陕西省延安市黄陵县2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题文重点班
陕西省黄陵中学2017-2018学年高二数学6月月考试题(重点班)文
高二重点班月考文科数学一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1．若复数2a ii b i+=--其中,a b 是实数，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知330c c a b<<，则下列选项中错误的是（ ） A. b a > B. ac bc > C.0a b c -> D. ln 0ab> 3．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝( ) A. 0B. 2C. 4D. 85、设复数z 的共轭复数为 z ，若(1－i)z ＝2i ，则复数z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋I C ．i D ．－i6、观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72016的末两位数字为A ．49B ．43C ．07D ．017．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都大于2 C ．至少有一个不小于2D ．都小于28、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( ) A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有9.若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A .3,1πϕω==B .3,1πϕω-==C .6,21πϕω==D .6,21πϕω-==10.设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列{}n a 前8 项的和为 ( ) A .128 B .64 C .80 D .56 11.a ＋b<0是a<0，b<0的 ( ) 条件A ．必要 B.充分 C.充要 D.必要不充分 12. 在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4) 11.(,)416C 11.(,)24D二、填空题13. 在△ABC 中，若60,4,ABC A b S ∆=︒==a = ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A =π3，a b =1，则B = .15．已知△ABC 中，130AB BC A ==︒，，则=AC ．16. 江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45︒和60︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距 m ．三、计算题：（本题包括6小题，共70分）17．（本小题10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B=bsinA ．（1）求B ；（2）已知cosA=，求sinC 的值．18．（本小题12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=﹣1，b 1=1，a 2+b 2=2．（1）若a 3+b 3=5，求{b n }的通项公式； （2）若T 3=21，求S 3．19. （本小题12分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．附：．20. （本小题12分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，F为CD1中点．（1）求证：EF∥平面ADD 1A 1；（2）求直线EF 和平面CDD 1C 1所成角的正弦值． 21.（本小题12分）设函数2)1()(ax e x x f x--= （Ⅰ）若21=a ，求)(x f 的极值；（Ⅱ）证明：当1≤a 且0>x 时， 0)(>x f .22.（本小题12分）设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 有最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围。
2016-2017年陕西省延安市黄陵中学普通班高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B＝C D．B∪C＝A3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）4．（5分）若sin＝，则cosα＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中假命题的是（）A．若m⊥α，m⊥β则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β则α⊥β7．（5分）下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（）A．B．C．D．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5＝13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）A．1B．2C．3D．49．（5分）若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f（x）＝max{﹣x2+8x﹣4，log2x}，若函数g（x）＝f（x）﹣kx有2个零点，则k的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，4）D．[0，4]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）在等差数列{a n}中，若a13＝20，a20＝13，则a2014＝．12．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝（n∈N*），则a4＝．14．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为．15．（5分）已知a为常数，若曲线y＝ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当，求函数f（x）的单调递增区间和零点．17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N+）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．18．（12分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a sin A sin B+b cos2A＝a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2＝b2+a2，求B．19．（12分）甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．21．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}∴a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素∵M⊆{a1，a2，a3，a4}∴M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}，故选：B．2．（5分）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B＝C D．B∪C＝A【解答】解：根据题意，参加北京奥运会比赛的运动员包括参加北京奥运会比赛的男、女运动员，易得B∪C＝A．故选：D．3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．4．（5分）若sin＝，则cosα＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cos a＝1﹣2sin2＝1﹣2×＝1﹣＝故选：C．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a＝2，b＝1满足a＞b，但a＝b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．6．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中假命题的是（）A．若m⊥α，m⊥β则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β则α⊥β【解答】解：对于A，若m⊥α，m⊥β根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理得到α∥β；故A正确；对于B，若m∥n，m⊥α，根据线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理得到n⊥α；故B 正确；对于C，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n异面或者相交；故C错误；对于D，若m⊥α，m⊂β根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；故D正确；故选：C．7．（5分）下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，函数的周期为2π，故不符合题意；对于B，＝sin2x，周期为π，且在上单调递减的奇函数，故不符合题意；对于C，＝cos2x，函数为偶函数，故不符合题意；对于D，＝﹣sin2x，周期为π，且在上单调递增的奇函数，故符合题意，故选：D．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5＝13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设数列的公差为d则3a1+5d＝13①∵a1、a2、a5成等比数列∴（a1+d）2＝a1（a1+4d）②①②联立求得d＝2故选：B．9．（5分）若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，所研究的事件满足y≥4x或x≥y，如图．总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，满足y≥4x或x≥y（阴影部分）的区域的面积是2××2×＝1，这两个数的比不小于4的概率为P＝故选：C．10．（5分）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f（x）＝max{﹣x2+8x﹣4，log2x}，若函数g（x）＝f（x）﹣kx有2个零点，则k的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，4）D．[0，4]【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣kx有2个零点，即函数y＝f（x）与直线y＝kx有两个交点．如图，然后从反面：排除法．首先k＝0不成立，排除D，其次，二次函数的顶点是（4，12），与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A，再由图象k＞0，k＝3不为相切情况，故排除B，得到结果选C．故选：C．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）在等差数列{a n}中，若a13＝20，a20＝13，则a2014＝﹣1981．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a13＝20，a20＝13，∴公差d＝＝﹣1，∴a2014＝a20+（2014﹣20）（﹣1）＝﹣1981故答案为：﹣198112．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝﹣2．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣tan＝﹣1，f（f（））＝f（﹣1）＝2×（﹣1）3＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝（n∈N*），则a4＝．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝（n∈N*），∴＝+2，∴，又＝2，∴{}是首项为2，公比为3的等比数列，∴，∴，∴＝．故答案为：．14．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为2．【解答】解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如图所示的正方形及内部：设目标函数z＝x+2y，变形可得y＝，经平移直线可知当直线经过点（0，1）时z＝x+2y取最大值2故答案为：215．（5分）已知a为常数，若曲线y＝ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是[﹣，+∞）．【解答】解：令y＝f（x）＝ax2+3x﹣lnx由题意知，x+y﹣1＝0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1＝0垂直的切线的斜率是1．∴f′（x）＝1有解，∵函数的定义域为{x|x＞0}．∴f′（x）＝1有正根，∵f（x）＝ax2+3x﹣lnx，∴f'（x）＝2ax+3﹣＝1有正根∴2ax2+2x﹣1＝0有正根，∴2a＝﹣＝（﹣1）2﹣1，∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当，求函数f（x）的单调递增区间和零点．【解答】解：（Ⅰ）依题意的，所以T＝π，于是（2分）由解得（4分）把代入f（x）＝2sin（2x+φ）+1，可得，所以，所以，因为，所以综上所述，（7分）（Ⅱ）令f（x）＝0，得，又∵∴∴故函数f（x）的零点是（10分）∵∴由得∴函数f（x）的单调递增区间是（13分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N+）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1＝1，且a n＝2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N+）．∴，∴数列{}为等差数列，公差为1，首项＝．（2）解：由（1）可得：＝＝．∴．S n＝1+3×2+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1，2S n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，∴﹣S n＝1+2×2+2×22+…+2×2n﹣1﹣（2n﹣1）×2n＝﹣1﹣（2n﹣1）×2n＝（3﹣2n）×2n﹣3，∴+3．18．（12分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a sin A sin B+b cos2A＝a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2＝b2+a2，求B．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2A sin B+sin B cos2A＝sin A，即sin B（sin2A+cos2A）＝sin A∴sin B＝sin A，＝（Ⅱ）由余弦定理和C2＝b2+a2，得cos B＝由（Ⅰ）知b2＝2a2，故c2＝（2+）a2，可得cos2B＝，又cos B＞0，故cos B＝所以B＝45°19．（12分）甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．【解答】解：（I）设甲公司第n年市场占有率为a n，依题意，{a n}是以a1＝A为首项，以为公差的等差数列．（2分）∴．（3分）设乙公司第n年市场占有率为b n，根据图形可得：（5分）＝．∴甲公司第n年市场占有率a n＝n+，乙公司第n年市场占有率b n＝（6分）（II）依题意，2012年为第20年，则，，（9分）∴，即b20＜20%•a20，（11分）∴2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面．（12分）20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q＝3，S3＝得：＝，解得a1＝，所以a n＝×3n﹣1＝3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n＝3n﹣2，所以a3＝3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A＝3；又因为当x＝时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）＝1，由0＜φ＜π，得到φ＝．则函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x+）．21．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴．∴．当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1．又a1＝1适合上式．∴a n＝2n﹣1．…（4分）（Ⅱ）＝＝，∴b1+b2+…+b n＝＝＝．∴对任意n∈N*都成立，得对任意n∈N*都成立．令，则．∴c n+1＞c n．∴．∴．∴实数m的取值范围为．…（10分）。
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二下学期期末数学试题(文科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）A．2 B．﹣1 C．5 D．2．（5分）下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0B．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0C．“”是“”的必要而不充分条件D．命题“cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题3．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）抛物线的准线方程是（）A．B．C．y=2 D．y=﹣25．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“∀x1x2∈（0，+∞）且x1≠x2有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）A．f（x）=﹣x B．f（x）=x3C．f（x）=lnx+e x D．f（x）=﹣x2+2x 7．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）不等式＞0的解集是（）A．（，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）9．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0 B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0 D．a，b中只有一个为010．（5分）下列说法正确的是（）A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．ai是纯虚数（a∈R）C．如果复数x+yi（x，y∈R）是实数，则x=0，y=0D．复数a+bi（a，b∈R）不是实数11．（5分）已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是﹣2+i，3+2i，则向量所表示的复数的模为（）A．B． C． D．12．（5分）运行如图所示的程序框图．若输入x=5，则输出y的值为（）A．49 B．25 C．33 D．7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．15．（5分）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x最大是．16．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17．（10分）（1）已知（2x﹣1）+i=y﹣（3﹣y）i，其中x，y∈R，求x与y．（2）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x，y的值．18．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．19．（12分）（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）；（2）；（Ⅱ）过原点O作函数f（x）=lnx的切线，求该切线方程．20．（12分）设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．（Ⅰ）求证：a=2b；（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．22．（12分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）A．2 B．﹣1 C．5 D．【分析】由共轭复数的定义，可得复数z，再由复数的模的公式，计算即可得到所求值．【解答】解：复数z的共轭复数，可得z=2﹣i，则|z|==．故选：D．【点评】本题考查复数的共轭复数的定义和模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0B．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0C．“”是“”的必要而不充分条件D．命题“cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题【分析】根据四种命题之间的关系，对每一个命题判断真假性即可．【解答】解：对于A，“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1≥0，命题A错误；对于B，“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0，命题B正确；对于C，时，，充分性成立；时，α=kπ+或α=kπ+，k∈Z，必要性不成立；是充分不必要条件，命题B错误；对于D，命题“cosx=cosy，则x=y”是假命题，则它的逆否命题也是假命题，∴命题D错误．故选：B．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判断问题，是基础题．3．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据线性回归方程与对立性检验的知识，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，∴①错误；对于②，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均减少3个单位，∴②错误；对于③，线性回归方程必经过样本中心点，∴③正确；对于④，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，∴④错误．综上，错误的命题个数是3．故选：D．【点评】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题．4．（5分）抛物线的准线方程是（）A．B．C．y=2 D．y=﹣2【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=﹣8y，∴p=4，∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=2，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单性质．属基础题．5．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A．B．C．D．【分析】对立事件的概率之和为1，相互独立事件的概率用乘法法则．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为（1﹣）×（1﹣）=，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为1﹣=．故选A．【点评】本题考查了概率的基本性质及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“∀x1x2∈（0，+∞）且x1≠x2有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）A．f（x）=﹣x B．f（x）=x3C．f（x）=lnx+e x D．f（x）=﹣x2+2x 【分析】由已知可得满足条件的函数在（0，+∞）上为减函数，分析四个答案中函数的单调性，可得结论．【解答】解：若“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，A中，f（x）=﹣x在（0，+∞）上为减函数，B中，f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数，C中，f（x）=lnx+e x在（0，+∞）上为增函数，D是，f（x）=﹣x2+2x在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握各种基本初等函数的单调性是解答的关键．7．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．【解答】解：曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．故选：A．【点评】本题考查导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．8．（5分）不等式＞0的解集是（）A．（，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）【分析】首先转化为整式不等式，（2x﹣1）（x+3）＞0，然后求解集．【解答】解：原不等式等价于（2x﹣1）（x+3）＞0，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分式不等式的解法，关键是正确转化为整式不等式解之．9．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0 B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0 D．a，b中只有一个为0【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选B．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．10．（5分）下列说法正确的是（）A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．ai是纯虚数（a∈R）C．如果复数x+yi（x，y∈R）是实数，则x=0，y=0D．复数a+bi（a，b∈R）不是实数【分析】利用复数相等的条件判断A的正误；纯虚数的定义判断B的正误；复数的基本概念判断C、D的正误；【解答】解：如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；满足复数相等的条件，所以A正确；ai是纯虚数（a∈R）；a=0时复数是实数，所以B不正确；复数x+yi（x，y∈R）是实数，如果则x=0，y=0；只需y=0，复数x+yi（x，y∈R）是实数，所以C不正确；复数a+bi（a，b∈R）不是实数，当b=0时，复数是实数，所以D不正确．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念的应用，基本知识的考查．11．（5分）已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是﹣2+i，3+2i，则向量所表示的复数的模为（）A．B． C． D．【分析】向量=+，可得所表示的复数=﹣2+i+3+2i，利用公式即可得出模．【解答】解：向量=+，∴所表示的复数=﹣2+i+3+2i=1+3i，||==．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）运行如图所示的程序框图．若输入x=5，则输出y的值为（）A．49 B．25 C．33 D．7【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，第三次执行循环体得到y=33，执行是，则输出y=33．【解答】解：若输入x=5，第一次执行循环体得到y=9，执行否，则x=9；第二次执行循环体得到y=17，执行否，则x=17；第三次执行循环体得到y=33，执行是，则输出y=33．故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；【解答】解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．15．（5分）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x最大是3．【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系，计算出完成整个工序需要的最少工作时间，再结合该工程总时数为9天构造方程，易得到完成工序C需要的天数x的最大值．【解答】解：因为A完成后，C才可以开工，C完成后，D才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为2，x，4天，且A，B可以同时开工，该工程总时数为9天，∴2+x max+4=9⇒x max=3．故答案为：3【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．16．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为﹣=1．【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（3，0）是E的焦点，过F 的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17．（10分）（1）已知（2x﹣1）+i=y﹣（3﹣y）i，其中x，y∈R，求x与y．（2）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x，y的值．【分析】直接利用复数相等的条件列方程组求解（1）（2）中的x，y值．【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得x=，y=4．（2）∵x2﹣y2+2xyi=2i，∴，解得或．【点评】本题考查复数相等的条件，是基础的计算题．18．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．【分析】（1）从分利用条件f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，（2）利用条件：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，列出不等式组，解出此不等式组．【解答】解：（1）f（9）=f（3）+f（3）=2，f（27）=f（9）+f（3）=3（2）∵f（x）+f（x﹣8）=f[x（x﹣8）]＜f（9）而函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，∴即原不等式的解集为（8，9）【点评】本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值．19．（12分）（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）；（2）；（Ⅱ）过原点O作函数f（x）=lnx的切线，求该切线方程．【分析】（Ⅰ）分别运用幂函数和函数的除法的求导法则，计算即可得到所求导数；（Ⅱ）设切点为T（x0，lnx0），求出函数的导数，可得切线的斜率，求出切点，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（Ⅰ）（1），∴y′=x=；（2）；（Ⅱ）设切点为T（x0，lnx0），∵，，解x0=e，所以切点为T（e，1），切线的斜率为，故切线方程为．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．20．（12分）设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．（Ⅰ）求证：a=2b；（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）运用向量的坐标运算，可得M的坐标，进而得到直线OM的斜率，进而得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，椭圆方程设为x2+4y2=4b2（1），设PQ的方程，代入方程（1），运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a，b 的值，进而得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵A（a，0），B（0，b），，即为（a﹣x M，0﹣y M）=（x M﹣0，y M﹣b），即有a﹣x M=x M，﹣y M=（y M﹣b），所以，∴，解得a=2b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆E的方程为，即x2+4y2=4b2（1）依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y=k（x﹣2）+1，代入（1）得：（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由得，解得．从而x1x2=8﹣2b2．于是解得b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量共线的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．22．（12分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得（+kx0+2）+（2x0+k）i=0．由复数相等的条件得+kx0+2=2x0+k=0，解得，或．∴方程的实根为x=或x=﹣，相应的k的值为k=﹣2或k=2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
陕西省延安市黄陵中学重点班2016-2017学年高一(下)第一次月考数学试卷
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．62．直线x=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截弦长等于，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．或C．1或3 D．3．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能4．若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（）A．B．C．D．5．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（）米．A．1.4 B．3.0 C．3.6 D．4.56．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=07．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=1 8．过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．C．3 D．9．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=110．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=111．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B．C．8 D．二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．14．已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），求过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积．15．已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是．16．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．求经过点P（3，1）且与圆x2+y2=9相切的直线方程．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|=3|NC1|．（1）求MN的长；（2）试判断△MNC的形状．19．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．20．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．21．已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？22．某地A、B两村在一直角坐标系下的位置分别为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线的方程为l：x+2y﹣10=0，若在河上建一座水站P，使分别到A、B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】如图所示，最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以只要求得圆心到直线的距离即可．【解答】解：∵x2+y2=1∴圆心（0，0），半径为1圆心到直线的距离为：如图所示：圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是d﹣r=4故选B2．直线x=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截弦长等于，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．或C．1或3 D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线x=2的距离，即为弦心距d，由弦长的一半，圆的半径及弦心距d，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2=4，得到圆心坐标为（a，0），半径r=2，∴圆心到直线x=2的距离d==|a﹣2|，又直线被圆截得的弦长为2，∴（）2+（a﹣2）2=22，整理得：a2﹣4a+3=0，解得：a=1或a=3，则a的值为1或3．故选C3．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，求出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，然后再根据点与圆心的距离与半径比较即可得到P的位置．【解答】解：由圆x2+y2=1得到圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜1，即a2+b2＞1即P点到原点的距离大于半径，所以P在圆外．故选B4．若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．【解答】解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A5．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（）米．A．1.4 B．3.0 C．3.6 D．4.5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】如图所示，半圆的方程为x2+y2=4.52（y≥0）．由D（2.7，0），可设A（2.7，y），代入半圆的方程解得即可．【解答】解：如图所示．半圆的方程为x2+y2=4.52（y≥0）．D（2.7，0），设A（2.7，y），代入半圆的方程得2.72+y2=4.52，解得y=3.6．因此这辆卡车的平顶车蓬距离地面的高度不得超过3.6m．故选：C．6．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=0【考点】I9：两条直线垂直的判定．【分析】先求C点坐标和与直线x+y=0垂直直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．【解答】解：易知点C为（﹣1，0），因为直线x+y=0的斜率是﹣1，所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1，所以要求直线方程是y=x+1即x﹣y+1=0．故选C．7．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=1【考点】J1：圆的标准方程．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．8．过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】计算弦心距，再求半弦长，得出结论．【解答】解：如图|AB|最小时，弦心距最大为1，．故选B．9．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【考点】J3：轨迹方程．【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．10．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标，关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1故选B11．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．hslx3y3h，，3﹣1，，3﹣2k（3k﹣1）hslx3y3h2﹣4（k2+1）（9k2﹣6k﹣8）=0．解得k=﹣，所以切线方程为4x+3y﹣15=0．又过点P（3，1）与x轴垂直的直线x=3也与圆相切，故所求圆的切线方程为4x+3y﹣15=0或x=3．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|=3|NC1|．（1）求MN的长；（2）试判断△MNC的形状．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|MN|=．（2）由=（﹣，，），=（﹣，，﹣），知==0，由此得到△MNC是直角三角形．【解答】解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，并设正方体边长为a，则B（a，a，0），D1（0，0，a），A1（a，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），M（，，），N（），∴|MN|==．（2）∵=（﹣，，），=（﹣，，﹣），=（﹣，，﹣a），∴==0，∴MN⊥MC，∴△MNC是直角三角形．19．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．20．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．【考点】J3：轨迹方程；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题意P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD 上一点，且|MD|=|PD|，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x p，y p）由已知得：∵P在圆上，∴，即C的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），将直线方程即：，∴线段AB的长度为|AB|===．21．已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；I3：直线的斜率；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形【解答】解：（1）直线l的方程可化为，此时斜率，即km2﹣m+k=0，k=0时，m=0成立；又∵△≥0，∴1﹣4k2≥0，所以，斜率k的取值范围是．（2）不能．由（1知l的方程为y=k（x﹣4），其中；圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=2；圆心C到直线l的距离由，得，即，从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．22．某地A、B两村在一直角坐标系下的位置分别为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线的方程为l：x+2y﹣10=0，若在河上建一座水站P，使分别到A、B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据两点间的距离公式以及点的对称性，建立方程组关系进行求解即可．【解答】解：过A作直线l的对称点A′，连A′B交l于P，∵|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|＞|A′B|，∴P点即为所求．设A′（a，b），则，即，解得a=3，b=6，即A′（3，6），直线A′B的方程为，即6x+y﹣24=0，由，解得x=，y=，即P（，），故供水站P应建在P（，），才能使管道最省．2017年5月26日。
陕西省延安市黄陵县高二数学下学期期中试题 理(重点班)
陕西省延安市黄陵县2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（重点班）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．a＝0是复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝03．下列各数中，纯虚数的个数是( )2＋7，27i,0i,5i＋8，i(1－3)，0.618A．0 B．1C．2 D．34．下列推理正确的是( )A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a，b均为正实数，则lg a＋lg b≥lg a·lg bD．若a为正实数，ab<0，则ab＋ba＝－⎝⎛⎭⎪⎫－ab＋－ba≤－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－ab·⎝⎛⎭⎪⎫－ba＝－25．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误6．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为( )A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i8．设向量OP →，PQ →，OQ →对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( ) A ．z 1＋z 2＋z 3＝0 B ．z 1－z 2－z 3＝0 C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝09．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数10．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫作函数f (x )的一个好点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)11．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B ．15 C.14D ．2512．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：A ．0.5%B ．1%C ．2%D ．5%附表：二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．14．已知x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．15．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 012对应于________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z ＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.18（12分）．(1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.(2)已知x2－y2＋2xy i＝2i，求实数x，y的值．20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？图1－4．22．(本小题满分12分)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830答案及解析1.解析： a ＝0时，a ＋b i 不一定为纯虚数，因为a ＝0，b ＝0时，a ＋b i ＝0，但当a ＋b i 为纯虚数时，a ＝0.答案： B2.解析： 由复数相等的条件可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.答案： A3解析： 根据纯虚数的定义知，27i ，i(1－3)是纯虚数．答案： C4.解析： A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lgb 正负不确定，故C 错．答案： D5.解析： 使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的． 答案： C6.解析： z ＝z 1－z 2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i. .答案： D7.解析： 由z 1＋z 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故选D.答案： D8.解析： ∵OP →＋PQ →－OQ →＝OQ →－OQ →＝0.∴z 1＋z 2－z 3＝0. 答案： D9.解析： “恰有一个偶数”的反面是“没有偶数或至少有2个偶数”．故选D. 答案： D10.解析： 假设f (x )＝x 2＋2ax ＋1存在好点， 亦即方程f (x )＝x 有实数根， 所以x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数根， 则Δ＝(2a －1)2－4＝4a 2－4a －3≥0，解得a ≤－12或a ≥32，故当f (x )不存在好点时，a 的取值范围是－12<a <32，故选A. 答案： A11.解析： 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，故选D. 答案： D12.解析： 代入公式得K 2的观测值k ＝－272×228×122×178≈4.514＞3.841查表可得．答案： D13．答案： 菱形的对角线互相垂直且平分14．解析： “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案： x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1) 15．答案： 知识 并集 交集 补集16.解析： 设由每一行的第一个数构成数列{a n }，则4－2＝2×2－2,8－4＝2×3－2,14－8＝2×4－2，…，a n －a n －1＝2n －2. 以上各式相加可得a n ＝n 2－n ＋2.令n 2－n ＋2≤2 012，解不等式可得n 的最大值为45，所以2 012在第45行，第45行的第一个数为a 45＝452－45＋2＝1 982.因为2 012－1 982＝30,30÷2＝15，所以2 012为第16个数． 答案： (45,16)17解析： z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又z ＝13－2i ，且x ，y ∈R .∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.18解析： (1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－－y ，解得x ＝52，y ＝4.(2)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.＝1n ＋2＋n ＋＋4＝－n ＋n ＋2＋n ＋＋n 2＋＋<0，∴数列{n }是递减数列． (2)令a n <0，即1<0，20.证明： 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ， 这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾． 故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得 x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y, 因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好22．D [解析] 令b n＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n，则b n＋1＝a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4.因为a n＋1＋ (－1)n a n＝2n－1，所以a n＋1＝－(－1)n a n＋2n－1.所以a4n－3＝－a4n－4＋2(4n－4)－1，a4n－2＝a4n－3＋2(4n－3)－1，a4n－1＝－a4n－2＋2(4n－2)－1，a4n＝a4n－1＋2(4n－1)－1，a4n＋1＝－a4n＋2×4n－1，a4n＋2＝a4n＋1＋2(4n＋1)－1，a4n＋3＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1，a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1，所以a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1 ＝－a4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1＝a4n－2×4n＋1－2(4n＋1)＋1＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1＝a4n＋8，即a4n＋4＝a4n＋8.同理，a4n＋3＝a4n－1，a4n＋2＝a4n－2＋8，a4n＋1＝a4n－3.所以a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4＝a4n＋a4n－1＋a4n－2＋a4n－3＋16.即b n＋1＝b n＋16.故数列{b n}是等差数列．又a2－a1＝2×1－1，①a3＋a2＝2×2－1，②a4－a3＝2×3－1，③②－①得a3＋a1＝2；②＋③得a2＋a4＝8，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10，即b 1＝10.所以数列{a n }的前60项和即为数列{b n }的前15项和，即S 15＝10×15＋15×142×16＝1830.故选D.。
陕西省黄陵中学2016-2017学年高二(普通班)下学期期末考试数学(文)试题 (word版含答案)
黄陵中学2016-2017学年第二学期 高二普通班文科期末数学试题1122211()()ˆ()ˆˆn ni i i i i i nn i ii i x x y y x y nx y b x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1. 已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝ {3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2. 执行下面的程序框图，如果输入的 t ∈，则输出的s 属于( ) A ． B ． C ． D ．3. 设a ，b 是正实数，以下不等式：(1)a ＋1b ≥2；(2)2 a 2＋b 2≥a ＋b ；(3)ab ≥2ab a ＋b ；(4)a ＜|a－b |＋b ，其中恒成立的有( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(3)(4)D ．(2)(4)4. 下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+5.下面使用类比推理恰当的是（ ）A ．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B ．“若（a+b ）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C ．“（a+b ）c=ac+bc”类推出“=+（c ≠0）”D ．“（ab ）n=a n b n”类推出“（a+b ）n=a n+b n”6．若直线的参数方程为12()23x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A．23 B．23-C．32 D．32-7.下列在曲线sin2()cos sinxyθθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A．1(,2 B．31(,)42-C． D．8.点M的直角坐标是(1-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈9．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件10.极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆11. 将参数方程222sin()sinxyθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（）A．2y x=- B．2y x=+ C．2(23)y x x=-≤≤ D．2(01)y x y=+≤≤12.在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数z=i﹣1对应的点在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，则z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省黄陵中学2016-2017学年高二下学期第一次月检测数学(文)试题(普通班)
高二文科普通班月考试题数学第I卷（选择题，共42分）一.选择题（共14小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了抽查某城市自行车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的自行车检查，这种抽样方法是A．简单随机抽样B．抽签法C．系统抽样D．分层抽样2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 ( ).A. 3B.210 5C．3 D.8 53．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是A．3.5 B．3 C．0.5 D．－34．某工厂生产某种产品，用传送带将产品送至下一工序，质量员每隔10分钟在传送带某一位置取一件产品进行检验，这种抽样的方法为（）A．分层抽样 B.简单随机抽样 C．系统抽样 D．其它抽样方式5.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性占总体的（）A.124B.136C.160D.166．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( )A.落在相应各组内的数据的频数B.相应各组的频率C.该样本可分的组数D.该样本的样本容量7．一个容量为20的样本数据，数据的分组与各组内频数如下：(](](](](](]10,20,2;20,30,3;30,40,4;40,50,5;50,60,4;60,70,2。
则样本在(]10,50上的频率为（）A．90% B.70% C.50% D.25%8．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A．300克B．360千克C．36千克D．30千克9．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值分别为s与t，那么下列说法正确的是( ).A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有直线l1∥l2D．直线l1和l2必定重合10．工人工资(元)依相应产值(千元)变化的回归方程为yˆ＝50＋80x，下列判断正确的是( ).A．产值为1 000元时，工资为130元B．产值提高1 000元时，工资提高80元C．产值提高1 000元时，工资提高130元D．当工资为250元时，产值为2 000元11．下列两个变量不是相关关系的是（）A．人的身高和体重B．降雪量和交通事故发生率C．匀速行驶的车辆的行驶距离和时间D．每亩施用肥料量和粮食亩产量12. 右图所示茎叶统计图表示某城市一台自动售货机的销售额情况，那么这组数据的极差是：A.9B.39C.41D.5013. 为了解某校高二学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高二学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为A ．2.7,78B ．2.7,83C ．0.27,78D ．0.27,8314.对于线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．直线必经过点(,)x y B ．x 增加一个单位时，y 平均增加ˆb个单位C ．样本数据中0x =时，可能有ˆy a= D ．样本数据中0x =时，一定有ˆy a= 参考公式：回归直线方程中公式 1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑,ˆˆay bx =-第Ⅱ卷(非选择题，共58分)二 填空题（共4道小题，每题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.） 15.为了了解1200名在校就餐的学生对学校食堂饭菜质量的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，采取选取的号码间隔一样的系统抽样的方法来确定所选取的样本，则抽样的间隔应该是k = 。
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k 的值是（）A．1B．C．D．2．（5分）椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A．4B．7C．11D．164．（5分）已知，，且，则x的值是（）A．6B．5C．4D．35．（5分）过点O（1，0）作函数f（x）＝e x的切线，则切线方程为（）A．y＝e2（x﹣1）B．y＝e（x﹣1）C．y＝e2（x﹣1）或y＝e（x﹣1）D．y＝x﹣16．（5分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，P），且E（ξ）＝300，D（ξ）＝200，则等于（）A．3200B．2700C．1350D．12007．（5分）要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移8．（5分）假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）A．16，16，16B．8，30，10C．4，33，11D．12，27，9 9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+410．（5分）对于任意k∈[﹣1，1]，函数f（x）＝x2+（k﹣4）x﹣2k+4的值恒大于零，则xA．x＜0B．x＞4C．x＜1或x＞3D．x＜111．（5分）设a为函数y＝sin x+cos x（x∈R）的最大值，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数是（）A．192B．182C．﹣192D．﹣18212．（5分）若a＞0，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．a＝1C．a≥1D．a＞1二、填空题（本大题共4小题．把答案直接填在题中的相应横线上．）13．（5分）函数的最大值为．14．（5分）函数y＝5+的最大值为，此时x＝（利用柯西不等式）15．（5分）不等式的解集是．16．（5分）不等式|x2﹣4|≤x+2解集是．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；（Ⅱ）设集合A＝{y|}，B＝{x|m+x2≤1，m＜1}．命题p：x∈A；命题q：x∈B．若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面P AB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．19．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝，直线l交椭圆于M、N两点．（1）若直线l的方程为y＝x﹣4，求弦MN的长；（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．20．（12分）（1）抛掷一颗骰子两次，定义随机变量ξ＝，试写出随机变量ξ的分布列；（2）抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．21．（12分）设f（x）＝a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．22．（12分）已知函数（a＜0）．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：∵＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），又k+与2﹣互相垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣4＝0，解得：k＝．故选：D．2．【解答】解：椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．3．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝1+1+2+…+（n﹣1）的值，∵输入n＝5，∴输出S＝1+1+2+3+4＝11．故选：C．4．【解答】解：根据题意，，，若，则有•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，解可得x＝6，故选：A．5．【解答】解：函数f（x）＝e x的导数为f′（x）＝e x，设切点为（m，e m），可得切线的斜率为e m，由切线过点（1，0），可得e m＝，解得m＝2，则切线的斜率为e2，切线的方程为y﹣0＝e2（x﹣1），即为y＝e2（x﹣1），故选：A．6．【解答】解：由题意可得，解得，∴＝2700．故选：B．7．【解答】解：因为函数y＝sin（4x﹣）＝sin[4（x﹣）]，要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移单位．故选：B．8．【解答】解：因总轿车数为9600辆，而抽取48辆进行检验，抽样比例为＝，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，∵“远景”型号的轿车产量是1600辆，应抽取辆，同样，得分别从这三种型号的轿车依次应抽取8辆、30辆、10辆．故选：B．9．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，故选：D．10．【解答】解：根据题意可知：二次函数的对称轴为x＝﹣＝，设g（k）＝（x﹣2）k+x2﹣4x+4，得到g（k）在k∈[﹣1，1]时为减函数，当k＝﹣1时，f（x）＝x2﹣5x+6，令y＝0，变形为（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得x＝3或x ＝2，因为x的值大于函数与x轴的右交点，得到x＞3；当k＝1时，f（x）＝x2﹣3x+2，令y＝0，变形为（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x＝1或x＝2，因为x的值小于函数与x轴的左交点，得到x＜1．综上，满足题意x的范围为x＜1或x＞3．故选：C．11．【解答】解：因为，由题设a＝2，则二项展开式的通项公式为．令3﹣r＝2，得r＝1，所以含x2项的系数是（﹣1）×C61•25＝﹣192，故选：C．12．【解答】解：∵a＞0，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在R上的解集不是空集，即不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在R上能成立，∵|x﹣4|+|x﹣3|≥|x﹣4﹣（x﹣3）|＝1，故|x﹣4|+|x﹣3|的最小值为1，∴a＞1，故选：D．二、填空题（本大题共4小题．把答案直接填在题中的相应横线上．）13．【解答】解：≤＝，当且仅当x＝时“＝”成立，故的最大值为：，故答案为：．14．【解答】解：由柯西不等式得：[52+12][（）2+（）2]≥（5+1×）2∴（5+）2≤26×9，∴5+≤3，当且仅当5＝1×时，取等号，即x＝时取等号．故答案为：3，15．【解答】解：当x+1＞0，即x＞﹣1时，原不等式去分母得：（x+1）2≤4，可得：﹣2≤x+1≤2，解得：﹣3≤x≤1，此时原不等式的解集为﹣1＜x≤1；当x+1＜0，即x＜﹣1时，原不等式去分母得：（x+1）2≥4，可得：x+1≥2或x+1≤﹣2，解得：x≥1或x≤﹣3，此时原不等式的解集为x≤﹣3，综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪（﹣1，1]．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（﹣1，1]16．【解答】解：不等式|x2﹣4|≤x+2化为﹣x﹣2≤x2﹣4≤x+2，解﹣x﹣2≤x2﹣4得x≥1或x≤﹣2解x2﹣4≤x+2 得﹣2≤x≤3所以不等式|x2﹣4|≤x+2解集是：{x|1≤x≤3或x＝﹣2}故答案为：{x|1≤x≤3或x＝﹣2}三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，所以原式＝；（Ⅱ）由题可知，，由于p是q的必要条件，所以B⊆A，所以，解得．综上所述：．18．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG＝，又AM＝，BC＝4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM＝BC，则NG∥AM，且NG＝AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面P AB，NM⊄平面P AB，∴MN∥平面P AB；法二、在△P AC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB＝AC＝3，BC＝4，得cos∠ACB＝，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM＝，在△EAM中，∵AM＝，AE＝，由余弦定理得：EM＝＝，∴cos∠AEM＝，而在△ABC中，cos∠BAC＝，∴cos∠AEM＝cos∠BAC，即∠AEM＝∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面P AB．由P A⊥底面ABCD，得P A⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥P A，则NE∥平面P AB．∵NE∩EM＝E，∴平面NEM∥平面P AB，则MN∥平面P AB；（2）解：在△AMC中，由AM＝2，AC＝3，cos∠MAC＝，得CM2＝AC2+AM2﹣2AC •AM•cos∠MAC＝．∴AM2+MC2＝AC2，则AM⊥MC，∵P A⊥底面ABCD，P A⊂平面P AD，∴平面ABCD⊥平面P AD，且平面ABCD∩平面P AD＝AD，∴CM⊥平面P AD，则平面PNM⊥平面P AD．在平面P AD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△P AC中，由N是PC的中点，得AN＝＝，在Rt△P AM中，由P A•AM＝PM•AF，得AF＝，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．19．【解答】解：（1）由已知椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），∴b＝4，又∵离心率e＝，即，∴，解得a2＝20，∴椭圆方程为；…（3分）由4x2+5y2＝80与y＝x﹣4联立，消去y得9x2﹣40x＝0，∴x1＝0，，∴所求弦长；…（6分）（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质知，又B（0，4），∴（2．﹣4）＝2（x0﹣2，y0），故得x0＝3，y0＝﹣2，求得Q的坐标为（3，﹣2）；…（9分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝﹣4，且，…（11分）以上两式相减得，∴，故直线MN的方程为，即6x﹣5y﹣28＝0．…（13分）20．【解答】解：（1）当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时，有6种情况，所以P（ξ＝0）＝＝，由互斥事件概率公式得，P（ξ＝1）＝1﹣P（ξ＝0）＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以所求分布列是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A，第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为P（B|A）＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．【解答】解：（1）f′（x）＝2a（x﹣5）+，依题意，f′（1）＝6﹣8a＝2，得a ＝．（2）由（1）知，f（x ）＝（x﹣5）2+6lnx（x＞0），f′（x）＝x﹣5+＝．令f′（x）＝0，得x＝2或3．x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调增区间为（0，2）和（3，+∞），单调减区间为（2，3）．f（x）的极大值f（2）＝+6ln2，极小值f（3）＝2+6ln3．22．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝﹣3，∴，故，令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜﹣2或x＞0，即所求的单调递减区间为（﹣3，﹣2）和（0，+∞）；（Ⅱ）∵（x＞a），令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a+1，（1）当a+1＞0，即﹣1＜a＜0时，f（x）在（a，0）和（a+1，+∞）上为减函数，在（0，a+1）上为增函数，由于f（0）＝aln（﹣a）＞0，当x→a时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，于是可得函数f（x）图象的草图如图：此时函数f（x）有且仅有一个零点．即当﹣1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点；（2）当a＝﹣1时，，∵，∴f（x）在（a，+∞）单调递减，又当x→﹣1时，f（x）→+∞．当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故函数f（x）有且仅有一个零点；（3）当a+1＜0即a＜﹣1时，f（x）在（a，a+1）和（0，+∞）上为减函数，在（a+1，0）上为增函数，又f（0）＝aln（﹣a）＜0，当x→a时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，于是可得函数f（x）图象的草图如图：此时函数f（x）有且仅有一个零点；综上所述，所求的范围是a＜0．。
陕西省延安市黄陵中学普通班2016-2017学年高二下学期开学数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，其面积S△ABC=3，则BC=（）A．5 B．或C． D．2．关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，） B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）3．过抛物线y2=12x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．16 B．12 C．10 D．84．已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题5．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）7．已知命题p：＜1，q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）8．直线y=﹣x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．4﹣29．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥111．如图，是一程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若抛物线y2=﹣2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为．14．过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为．15．已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，若∠F1PF2=60°，则e=．16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为a3；④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，]．其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．20．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，其面积S△ABC=3，则BC=（）A．5 B．或C． D．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AB，AC，以及已知面积代入求出sinA的值，进而求出cosA的值，利用余弦定理即可确定出BC的长．=3，【解答】解：∵锐角△ABC中，AB=3，AC=4，其面积S△ABC∴AB•AC•sinA=3，即sinA=，∴cosA==，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=9+16﹣12=13，则BC=．故选：D．2．关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，） B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据根与系数的关系，求出b与c的值；再求不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集即可．【解答】解：关于x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，∴对应方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根为﹣3和2，由根与系数的关系，得，解得b=﹣1，c=6；∴关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0可化为6x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣或x＞；∴该不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故选：C．3．过抛物线y2=12x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．16 B．12 C．10 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设过抛物线y2=12x的焦点的直线方程为x=my+3，代入y2=12x，利用韦达定理，求出m，即可求出|AB|．【解答】解：设过抛物线y2=12x的焦点的直线方程为x=my+3，代入y2=12x，可得y2﹣12my﹣36=0，∴y1+y2=12m，y1y2=﹣36，∴x1+x2=12m2+6=6，∴m=0，∴x=3，∴|AB|=2×6=12．故选：B．4．已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用配方法可得2x2+2x+≥0判断命题p为假命题，由两角和的正弦公式判断命题q为真命题，则答案可求．【解答】解：∵2x2+2x+=，∴命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0为假命题；∵sinx0﹣cosx0=sin（），∴命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=为真命题．∴￢q是假命题．故选：D．5．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心P的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，∴b=2，∴动圆圆心M的轨迹方程为：．故选：C．6．已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ） A ．（﹣1，1，0） B ．（1，﹣1，0） C ．（0，﹣1，1） D ．（﹣1，0，1）【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x ，y ，z ），A ．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．B ．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．C ．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．D ．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件． 故选：B7．已知命题p ：＜1，q ：x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，﹣1]B ．[﹣2，﹣1]C ．[﹣3，﹣1]D ．[﹣2，+∞）【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求解命题P ，通过讨论a 的取值，从而解出不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0，判断所得解能否使p 是q 的充分不必要条件，或限制a 后能使p 是q 的充分不必要条件，综合以上求得的a 的范围求并集即可．【解答】解：命题p ：可得，，即：x ＜1或x ＞2，命题q ：x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0，即（x +a ）（x ﹣1）＞0，若﹣a=1，即a=﹣1，不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0的解是x ≠1，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＞1，即a ＜﹣1，不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞﹣a ，或x ＜1，由x ＜1或x ＞2，得到﹣a ＜2，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＜1，即a ＞﹣1，不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞1，或x ＜﹣a ，∵p是q的充分不必要条件，q：x＜1或x＞2，不满足P是q的充分条件；综上得a的取值范围是（﹣2，﹣1]．故选：A．8．直线y=﹣x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．4﹣2【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B 两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y=﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．∴故选C．9．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】J9：直线与圆的位置关系；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．故选A．10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1【考点】21：四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1“，故选：C11．如图，是一程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】E7：循环结构．【分析】首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S的值．【解答】解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+K=3第2次循环：S=K=5第3次循环：S=K=7第4次循环：S=K=9第5次循环：S=K=11此时，K＞10输出S=故选B．12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】首先确定点M的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率．【解答】解：分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，并连结EF、FG、GE，则平面EFG∥平面ABC．当点M在正四面体DEFG内部运动时，满足“”，故P（X）=．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若抛物线y2=﹣2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6）．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】依题意，知抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，设M（﹣9，m），利用抛物线的定义，将它到焦点的距离转化为它到其焦点的距离，从而可得答案．【解答】解：∵抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，设M（﹣9，m），∵点M到焦点的距离为10，∴由抛物线的定义知：﹣（﹣9）=10，解得：p=2，∴抛物线方程为：y2=﹣4x；将M（﹣9，m）点的坐标代入抛物线方程得：m2=﹣4×（﹣9）=36，∴m=±6，∴M点的坐标为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6），故答案为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6）．14．过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】用点斜式求出直线AB 的方程，应用联立方程组求得A 、B 的坐标，再将△OAB 的面积分割成S △OAB =S △OFA +S △OFB ，即可求得△OAB 的面积的值． 【解答】解析：椭圆+=1的右焦点F 2（1，0），故直线AB 的方程y=2（x ﹣1），由，消去y ，整理得3x 2﹣5x=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＜x 2，则x 1，x 2是方程3x 2﹣5x=0的两个实根，解得x 1=0，x 2=，故A （0，﹣2），B （，），故S △OAB =S △OFA +S △OFB =×（|﹣2|+）×1=．故答案：15．已知离心率为e 的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2=60°，则e=．【考点】KC ：双曲线的简单性质；K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF 1|，|PF 2|，结合∠F 1PF 2=60°，利用余弦定理和离心率公式，建立方程，即可求出e ．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2， 焦距为2c ，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，且不妨设m ＞n ， 由m +n=2a 1，m ﹣n=2a 2得m=a 1+a 2，n=a 1﹣a 2． 又∠F 1PF 2=60°，∴4c 2=m 2+n 2﹣mn=a 12+3a 22，，由椭圆的离心率为，则，解得e=，故答案为：．16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为a3；④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，]．其中正确的命题是①②③④（写出所有正确命题的编号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；MT：二面角的平面角及求法．【分析】①由已知可得四边形ADEF是菱形，再利用菱形对角线的性质、线面面面垂直的判定与性质定理即可得出；②由三角形中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣DEF的体积达到最大，再利用体积计算公式即可得出；④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上；⑤在旋转过程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，π]，即可判断出．【解答】解：①由已知可得四边形ADEF是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正确；②由三角形中位线定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正确；③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣DEF的体积达到最大，最大值为=，③正确；④由平面A′FG⊥平面ABC，可知点A′在面ABC上的射影在线段AF上，∴④正确；⑤在旋转过程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，π]，∴⑤不正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．【考点】KB：双曲线的标准方程；2E：复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）命题q为真命题，由已知得，可求实数k的取值范围；（Ⅱ）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p 假q真”即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题…当命题p为真、命题q为假时，则，解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，可得=（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，可得=3a2=﹣15，解得a2，进而得到d．即可得出a n．（2）由（1）可得：S n=﹣n2﹣2n．可得b n==﹣=﹣，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，∴=（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，∴=﹣15，∴a2=﹣5．∴（﹣5+1）2=（﹣5﹣d+1）（﹣5+2d+1），解得d=0或d=﹣2．d=0时，公比为1，舍去．∴d=﹣2．∴a n=a2﹣2（n﹣2）=﹣5﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣1．（2）由（1）可得：S n==﹣n2﹣2n．∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+++…++=﹣=﹣+．19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC=2，OA=，OB1=，若AB1=，则OA2+OB12=AB12，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则=（﹣2，0，0），则==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，﹣），设平面AB 1C 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=﹣，则=（﹣，1，1），设平面A 1B 1A 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则x=0，y=1，即=（0，1，1），则cos ＜，＞===由于二面角C ﹣AB 1﹣A 1是钝二面角，∴二面角C ﹣AB 1﹣A 1的余弦值是﹣．20．如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正三角形PAD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点． （1）求证：PA ∥平面MBD ； （2）求二面角P ﹣BD ﹣A 的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC、BD交于点O，连接OM，推导出PA∥OM，由此能证明PA∥平面BMD．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，2，2），B（4，0，0），D（0，4，0），=（﹣4，2，2），=（﹣4，4，0），设平面BPD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣BD﹣A的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值为．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意得=，•2a•2b=4，又a2=b2+c2，由此解得a，b．即可得出．（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．分析如下：方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．又点M异于顶点A、B，可得﹣2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．可得•＞0，即可证明．方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差．|BQ|2﹣|MN|2=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2，两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，可得=，化简后可得|BQ|2﹣|MN|2＜0，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题意得=，•2a•2b=4，又a2=b2+c2，由此解得a=2，b=．所以椭圆E的方程为=1．（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．证明如下：方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．∵M点在椭圆上，∴y02=（4﹣x02）．①又点M异于顶点A、B，∴﹣2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．从而=（x0﹣2，y0），=．∴•=2x0﹣4+=（x02﹣4+3y02）．②将①代入②，化简得•=（2﹣x0）．∵2﹣x0＞0，∴•＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内．方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），则﹣2＜x1＜2，﹣2＜x2＜2，又MN的中点Q的坐标为，依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差|BQ|2﹣|MN|2=+﹣ [（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2]=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2③直线AP的方程为y=（x+2），直线BP的方程为y=（x﹣2），而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，∴=，即y2=④又点M在椭圆上，则=1，即y12=（4﹣x12）⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|2﹣|MN|2=（2﹣x1）（x2﹣2）＜0．22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K7：抛物线的标准方程．【分析】（1）由已知求得p，则抛物线方程可求；（2）设出椭圆方程，由已知列关于a，b，c的方程组，求得a，b的值，得到椭圆方程，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设正方形第三个顶点坐标为P（0，y0），设出直线方程y=k（x﹣1）（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合求得k值．【解答】解：（1）由题意知，，则p=2，∴抛物线方程为y2=4x；（2）设椭圆方程为，则，解得a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为．若l垂直于x轴，得M（1，﹣），N（1，），，不符合；若l不垂直于x轴，设正方形第三个顶点坐标为P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）令l：y=k（x﹣1）（k≠0），代入，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，则线段MN的中垂线方程为，∴P（0，）．由，得x1x2+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=0．即（y0≠0），∴，又，∴，解得k=．∴直线l的方程为．2017年5月26日。
2016-2017年陕西省延安市黄陵中学重点班高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}2．（5分）已知向量＝（1，m），＝（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1} 4．（5分）若a＞1，则的最小值是（）A．2B．a C．3D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于（）A．1B．C．﹣2D．36．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝（）A．2B．1C．0D．﹣27．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 8．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n 9．（5分）某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为（）A．1.6万户B．4.4万户C．1.76万户D．0.24万户10．（5分）如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+z2所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设U＝A∪B＝{x∈N*|lgx＜1|}若A∩（∁U B）＝{m|m＝2n+1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝．12．（5分）若集合A＝{x||x|＞1}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝．13．（5分）已知向量，满足，，且，则与的夹角为．14．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为．15．（5分）若规定E＝{a 1，a2…a10}的子集为E的第k个子集，其中k＝2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则（1）{a1，a3}是E的第个子集；（2）E的第211个子集是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设函数f（x）＝sin x cos x﹣cos（x+π）cos x（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象按＝（，）平移后得到函数y＝g（x）的图象，求y ＝g（x）在[0，]上的最大值．17．（12分）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2＝24，a2+a3＝6，求首项a1和公比q．18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于AB两点．（Ⅰ）如果sin，点B的横坐标为，求cos（α+β）的值；（Ⅱ）已知点C（2，﹣2），求函数f（α）＝•的值域．19．（12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．21．（14分）已知函数，（a≠0，a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤﹣1}，∴（∁R A）∩B＝{x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}＝{﹣2，﹣1}故选：A．2．（5分）已知向量＝（1，m），＝（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．0【解答】解：∵＝（1，m），＝（m，2），且，所以1•2＝m•m，解得m＝或m＝．故选：C．3．（5分）不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1}【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，可化为：或，解得：x＞4或x＜﹣1，则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．故选：B．4．（5分）若a＞1，则的最小值是（）A．2B．a C．3D．【解答】解：因为a＞1，所以a﹣1＞0，所以＝当且仅当即a＝2时取“＝”故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于（）A．1B．C．﹣2D．3【解答】解：∵S3＝6＝（a1+a3），且a3＝a1+2d，a1＝4，∴d＝﹣2，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝（）A．2B．1C．0D．﹣2【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝﹣f （1）＝﹣（1+1）＝﹣2，故选：D．7．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：因为x＝﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）＝x3+x2﹣1，因为f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0．所以函数f（x）＝x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3＝1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选：B．8．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n【解答】解：由题意可得a n＝1×＝，∴S n＝＝3﹣＝3﹣2＝3﹣2a n，故选：D．9．（5分）某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为（）A．1.6万户B．4.4万户C．1.76万户D．0.24万户【解答】解：∵在1000户住户中，农村住户无有冰箱的有160户，∴在所有居民中农村五冰箱的住户所占的比例是∴由分层抽样按比例抽取可得×100000＝16000．故选：A．10．（5分）如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+z2所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由图可得，A（1，2），B（1，﹣1），则z1＝1+2i，z2＝1﹣i，则z1+z2＝2+i．∴z1+z2所对应点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设U＝A∪B＝{x∈N*|lgx＜1|}若A∩（∁U B）＝{m|m＝2n+1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝{2，4，6，8}．【解答】解：根据题意，U＝A∪B＝{x∈N*|lgx＜1|}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩（∁U B）＝{m|m＝2n+1，n＝0，1，2，3，4}＝{1，3，5，7，9}，如图：集合B＝{2，4，6，8}；故答案为：{2，4，6，8}．12．（5分）若集合A＝{x||x|＞1}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．【解答】解：∵A＝{x||x|＞1}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或x＞1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．13．（5分）已知向量，满足，，且，则与的夹角为．【解答】解：∵向量，满足，，且，设与的夹角为θ，则++2•＝++2||•||•cosθ＝4+4+8cosθ＝12，求得cosθ＝，∴θ＝，故答案为：．14．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为2．【解答】解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如图所示的正方形及内部：设目标函数z＝x+2y，变形可得y＝，经平移直线可知当直线经过点（0，1）时z＝x+2y取最大值2故答案为：215．（5分）若规定E＝{a 1，a2…a10}的子集为E的第k个子集，其中k＝2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则（1）{a1，a3}是E的第5个子集；（2）E的第211个子集是{a1，a2，a5，a7，a8}．【解答】解：（1）{a1，a3}＝{a3，a1}化成二进制101（0为不出现，1为出现），这里a3出现，a2不出现，a1出现，所以是101；二进制的101等于十进制5，故第一个空填5；故答案为：5．（2）十进制211等于二进制11010011，即对应集合{a8，a7，a5，a2，a1}，又由{a8，a7，a5，a2，a1}＝{a1，a2，a5，a7，a8}故第二空填{a1，a2，a5，a7，a8}．故答案为：{a1，a2，a5，a7，a8}．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设函数f（x）＝sin x cos x﹣cos（x+π）cos x（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象按＝（，）平移后得到函数y＝g（x）的图象，求y ＝g（x）在[0，]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin x cos x﹣cos（x+π）cos x＝sin2x+cos2x+＝sin（2x+）+．，所以函数f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象按＝（，）平移后得到函数y＝g（x）的图象，可得．由，g（x）为增函数，所以g（x）在上的最大值为．17．（12分）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2＝24，a2+a3＝6，求首项a1和公比q．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5＝1+（﹣2）＝﹣1；（2）由已知可得，解之可得18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于AB两点．（Ⅰ）如果sin，点B的横坐标为，求cos（α+β）的值；（Ⅱ）已知点C（2，﹣2），求函数f（α）＝•的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵α是锐角，sinα＝，∴cosα＝＝，∵点B的横坐标为，单位圆半径为1，∴根据三角函数的定义，得cosβ＝，又∵β是锐角，∴sinβ＝＝，∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝×﹣×＝﹣；（Ⅱ）由题意可知，＝（cosα，sinα），＝（2，﹣2），∴f（α）＝•＝2cosα﹣2sinα＝4cos（α+），∵0＜α＜，∴＜α+＜，∴﹣＜cos（α+）＜，即﹣2＜f（α）＜2，∴函数f（α）的值域为（﹣2，2）．19．（12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【解答】解：甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示，（Ⅰ）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种；其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P＝；（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝．20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q＝3，S3＝得：＝，解得a1＝，所以a n＝×3n﹣1＝3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n＝3n﹣2，所以a3＝3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A＝3；又因为当x＝时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）＝1，由0＜φ＜π，得到φ＝．则函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x+）．21．（14分）已知函数，（a≠0，a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，由得x＞0；当a＜0时由得﹣1＜x＜0综上：当a＞0时函数f（x）的定义域为（0，+∞）；当a＜0时函数f（x）的定义域为（﹣1，0）（3分）（Ⅱ）＝（5分）令f'（x）＝0时，得lnax＝0，即，①当a＞0时，时f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，故当a＞0时，函数的递增区间为，递减区间为②当﹣1≤a＜0时，﹣1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，故当﹣1≤a＜0时，f（x）在x∈（﹣1，0）上单调递增．③当a＜﹣1时，若，f'（x）＜0；若，f'（x）＞0，故当a＜﹣1时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．综上：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为当﹣1≤a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）；当a＜﹣1时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；（10分）（Ⅲ）因为当a＞0时，函数的递增区间为；单调递减区间为若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只须，即（14分）。
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陕西省延安市黄陵县2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题文（重点班）（考试时间120分钟，满分150分）姓名_______评价______一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( ) A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样2．小波一星期的总开支分布如图1①所示，一星期的食品开支如图1②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图1A．1% B．2%C.3% D．5%3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A．3.5 B．－3C.3 D ．－0.54.根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax Ac A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和 A 的值分别是（ ）A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，165.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（ ） A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法6.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,537.在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为（ ）A. 92，2B. 92 ，2．8C. 93，2D.93，2．88、回归方程yˆ=1.5x －15，则下列结论正确的是 A.y =1.5x －15 B.15是回归系数a C.1.5是回归系数a D.x =10时，y =09、已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是A.［5.5，7.5）B.［7.5，9.5）C.［9.5，11.5）D.［11.5，13.5）10、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 A.15，5，25B.15，15，15C.10，5，30D.15，10，2011.变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与1 252 0233 3 1244894 55778895 00114796 178V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ） A ．210r r <<B ．210r r <<C ．210r r <<D ．21r r =12.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.从50个产品中抽取10个进行检查，则总体个数为_______，样本容量为______.14.由正整数组成的一组数据1x 、2x 、3x 、4x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为_________.(从小到大排列)15.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注:方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ,其中x 为x 1,x 2,,x n 的平均数) 16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图6)．由图中数据可知a ＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]的学生中选取的人数应为________.图6三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(Ⅲ)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.18.（本题满分12分）对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s ）的数据如下表.（1）（m/s ）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.19.（本题满分12分，）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程a bx y +=∧，其中--=-=x b y a b ,20（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入—成本）20.（本题满分12分，)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位:辆):按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.（Ⅰ）求z的值（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率;（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下:9.4， 8.6， 9.2，9.6， 8.7， 9.3， 9.0， 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.21.（本题满分12分，）有一种鱼的身体吸收水银，水银的含量超过1.00 ppm(即百万分之一)时就会对人体产生危害．在30条鱼的样本中发现的水银含量是:0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.021.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.681.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.262.10 0.91 1.31(1)用前两位数作为茎,做出样本数据的茎叶图；(2)描述一下水银含量的分布特点；(3)从实际情况看，许多鱼的水银含量超标在于有些鱼在出售之前没有被检查过．那么，这种鱼的水银含量的平均水平都比1.00 ppm大吗?(4)求出上述样本数据的均值和标准差；(5)有多少条鱼的水银含量在均值减加两倍标准差的范围内？22.（本题满分12分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位:辆):按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.（Ⅰ）求z的值（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率;（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下:9.4， 8.6， 9.2，9.6， 8.7， 9.3， 9.0， 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.参考答案一、选择题答题卡：二、填空题13.50，10 14．1,1,3,3． 15. 6.8 . 16. 0.030 3 三、解答题17. 解： (Ⅰ) .005.0110)04.003.002.02(=∴=⨯+++a a ， (Ⅱ)平均分为.7305.0952.0853.0754.06505.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (Ⅲ)数学成绩在[)9050，内的人数为9010010)02.04503.03404.021005.0(=⨯⨯⨯+⨯+⨯+人，数学成绩在[)9050，外的人数为1090100=-人.答：(Ⅰ) 005.0=a ；(Ⅱ)这100名学生语文成绩的平均分为73；(Ⅲ)数学成绩在[)9050，外的人数为10人.18.解：解：（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数甲 乙7 23 3 8 4 69 81 5 7 0 8从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是35，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好.（2）利用科学计算器：甲x =33，乙x =33；甲s =3.96，乙s =3.56；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5. 综合比较选乙参加比赛较为合适.19. 解：（Ⅰ）由于5.8)(61654321=+++++=x x x x x x x ，.80)(61654321=+++++=y y y y y y y 所以2505.82080=⨯+=-=x b y a ，从而回归直线方程为25020ˆ+-=x y. （Ⅱ）设工厂获得的利润为L 元，依题意得25.361)433(20100033020)25020(4)25020(22+--=-+-=+--+-=x x x x x x L当且仅当25.8=x 时，L 取得最大值.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.20. 解: (Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300n =+, 所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(Ⅱ) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以40010005m=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710. (Ⅲ)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.086=.21. 解析： (1)茎叶图为：(2)汞含量分布偏向于大于1.00 ppm的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm的区域．(3)不一定．因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同．即使各批鱼的汞含量分布相同，上面的数据只能为这个分布作出估计，不能保证平均汞含量大于1.00 ppm．(4)样本平均数x≈1.08，样本标准差s≈0.45．(5)有28条鱼的汞含量在平均数与两倍标准差的和(差)的范围内．22. 解: (Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,5010100300n=+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(Ⅱ) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以40010005m=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2,B1), (S2,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710. (Ⅲ)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.086=.。