河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(普通班)同步练习：3.1.2
河南省师范大学附属中学高中数学 第二单元 数列章末归纳总结同步练习 理(普通班)选修2-1
河南省师范大学附属中学2014高中数学 第二单元 数列章末归纳总结同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5 D.92 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．过原点的直线l 与双曲线x 24－y 23＝－1交于两点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－32，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.37166．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是( )A ．|AB |>|CD | B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |<|CD | D ．|AB |≠|CD |二、填空题7．设P 是双曲线x 2－y 23＝1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知A (3,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为________．8．如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点．(1)抛物线的方程为________；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |＝________.三、解答题9．在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝1.如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，求这个椭圆的焦距．10．如图所示，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方法进行折叠，使每次折叠后B都落在AD边上，此时将B记为B′(图中EF为折痕，点F也可落在边CD上，)过B′作B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程．章末归纳总结一、选择题1．[答案] D[解析] 将双曲线9y 2－m 2x 2＝1化为标准方程得91－m21＝1，不妨取顶点31，一条渐近线3y －mx ＝0，由题意知3＝51，解得m ＝4.2．[答案] A[解析] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点，(0,2)点，和抛物线的焦点，01三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝21＝217.3．[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(2x1＋x2，2y1＋y2)，∴2y1＋y2＝2，＝2px2 ②2①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒x1－x2y1－y2＝y1＋y22p ＝2y1＋y2，∴k AB ＝1＝2p ⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.4．[答案] B[解析] 双曲线的焦点在y 轴上，渐近线的斜率为±23，利用数形结合的方法易得直线l 的斜率的取值范围是，＋∞3∪23.5．[答案] A[解析] 如图|PA |＋|PB |＝|PF |＋|PB |∴所求最小值为点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝5|4×1－0＋6|＝2，故选A. 6．[答案] A[解析] 由抛物线的焦点弦公式l ＝sin2θ2p 知，|AB |>|CD |，故选A.二、填空题7．[答案] －2[解析] 设双曲线的另一个焦点为F ′，则有F ′(－2，0)，F (2,0)，连结AF ′交双曲线的右支于点P 1，连结P 1F ，则|P 1F ′|－|P 1F |＝2a ＝2.于是(|PA |＋|PF |)min ＝|P 1A |＋|P 1F |＝|P 1A |＋(|P 1F ′|－2)＝|AF ′|－2＝－2.8．[答案] (1)y 2＝8x (2)6[解析] (1)圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，知圆心坐标为(2,0)，即抛物线的焦点为F (2,0)，∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)由题意知直线AD 的方程为y ＝2(x －2)，即y ＝2x －4，代入y 2＝8x ，得x 2－6x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10.又圆直径|BC |＝4，∴|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝10－4＝6.三、解答题9．[解析] 如图，设F 、C 分别是椭圆的左、右焦点，由定义|AC |＋|AF |＝|BC |＋|BF |，∵|AC |＝|AB |＝|AF |＋|BF |＝1，|BC |＝，∴|AF |＝22，∴焦距|FC |＝＝26.10．[解析] 以边AB 的中点O 为原点，AB 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．因为|BT |＝|B ′T |，B ′T ⊥AD ，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点B 为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )，由|AB |＝4知抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4.故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．。
河南省师范大学附属中学高中数学 1.1.2 四种命题同步
河南省师范大学附属中学2014高中数学 1.1.2 四种命题同步练习理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．给出以下4个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( )A ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB ．若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝AC ．若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠AD ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B4．有下列四个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；(2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；(3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题；(4)“若a b 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是t 的( )A ．逆否命题B ．逆命题C ．否命题D ．原命题 6．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题7．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．8．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．三解答题9．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．1.1.2一、选择题B C A B C C二、填空题7 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.8．假三、解答题9 [解析] (1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.10． [解析] 原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，。
河南师范大学附属中学高中数学选修2-2学案：3.1.1-2数系的扩充和复数的概念( 2014高考)
3.1.1-2数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．2．了解数集的扩展过程以及复数的分类表；3．理解复数的有关概念以及符号表示；4．掌握复数的代数表示形式及其有关概念.【自主学习】1.对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？2.如何引入一个新数i 的？3.实数能与i 进行四则运算吗？【自主检测】1.a bi c di +=+若，则2.若0a bi +=，则3.若23(9)Z x x i =++-是纯虚数，则x =【典型例题】例1．请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 例2．实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例3． 已知i y y ix )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．【课堂检测】 1、下列命题正确的是 ( )（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数； （2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数；（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚数； （4）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 可能为实数.2.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.3.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.4．若x,y 为实数，且i yi x y x 42)(22+=+++，求x 与y.【总结提升】（1）、虚数单位i 的引入；（2）、复数的代数形式：R b R a bi a z ∈∈+=,,其中；（3）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。
河南省师范大学附属中学高中数学 2.2 椭圆及其标准方程(一)同步练习 理(普通班)新人教A版选修2-1
河南省师范大学附属中学2014高中数学 2.2 椭圆及其标准方程（一）同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．轨迹不存在2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32B. 3C.72D ．4 4．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( ) A ．5 B ．3或8 C ．3或5 D ．205．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 26．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4 二、填空题 7．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．8．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)10．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．2.2.1一、选择题1. [答案] C[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段．2．[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为－b x2＋－a y2＝1 ∵a <b <0∴－a >－b >0，∴－a y2＋－b x2＝1，焦点在y 轴上，c ＝＝∴焦点坐标为(0，±)3．[答案] C[解析] 如图所示，由4x2＋y 2＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－，0)、(，0)，即P 点的横坐标为x p ＝－，代入椭圆方程得y p ＝21，∴|PF 1|＝21，∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－21＝27.4．[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C.5．[答案] B[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4.6．[答案] B[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0.二、填空题7．[答案] x 2＋34y 2＝1 [解析] 如图所示，由题意知，|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|PA |＋|PF |＝2，且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝21，b 2＝43.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋43＝1，即x 2＋34y 2＝1.8．[答案] 8[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8.三、解答题9．[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为a2y2＋b2x2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴＝1.1⇒b2＝1a2＝4，故所求椭圆的方程为4y2＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为m x2＋n y2＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (21，)，∴＝1，3解得n ＝4.m ＝1，∴所求椭圆方程为x 2＋4y2＝1.10．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知a29＋b20＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为9x2＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为a2y2＋b2x2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知a20＋b29＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为81y2＋9x2＝1.故椭圆的标准方程为81y2＋9x2＝1或9x2＋y 2＝1.。
河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习：3.2.2向量法在空间平行关系中的应用
3.2.2向量法在空间平行关系中的应用1．l ，m 是两条直线，方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， 若l ∥m ，则( )A ．x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2B ．x 1＝kx 2，y 1＝py 2，z ＝qz 2C ．x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0D ．x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 22．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM→＝AB →，则点B 应为( ) A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)3．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－25．若AB →＝λCD →＋uCE →(λ，u ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．6．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1,1)，C (3，λ，λ)， 若AB→⊥AC →，则λ等于________． 7．如图，已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ：MA ＝BN ：ND ＝：8.求证：直线MN ∥平面PBC .8．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD上，且PE ED ＝2，求证：BF ∥平面AEC .9．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥平面ABC.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN.3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用1. [答案] D[解析] 由向量平行的充要条件可得．2. [答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →＝(7,2,3)．故选B.3． [答案] A[解析] 由v 1∥v 2故可判断α∥β.4．[答案] C[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4，故选C. 5． [答案] AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6． [答案] 1457．[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513P A →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .8． [解析] ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE → ＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →，∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .9． [证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →=2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .10． [证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0. 令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN .。
河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习：3.2.3 向量法在空间垂直关系中的应用
3.2.3 向量法在空间垂直关系中的应用1．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．82．若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )A ．(1，－2,0)B ．(0，－2,2)C ．(2，－4,4)D ．(2,4,4)3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝ A.75B ．1 C.35 D.154．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．在直角坐标系O —xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP→是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →. 其中正确的是________．7．已知A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，求证：AC ⊥BD 的等价条件是AD 2＋BC 2＝CD 2＋AB8．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC9．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.11．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使DE⊥平面AB1F.3.2第3课时 向量法在空间垂直关系中的应用1．[答案] C[解析] ∵l ∥α，∴l 与平面α的法向量垂直．故2×1＋12×m ＋1×2＝0， 解得m ＝－8，故选C.2．[答案] C[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n ，∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．3．[答案] A[解析] k a ＋b ＝(k －1，k,2),2a －b ＝(3,2，－2)．若k a ＋b 与2a －b 垂直，则(k a ＋b )·(2a －b )＝0.即3(k －1)＋2k －4＝0.解得k ＝75，故选A. 4． [答案] C[解析] AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，则AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.∴AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．又|AB →|≠|AC →|故选C.5． [答案] π2或π3[解析] ∵OP →·OQ →＝cos x (2cos x ＋1)－2cos2x －2＋3×0＝2cos 2x ＋cos x －2(2cos 2x －1)－2＝－2cos x 2＋cos x .∴－2cos 2x ＋cos x ＝0，即cos x ＝0或cos x ＝12， 又∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或π3. 6． [答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →.AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．7．[证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AC ⊥BD ⇔b ·(c －a )＝0⇔a ·b ＝b ·c ，AD 2＋BC 2＝CD 2＋AB 2⇔|AD →|2＋|BC →|2＝|CD →|2＋|AB →|2⇔|c |2＋(b －a )2＝|c －b |2＋|a |2⇔a ·b ＝b ·c ，∴AC ⊥BD ⇔AD 2＋BC 2＝CD 2＋AB 2.8． [证明] 设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量，∴v ·a ＝0，v ·b ＝0，∵D 为AB 中点，∴CD →＝12(a ＋b )， ∵O 在CD 上，∴存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )， ∵CA ＝CB ，∴|a |＝|b |，AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎡⎦⎤λ2(a ＋b )＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v ＝λ2(|a |2－|b |2)＋b ·v －a ·v ＝0， ∴AB →⊥CP →，∴AB ⊥PC .9．[解析] 如图，以C 1点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)∵BC 1→＝(0，－2，－2)，AB 1→＝(－2,2，－2)，∴BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0，∴BC 1→⊥AB 1→，∴BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，∵E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)，∴ED →＝－12BC 1→，且ED 和BC 1不共线，则ED ∥BC 1.又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .[点评] 第(2)问可求出CD →＝(1,1,0)，CA 1→＝(2,0，－2)，BC 1→＝(0，－2，－2)，∴BC 1→＝－2CD →＋CA 1→，∴BC 1→与CD →、CA 1→共面，∵BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .10． [解析] 建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,3)，D 1(0,2,3)，设E (2，y ，z )⇒D 1E →＝(2，y －2，z －3)，AF →＝(1,2,0)，AB 1→＝(2,0,3)，∵D 1E ⊥平面AB 1F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2(y －2)＝04＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，z ＝53.∴E (2,1，53)即为所求．。
河南师大附中2013-2014学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念练习 新人教A版选修1-2
3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 下列命题正确的是 ( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋i D.5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为 ( ) A.12 B ．2 C ．0 D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1 6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z ) B ．2k π＋π4(k ∈Z ) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 二、填空题 7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______.8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．三、解答题9.已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．10．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m的取值范围．3.1.1答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B7．2 ±2 8．19．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.10．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.。
河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习：3.1.3 空间向量的数量积运算]
3.1.3 空间向量的数量积运算1．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD→ B.AE →·BC →＝AE →·CD→C.AE →·BC →>AE →·CD→ D.AE →·BC →与AE →·CD→不能比较大小 2．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．62B ．6C ．12D ．1443．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( )A ．14B.14 C ．4 D ．24．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( )A.12B.22C ．－12D ．0 5．在空间四边形ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，则下列结论不成立的是( )A ．|AB→＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|B ．|AB→＋AC →＋AD →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋|AD →|2 C ．(AB →＋AD →＋AC →)·BC→＝0 D.AB →·CD →＝AC →·BD →＝AD →·BC→ 6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.8．已知在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则AB →·OC→＝________. 9．对于任意空间四边形，证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 1所成的角．3.1.3 空间向量的数量积运算1.[答案] C[解析] 易知AE ⊥BC ，∴AE →·BC →＝0，AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD →＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD → ＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos60°＋12|BC →|·|CD →|cos120°<0.2．[答案] C[解析] ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴|PC →|＝12.3. [答案] B[解析] |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴选B.4. [答案] D[解析] cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝OA →·OC →－OA →·OB →|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB |OA →||BC →|. 因为|OB →|＝|OC →|，∠AOC ＝∠AOB ＝π3， 所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.5. [答案] C[解析] A 中，由|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|，得(AB →＋AC →＋AD →)2＝(AB →＋AC→－AD →)2，展开得(AB →＋AC →)2＋|AD →|2＋2(AB →＋AC →)·AD →＝(AB →＋AC →)2＋|AD →|2－2(AB →＋AC →)·AD →，整理得(AB →＋AC →)·AD →＝0，因为AB →，AC →，AD →两两垂直，所以(AB →＋AC →)·AD →＝0成立，因此A 正确．易得B 正确．(AB →＋AD →＋AC →)·BC →＝(AB →＋AD →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－|AB →|2＋AD →·AC →－AD →·AB →＋|AC →|2－AC →·AB →＝|AC →|2－|AB →|2，当|AC →|＝|AB →|时，|AC →|2－|AB →|2＝0，否则不成立，因此C 不正确．D 中，AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0，同理AC →·BD →＝0，AD →·BC →＝0，因此D 正确．6. [答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．7.[答案] 3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4.8．[答案] 0[解析] AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OA →＋AC →)＝OB →·OA →＋OB →·AC →－|OA →|2－OA →·AC →＝OB →·OA →－|OA →|2－OA →·AC →＝OA →·AB →－OA →·AC →＝OA →·CB →＝0.9. [证明] 如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①后，两式相加得，2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12AD →＋12BC →. 即EF →与BC →、AD →共面，∴EF 与AD 、BC 可平行于同一平面．10．[解析] 不妨设正方体的棱长为1, 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC 1→＝a ＋b ＋c .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ＋c )＝(a －c )(a ＋c )＋b (a －c )＝0∴<A 1B →，AC 1→>＝90°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为90°.[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．。
河南省师范大学附属中学高中数学 2.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域同步练习 理(普通班)选修2-1
河南省师范大学附属中学2014高中数学 2.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 4．k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线 6．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 二、填空题7．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.8．已知双曲线x 2－y 2＝m 与椭圆2x 2＋3y 2＝72有相同的焦点，则m 的值为________．三、解答题9．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．10．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F的轨迹方程．2.3.1一、选择题1．[答案] C2．[答案] C[解析] 方程即是sin θx2＋－cos θy2＝1，因θ∈(43π，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C.3．[答案] C[解析] 将方程化为标准方程x 2－21＝1∴c 2＝1＋21＝23，∴c ＝26，故选C.4．[答案] B[解析] k >9时，方程为k －4y2－k －9x2＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k－9)(k －4)<0，∴k <4或k >9，故选B.5．[答案] D[解析] 方程变形为a b －a b ＝1，由a 、b 异号知a b <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.6．[答案] B[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－3x2＝1.二、填空题7． [答案] 21[解析] 由条件知，2|a －b|，∴2或2，∵a >0，∴a ＋b ＝21.8．[答案] 6[解析] 椭圆方程为36x2＋24y2＝1，c 2＝a 2－b 2＝36－24＝12，∴焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线m x2－m y2＝1与椭圆有相同焦点，∴2m ＝12，∴m ＝6.三、解答题9．[解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为a2y2－b2x2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (，4)、B (－，4)，由点A 在双曲线上知，a216－b215＝1.解方程组＝1，15得b2＝5.a2＝4，∴所求曲线的方程为4y2－5x2＝1.10．[解析] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a ，(其中a 表示椭圆的长半轴长)， 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |，所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝－＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点的双曲线的下半支上， 所以点F 的轨迹方程是y 2－48x2＝1(y ≤－1)．。
河南省师范大学附属中学高中数学 1.3.1 简单的逻辑联
河南省师范大学附属中学2014高中数学 1.3.1 简单的逻辑联结词（一）同步练习理（实验班）新人教A版选修2-11．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p 且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．33．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题5．命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中，使用逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”6．下列命题：①2>1或1<3；②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4[二、填空题7．设命题p：3≥2，q：32∈[23，＋∞)则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________．8．分别用“p∧q”“p∨q”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．三、解答题9．指出下列命题的构成形式(“p∧q”或“p∨q”)及构成它的命题p，q，并判断它们的真假．(1)5≥3；(2)(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；(3)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集．10．已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：0<x<4.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．1.3.1一选择题C A B C B C二、填空题7 p∨q 8 (1)p∧q(2)p∨q(3)p∨q三、解答题9 [解析] (1)此命题为“p或q”的形式，其中，p：5>3；q：5＝3.此命题为真命题，因为p为真，q为假，所以“p或q”为真命题．(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除．此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命题．所以“p且q”为真命题．(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：∅是{∅}的元素；q：∅是{∅}的真子集．此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故“p且q”为真命题．10 [解析] 由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4.则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤0或x≥4}．∴满足条件的实数x的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．。
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3.1.2
一、选择题
1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )
A.b －c 2
B.c －b 2
C.b －c 3
D.c －b 3
2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )
A ．共面
B ．不共面
C ．共线
D ．无法确定
3．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC → B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13
OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12
OC → D ．以上皆错 5．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，
且AF ＝12
EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12
AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16
AD → 6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，
N 为BC 中点，则MN →等于( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C.12a ＋12 b －23c D.23a ＋23b －12
c 二、填空题
7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12
i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________. 8．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别
为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实
数x ＝________，y ＝________，z ＝________.
三、解答题
9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，
求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．
10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面．
3.1.2 答案
1-6 D AABDB 7. －13i ＋2j ＋7k 8.－32 －61 61
9.[解析] →A1B ＝→AB －→AA1，→A1M ＝→A1D1＋→D1M ＝→AD －21→AA1，→AN ＝32→AC ＝32(→AB ＋→AD )． ∴→A1N ＝→AN －→AA1＝32(→AB ＋→AD )－→AA1
＝32(→AB －→AA1)＋32(→AD －21→AA1)
＝32→A1B ＋32→A1M .
∴→A1N 与→A1B ，→A1M 共面．
10.[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，
∵i ，j ，k 不共面，∴2λ＝13λ＋7μ＝－2，∴21，
故存在实数λ＝21，μ＝－21，使a ＝λb ＋μc ，
故a ，b ，c 共面．。