数学人教b版必修4 1.3.1正弦函数的图像与性质(五) 学案 缺答案
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(四) Word版含答案
1.3.1正弦函数的图象与性质(四)学习目标1.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义知识点二φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1观察下面图(1)、图(2)中函数y ＝sin(x ＋π3)，y ＝sin(x －π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin x图象的形状和位置，你有什么发现？思考2观察下面图(3)、图(4)中函数y ＝sin(2x ＋π3)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，比较它们与函数y ＝sin(x ＋π3)图象的形状和位置，你又有什么发现？思考3观察下面图(5)、图(6)中函数y ＝2sin(2x ＋π3)，y ＝12sin(2x ＋π3)的图象，比较它们与函数y＝sin(2x ＋π3)的图象的形状和位置，你又有什么发现？梳理(1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有的点向____(当φ＞0时)或向______(当φ＜0时)平行移动______个单位长度而得到的. (2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)图象上所有点的横坐标______(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标______)而得到的.(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A＞1时)或________(当0＜A＜1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x 的值域为________，最大值为______，最小值为______.知识点三由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤知识点四“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象思考用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图象的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质类型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式.反思与感悟(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可.跟踪训练1把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R类型二用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例2利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图.反思与感悟(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点.(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象. 跟踪训练2已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图象.类型三由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式.反思与感悟若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0. “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2.“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π. “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2.“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则()A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 类型四函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用例4已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5).(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围.反思与感悟有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值.1.函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是()A.2π，－2，π4B.4π，－2，π4C.2π，2，－π4D.4π，2，－π42.下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是()3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B.关于直线x ＝π4对称 C.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D.关于直线x ＝π3对称 4.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，3π2，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值.3.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值答案精析问题导学 知识点一 A 2πωω2πωx ＋φφ 知识点二思考1函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考2函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的． 梳理(1)左 右 |φ|(2)缩短 不变 (3)伸长 缩短 A [－A ，A ]A －A 知识点三 |φ||φω| 知识点四思考用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω. 知识点五R [－A ，A ]2πωx ＝π2ω＋k π－φω(k ∈Z )奇偶 题型探究例1解y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――→向左平移6π个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x . 跟踪训练1C例2解依次令x 2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：描点，连线，如图所示．跟踪训练2解(1)∵x ∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]．列表如下：(2)描点，连线，如图所示．例3解(逐一定参法) 由图象知，振幅A ＝3，又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练3A例4解(1)∵图象最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数的增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 跟踪训练4解(1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8， 得φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8 (k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )． 当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.当堂训练1．D2.A3.A4.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 5．解(1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，将点(－2,0)代入得sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ， ∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。
数学人教B版必修4：1.3.1(5)正弦型函数的图象 导学案 Word版缺答案
1.3.1正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：一、新知导学1、在函数)sin(φω+=t R y 中，点P 旋转一周所需要的时间ωπ2=T ，叫做点P 的______在1秒内，点P 转动的周数πω21==T f ，叫做转动的______。
0OP 与x 轴正方向的夹角φ叫做________。
2.函数)sin ϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.3. 函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或______________（当0<ω<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.4. 函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为__________.最大值为___________，最小值为______________. 二、课前自测1、将函数y=sinx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是（ ） A 、y=sinx+1B 、y=－sinx+1C 、y=sinx-1D 、y=-sinx-12、将函数y=sinx 的图象上所有点向左平移3π个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，则所得到的图象的解析式为（ ） A 、y=sin(23x π-) B 、y=sin(26x π+) C 、y=sin(23x π+) D 、y=sin(2x+3π)1sin,2sin,sin2y x y x y x===1.3.1（5）正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象（课堂探究案）一、学习目标：1、会用五点法画出正弦型函数()siny A xωϕ=+的图象。
高中数学人教B版必修四学案：第1章 1.3 1.3.1 第1课时 正弦函数的图象与性质 Word版含答案
1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课时 正弦函数的图象与性质学习目标：1.能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点)2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R)的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质 (1)函数的周期性①周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期． (2)正弦函数的性质思考：观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z)，即图象与x 轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2，(k ∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x 轴垂直的直线．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的．( )(2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象关于y 轴对称．( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象关于原点成中心对称．( )[解析] 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误，它关于直线x ＝k π＋π2，k ∈Z 成轴对称图形．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x4D ．y ＝sin(－4x )D [∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin(－4x －2π)＝sin(－4x )，∴y＝sin(－4x)的周期为π2.选D.]3．下列图象中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是()D[把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图象，故选D.][合作探究·攻重难]正弦函数的图象用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．[解]按五个关键点列表描点连线得：(1)由图象可知图象在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1，∴a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1)．(3)由图象可知y max ＝3，此时x ＝－π2；y min ＝－1，此时x ＝π2.正弦函数的单调性及应用比较下列各组数的大小． (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<π，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53. (3)∵cos 3π8＝sin π8， ∴0<cos 3π8<sin 3π8<1<π2. 而y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8.2．比较大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.[解] (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题[探究问题]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?[提示] 不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？[提示] 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．[解] (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98， 即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.3．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.【导学号：79402017】[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.[当 堂 达 标·固 双 基]1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B.] 2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1， ∴m ＝－1.]4．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________． [解析] 因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1， 解得－1≤m ≤0.[答案][－1,0]5．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．[解]列表：描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：。
数学人教B版必修4教案1.3.1 正弦函数的图象与性质含答案
、
、能够认识以上这些函数与正弦函数
过正弦函数
、明确
的
函数，
，称为
单位时间内往复振动的次数，
动的频率；
在函数中，
的图
的五
图象
的图象
倍得到的
为振幅变换
)
)的简图
X-
X+
其中
｜个单位长度而得到
置不一样，这一变换称为相位变换＝
sin＝
的图象
（当
（当
平移
sin
再作图
换称为周期变换
(ω>1
或伸长
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是
A＋)
y－D)
2＋
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的
正弦型函数
=
＋的简图
=sin的图象（简图）。
高中数学人教B版必修四学案：1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)
1.3.1正弦函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．[知识链接]1．观察正弦函数图象知正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．2．观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称．[预习导引]1．正弦曲线从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称；从诱导公式看，sin(－x)＝－sin_x 对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的奇函数．2．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．正弦函数的周期由sin(x＋2kπ)＝sin_x知正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.要点一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin 2x |(x ∈R )．解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为2π2＝π. (2)作出y ＝|sin 2x |的图象．由图象可知，y ＝|sin 2x |的周期为π2. 规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x ＋T ”时函数值重复出现，则可得T 是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0的周期求法通常用公式T ＝2π|ω|来求解． ②对于形如y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来解决．跟踪演练1 求下列函数的最小正周期：(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6. 解 (1)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π. ∴sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin x 2，即sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π. (2)∵2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6，即2sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6的最小正周期是6π.要点二 函数周期性的应用例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.规律方法 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内．跟踪演练2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值． 解 因f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 要点三 函数奇偶性的判断例3 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2 x )．解 (1)函数的定义域为R ，且f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，显然有f (－x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π为偶函数． (2)由2sin x －1≥0，即sin x ≥12，得函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋56π(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R .f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2 x ) ＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x ＝－lg(sin x ＋1＋sin 2 x )＝－f (x )， ∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2 x )为奇函数．规律方法 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． 跟踪演练3 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2 x 1＋sin x . 解 (1)由{1－sin x >0，＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.1．函数y ＝sin(4x ＋32π)的周期是( )A ．2πB ．πC.π2D.π4答案 C解析 T ＝2π4＝π2.2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin x 4D ．y ＝sin(－4x )答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2.3．已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12，则f (2 014)等于() A.12 B ．2C ．2 013D ．2 014答案 B解析 因为f (x ＋6)＝1f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为6，故f (2 014)＝f (4)＝1f (1)＝2.4．若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，求当x <0时，f (x )的解析式．解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x .又∵f (x )是奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x 2＋sin x ，∴f (x )＝－x 2－sin x ，x <0.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．。
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(三) Word版含答案
1.3.1正弦函数的图象与性质(三) 学习目标1.掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一正弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线.正弦曲线：可得如下性质：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R ，值域是________.对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝________________时，取得最大值1；当且仅当x ＝________________时，取得最小值－1.知识点二正弦函数的单调性观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]的图象.思考1正弦函数在[－π2，3π2]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？思考2正弦函数的单调区间是什么？梳理正弦函数y ＝sin x 的图象与性质类型一求正弦函数的单调区间例1求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间.反思与感悟用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________________.类型二正弦函数单调性的应用命题角度1利用正弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin196°与cos156°；(2)cos875°与sin980°.反思与感悟用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6与sin ⎝⎛⎭⎫49π3； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5与sin ⎝⎛⎭⎫－17π4.命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围.反思与感悟此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是() A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12D.(0,2]类型三正弦函数的值域或最值例4求使下列函数取得最大值和最小值的x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么.(1)y ＝sin2x ；(2)y ＝sin x ＋2；(3)y ＝(sin x －1)2＋2.反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域).(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y ＝a sin x 的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域.1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个单调递减区间是() A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23πD.⎣⎡⎦⎤π2，23π 2.下列不等式中成立的是()A.sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B.sin3>sin2C.sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D.sin2>cos13.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是() A.⎣⎡⎦⎤－32，12B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.5.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法 把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.答案精析问题导学知识点一[－1,1]π2＋2k π，k ∈Z －π2＋2k π，k ∈Z 知识点二思考1观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 梳理⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z π2＋2k π，k ∈Z －π2＋2k π，k ∈Z 题型探究例1解y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z . 因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 跟踪训练1⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3 例2解(1)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°.∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数，∴sin16°<sin66°，从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.(2)cos875°＝cos(720°＋155°)＝cos155°＝cos(90°＋65°)＝－sin65°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°，∵sin65°＜sin80°，∴－sin65°＞－sin80°，∴cos875°＞sin980°.跟踪训练2(1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3(2)sin(－17π4)＞sin(－23π5) 例3解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 跟踪训练3A例4解(1)当2x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )时，函数y ＝sin2x 取得最大值，最大值为1；当2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，函数y ＝sin2x 取得最小值，最小值为－1. (2)由于函数y ＝sin x 与函数y ＝sin x ＋2同时取得最大值或同时取得最小值．因此，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin x ＋2取得最大值，最大值为3；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin x ＋2取得最小值，最小值为1.(3)设t ＝sin x ，则有y ＝(t －1)2＋2，且t ∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了．在闭区间[－1,1]上，当t ＝－1时，|t －1|最大，函数y ＝(t －1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.由t ＝sin x ＝－1，得x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最大值6.在闭区间[－1,1]上，当t ＝1时，|t －1|最小，函数y ＝(t －1)2＋2取得最小值，最小值为2.由t ＝sin x ＝1，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最小值2.跟踪训练4⎣⎡⎦⎤34，3当堂训练1．D2.D3.D4．解∵－1≤sin 12x ≤1， ∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2， k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．5．解∵函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z . ∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6. ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.。
2016-2017学年高二数学人教B版必修4学案1.3.1《正弦函数的图象与性质》(2)
1.3.1正弦函数的图象与性质(二)明目标、知重点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.1.正弦曲线从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称；从诱导公式看，sin(－x)＝－sin x对一切x∈R恒成立.所以说，正弦函数是R上的奇函数.2.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.正弦函数的周期由sin(x＋2kπ)＝sin x知正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.[情境导学]自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性. 探究点一周期函数及函数的周期的定义思考1观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？答诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z).当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.思考2设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可以怎样表示？把函数f(x)＝sin x称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？答f(x＋2kπ)＝f(x) (k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现.一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.小结为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k ∈Z 且k ≠0).思考3 正弦函数y ＝sin x 的周期是否唯一？正弦函数y ＝sin x 的周期有哪些？有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T 等于多少？答 正弦函数y ＝sin x 的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期.正弦函数y ＝sin x 有最小正周期，且最小正周期T ＝2π.小结 如果非零常数T 是函数y ＝f (x )的一个周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)都是函数y ＝f (x )的周期.探究点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的周期思考 怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期？答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎡⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现， 因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期. 例1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )； (2)y ＝|sin2x | (x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3， ∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )的周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为2π2＝π. (2)作出y ＝|sin2x |的图象.由图象可知，y ＝|sin2x |的周期为π2. 反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－23x ； (2)y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3. 解 (1)y ＝－sin 23x ，T ＝2π23＝3π. (2)y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，T ＝2π12×12＝2π. 探究点三 正弦函数的奇偶性正弦曲线思考1 观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称.思考2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？答 正弦函数是R 上的奇函数.根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，均对一切x ∈R 恒成立. 例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg [1－sin(－x )]－lg [1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2sin x ≥02sin x －1≥0，得sin x ＝12. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，k ∈Z }. ∵f (x )的定义域不关于原点对称.∴f (x )是非奇非偶函数.1.函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B. 2.下列函数中，周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x答案 D解析 y ＝1－cos 2x ＝sin 2x ＝|sin x |符合题意.3.已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝.答案 －2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x ). ∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4.判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性.解 ∵当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x >0，又∵lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )]＝lg(1＋sin 2x －sin x )＝lg (1＋sin 2x )－sin 2x 1＋sin 2x ＋sin x ＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )， ∴f (－x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.[呈重点、现规律]1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.一、基础过关1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5B.10C.15D.20答案 B3.下列函数中，周期为2π的是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝sin2xC.y ＝|sin x 2| D.y ＝|sin x |答案 C4.下列函数中，不是周期函数的是( )A.y ＝sin x －1B.y ＝sin 2xC.y ＝|sin x |D.y ＝sin|x | 答案 D解析 画出y ＝sin|x |的图象，易知D 的图象不具有周期性.5.定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32. 6.函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为. 答案 π解析 T ＝2π2＝π. 7.若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，求f (x )的解析式.解 当x <0时，－x >0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝－sin x .∴f (x )＝sin|x |，x ∈R .二、能力提升8.与函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象完全相同的一个函数是( ) A.y ＝sin3xB.y ＝sin(7π4－3x )C.y ＝sin(3x ＋3π4)D.y ＝sin(3x －7π4)答案 D9.将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C.0D.－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B. 10.设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝. 答案 0解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]－f (2016)＝336(sin π3＋sin 23π＋sinπ＋sin 43π＋sin 53π＋sin2π)－0 ＝0.11.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式.解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π.12.已知函数f (x )＝log 12|sin x |. (1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期. 解 (1)∵|sin x |>0，∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }.∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0， ∴函数的值域为{y |y ≥0}.(2)函数的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log 12|sin(－x )| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数.(3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x | ＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π.三、探究与拓展13.已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0). (1)求证：函数f (x )是周期函数.(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值.(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期.(2)解 ∵4是f (x )的一个周期.∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(二) Word版含答案
1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin2x |.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为()A.π2B.πC .2πD .4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是()A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是() A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理(1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x )非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理sin x 周期2k π (k ∈Z 且k ≠0)2π知识点三思考1正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立． 梳理奇原点题型探究例1解(1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1解(1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2解(1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3解因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4解∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3 ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练40当堂训练1．D2.D3.B4.±π5.22。
高中数学 1.3.1.1 正弦函数的图象与性质学案 新人教B版必修4(2021年整理)
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正弦函数的图象与性质1。
能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点）2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)［基础·初探］教材整理1 正弦函数的图象阅读教材P37～P38“例1”以上部分，完成下列问题.1。
利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈［0,2π］的图象,要想得到y＝sin x(x∈R）的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π］的图象沿x轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线。
2。
“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π］的图象时,所取的五点分别是（0,0），错误!，（π，0)，错误!和(2π，0）。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的。
( ）（2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈［2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z）上的图象形状相同,只是位置不同。
（)（3）正弦函数y＝sin x（x∈R)的图象关于x轴对称。
（)(4）正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称。
（）【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3）错误.【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P39～P40“例2”以上部分,完成下列问题.1。
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案
1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。
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1.3.1正弦函数的图象与性质（五）
一．学习要点：正弦型函数的图象、图象变换
二．学习过程：
正弦型函数
形如()sin y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ都是常数）的函数，叫做正弦型函数，其定义域是R ．
例1作函数2sin y x =及1sin 2
y x =
的简图．
规律探索：
1．函数sin y A x =的值域是,A A ⎡-⎤⎣⎦，最大值是A ，最小值是A -．A 的大小,反映曲线sin y A x =波动幅度的大小．
2．函数()sin 0y A x A =>的图象与函数sin y x =的图象的关系:（纵向伸缩变换） 函数()sin 0y A x A =>图象可以看作是把函数sin y x =的图象上的所有点的纵坐标伸长(当1A >时)，或缩短(当01A <<时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到． 例２在同一坐标系中作函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的简图．
规律探索：
函数()sin y x ϕ=+的图象与函数sin y x =的图象的关系:（横向平移变换） 函数()sin y x ϕ=+图象可以看作是把函数sin y x =的图象上的所有点(当0ϕ>时)向左或（当0ϕ<时）向右平行移动ϕ个单位长度，就得到函数()sin y x ϕ=+的图像．
例3在同一坐标系中作函数sin 2y x =和1sin 2y x =的简图．
规律探索：
1．函数sin y x
ω=(),0,1x R ωω∈>≠的图象与函数sin y x =的图象的关系:（横
向伸缩变换） 函数sin y x ω=图象可以看作是把函数sin y x =的图象上的所有点横坐标缩短(当1ω>时)或伸长（当01ω<<时）到原来的
1ω倍（纵坐标不变）而得到． 2．函数sin y x ω=的周期：2T πω=．ω越大,在一定区间内曲线波动的次数越多，
反之越少. 例４作函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的简图．
图象变换：
（1）先平移，再伸缩
（2）先伸缩，再平移
课后作业：见作业（8） 3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin y x = sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin y x = sin 2y x =
3sin 2y x =。