高一数学同步辅导教材(第15讲)

高一数学同步辅导教材（第15讲）一、本讲速度3．1数列3．2等差数列二、本讲主要内容1．数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。

2．等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。

三、学习指导1．要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。

数列是按一定顺序排列起来的一列数。

它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射;从映射函（或它的有限子集｛１，２，……，n｝）的函数当自数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。

用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。

数列的数是按一定顺序排列的。

如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。

与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。

是两个不同的数列。

要把数列概念与数集概念区分开来。

数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，……。

而数集中的数是无序的，并且是互异的。

数列的通项公式就是相应函数的解析式。

如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的各项。

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。

克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。

并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０.１，０.０１，０.００１，……的不足近似值构成的数列就没有通项公式。

一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，……的通项公式可以写成=(-1)n，也可以写成an1 (n=2k-1,k∈N)+a=n-1 (n=2k,k∈N)+它们形式不同，但实质是一样的．与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。

利用列表法表示的数列，内容具体，方法简单，缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。

图象法表示的数列直观但不精确。

数列还可以用递推公式表示。

虽然递推公式是表示数列的一种重要方法，但限于学习要求，只需了解这种方法，能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。

２．要正确理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并能用于解决一些简单的问题。

课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。

对于等差数列｛a n ｝有a n+1-a n =d(n ∈Ｎ＋)，这就是等差数列的递推公式．由a n -a n-1=d ，a n-1-a n-2=d ，……，a 2-a 1=d ，将这 n-1个式子相加，得a n -a 1=(n-1)d ，即 a n =a 1+(n-1)d ，这是等差数列的通项公式。

这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。

等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。

根据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。

如果a ，Ａ，b 成等差数列，那么Ａ叫做a,b 的等差中项，且Ａ＝2ba +，（Ａ也叫a,b 的算术平均值）。

容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即2kn k n n a a a +-+=，（n,k ∈Ｎ＋，且 n ＞k ）． 等差数列有如下一些性质：（１） 设数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，那么a n =a m +(n-m)d (m,n ∈Ｎ＋)（２） 设数列｛a n ｝是等差数列，如果m,n,k,l ∈Ｎ＋，且 m+n=k+l ，那么 a m + a n =a k +l a （３） 等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列．（４） 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，那么数列｛λa n +μb n ｝（λ，μ为常数），也是等差数列．以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试． 四．典型例题分析例１． 分别写出下列数列的一个通项公式：（１）,3659,2547,635,923,411---……（２）,47,2,25,4--……（３）５,55,555,5555,……（４）,319,157,75,1,1……解题思路分析：（１） 数列各项的绝对值可以分成整数，分数的分子和分母三部分,再分别考察各部分，加上变换正负号的（－１）n 得a n =(-1)n [(2n-1)+2)1(+n n] （２） 将这数列前４项改写成47,36,25,14--，可得通项公式a n =(-1)n+1nn 3+（３） 由于９，９９，９９９，９９９９，……的通项公式是10n-1所以将题中数列各项改写后，可得通项公式a n =95(10n -1)（４） 原数列可写成：,319,157,75,33,11…… 得通项公式为a n =1212--n n例２． 数列｛a n ｝中，a 1=1, 对所有的n ≥２都有⋅⋅21a a …a n =n 2； （１） 求a 3+a 5；（２） 225256是这数列中的项吗？解题思路分析：据题设⋅⋅21a a …a n-1=(n-1)2,而12121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n nn a a a a a a a∴22)1(-=n n a n （n ≥2）由此可以求得a 3+a 5=1661，令22)1(225256-=n n ，可以判断225256是这数列中的第１６项． 例３． 在－１与７之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列，求此数列．解题思路分析：设五个数组成等差数列｛a n ｝，则a １=-1,a 5=7,利用通项公式求出公差，得数列为－１，１，３，５，７．也可以利用等差中项来解，第三项是第一和第五项的等差中项，第二，第四项分别是其相邻两项的等差中项，从而求得数列．例４． 已知a n =a n-1+,)1(1-n n (n ≥2),a 1=1（１） 写出数列的前五项；（２） 由（１）中的前５项推测数列的通项公式并进行证明． 解题思路分析：前五项为59,47,35,23,1．观察这五项的分子，分母，猜得n n a n 12-=，由此得1321--=-n n a n ，代入递推公式证明上述猜想正确．例５． 在等差数列｛a n ｝中 （１） 已知a 2=5,a 6=17，求a n ． （２） 已知a 6=5,a 3+a 8=5，求a 5．（３） 已知a 1+a 2+a 3+a 4=26,a 2a 3=40，求a 5． 解题思路分析：a 1+d=5 （１） 利用等差数列通项公式有a 1+5d=17 解出a 1,d 后得通项公式 a n =3n-1；（２） 利用等差数列性质，由a 3+a 8=a 5+a 6=5,得a 5=0. （３） 设 a 1=a-3d,a 2=a-d,a 3=a+d,a 4=a+3d,（a-3d ）＋（a-d ）＋（a+d ）＋（a+3d ）＝26 则得（a-d ）（a+d ）＝40 解出a,b.得a 5=14或-1.例６． 已知等差数列｛a n ｝满足a 3³a 7=－12,a 4+a 6=－4,求数列｛a n ｝的通项公式． 解题思路分析：设公差为d ，首项为a 1，可得方程组：a 3³a 7=(a 1+2d)(a 1+6d)=－12a 4+a 6=(a 1+3d)+(a 1+5d)=－4解得a 1,d 后得通项公式a n =2n －12或a n =例７． 长度，以后每升高50图象回答下列问题： （1）第5少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{l n }l （单位：m ）关于温度t 的 函数关系式；（3）在30可达到500 解题思路分析：长度是2.005 m ，这时温度为300℃。

设l n =d n +b 5050-=t n ,代入通项公式得所求函数关系式为l =0.00002t+1.999。

设当t=30℃时,金属板在某个面上长度为l ’m,当t=500℃时金属板在该个面的长度为l ”m,则l ”-l ’=0.0094(m)。

这就是至少要留出的空隙。

五．巩固练习 （一）选择题：1．如果无穷数列{a n }的第n 项与n 之间的函数关系能用一个公式a n =f(n)来表示，则该函数的定义域为( )（A ）Z （B ）N （C ）N + （D ）N +的有限子集{1,2,…,n}2．数列-1，6，-11，16，…的一个通项公式为 （ ） （A ）a n = 5n-4 (B) a n =-5n+4(C) a n = (-1)n ³5n-4 (D) a n =(-1)n (5n-4)3．已知数列{a n }的首项a 1=1, 且a n =2a n-1+1（n ≥2）,则a 5为 ( ) （A ）7 （B ）15 （C ）30 （D ）314．a,b,c 都是实数，那么“2b=a+c ”是“a,b,c 成等差数列”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件5．一个等差数列的第五项a 5=10，且a 1+a 2+a 3=3，则有 （ ） （A ）a 1=-2,d=3 （B ）a 1= 2,d=-3 （C ）a 1= -3,d=2 （D ）a 1=3, d=-26．在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m(m,n ∈N +),则a m+n = ( ) （A ）mn （B ）m-n （C ）m+n （D ）07．已知等差数列{a n }中，a 1=-5,d=7,a n ≤695,则这个等差数列至多有 ( ) （A ）98项 （B ）99项 （C ）100项 （D ）101项8．已知等差数列{b n }中，d=-3,b 7=10,则b 1是 （ ）（A ）-39 （B ）28 （C ）39 （D ）329．已知等差数列{c n }中，c 10+c 15=9,则c 9+c 16,c n 的值是 （ ）（A ）不能确定 （B ）9 （C ）18 （D ）2910．在等差数列40，37，34，……中第一个负数项是 （ ） （A ）第13项 （B ）第14项 （C ）第15项 （D ）第16项 （二）填空题11．数列2，-4，6，-8，…的一个通项公式是_________。

12．已知数列：,5,2,11,22…，则52是这个数列的第________项。

13．数列a 1=-1,a n =121+-n a (n ≥2)的前四项依次是________________________。