AD AC AD⋅s in∠CDAπ==163sin(θ+) sin∠ACD sin∠CDA sin∠ACD6πAB AC三角形ABC中，∠ACB=-θ由=3sin∠ACB sin∠ABC，得AB=32sin(θ+π6)sin(πππ-θ)(≤θ≤3126)（2）三角形ABC中，AC=sin∠BAC sin∠ABC，得AC⋅s in∠BACπBC==32sin(θ+)sinθsin∠ABC6ππ-θ)+32sin(θ+)sinθ636=16sin2θ+83因为πππ6≤2θ≤π3所以当θ=π最小值约为21.86米.21．解：（1）因为c>0，a=-(c+2)，故a=f(a)=2|a+c+4|-|a+c|=2，12111a=f(a)=2|a+c+4|-|a+c|=c+103122（2）要证明原命题，只需证明f(x)≥x+c对任意x∈R都成立，f(x)≥x+c⇔2|x+c+4|-|x+c|≥x+c即只需证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c>0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+c⇔x+c+4>x+c显然成立综上，f(x)≥x+c恒成立，即对任意的n∈N*，an+1-a≥cn（3）由（2）知，若{a}为等差数列，则公差d≥c>0，故n无限增大时，总有a>0n n此时，an+1=f(a)=2(a+c+4)-(a+c)=a+c+8 n n n n即d=c+8故a=f(a)=2|a+c+4|-|a+c|=a+c+8，21111即2|a+c+4|=|a+c|+a+c+8，111当a+c≥0时，等式成立，且n≥2时，a>0，此时{a}为等差数列，满足题意；1n n若a+c<0，则|a+c+4|=4⇒a=-c-8，111此时，a=0,a=c+8,,a=(n-2)(c+8)也满足题意；23n综上，满足题意的a的取值范围是[-c,+∞)⋃{-c-8}。
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上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、 计算4lg 0.01=2、 函数1y =（0x ≥）的反函数是3、 若1log 12a<，则实数a 的取值范围是 4、 方程49280xx-⨯+=的解是5、 已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的弧长l 等于 6、 已知1sin 3θ=-，并且θ是第三象限角，则tan θ= 7、 化简：sin()tan(2)cos(2)tan()cos()sin()παπαπαπαπαπα---⋅⋅=+-+8、 化简：0cos 20cos(20)cos 70sin(20)αα---= 9、 函数12log (sin cos )y x x =的单调递减区间是10、函数cos 2sin xy x=-的值域是11、计算3arcsin(sin )4π=二、 选择题（16分）12、若函数1sin()2y x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值为（ ） （A ）ϕπ=- （B ）2πϕ=-（C ）4πϕ=-（D ）8πϕ=-13、“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）非充分非必要 14、函数cos 23sin y x x =+的值域是（ ） （A ）174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（B ）17(,4)(,)8-∞-+∞ （C ）[4,4]- （D ）(,4)(4,)-∞-+∞ 15、函数()4log (1)a f x x =+-（0,1a a >≠）的图像恒经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，4） （B ）（4，1） （C ）（2，4） （D ）（4，2）三、 解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：111122log (95)log (32)2x x ---=--17、已知1tan 7α=，sin 10β=，,(0,)2παβ∈，求2αβ+18、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
19、在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B ，试在x 轴的正半轴上求一点C ，使ACB ∠取得最大值。
20、已知2()2cos 2f x x x a =++（a R ∈）（1）若x R ∈，求()f x 的单调递增区间； （2）若[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求满足()1f x =且[,]x ππ∈-的x 的集合。
参考答案一、填空题1、8-2、2(1)y x =-（1x ≥） 3、1(0,)(1,)2+∞ 4、0或35、103π 6、4 7、1- 8、cos α 9、[0,]4k ππ+10、[ 11、4π二、选择题 12—15 B C A C三、解答题 16、2x =17、sin(2)cos(2)2αβαβ+=+=，24παβ+= 18、tan 2θ=tan 2θ=，arctan(2θ=-，32h = 19、设A 、B 两点的纵坐标分别是1y 和2y （12y y <），C 点的坐标为(,0)x2112tan y y ACB y y x x-∠=+有最大值，12y y x x +≥x = 所以C）20、（1）单调递增区间[,]36k k ππππ-+ （2）1a = （3）5,,,2626ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭上海交大附中高一第二学期期末数学试卷一. 填空题1. 无限循环小数0.036化成最简分数为2.函数y =的定义域是3. 若{}n a 是等比数列，18a =，41a =，则2468a a a a +++=4. 函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为5. 已知,a b R ∈且2lim()31n an bnn n →∞+-=+，则22a b += 6. 用数学归纳法证明“11112321n n +++⋅⋅⋅+<-*(,1)n N n ∈>”时，由n k =(1)k >不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共 项7. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若a =2c =，120A ︒=，则ABC S ∆=8. 函数()arcsin(cos )f x x =，5[,]46x ππ∈的值域为9. 数列{}n a 满足12225222n na a a n ++⋅⋅⋅+=+，*n N ∈，则n a = 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+= 11. 已知225sinsin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos2α=12. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学 科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形 规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是13. 数列{}n a 满足：,21(0.5),2nn nq n k a n k⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*k N ∈， {}n a 的前n 项和记为n S ，若lim 1n n S →∞≤，则实数q 的取值范围是14. 已知数列{}n a 满足：1a m =*()m N ∈，10.531nn na a a +⎧=⎨+⎩ n n a a 当为偶数时当为奇数时，若61a =，写出m 所有可能的取值二. 选择题15. 设a 、b 、c 是三个实数，则“2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 16. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ ） A. 3sin(2)26y x π=+ B. 3sin(2)26y x π=- C. 3sin(2)23y x π=+ D. 3sin(2)23y x π=- 17. 若数列{}n a 对任意2n ≥()n N ∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数 列{}n a 的四个命题：① {}n a 可以是等差数列；② {}n a 可以是等比数列；③ {}n a 可以既 是等差又是等比数列；④ {}n a 可以既不是等差又不是等比数列； 则上述命题中，正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18. 若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前12项值的数列为（ ）A. 31{}k a +B. 41{}k a +C. 51{}k a +D. 61{}k a +三. 解答题19. 已知函数()cos 2sin 22f x a x x a b =-++(0)a ≠，[0,]2x π∈，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值；20. 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第 一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月 工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥，点P 在边AB 上，设MOD θ∠=；（1）若30θ︒=，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值；22. 在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，对每个正整数n ， 点n P 位于函数1000()6xay =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一 个以n P 为顶角顶点的等腰三角形； （1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； （3）设12n n B b b b =⋅⋅⋅*()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的 最大项的项数是多少？试说明理由；23. 设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中 的数按从小到大排列得到数列{}n b ；（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各 项的值；（2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088， 求1a 和k 的值；（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项；参考答案一. 填空题 1.255 2. [1,2] 3. 85164. π5. 176. 2k7.8. [,]34ππ- 9. 114,12,2n n n +=⎧⎨≥⎩ 10. 4- 11. 3512. 144 13. 1(1,]2- 14. 4、5、32二. 选择题15. B 16. D 17. C 18. C三. 解答题19. 2a =，5b =-；或2a =-，1b =；20.（1）A 公司：7500500n +；B 公司：18000(15%)n -+；（2）A 公司十年月工资总和为1230000，B 公司十年月工资总和为1207476，选A 公司；21.（1）68+；（2）34+；22.（1）0.51000()6n n a b +=；（2）36a <<；（3）16B 最大，因为161b >，171b <；23.（1）14b =，25b =，37b =，49b =，510b =；（2）11a =，(21)(1)4088kk --=，9k =；（3）略；上海市封浜高中第二学期高一年级期末考试数学试卷题号一 二 三 总分1-12 13-16 17 18 19 20 21 得分一、 填空（每题3分，共36分）1. 角α的终边经过点()34P -，，则cos α=____________________2. 已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________3. 函数cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为____________________4. 已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x =____________________5. 函数2sin 2cos 3y x x =---的最小值为____________________6. 已知函数()arccos 1y x =-，则该函数的定义域为____________________7. 已知数列{}n a 中，1123n n a a a -==+， ()*2n n N ≥∈，，则n a =_____________8. 函数()2cos 02y x x π=≤≤和2y =的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为____________________9. cos cos ABC a A b B ∆=中，，则ABC ∆的形状是____________________ 10. ()cos cos5f x x =，则()sin =f x ____________________11. 已知()sin 1f x ax b x =++，若()57f =，则()5f -= ____________________ 12. 下列结论中：1）函数()()sin y k x k Z π=-∈ 为奇函数2）函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称3）函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴为23x π=-4）若()tan 2x π-=，则21cos 5x =其中正确的结论序号为____________________二、 选择题（每题4分，共16分）13. 下列函数中，以π为周期的偶函数是 ……………………………（ ）A. sin 2y x =B. cos 2xy =C. sin 2xy =D. cos 2y x =14. 把函数cos 22y x x =+ 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化是…………………………………………………………………（ ）A. 向左平移12π 个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移6π 个单位D. 向右平移6π个单位15. 设x 为任意实数，则下列各式正确的是……………………………（ ）A. ()tan arctan x x =B. ()arcsin sin x x =C. ()sin arcsin x x =D. ()cos arccos x x =16. 数列{}n a 满足11121n n a a a +==-+，，则2015a 等于…………………（ ） A. 2B. 13-C. 32-D. 1三、 解答题（17题12分，18题8分，19题、20题各9分，21题10分，共48分） 17. 解三角形方程（每小题4分）1） 2sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2） tan 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3） sin 2sin x x =18. 已知锐角α满足3cos 5α=，()5cos 13αβ+=-，求cos β.（8分）19. 已知()()22cos 2f x x x a a R =+∈1）若x R ∈，求()f x 的单调递增区间（3分）2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 时，()f x 的最大值为4，求a 的值（3分） 3）在2）的条件下，求满足()=1f x 且[],x ππ∈-的x 集合（3分）20. 某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S 的距离.21. 已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，的周期为π ，图像的一个对称中心为04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；（5分）(2)若()266xh x f g x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，α是第一象限的角，且()5h α= ，求22sin 2α的值.（4分）第二学期高一数学期末试卷答案一、填空题 1. 35 2.23π 3. ()5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 4. 495. 5-6. []02，7. ()31n n N +-∈ 8. 4π 9. 等腰或直角三角形10. sin5x 11. 5- 12. 1,3,4二、选择题13. D 14. B15. A 16. B三、简答题 17. （1）()1,66k x x x k k Z πππ⎧⎫∈=+--∈⎨⎬⎩⎭（2）,24k x x x k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭（3）22,33x x x k x k k Z πππ⎧⎫∈==+∈⎨⎬⎩⎭或 18. ()5cos 13αβ+=- ()1212sin 1313αβ∴+=或- （2分） ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++ （2分） 当()12sin 13αβ+=时， ()()5312433cos cos cos sin sin =13513565βαβααβα=+++-⨯+⨯=（2分） 当()12sin 13αβ+=-时， ()()5312463cos cos cos sin sin =13513565βαβααβα=+++-⨯-⨯=-（2分） 19. 1）()22cos 2=cos 2212sin 216f x x x a x x a x a π⎛⎫=++++=+++ ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-≤+≤+ 可得(),36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦ 2）当6x π= 时，()f x 取最大值=2sin 13=462f a a ππ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭1a ∴= 3）由()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可得1sin 2=62x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 可解得5,,,2626x ππππ=-- 20. 236243AB =⨯=海里 30,45A S ∠=∠= 由正弦定理可得，sin sin SB AB A S =122SB ∴=可得SB = 此时，货轮到灯塔S的距离为21. （1）由函数()()sin f x x ωϕ=+的周期为20=2T ππωω>=，，得 又曲线()y f x = 的一个对称中心为(),004πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 故sin 2044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得=2πϕ ，所以()cos2f x x = 将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 可得cos y x = 的图像，再将cos y x =的图像向右平移2π 个单位长度后得到函数()cos 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图像， 所以()sin g x x =（2）()=cos sin 26636x h x f g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=cos cos 2222x x x x x ++-= ()5h α= 得到3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α= 212sin 1cos 25x x ∴=-=。