046一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制

第40卷增刊东南大学学报(自然科学版) V ol.40 Sup 2010年9月JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY (Natural Science Edition)Nov. 2010一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制鲁瑶许莉娟张天平(扬州大学信息工程学院, 扬州225009 )摘要: 本文研究了一类带有未知扰动的非线性纯反馈系统的控制问题.通过引入动态面技术，结合神经网络逼近方法,并利用积分型Lyapunov函数,提出了一种改进的自适应动态面控制方案.将一阶滤波器引入后推设计中避免了传统后推方法中对虚拟控制反复求导而导致的计算复杂性问题.与已有文献相比,该方案放宽了对于控制系统的要求,有效地减少了可调参数的数目,无需虚拟控制增益系数导数的信息.理论分析证明了闭环控制系统是半全局一致终结有界的,且跟踪误差收敛到一个小的邻域内.关键字: 纯反馈系统; 自适应控制; 动态面控制; 积分型Lyapunov函数中图分类号: TP273 文献标识码: A 文章编号: 1001-0505(2010) 增刊(II)-XXXX-XX An improved adaptive dynamic surface control for a class ofnonlinear systems in pure feedback formLu Yao Xu Lijuan Zhang Tianping(College of Information Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225009, China.)Abstract: The problem of adaptive control is studied for a class of nonlinear systems in pure feedback form with unknown system functions and uncertain disturbances in this paper. By introducing dynamic surface control technique, and incorporating the approximation capability of neural networks, and using integral-type Lyapunov function, an improved adaptive dynamic surface control is developed for the above systems. By introducing the first order filter, the explosion of complexity caused by the repeated differentiations of certain nonlinear functions such as virtual controls in traditional backstepping design is avoided. Compared with the existing literature, the proposed approach relaxes the restriction of the system and reduces the number of adjustable parameters effectively, and does not require the derivative of the virtual control coefficients. By theoretical analysis, the closed-loop control system is shown to be semi-globally uniformly ultimately bounded, with the tracking error converging to a small neighborhood of the origin.Key words: pure feedback systems; adaptive control; dynamic surface control; integral-type Lyapunov function 近年来, 后推技术的应用得到了广泛的关注, 许多学者将自适应后推方法与模糊控制相结合提出了一些非线性自适应模糊后推控制方法[1,2]. 文献[3,4]提出了针对带扰动的严格反馈系统自适应后推控制方案. 基于ISS分析方法与小增益定理方法, 文献[5]提出了一种自适应神经网络控制方案, 解决了一类完整的非仿射纯反馈系统的控制问题. 针对后推设计中由于对虚拟控制反复求导而导致的参数膨胀问题, SWAROOP. D.等人提出了动态面控制(DSC)方法[6]. 文献[7]引入动态面技术, 针对一类不确定非线性严格反馈系统, 提出了一种基于神经网络的自适应动态面控制方案, 引入动态面控制方法避免了参数膨胀, 简化了设计, 但是该控制系统仅考虑控制增益为常数且并未考虑到系统扰动和未建模动态. 文献[8]针对一类带摄动的严格反馈动态系统, 引入动态面控制方法, 利用积分型Lyapunov函数, 提出了一种直接自适应神经网络控制方案. 文献[9]基于Lyapunov方法, 对一类带扰动的控制增益未知的非线性纯反馈系统提出了一种神经网络动态面控制方案, 采用动态面控制技术, 避免了后推设计中的参数膨胀问题. 文献[10]在[9]的基础上提出了针对一类不确定非线性纯反馈系统的自适应动态面控制方案.本文在文献[10]的基础上, 针对一类带有扰动的不确定非线性纯反馈系统, 提出了一种自适应动态面控制方案. 与其的区别在于, 文献[10]仅仅讨论了控制增益为已知常数的情况, 而本文将其扩展到控制增东南大学学报(自然科学版) 第40卷 2益为未知函数, 且带有未知扰动的一类非线性纯反馈系统, 放宽了对于控制系统的要求; 对于参数的估计设计中采用了对权向量模值的估计, 减少了估计参数的数量, 并且取消了文献[9]中关于控制增益偏导数的假设, 降低了设计的复杂性; 在前面1n -步采用一般动态面控制设计方法, 并且利用虚拟控制来消去前1n -步中的未知扰动项, 在第n 步采用积分型Lyapunov 函数设计方法, 将两种方法相结合提出了一种自适应动态面控制方案, 并证明了整个闭环系统的稳定性, 且跟踪误差收敛到原点的一个较小的邻域内.1 问题描述及基本假设考虑如下一类单输入单输出非线性系统())(()())(111, 11,i i i i i i n n n n n n n n x f x g x d x t i n x f x g x u d x t y x ++⎫=++≤≤-⎪⎪=++⎬⎪=⎪⎭(1)其中：12[,,,]T i i x x x x =∈i R , 1,2,,i n =；n n x R ∈为系统状态向量；u ∈R 为系统输入, y ∈R 为系统输出；,1,,1i g i n =-为已知的非零常数, ()n n g x 为未知光滑函数；()i f , 1,,i n =为未知连续函数, 且满足)(0,,00i f =. )(,i n d x t , 1,,i n =为未建模动态或外来干扰.控制目标：设计自适应控制器u , 使系统输出y 尽可能好地跟踪一个给定的期望轨迹d y , 闭环系统全局一致终结有界, 跟踪误差收敛到一个小的残差集内.假设1：光滑非线性函数()n n g x 符号已知且满足()010n n n n g g x g <≤≤, 不失一般性, 令()0n n g x ≥.假设2：参考输入T [,,]d d d d d y y y =∈Ωx 光滑可测, 且2220{:}d d d d d x y y y B Ω=++≤, 0B 为已知正常数. 假设3：()(),i n i i i d x t p x ρ*≤, 1,,i n =, (),n n x t +∀∈⨯R R , i p *为未知常数, ()i i x ρ已知非负函数.文中将使用径向基函数(RBF)神经网络ˆ()()T fZ Z θξ=在紧集q zΩ⊂R 上来逼近未知光滑非线性函数()f Z , 其中z Z ∈Ω表示神经网络的输入向量, T 12[,,,]ll w w w θ=∈R 表示未知权向量,1l >为神经元节点数.T 12()[(),(),,()]l l Z s Z s Z s Z ξ=∈R 为基函数向量, ()i s Z 为第i 个节点的输出, 通常选择为高斯函数(T 2()exp ()()/,1,2,,i i i i i Z Z v Z v k i l ξ=---=, 其中T 12[,,,]i i i iq v v v v =为基函数的中心, i k 是高斯函数的宽度. 令未知理想权向量 *T arg min sup{|()()|}lZZ f Z Z θθθξ∈∈Ω=-R , 则 *()()()T Z Z Z ϕθξδ=+ (2)其中()Z δ为逼近误差.2 自适应动态面控制器设计本文采用动态面控制技术, 结合RBF 神经网络逼近方法进行设计, 设计过程共包含n 步. 在前1n -步中设计虚拟控制i α, (2,,i n =)再以i α为输入通过一阶滤波器得到i z , 在第n 步设计自适应控制器u . 定义1d z y =.Step 1：定义第一个动态面111s x z =- (3)用RBF 神经网络逼近()12f x , 且22x x ∈Ω, 则有()()()1211212f x x x θξδT =+ (4) 其中未知正常数211λθ=.所以, 111s x z =-, 将方程(1)与(4)代入, 则可得:()()()1112121211,n s x x g x d xt z θξδT =+++- (5) 选取虚拟控制：()()()22211111212111111ˆ[22]k s s x x a s x z g αλξξρT =---+ (6) 选取1ˆλ的自适应律为： ()()221112121111ˆˆ2x x s a λγξξσλT =- (7)其中1ˆλ为1λ的估计值, 111ˆλλλ=-为估计误差. 10a ≠, 10γ>, 1σ, 1k 为设计常数.增刊 鲁瑶, 等: 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制3引入新变量2z 作为虚拟控制2α通过一阶滤波器之后的输出, 并且2τ为时间常数. 即2222z z τα+=, ()()2200z α= (8)令222y z α=-, 则有2222y y τα=-- 于是有()22222221232312ˆˆ,,,,,,,,,d d dy y y y s s s y y y y y τηλλ≤-+2222222y y τη≤-++ (9)其中()21232312ˆˆ,,,,,,,,,d d ds s s y y y y y ηλλ为非负连续函数. 取2112s V s =, 则知111s V s s =, 由方程(5)及假设3知()()()()()22222222111211112121111211112222[22]s V s g x z s x x a a s x s x p λξξδρT *≤-++++++ ()()()()()22222211111211211121211112222k s g s s g s y s x x a a p x λξξδT *≤-+++++++ (10) 存在非负连续函数()11221ˆ,,,,,d ds s y y y ψλ满足： ()()1211221ˆ||,,,,,d dx s s y y y δψλ≤ (11) Step i ：定义第i 个动态面i i i s x z =- , 2,,2i n =- (12)用RBF 神经网络逼近()1i i f x +, 且11i i x x ++∈Ω, 则有()()()111i i i i i i i f x x x θξδT +++=+ (13)其中未知正常数2i i λθ=. 所以()()()111,i i i i i i i i i n i s x x g x d x t z θξδT +++=+++- (14)选取虚拟控制：()()()2211111ˆ[22]i i i i i i i i i i i i i i i i ig s k s s x x a s x z g αλξξρT +--++=----+ (15) 选取ˆiλ的自适应律如下： ()()2211ˆˆ2i i i i i i i i i ix x s a λγξξσλT ++=- (16) 其中ˆi λ为i λ的估计值, ˆi i iλλλ=-为估计误差. 0i a ≠, 0i γ>, i σ, i k 为设计常数. 引入变量1i z +作为虚拟控制1i α+通过一阶滤波器之后的输出. 并且1i τ+为时间常数, 即1111i i i i z z τα+++++=, ()()1100i i z α++= (17)定义111i i i y z α+++=-,可得1111i i i i y y τα++++=--.则有()2111111122211ˆˆ,,,,,,,,,,,i i i i i i i i i d d d y y y y s s y y y y y τηλλ+++++++++≤-+ 22211114i i i i y y τη++++≤-++ (18) 其中()1122211ˆˆ,,,,,,,,,,,i i i i d d ds s y y y y y ηλλ++++为非负连续函数. 取22si i V s =, 则知si i i V s s =. 由方程(14)及假设3得()()()()()2222222211112222[22]si i i i i i i i i i i i i i i i i i i iV s g x z s x x a a s x s x p λξξδρT *++++≤-++++++ ()()()()2222221111111122(2)2i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k s g s s g s s g s y s x x a a p x λξξδT *--+++++≤-+-++++++ (19) 存在非负连续函数()11211ˆˆ,,,,,,,,,,i i i i d ds s y y y y ψλλ++满足： ()()111211ˆˆ||,,,,,,,,,,i i i i i i d dx s s y y y y δψλλ+++≤ (20) Step 1n -：定义第1n -个动态面111n n n s x z ---=- (21)用RBF 神经网络逼近()1n n f x -, 且n n x x ∈Ω, 则有()()()1111n n n n n n n f x x x θξδT----=+ (22) 其中未知正常数211n n λθ--=. 所以()()()1111111,n n n n n n n n n n n s x x g x d x t z θξδT-------=+++- (23)选取虚拟控制：东南大学学报(自然科学版) 第40卷 4()()()2222111111111111ˆ[22]n n n n n n n n n n n n n n n n n g s k s s x x a s x z g αλξξρT --------------=----+ (24) 选取1ˆn λ-的自适应律如下： ()()2211111111ˆˆ2n n n n n n n n n n x x s a λγξξσλT --------=- (25) 其中1ˆn λ-为1n λ-的估计值, 111ˆn n n λλλ---=-为估计误差. 10n a -≠, 10n γ->, 1n σ-, 1n k -为设计常数. 引入变量n z 作为虚拟控制n α通过一阶滤波器之后的输出. 并且n τ为时间常数, 即n n n n z z τα+=, ()()00n n z α= (26)令n n n y z α=-则有n n n n y y τα=--.()2121ˆˆ,,,,,,,,,,,n n n n n n n n n d d d y y y y s s y y y y y τηλλ≤-+ 2224n n n n y y τη≤-++ (27) 其中()121ˆˆ,,,,,,,,,,,n n n n d d ds s y y y y y ηλλ为非负连续函数. 取211sn n V s --=, 则知111sn n n V s s ---=. 由方程(23)及假设3得()()()()()22222221111111111111112222[2sn n n n n n n n n n n n n n n n n n n V s g x z s x x a a s x s x λξξδρT ---------------≤-+++++212]n p *-+()()()()222221112211111111111122n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n k s g s s g s s g s y s x x a a p λξξT *----------------≤-+-+++++ ()212n n x δ-+ (28)存在非负连续函数()11211ˆˆ,,,,,,,,,,n n n n d ds s y y y y ψλλ--满足： ()()111211ˆˆ||,,,,,,,,,,n n n n n n d dx s s y y y y δψλλ---≤ (29) Step n ：定义第n 个动态面n n n s x z =- (30)由方程(1)中子系统()()(),n n n n n n n x f x g x u d x t =++知,()()(),n n n n n n n n s f x g x u d x t z =++- (31)定义一个光滑的标量函数如下()10,ns sn n n n V g x z d ζζζ-=+⎰ (32)根据积分第二中值定理, sn V 又可改写为()212,sn n n n n n V s g x s z ϖ-=+, 其中()0,1ϖ∈. 又由假设1知sn V 关于n s 正定. 对sn V 关于t 求导, 由假设3及方程(31)有：()()()11111001[,][,]n n n s s sn n n n n n n n n n n n n j j j V s s g x z g x z z d g x z x x d ζζζζζζ-----=⎛⎫=+∂+∂+∂+∂ ⎪⎝⎭∑⎰⎰ ()()()()112111101(),[]n n n n n n n n n n n n n j j j j j j s s g x z s g x sg x s z x g x f x d υυυ---++=⎧⎫≤++∂++⎨⎬⎩⎭∑⎰()()()()()11114212211111,2[,]n n n n n n n n njjnn n n j jj j z s g x s z d s x g xs z x d p υυρυυυ---*--==-++∂++∑∑⎰⎰ (33) 将(33)式化简得()21[]2nsn n jj V s u Z p α*=≤-+∑ (34) 在上式中()()()()()()()()11223210121,2n n n n n nn nn n n n n n n j j j Z f x g x s x gx z g x s z d s x αρυυρ--==--++-∑⎰()()()()()1111211111001[,],[]n nn n n j n n n n n j j j j j j g x s z x d s g x s z x f x g x d υυυυυυ-----++=⎧⎫⨯∂+∂-∂+∂+⎨⎬⎩⎭∑⎰⎰ (35) 用RBF 神经网络对()Z α函数进行逼近有()()()n n n Z Z Z αθξδT=+ (36)其中2n n λθ=为未知正常数, 2,,n n n n Z x s z TT +⎡⎤=∈⎣⎦R . 利用(36)式及Young ’s 不等式, 在(34)式中()()()()22222[]2222n n n n n n n n n n s u Z s u s Z Z a a s Z αλξξδT -≤++++ (37)增刊 鲁瑶, 等: 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制 5将(37)式代入(34)式可得()()()2222221222n sn n n n n nn nn jn j V s u s s Z Z a a p Z λξξδT *=⎛⎫≤+++++ ⎪⎝⎭∑ (38) 取控制律为：()()211ˆ2n n n n n n n n nu g s k s s Z Z a λξξT --=--- (39) 取ˆnλ的自适应律: ()()22ˆˆ2n n n n n n n nZ Z s a λγξξσλT =- (40) 其中ˆn λ为n λ的估计值, ˆn n nλλλ=-为估计误差. 0n a ≠, 0n γ>, n σ, n k 为设计常数。