(全国通用版)2019高考数学二轮复习板块四考前回扣专题8函数与导数学案理

回扣8 函数与导数
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；
②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 2
4a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期；
②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；
③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，
即f (x )＝f (2a －x )，
则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；
②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，
即f (x )＝－f (2a －x )，
则f (x )的图象关于点(a,0)对称；
③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，
则函数f (x )的图象关于直线x ＝
a ＋
b 2对称． 4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，
那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性．
5．函数图象的基本变换
(1)平移变换
y ＝f (x )――――――→h >0，右移h <0，左移
y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移
y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换
y ＝f (x )――――――→0<ω<1，伸
ω>1，缩
y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――――→0<A <1，缩A >1，伸
y ＝Af (x )． (3)对称变换 y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，
y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，。