青岛版八年级数学二次根式课件
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青岛版八年级数学下册《二次根式和它的性质》课件
1 （3）6
(
1 )2 6
（4）x（x≥0） ( x)2
试一试
例6：在
范围内因式分解：m2 7
解： 7 = ( 7)2 m2 7 = m2 ( 7)2 = (m + 7)(m 7)
练习：在实数范围内因式分解
（1） 4x2 3 （2）m4 4
?
课堂小结
（1）二次根式的概念 （2）二次根式的性质
知识点3.性质公式( a)2 = a(a≥ 0)的逆用
把式子 ( a )2 = a(a≥ 0) 反过来，就得到
a = ( a )2 (a≥ 0).
利用这个式子，可以把任何一个非负数写 成一个数的平方的情势。
小试牛刀
把下列非负数写成一个数的平方的情势:
（1）5 ( 5)2
（2）3.4 ( 3.4)2
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x + 3 （3） 1+ x2 （5） x + x
（2） 3 2x （4） 1
x2
因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，
所以 a (a≥ 0)总是一个非负数, 即 a ≥ 0(a ≥ 0).
甲
②a都是非负数.
知识点1：二次根式
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
举出几个二次根式的例子：如：
7，
1
2，
x2 y ( y 0)， x2 + y 2
√
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 +1 , (7) 3 5
青岛版数学八下二次根式的乘除法ppt市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
同学们, 再见!
第9页
温故知新
1. 二次根式化简: ab = a · b (a ≥ 0,b ≥ 0).
a= a bb 2. 二次根式乘法和除法法则:
(a ≥ 0,b > 0).
a · b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0),
a = a (a ≥ 0,b > 0). bb
第2页
例1 计算: (1) 5 · 20 ; (2)2 a ·5 b ;
(2)24 ab 3 a = 24 · ab = 8 ab = 8 b.
3a
a
2.计算：
(1) 6 · 2 3; 3
(2) 15 24 · 3. 6 54
第5页
我国自主研制第一艘载人航天飞船“神舟5号”于10 月15日发射成功．
（1）利用运载火箭发射航天飞船，火箭必须到达一定速
度，才能克服地心引力，将飞船送入围绕地球运行轨
1. 二次根式乘法和除法法则: a · b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0), a = a (a ≥ 0,b > 0). bb
2.二次根式相乘除，先按照法则进行运算，假如积或商中含 有二次根式，要将它化成最简二次根式.
第7页
必做题:书本P16 选做题:书本P16
A组 1、2题 A组 3题第8页道．这个速度称来自第一宇宙速度．第一宇宙速度计算公式
是
V1 = ．gR其中g≈9.8米/秒2，R为地球半径.若R=6370
千米，你能求出第一宇宙速度吗？
V1≈7901米/秒
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行轨
道所需要速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度
为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？ V2≈11174米/秒第6页
八年级数学下册9.1.3二次根式和它的性质课件新版青岛版
(3)
1
1
16
__6____,
23
(4)
1 8 2 17
15 __1_7____.
课堂小结
1.
2. （1）它们的被开方式中__都__不__含__分__母_, （2）被开方式中不含有_能__开__得__尽__方__的因式. 这样的二次根式称为最简二次根式.
祝同学们学习进步！
(４)
考考自己
（一）判断
(1)判断：若 a a 成立，则a 0, b 0 （ 错 ）
b
b
(2)填空：x 4 x 4 成立的条件 x 4
x
x
（3）选择：化简 1 过程正确的是 4
（ C）
A 1（B） 1 1（C） 1 1
4
4 2
42
总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意被开 方数的取值范围。
（2） 45x4
4a2b3 (a 0,b 0)
运用积的算 术平方根的
性质。
72
x4 x2 y 4 （x≥0）
2
2
3
3
5
5
4
4
=
8 x 8 x 成立，则X的取值范围是_______。
x5
x5
练一练
运用这条性质可以化去根号内的分母。
1 3 2 9
25
4
1 2
0.25
2 0.01 0.49
4 9
25
6 5
8
练一练
1、下列二次根式中，最简二次根式是( B )
A． 2x2
B． 1 b2
C．
4a
D．
1 x
10
青岛版八年级下册数学《二次根式和它的性质》教学说课复习课件
知识点 二次根式有意义的条件
知识点 二次根式的性质
“ √￣ ”里面的小猴子想要彻底出来,必须具 备一定的条件,这个条件就是它必须是非负数.
知识点 二次根式的性质
利用二次根式( √￣a )2=a(a≥0) 的性质反过来写a=( √￣a )2, 在实数范围内分解因式时常用到,如在实数范围内因式分解
知识点 商的算术平方根
现有一张边长为5 cm的正方形彩纸,欲从中剪下一个 面积为其一半的正方形,要求剪下的正方形的边长,则 需要利用商的算术平方根的性质进行计算.
知识点 最简二次根式
知识点 有理数的减法法则
在有理数的减法运算中,被减数与减数的位置 不能随意交换,因为减法没有交换律.
二次根式的乘除法
第9章 二次根式
9.1 二次根式和它的性质
课件
知识点 二次根式的概念
在青岛某居民小区的广场上要设计一个图案种 植不同的花草,在边长为a的正方形内种植黄杨, 过正方形四个顶点的圆周上种植冬青球.你能求 出该圆的周长吗?正方形的对角线长为 2 a,即 圆的直径为 2 a,所以过正方形四个顶点的圆的 周长= 2 π·a= 2 πa.这里用到了二次根式的知 识呦!
挑战自我
(6) 3 1 3 4 ;
5 15
(8) （ 2 3）2 32
(7) (2 3 3 2)(2 3 3 2)
(9) 30xy4 5xy 6 y3 ;
(x > 0, y > 0)
挑战自我
6.已知 x 1 =
x
5 1
，试求
x2
1 x2
的值.
小结
1.二次根式的乘除法法则； 2.二次根式的混合运算.
练一练
计算:
解: 解:
青岛版初中数学八年级下册《二次根式的乘法与除法(1)》参考ppt课件
课本P124 练习1、2题
(4) 2 6 = 2 = 1 = 3 . 6 33
二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或商中
含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
1. 二次根式的乘法和除法法则:
a · b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0), a = a (a ≥ 0,b > 0). bb
2.二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或商中含 有二次根式，要将它化成最简二次根式.
1、若 5 = a ， 17 = b ，则 0.85 的值用a,b可以表示为（ ）
A、 a b
B、 b a
C、 ab
D、 b
10
10
10
a
2、把 a 1 的根号外的因式移到根号内为 。
பைடு நூலகம்
a
3、若 x = m n ，y = m n 则xy的值是（ ）
A、 2 m
B、 2 n
C、m+n
D、m-n
1、如果 x x 10 = x(x 10) ，那么（ B）
A、x≥0
B、x≥10
C、0≤x≤10
D、x为全体实数
2、下列各式计算正确的是（ B ）
A、5a a = 5a
B、 a
1 =1 a
C、8a9 = 4a3
D、x(x 5) = x x 5
3、等式 A、x≠5
x3 = x3
x5
x5
成立的条件是（ D）
B、x≥3
C、x≥3且x≠5
D、x>5
例1 计算:
(1) 5 · 20 ;
(3)
48 ;
3
(2) 2 2 5 1
6
(4) 2 6 .
青岛版(2012)八年级数学下册-9.3二次根式的乘法与除法-课件(共23张PPT)
(a ≥ 0，b > 0)
2. 二次根式的乘法除法法则：
a· b = ab (a ≥ 0，b ≥ 0) a = a (a ≥ 0，b > 0) bb
二次根式的四则运算： 在进行二次根式的四则运算时，实数的运算律 和运算顺序都适用，乘法公式也同样适用。
例2：计算：
（1） （ 6 12 + 2 6） （2）( 15 - 75) 3
果积或商中含有二次根式，要将它化成最简二次
根式。
谢谢
二次根式的乘法与除法
第二课时
1.在熟练掌握二次根式的加法、减法、乘法和除法 四种运算的基础上，掌握二次根式的四则运算。 2.应用二次根式的四则运算来解决相关的实际问题。
1.二次根式的化简： ab = a· b (a ≥ 0，b ≥ 0)
a= a bb
3
3
(4) 5 = 25 = 25 = 5
5
5
5
二次根式相乘除，先 按照法则进行运算，如果 积或商中含有二次根式， 要将它化成最简二次根式。
1.计算：
(1) 7 · 14；7 2 (2) 2x · 6xy；2x 3y
(3) b · a3 ；a ab
(5) 45 5；3
(4) 24 ；2 6
(6) ax3 x. x a
6×
2
3（+ 3）
= 6- 6 2+ 3= 9 -6 2
1.计算：
2
（1） （1- 3）
4-2 3
（2）( 8+ 11)( 8 - 11)－3
2.计算： （1）(2 6 -3 3 )（• - 2）
4 3－3 6
（2）(2 3 + 5 )( 3 - 5 )
青岛版八下7.1《二次根式及其性质》ppt课件.
温故知新
1. 形如
a（a≥0）的式子叫做二次根式．
a 的式子，
其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点： ①都是形如 ②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a ) = a(a≥ 0);
2
a = ( a ) (a≥ 0).
2
观察与思考
1 (1)计算 2 , 3 , , 0 2的值, 你发现了什么? 2
2 2
2
(2)当a ≥ 0时, a 2的算术平方根是多少 ?由此你能得到 一个怎样的等式?
2 当a ≥ 0时, a = a.
利用上面的性质可以计 算、化简一些二次根式.
当a ≥ 0时, ( a ) 2 =
a .
2
3 4 a 2
学习目标：
1、经历二次根式的性质的发现过程，
体验归纳、类比的思想方法。 2、了解二次根式的上述两个性 质。 3、会用二次根式的性质将有关 的二次根式进行化简。 学习重点：二次根式的两个性质。 学习难点：运用二次根式的性质 将有关的二次根式进行化简。
自学指导
自学课本第5页到第7页的内容，完成 以下问题： 1比较实验与探究中的左右两边的等式, 你发现了什么?你能用字母表示你的发 现吗? 2、一般地,二次根式的性质并用语言叙 述，式子表达有什么条件限制 6分钟后，比一比谁能准确而快速的解 决以上的问题。
0.5
x2
6 20
6 20
=
65 10 7
12 15x4y3
2
－aΒιβλιοθήκη 1 3|a |3 2 b a
10 2 2x 2x
2 ≥ = a. a 0 , a 当 时 1.
青岛版八年级下册数学《二次根式的加减法》教学说课复习课件
2
随堂练 习 1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ B ）
A . 2 , 12 C. 4ab , ab 2
B . 2, 1
2
D. a - 1 , a + 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32
B. 24
C. 125
D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 2 m+n-2 与 m - n
9.2 二次根式的加减法
课件
【学习目标】
1、经历二次根式的加减运算法则的形成过程， 感悟类比思想，了解二次根式加减运算法则； 2、会利用二次根式的加减运算法则进行计算， 掌握二次根式加减运算的技能。
复习
把下列二次根式化成最简二次根式
12 _2__3__; 48 _4__3__
8 __2__2__; 50 _5__2___;
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减运算的步骤: (1)化：把各个二次根式化成最简二次根式
(2)合：把各个同类二次根式合并.
例1 计算：
(1) 54 + 24;
(2)
2 3
9a + 3
a 4
.（3）13
18 - 3
8 9
解:(1) 54 + 24 9×6 + 4×6 3 6 + 2 6 5 6;
是同类二次根式,求m、n 的值.
45. 计算： (1) 75 + 2 8 - 200 (2)2 20 - 3 45 + 80 (3)2 48 - ( 27 + 243) (4)(5 75 - 4 12) - (5 108 - 3 27 )
5.计算：
(1)
(2)
随堂练 习 1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ B ）
A . 2 , 12 C. 4ab , ab 2
B . 2, 1
2
D. a - 1 , a + 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32
B. 24
C. 125
D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 2 m+n-2 与 m - n
9.2 二次根式的加减法
课件
【学习目标】
1、经历二次根式的加减运算法则的形成过程， 感悟类比思想，了解二次根式加减运算法则； 2、会利用二次根式的加减运算法则进行计算， 掌握二次根式加减运算的技能。
复习
把下列二次根式化成最简二次根式
12 _2__3__; 48 _4__3__
8 __2__2__; 50 _5__2___;
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减运算的步骤: (1)化：把各个二次根式化成最简二次根式
(2)合：把各个同类二次根式合并.
例1 计算：
(1) 54 + 24;
(2)
2 3
9a + 3
a 4
.（3）13
18 - 3
8 9
解:(1) 54 + 24 9×6 + 4×6 3 6 + 2 6 5 6;
是同类二次根式,求m、n 的值.
45. 计算： (1) 75 + 2 8 - 200 (2)2 20 - 3 45 + 80 (3)2 48 - ( 27 + 243) (4)(5 75 - 4 12) - (5 108 - 3 27 )
5.计算：
(1)
(2)
八年级下册数学课件(青岛版)二次根式和它的性质
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
知识讲解
二次根式的概念
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2__2__5_0_0_ m.
下球体
A． x 2
B． x
C． x2 2
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D项
也不正确.
3.使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
9.1 二次根式和它的性质（1）
学习目标
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
温故知新
1.什么叫作一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫作二次根式.
1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式；
3. 形0 ( 双重非负性)；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
知识讲解
二次根式的概念
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2__2__5_0_0_ m.
下球体
A． x 2
B． x
C． x2 2
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D项
也不正确.
3.使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
9.1 二次根式和它的性质（1）
学习目标
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
温故知新
1.什么叫作一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫作二次根式.
1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式；
3. 形0 ( 双重非负性)；
5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
八年级数学下册 9.1 二次根式性质实用课件 (新版)青岛版
(x>0 )
2 x2 2xy y2 x y2
(x﹤y)
yx
第四十页，共43页。
2.化简下列(xiàliè)各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
第四十一页，共43页。
3.若a.b为实数(shìs2hùa),且 b 2 0
1. (4)2 42 4
2. (0.01)2 0.012 0.01
3.
1
2
3
1
2
3
1 3
4. 2 2
a2a2 a ? (a(a≤0≤0) )
仔细观察 上述各题 与结果的 关系，你 又发现 (fāxiàn)了 什么规律？
第二十九页，共43页。
22 _2__,
52 _5__,
4、若 a2 （ a）2 , 则a必须满足的条件是（ ） A、a 0；B、a 0；C、a 0; D、a为任意实数。
第十六页，共43页。
二、填空题 1、化简：x 1 _____________ .
x3 2、若 x2 9 x 3 x 3成立，则x满足 ___________ . 3、二次根式 18，15，7，1，30，40，42中，最简二次根式
(4)
1
8
2
17
15 __1_7____ .
第二十三页，共43页。
1.
（1）它们(tā men)的被开方式中
___________,
2.
都不含分母
（2）被开方式中不含有_能_(f_ē开_n得_m_尽ǔ_)_方___的因式.
这样的二次根式称为最简二次根式.
第二十四页，共43页。
2 x2 2xy y2 x y2
(x﹤y)
yx
第四十页，共43页。
2.化简下列(xiàliè)各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
第四十一页，共43页。
3.若a.b为实数(shìs2hùa),且 b 2 0
1. (4)2 42 4
2. (0.01)2 0.012 0.01
3.
1
2
3
1
2
3
1 3
4. 2 2
a2a2 a ? (a(a≤0≤0) )
仔细观察 上述各题 与结果的 关系，你 又发现 (fāxiàn)了 什么规律？
第二十九页，共43页。
22 _2__,
52 _5__,
4、若 a2 （ a）2 , 则a必须满足的条件是（ ） A、a 0；B、a 0；C、a 0; D、a为任意实数。
第十六页，共43页。
二、填空题 1、化简：x 1 _____________ .
x3 2、若 x2 9 x 3 x 3成立，则x满足 ___________ . 3、二次根式 18，15，7，1，30，40，42中，最简二次根式
(4)
1
8
2
17
15 __1_7____ .
第二十三页，共43页。
1.
（1）它们(tā men)的被开方式中
___________,
2.
都不含分母
（2）被开方式中不含有_能_(f_ē开_n得_m_尽ǔ_)_方___的因式.
这样的二次根式称为最简二次根式.
第二十四页，共43页。
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(1) 32 , (2) 6, (3) − 12 , b 异号) (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号) ， b (6) a + 1 , b
2
(7)
3
5
在实数范围内, 在实数范围内,负数没有平方根
思考： 思考：
是二次根式，则字母x需要满足 若 x + 2 是二次根式，则字母 需要满足 什么条件呢？ 什么条件呢？
解得x 解得
≥
3 在实数范围内有意义
∴当x
时 ≥ 3时， x − 3
1
（2） 1 − x ）
1
解：要使 1 − x 在实数范围内有意义 则 1- x ≠0 x≥0 解得x≥0且x≠1 x在实数范围内有意义 且 时
练习2： 练习 ： x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ 取何值时 （1） x + 3 （3） 1 + x 2 （5） x
例5：在 ：
m 范围内因式分解： 范围内因式分解： 2 − 7
解： Q 7 = ( 7 ) 2
∴ m2 − 7 = m2 − ( 7 )2 = (m + 7 )(m − 7 )
练习5： 练习 ：在实数范围内因式分解
m4 − 4 （1） 4 x − 3 （2）
2
?
（1）二次根式的概念 ） （2）二次根式的性质 ）
( 4) =
2
( 2) =
2
1 2 ( ) = 3
( 0) =
2
知识点2 知识点 二次根式的性质 2. a = a (a≥0)
( )
2
二次根式的简单性质
a ≥ 0(a ≥ 0)
知识点3.性质公式 知识点 性质公式(
a ) 2 = a (a ≥ 0)的逆用
利用这个式子， 利用这个式子，可以把任何一个非负数 成一个数的平方的形式。 写 成一个数的平方的形式。 例如： 例如：3= （ 3 )2 ，b= （ b )2 （b ≥ 0） ）
强调： 强调：
要保证二次根式有意义， 要保证二次根式有意义，就要使根号下的 数大于等于0。 数大于等于 。
例2、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围 、 是怎样的实数时， 是怎样的实数时 内有意义？ 内有意义？ （1） x − 3
解：（1）要使 ：（ ）
1
（2） 1 − x
x − 3 在实数范围内有意义 则x-3 ≥ 0
二次根式
东明中学
请你凭着自己已有的知识和 记忆,说说对 的认识！ 记忆 说说对 a 的认识！
?
• 1. 读作根号 读作根号a • 2.表示 的算术平方根 表示a的算术平方根 表示 • 3. a≥0, a ≥0
形如 a ( a ≥ 0 )的式子叫做二次根式。 的式子叫做二次根式
知识点1 知识点 二次根式的概念
练习3： 练习 ：若
a + a + b + 1 =0，求a、b的值。 的值。 ， 、 的值
知识点2 知识点 二次根式的性质
1.a≥0,
a≥0
( 双重非负性 双重非负性)
已知 a −b+6与 a +b−8互 相 数 为 反 求a,b的值
a=1,b=7
根据算术平方根的意义填空： 例4.根据算术平方根的意义填空： 根据算术平方根的意义填空
+
（2） （4）
3− 2x
1 x2
−x
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ ：已知（ ） ， ？ ，（x+2）2+ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ，（ ， ≥0，（ ） ∴ （x+2 )2 =0， y =0 ， 解得x=-2 解得 ∴ xy =(-2)0=1
x y=0
y
y =0
2 2 x＋1
1 x >− 2
x
3. 已知 y =
x − 2 + 2 − x + 3 ，求 y
的值. 的值
9
( a ) 与 a 一样吗 ?
2 2
① a≥0, ②
( a)
≥0 a
= a (a≥0)
2
1、（ ） 、（1） 、（
(4 5 ) = 80
2
( x + 1) =
2 2
x +1
2
1 有意义,那 （2）已知 − a 有意义 那A (a, ）
象限. 在 − a )在 二 象限
2、求下列二次根式中字母的取值范围：
（1） ）
1 − 3x 2
1 （2） ） x≤ 6
形 a (a ≥ 0) 的 子 做 次 式 如 式 叫 二 根 .
a叫被开方数， 叫被开方数， 称为二次根号
举出几个二次根式的例子： 举出几个二次根式的例子：如：
1 2 ( y ≥ 0) x 2 + y 2 ， 7， ， x y 2
说一说: 说一说
下列各式是二次根式吗? 例1.下列各式是二次根式吗 下列各式是二次根式吗
2
(7)
3
5
在实数范围内, 在实数范围内,负数没有平方根
思考： 思考：
是二次根式，则字母x需要满足 若 x + 2 是二次根式，则字母 需要满足 什么条件呢？ 什么条件呢？
解得x 解得
≥
3 在实数范围内有意义
∴当x
时 ≥ 3时， x − 3
1
（2） 1 − x ）
1
解：要使 1 − x 在实数范围内有意义 则 1- x ≠0 x≥0 解得x≥0且x≠1 x在实数范围内有意义 且 时
练习2： 练习 ： x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ 取何值时 （1） x + 3 （3） 1 + x 2 （5） x
例5：在 ：
m 范围内因式分解： 范围内因式分解： 2 − 7
解： Q 7 = ( 7 ) 2
∴ m2 − 7 = m2 − ( 7 )2 = (m + 7 )(m − 7 )
练习5： 练习 ：在实数范围内因式分解
m4 − 4 （1） 4 x − 3 （2）
2
?
（1）二次根式的概念 ） （2）二次根式的性质 ）
( 4) =
2
( 2) =
2
1 2 ( ) = 3
( 0) =
2
知识点2 知识点 二次根式的性质 2. a = a (a≥0)
( )
2
二次根式的简单性质
a ≥ 0(a ≥ 0)
知识点3.性质公式 知识点 性质公式(
a ) 2 = a (a ≥ 0)的逆用
利用这个式子， 利用这个式子，可以把任何一个非负数 成一个数的平方的形式。 写 成一个数的平方的形式。 例如： 例如：3= （ 3 )2 ，b= （ b )2 （b ≥ 0） ）
强调： 强调：
要保证二次根式有意义， 要保证二次根式有意义，就要使根号下的 数大于等于0。 数大于等于 。
例2、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围 、 是怎样的实数时， 是怎样的实数时 内有意义？ 内有意义？ （1） x − 3
解：（1）要使 ：（ ）
1
（2） 1 − x
x − 3 在实数范围内有意义 则x-3 ≥ 0
二次根式
东明中学
请你凭着自己已有的知识和 记忆,说说对 的认识！ 记忆 说说对 a 的认识！
?
• 1. 读作根号 读作根号a • 2.表示 的算术平方根 表示a的算术平方根 表示 • 3. a≥0, a ≥0
形如 a ( a ≥ 0 )的式子叫做二次根式。 的式子叫做二次根式
知识点1 知识点 二次根式的概念
练习3： 练习 ：若
a + a + b + 1 =0，求a、b的值。 的值。 ， 、 的值
知识点2 知识点 二次根式的性质
1.a≥0,
a≥0
( 双重非负性 双重非负性)
已知 a −b+6与 a +b−8互 相 数 为 反 求a,b的值
a=1,b=7
根据算术平方根的意义填空： 例4.根据算术平方根的意义填空： 根据算术平方根的意义填空
+
（2） （4）
3− 2x
1 x2
−x
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ ：已知（ ） ， ？ ，（x+2）2+ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ，（ ， ≥0，（ ） ∴ （x+2 )2 =0， y =0 ， 解得x=-2 解得 ∴ xy =(-2)0=1
x y=0
y
y =0
2 2 x＋1
1 x >− 2
x
3. 已知 y =
x − 2 + 2 − x + 3 ，求 y
的值. 的值
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( a ) 与 a 一样吗 ?
2 2
① a≥0, ②
( a)
≥0 a
= a (a≥0)
2
1、（ ） 、（1） 、（
(4 5 ) = 80
2
( x + 1) =
2 2
x +1
2
1 有意义,那 （2）已知 − a 有意义 那A (a, ）
象限. 在 − a )在 二 象限
2、求下列二次根式中字母的取值范围：
（1） ）
1 − 3x 2
1 （2） ） x≤ 6
形 a (a ≥ 0) 的 子 做 次 式 如 式 叫 二 根 .
a叫被开方数， 叫被开方数， 称为二次根号
举出几个二次根式的例子： 举出几个二次根式的例子：如：
1 2 ( y ≥ 0) x 2 + y 2 ， 7， ， x y 2
说一说: 说一说
下列各式是二次根式吗? 例1.下列各式是二次根式吗 下列各式是二次根式吗