广东省中山市2019-2020学年度第一学期高三期末统一考试(理科)数学试题及答案
广东省中山市2019-2020学年高一上学期期末数学试题
广东省中山市2019-2020学年高一上学期期末数学试题一、单选题1. 集合{（1，2）（3，4）}的子集个数为（）A．3 B．4C．15D．16 2. 如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()A．C．B．D．3. 设函数A．0的定义域为B．10，则实数的值为（）C．1D．4. 已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．5B．8D．7C．5. 如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．6.表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则C．（）A．B．D．7. 对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则（）A．的最大值为C．的最大值为1B．的最小值为D．的最小值为18. 已知函数A．，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）B．C．D．二、多选题9. 下列说法中，正确的有（）A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2）B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2C．直线x y+1＝0 的倾斜角为30°D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为710. 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a∥γ，b∥γ，则a∥b B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c D．若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b11. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（）A．同学甲发现：函数的定义域为（﹣1，1），且f（x）是偶函数B．同学乙发现：对于任意的x∈（﹣1，1），都有C．同学丙发现：对于任意的a，b∈（﹣1，1），都有，x，总满足D．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x1212. 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则下列结论正确的是（）A．四面体ABCD每组对棱相互垂直B．四面体ABCD每个面的面积相等C．从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°D．连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分三、填空题13._____．14. 如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，，则此几何体的体积为________．15. 已知f（x）＝ln（3x），则f（lg）+f（lg2）等于_____．16. 函数y的最小值为_____．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，已知点和．（）若（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．18. 已知集合（1）集合，．，若，都有函数，求实数的取值范围；（2）对任意，求实数的取值范围．19. 某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L（x）（元）与用电量x（度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？20. 已知函数f（x）lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式．21. 如图，在直四棱柱中，已知，．（1）求证：（2）设是；上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由．22. 对于定义域为[0，1]）的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f （1）＝1；③若x ≥0，x ≥0，x +x12 1 2）≥f（x ）+f（x ）成立，则称函数f（x）为理想函数．≤1，都有f（x +x1 212（1）判断函数g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f（x）为理想函数，假定存在x ∈[0，1]，使得f（x ）∈[0，1]，且f（f（x ））＝x ，求证f（x ）＝x ．00000014. 如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，，则此几何体的体积为________．15. 已知f（x）＝ln（3x），则f（lg）+f（lg2）等于_____．16. 函数y的最小值为_____．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，已知点和．（）若（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．18. 已知集合（1）集合，．，若，都有函数，求实数的取值范围；（2）对任意，求实数的取值范围．19. 某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L（x）（元）与用电量x（度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？20. 已知函数f（x）lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式．21. 如图，在直四棱柱中，已知，．（1）求证：（2）设是；上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由．22. 对于定义域为[0，1]）的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f （1）＝1；③若x ≥0，x ≥0，x +x12 1 2）≥f（x ）+f（x ）成立，则称函数f（x）为理想函数．≤1，都有f（x +x1 212（1）判断函数g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f（x）为理想函数，假定存在x ∈[0，1]，使得f（x ）∈[0，1]，且f（f（x ））＝x ，求证f（x ）＝x ．000000。
广东省中山市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析
广东省中山市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x，y满足1260xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y=+的最大值等于( )A．2 B．22C．4 D．8 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C⎛⎫⎪⎝⎭，由于2252912OA⎛⎫=+=⎪⎝⎭,22OC=，所以OC OA>，所以原点到可行域上的点的最大距离为22.所以z的最大值为()2228=.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对， 所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kxh x x-'=， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.当0k >时， 若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；若1,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；故()max 11ln h x h k k ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1ln 0k>，解得01k <<. 又当01k <<时，11e k <且10k h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点.又22ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2etg t t-'=，当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫<⎪⎝⎭. 因为2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上也存在一个零点.综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.3．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C ．4D ．4【答案】D【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．5．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+， 0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．3D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭， 令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 8．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1xxf x e e -=--，若()1f a =，则()f a -=( )A ．1-B ．1C ．3D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】利用()f a 与()f a -的关系，求得()f a -的值. 【详解】依题意()11,2aaa a f a e ee e --=--=-=，所以()()11213aa a a f a e e e e ---=--=---=--=-故选：D 【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.9．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.10．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积. 【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3 ∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥【答案】A 【解析】 【分析】设2AB =，取EF 与BC 重合时的情况，计算出0S 以及0V 的值，利用排除法可得出正确选项. 【详解】如图所示，利用排除法，取EF 与BC 重合时的情况.不妨设2AB =，延长MD 到N ，使得//PN AM ．PO OH =Q ，PN MH ∴=，2AH MH =Q ，33AM MH PN ∴==，则13PD AD =， 由余弦定理得22222331132cos 22232224BD AB AD AB AD π⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2232DM BD BM =-=，01332222S =⨯⨯=，又224S =⨯=041S S ∴==>， 当平面//DEF 平面ABC 时，04S S =，04S S ∴≤，排除B 、D 选项； 因为13PD AD =，014V V ∴=，此时，0821V V=>， 当平面//DEF 平面ABC 时，08V V =，08V V ∴≥，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题． 12．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B I 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】求出A B I 的元素，再确定其真子集个数． 【详解】由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得12x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A B I 中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届广东省中山市高三上学期期末数学(理)试题
2020届广东省中山市高三上学期期末数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B =（ ） A ．(][),23,-∞⋃+∞ B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足132z i i i ⋅=-+，则3z +=（ ）A B ．C D ．5 3．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-CD ． 4．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是( )A ．B ．C ．D ．5．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>6．已知,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则1z x y =+-的最小值为（ ）A ．2 B．2 CD ．17．电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）A ．1027B ．448729C ．100243D ．40818．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）A ．8种B ．16种C ．32种D ．48种9．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C ．1D ．-1 10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A． B．3 C．3 D．11．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．1812．若关于x 的方程0x x x x e m e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈， 2.718e =为自然对数的底数，则3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．eB ．1m -C ．1m +D ．1 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________.14．已知向量a 与b 的夹角是56π，且a a b =+，则向量a 与a b +的夹角是_____. 15．已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1211a a a +++的值为 .16．已知函数()2x xx x e ef x e e---=++，若有()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.18．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若cos :cos :cos 2:2:7A B C =，求sin B ；（2）若sin :cos :tan 2:2:7A B A =，试判断ABC ∆的形状.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，二面角B AD C --是直二面角，AB AC ⊥，3AB =，112AD DF FC AC ====．（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值．20．已知函数()()2x f x e ex ax a R =-+∈. （1）若()f x 在()0,1上单调，求a 的取值范围.（2）若()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围.21．某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个x 元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x 的最小值；（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计x 的最小值（精确到0.01） .22．在直角坐标系中,曲线221C :x y 1+=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 的极坐标方程为ρ2sin θ=-.(1)求曲线23C ,C 的参数方程;(2)若P,Q 分别是曲线23C ,C 上的动点,求PQ 的最大值.23．已知3a b c ++=，且a 、b 、c 都是正数.（1）求证：2223a b c ++≥；（2）求证：11132a b b c c a ++≥+++.参考答案1．D【解析】由题意得{}{}{}21|560|23,2102A x x x x x x B x x x x ⎧⎫=-+≥=≤≥=-=⎨⎬⎩⎭或， ∴1|232A B x x x ⎧⎫⋂=<≤≥⎨⎬⎩⎭或．选D ． 2．A【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算求得z ，进而求得3z +的模.【详解】依题意()()()()()3215515i i i i i z i i i i i +----====--⋅-，所以325z i +=-==故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.3．B【解析】【分析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】 sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--= 故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.4．D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A ，AB 为体对角线，MN ，MQ ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB 垂直于MN ，MQ ，NQ ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于B ，AB 为上底面的对角线，显然AB 垂直于MN ，与AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于C ，AB 为前面的面对角线，显然AB 垂直于MN ，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB 所在的面，即有AB 垂直于QN ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于D ，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与AB 所成角为60， 则AB 不垂直于平面MNQ ．故选D ．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．5．D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x x x =+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系. 详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+， 令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.6．D【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为z =所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0倍，由可行域可知点A （2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.z =故选D.点睛：本题的关键是找到1z x y =+-的几何意义，要找到1z x y =+-的几何意义，必须变形，z =所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.7．B【解析】【分析】先求,A C 连通的概率，再求,B D 连通的概率，然后求,A B 连通的概率.【详解】先考虑,A C 没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为111339P =⨯=. 所以,A C 连通的概率18=199P -=. ,E F 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为224339P =⨯=, 所以,E F 没有连通的概率为：45=199P -=.则,B D 之间没有连通的概率5525=9981P =⨯ 所以,B D 连通的概率255618181P =-=， 所以,A B 连通的概率. 568448=819729P =⨯ 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.8．B【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，选出一人排在左侧，有：1122C A 种方法，另外一人排在右侧，有12A 种方法，余下两人排在余下的两个空，有22A 种方法，综上可得：不同的站法有1112222216C A A A =种. 本题选择B 选项.9．D【解析】【分析】根据()f x 的最小正周期求得ω，由()1fα=列方程，利用诱导公式求得32f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】由于()f x 的最小正周期为π，所以()2ππ0T ωω==>，所以2ω=.所以()()sin 2f x A x ϕ=+.由()1f α=得()()sin 21f A ααϕ=+=.所以[]()33sin 2sin 23πsin 2122f A A A ππααϕαϕαϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】根据11B A ACC -体积的最大值求得此时,AC BC 的长，判断出球心的位置，求得111ABC A B C -的外接球的半径，进而求得球的体积.【详解】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当AC BC ==.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径11122OB A B ===所以外接球的体积为34π33⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，结合基本不等式求得423a a +的最小值. 【详解】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦3618≥⨯=.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选：D 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】 设x x t e =即101t m t ++=-所以2(1)10t m t m +-+-=,令g()xx x e=,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t ，且120t t <<，且则31231212,x x x x x x t t e e e ===即可求解. 【详解】由方程0x x x x e m e x e++=-，有101xxx m x e e ++=- 设x xt e =即101t m t ++=- 所以2(1)10t m t m +-+-=令g()xx x e =，则1()x x g x e '-=所以g()x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减, 且g(0)0=，1(1)g e=，当0x >时，()0>g x 其大致图像如下.要使关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ， 且1230x x x <<<.结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t 且120t t <<, 12121,1t t m t t m +=-⋅=- 则31231212,x x x x x x t t e e e===. 所以()()31222231212111=11x x x x x x t t e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2212121211][+1][t t t t t t -+=--=2[1(1)+1]1m m =---=故选：D 【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题. 13．52 【解析】 【分析】利用根与系数关系，等差数列前n 项和公式，求得13S 的值. 【详解】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：52 【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题. 14．23π 【解析】 【分析】首先根据a a b =+，求得3b a =，由此利用夹角公式计算出向量a 与a b +的夹角的余弦值，由此求得向量a 与a b +的夹角. 【详解】由a a b =+两边平方并化简得22222,20a a a b b a b b =+⋅+⋅+=，即25π2cos 06a b b ⋅⋅+=，即3b a =.所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=⋅+2225πcos 61a b a a b aa⋅⋅+⋅==+31122=-=-，由于[],0,πa a b +∈，所以2π,3a a b +=. 故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题. 15． 【解析】试题分析：令，得，令，得，联立得：，故答案为.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求的值．16．()1,+∞ 【解析】∵222221(1)22()2223111x x x x x x x x xe e e ef x e e e e e ----+-=+=+=+=-++++， ∴函数()f x 在R 上为增函数，由题意得()()2(2)4x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e-------+=+++=++， ∴()4()f x f x =--， ∵()()24f a f a +->，∴()()42(2)f a f a f a >--=-． ∴2a a >-，解得1a >． ∴实数a 的取值范围是()1,+∞． 答案：()1,+∞点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()f x f x =--是解题的关键，在此基础上将不等式化为()f a >(2)f a -的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数()2x xx x e e f x e e---=++为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解． 17．（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析【分析】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题. 18．（1）sin B = （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac =，再利用余弦定理求得cos B 的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）结合已知条件得到sin cos A B =，2tan 7sin A A =， 结合A 为锐角，求得π2A B +=，由此证得三角形ABC 是直角三角形.（1）∵cos :cos :cos 2:2:7A B C =，∴a b =，222222:2:722b c a a b c bc ab +-+-=，∴22222:2:722c a c ac a-=， ∴224720a ac c --=， ∴()()420a c a c +-=， ∴2ac =或4c a =-（舍去）， ∴2221cos 24a cb B ac +-==，∴sin 4B ==. （2）∵sin :cos :tan 2:2:7A B A =， ∴sin cos A B =，2tan 7sin A A =， ∴2A B π+=或2A B π-=，2cos 07A =>，A 为锐角. ∴2A B π-=（舍去）， ∴2A B π+=，∴ABC ∆为直角三角形. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．（1）见解析；（2【解析】分析：（1）由勾股定理可得CD AD ⊥，由面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABED ，从而可得AB CD ⊥，结合AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面ACFD ；（2）在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB ，AC ，AH 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，30,2CD =-（是平面BED 的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面FBE 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，2DG =，32CG =，所以CD =以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥，又二面角B AD C --是直二面角，CD ⊂平面ACFD ，所以CD ⊥平面ABED ，又AB ⊂平面ABED ，所以AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C ⋂=，AC 、CD ⊂平面ACFD ，所以AB ⊥平面ACFD ．（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB ，AC ，AH 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -．则3,0,0B （），10,2D （，302F （，，0,2,0C （）， 所以=3,2,0)BC -（，10,2CF ⎛=- ⎝⎭，设(),,n x y z =是平面FBE 的一个法向量，则n BC n CF⎧⊥⎨⊥⎩，所以32030x y y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y =，z =即=(2,3,3)n ，由（1）可知CD ⊥平面BED ，所以30,2CD =-（是平面BED 的一个法向量，所以cos ,n CD n CDn CD⋅=⋅ 4==-， 又二面角F BE D --的平面角为锐角，所以二面角F BE D --的平面角的余弦值为点睛：本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．（1）(][),1,e -∞-+∞ （2）()0,∞+【解析】 【分析】(1)求出()2xf x e ex a '=-+，()f x 在()0,1上单调，则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,1上恒成立，只需要讨论出函数()f x '在()0,1上的单调性，求出其最值即可.(2) ()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方,即ln xea ex e x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立，设()ln xe h x ex e x x=--，再对函数()h x 求导讨论出在()0,∞+的单调性，求出其最大值即可. 【详解】（1）由题意得x ∈R ，()()2xf x e ex a a R '=-+∈.()f x 在()0,1上单调，即()()2x f x e ex a a R '=-+∈在()0,1上大于等于0或者小于等于0恒成立.令()()2xg x e ex a a R =-+∈，则()2xg x e e '=-.()0g x '=时，ln 2x e =.当01ln 2x e <<<时，()0g x '<，∴()g x 在()0,1上单调递减， ∴由题意得()10g ≥，或()00g ≤. ∴a 的取值范围是(][),1,e -∞-+∞.（2）2ln x y e ex ax ex x =-++的图像恒在x 轴上方，也即当()0,x ∈+∞时，0y >恒成立.也即ln x e a ex e x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立.令()ln x e h x ex e x x =--，()()()()22211xx ex e x ex ex e x x h x x-----='=， 由()10h '=可得：当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； ∴()10h =为极大值. 所以()(1)0h x h ≤=. ∴a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查已知函数单调性求参数的范围和不等式恒成立求参数的范围问题，用分离参数的方法是常用方法,属于中档题. 21．（1）7.9个 （2）9 （3）8.67 【解析】 【分析】(1)用样本的平均值估计总体的平均数，即求出100个样本的平均数即可.(2) 一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子：602100210051400100x ⎛⎫⋅-÷⨯≥ ⎪⎝⎭可解出答案.(3) 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,求出需要制作的零件总数，然后再计算满足利润条件x 的值.【详解】解：（1）设机器制造零件的质量指标值的平均数为m ； 由题意得：()1667188609121047.9100m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.（2）一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子： 602100210051400100x ⎛⎫⋅-÷⨯≥ ⎪⎝⎭， 解得：9x ≥，∴x 的最小值为9；（3）依题意得，准合格品加工后有13能合格，用于销售， 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭， 解得3000y =，故要使获利达到1400元，需要3210052140010x y y ⋅-⋅-⋅⋅≥， 解得263x ≥， ∴x 的最小值为8.67.【点睛】考查利用样本估计总体，考查利用样本平均数估计总体平均数，属于中档题.22．（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（2【解析】(1)曲线221:1C x y +=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩,可得曲线2C 的方程为2214x y +=, ∴其参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数); 曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-,即22sin ρρθ=-,∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-,即()2211x y ++=, ∴其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数). (2)设()2cos ,sin P αα,则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d ===,∵[]sin 1,1α∈-,∴当1sin 3α=时,max 3d =.∴max max 3133PQ d r =+=+=. 23．（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】(1)将3a b c ++=两边平方，在由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，可证. (2)由111111=6a b b c a c a b b c a c a b b c a c +++++⎛⎫++++⨯ ⎪++++++⎝⎭可证. 【详解】（1）证明：由已知得()239a b c a b c ++=⇒++=， 2222229a b c ab ac bc ⇒+++++=，又222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，∴()()22222a b c ab bc ac ++≥++，∴()22222229a b c a b c +++++≥，∴2223a b c ++≥.（2）证明：由已知得3a b c ++=， ∴()11116a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭ 11116a b a b b c b c a c a c b c a c a b a c c b b c ++++++⎛⎫=++++++++ ⎪++++++⎝⎭ (1131119662≥+++=⨯=.【点睛】本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.。
广东中山2019高三上年末试题-数学(理)
广东中山2019高三上年末试题-数学（理）数学试卷〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分、考试用时120分钟、 本卷须知1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不能够使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第一卷〔选择题共40分〕【一】选择题：〔本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1、角α的终边在第二象限，那么2α的终边所在的象限为 A 、第一或第二象限 B 、第一或第三象限 C 、第二或第四象限 D 、第一或第四象限 ①假设n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m③假设,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且 ④假设βαβα//,,则⊥⊥m m 其中正确的命题是 A 、① B 、② C 、③④ D 、②④3、3sin(),sin 245πθθ+=则的值为 A 、1925- B 、725- C 、1625- D 、7254.如程序框图：假设输入72m =，30n =，那么输出n = A 、0 B 、3 C 、6 D 、125、变量420,230,log (24)0x y x y x y z x y x -≤⎧⎪-+≥=++⎨⎪≥⎩满足则的最大值为A 、2B 、32C 、23D 、16、假设{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，那么使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是A 、2017B 、2018C 、4022D 、40237、假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推举名额，那么每所中学至少分到一个名额的方法数为A 、10B 、15C 、21D 、30 8、如图，将︒45的直角三角板ADC 和︒30的直角三角板ABC 拼在一起组成平面四边形ABCD ，其中︒45的直角三角板的 斜边AC 与︒30的直角三角板的︒30所对的直角边重合，假设DB xDA yDC =+uu u r uu u r uuu r，那么x ，y 分别等于A,1 B,1C、2,D1,〔第8题图〕第二卷〔非选择题共110分〕【二】填空题：(本大题共6小题，每题5分，共30分.) 9、命题“,cos 1x x ∀∈≤R ”的否定是.10、某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法〔按年级分层〕在全校学生中抽取100人，那么应在高三级中抽取的学生人数为.11、2~(1,),(3)0.2,X N P X σ-≤-=若=≤≤-)13(X P 则、12、函数()ln f x x =.假设0a b <<,且()()f a f b =，那么a b +的取值范围是.13、定义运算a b ad bc c d=-，函数12()3x f x xx -=-+图像的顶点是(,)m n ，且k m n r 、、、成等比数列，那么k r g =_____________.14、设函数)(x f 的定义域为R ，假设存在常数．．．．0G >使()100Gf x x ≤对一切实数x 均成立，那么称函数)(x f 为G 函数、现给出以下函数：①222()1x f x x x =-+，②2()sin f x x x =，③()2(13)x f x x =-，④)(x f 是定义在R的奇函数，且对一切21,x x ，恒有1212()()100f x f x x x +≤+、那么其中是G 函数的序号为____________. 【三】解答题：〔本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 15、〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，满足222.a c b ac +=+ 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设[)π,0∈x ，求函数x B x x f sin )sin()(+-=的值域。
广东省中山市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
广东省中山市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9 B ．27 C ．81D ．83【答案】A 【解析】 【分析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q.由43231030a a a -+=，得231030q q -+=，解得3q =或13q =. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =. 又()4141340133a S -==-，解得113a =，故341393a =⨯=. 故选：A 【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B I 等于（ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1- C ．{}1,0- D ．{}0,1【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A ，再与集合B 求交集. 【详解】 因为{}10212x A xx x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，{}1,0,1B =-，所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.3．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．)+∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243c e a =>所以e >，即e ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.4．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,0,3,033O A B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22 B ．1121-C ．521+D ．23【答案】C 【解析】 【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解. 【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =知433AB =433AC =，22263BC OB OC =+= 222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-==⨯⨯ 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠ 其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠= ∴2521,521OO OO ''=+⇒=+ 故选：C 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．6．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A 【解析】 【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得23h =，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以23CO '=，且32h OO '==，所以在Rt CO O 'V 中，22133OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．23 C 2 D 23【答案】A 【解析】 【分析】易得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，在1FTB ∆中，利用1tan 3BT FT π=即可得到,,a b c 的方程. 【详解】 由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =，又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e =.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到,,a b c 的方程或不等式，本题属于容易题.8．已知向量()1,2a =-v，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值. 【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v ， ()2//b a a v v Q v-，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A. 【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.9．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，337782log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=+->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y = D ．x y =或1y =【答案】C 【解析】0,0x y >>，∴222x y xy +≥，当且仅当2x y = 时取等号.故“2,x =且1y = ”是“222x y xy +=”的充分不必要条件.选C ．11．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12【答案】D 【解析】 【分析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数. 【详解】由茎叶图知，甲的中位数为8086x +=，故6x =； 乙的平均数为78828089919397887y +++++++=，解得6y =，所以12x y +=. 故选：D. 【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.120y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．1CD 1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o，则||AE =，所以双曲线C 的离心率为1e =.故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试(数学理)
中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试（数学理）数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知3()lg ,(2)f x x f ==则A ．lg 2B ．lg 8C ．1lg 8D ．1lg 232．01()x x e dx --⎰= A ．312e -+ B ．–1 C ．11e -- D ．32-3．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题：1）若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥；3）βα⊥则有若,//n m ； 4）n m //,则有若βα⊥．其中正确命题的个数是A ．０B ．１C ．2D ．34．函数y=sin x 的图象按向量平移后与函数y=2-cos x 的图象重合，则是A ．3(,2)2π--B ．3(,2)2π-C ．(,2)2π-D ．(,2)2π- 5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是5 z 3 4 4 4 4 4 36．对变量x, y 有观测数据（i x ，i y ）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（i u ，i v ）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断AB ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关7．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 .B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .C ．丙地：中位数为2，众数为3 .D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 .8．以平行六面体ABCD —A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367 B ．385376 C ．385192D ．38518 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．若复数 z 满足z (1+i) =1－i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =_______.10．命题“,cos 1x x ∀∈≤R ”的否定是 .11．在二项式251()x x -的展开式中，含4x 的项的系数是_______. 12．平面内满足不等式组1≤x +y ≤3，—1≤x —y ≤1，x ≥0，y≥0的所有点中，使目标函数z =5x +4y 取得最大值的点的坐标是图1 5 图2第14题 5 13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．14．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：小时），随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表．流程图，则输出的S 的值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(本小题满分12分)已知：函数,0(),0a x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩（0>a ）．解不等式：12)(<-x x f ．16．(本小题满分12分)已知向量)sin ,sin 33(),sin ,(cos x x x x -==，定义函数OQ OP x f ⋅=)(．（1）求)(x f 的最小正周期和最大值及相应的x 值；（2）当OQ OP ⊥时，求x 的值．17．(本小题满分14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）．S1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………………18．(本小题满分14分)如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧P 为侧棱SD 上的点．（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅱ）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小；19．(本小题满分14分)已知数列,5}{1=a a n 的首项前n 项和为S n ，且S n+1=2S n +n+5（n ∈N*）．（Ⅰ）证明数列}1{+n a 是等比数列；（Ⅱ）令)1(1)(,)(221f x x f x a x a x a x f n n '=+++=处的导数在点求函数 .20．(本小题满分14分)已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是直线外一点，向量、、满足()[]32ln 1232=⋅-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x x ，记)(x f y =．（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，31ln >a ,证明：不等式[]x x f x a 3)(ln ln /->-成立； （3）若关于x 的方程b x x f +=2)(在[]1,0上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．高三级—学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题DACB BCDA二、填空题 9. i ； 10. ,cos 1x x ∃∈>R 11．10； 12．（2，1）； 13. 262n n -+； 14. 6.42三、解答题15．解：1）当0≤x 时，即解12<--x x a ， 即0222>-+-x a x ，不等式恒成立，即0≤x ； 2）当0>x 时，即解12<-x a ，即02)2(<-+-x a x ，因为22>+a ，所以22+<<a x ．由1）、2）得，原不等式解集为}22,0|{+<<≤a x x x 或．16．解：（1）x x x x f 2sin cos sin 33)(+-=11(sin 22)22x x =+1)23x π=+ 22,T πωπω===．当5,12x k k Z ππ=-∈时，()f x 取最大值12+ （2）当⊥时，()0f x =，即1)023x π+=， 解得6x k k πππ=+或，k Z ∈．17．解：甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ，它的取值共有0、1、2、3四个值.1)当ξ=0时,本场比赛共三局,甲选手连负三局,P(ξ=0)=（1-0.6）3=0.064;2)当ξ=1时,本场比赛共四局,甲选手负第四局,且前三局中,甲胜一局,P(ξ=1)=13330.6(10.6)0.1152C ⨯-=;3)当ξ=2时,本场比赛共五局,甲选手负第五局,且前四局中,甲胜二局,P(ξ=2)=22340.6(10.6)0.13824C ⨯-=;4)当ξ=3时,本场比赛共三局、或四局、或五局．其中共赛三局时，甲连胜这三局；共赛四局时，第四局甲胜，且前三局中甲胜两局；共赛五局时，第五局甲胜，且前四局中甲胜两局；P(ξ=３)=323232340.60.6(10.6)0.6(10.6)C C +⨯-+⨯-=0.68256=0⨯0.064+1⨯0.1152+2⨯0.13824+3⨯0.68256=2.43926≈2.4394.18．解法一：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥．在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥. (Ⅱ)设正方形边长a，则SD =．又OD =，所以 60=∠SDO , 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面，所以AC OP ⊥,且AC OD ⊥,所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角．由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥，所以030POD ∠=,即二面角P AC D --的大小为030． 解法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a，则高SO =． 于是),(,0,0)2S D，(0,,0)2C ，(0,,0)2OC a =，(,0,)2SD a =-， 所以，0OC SD ⋅=故 OC SD ⊥，从而 AC SD ⊥(Ⅱ)由题设知，平面PAC的一个法向量(,0,)22DS a =，平面DAC 的一个法向量)0,0,)2O S a =，设所求二面角为θ，则c o s 2O S D S O S D S θ⋅==,所求二面角的大小为03019．解：解：（Ⅰ）由已知,521++=+n S S n n ∴,42,21++=≥-n S S n n n 时两式相减，得 ,1)(211+-=--+n n n n S S S S即 ,121+=+n n a a 从而).1(211+=++n n a a当n=1时，S 2=2S 1+1+5， ∴62121+=+a a a 又,11,521=∴=a a A B C DP S O N E从而 ).1(2112+=+a a 故总有 .*),1(211N n a a n n ∈+=++ 又∵ ,01,51≠+∴=n a a 从而.2111=+++n n a a 即61}1{1=++a a n 是以为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.123-⨯=n n a n n x a x a x a x f +++= 221)( 1212)(-+++='∴n n x na x a a x f .从而n na a a f +++=' 212)1()123()123(2)123(2-⨯++-⨯+-⨯=n n)21()2222(32n n n +++-⨯++⨯+= 2)1()]22(2[31+-++-⨯=+n n n n n 2)1(]222[311+-+-⨯=++n n n n n .62)1(2)1(31++-⋅-=+n n n n20．解：（1）()[]y x x ⋅-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32ln 1232 A 、B 、C 三点共线，∴ 1)32ln(1232=-+++y x x ∴ )32ln(232x x y ++= （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，31ln >a ，则x a ln > 又由（1）得，x x x f 3323)(/++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，则03233)(/>+=-xx x f ∴ 要证原不等式成立，只须证：xx a 323ln ln ++> （*） 设xx x x x h 323ln 323ln ln )(+=++=． ()()()03223233323332)(2/>+=+⋅-+⋅+=x x x x x x x x h ∴ )(x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x 上均单调递增，则)(x h 有最大值31ln )31(=h ，又因为31ln >a ，所以)(x h a >在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x 恒成立． ∴ 不等式（*）成立，即原不等式成立．（3）方程b x x f +=2)(即b x x x =++-)32ln(2232令)32ln(223)(2x x x x ++-=ϕ， ∴ ()()xx x x x x x x 321313321923323)(2/+-+=+-=-++=ϕ 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,0x 时，0)(/<x ϕ，)(x ϕ单调递减，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,31x 时，0)(/>x ϕ，)(x ϕ单调递增，∴)(x ϕ有极小值为⎪⎭⎫ ⎝⎛31ϕ＝213ln -即为最小值．又()2ln 0=ϕ，()215ln 1-=ϕ，又215ln -－2ln ＝03425ln 21425ln 2125ln >⨯>=e e∴ -5ln 212ln >． ∴ 要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使≤<-b 213ln 2ln ．。
广东省中山市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
广东省中山市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 534i =+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45 B ．45- C ．45i D ．45-i 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-， 则复数z 的虚部为45-. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．3．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．3B ．233C ．3D ．23【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BC AG ==︒， 即23BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴„．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯= 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．4．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C【解析】【分析】 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()x x y f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误；故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.5．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．17B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.6．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算．【详解】 由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r r r r r r r r ． 故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．7．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．153C ．163D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值. 详解：由2434120y x x y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的.由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离，从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=， 故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.8．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠ 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.9．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r （ ）. A ．7388BA BC -u u u r u u u r B ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u r D ．7388BA BC +u u u r u u u r 【答案】B【解析】【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u u r u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可.【详解】 因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u u r u u u r 133()244BC BA BC -+-=u u u r u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.10．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ） A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -【答案】A【解析】分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =，则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-，则满足01,20n e m <<--<≤， 则1ln(1)12n m +=+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<，当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-，当0n =时，()022ln12h =-=；当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.12．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=- B ．3724x π= C ．1724x π= D ．1324x π=- 【答案】B【解析】【分析】由点012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项.【详解】 由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=- 所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π= 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省中山市中山纪念中学2019-2020学年高三年级上学期校内第一次质量检测试题--理科数学(word版含答案)
2020届高三校内第一次质量检测试卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）1. 设集合{|lg(3)},{|,}x A x y x B y y e x R ==-==∈, 则A B =I （ ）A. ΦB.RC. (3,)+∞D. (0,)+∞2.=o（ ） A.C. 1D.3. 函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩，若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A. [1,4] B. (1,5) C.[1,5) D.[1,4)4. 已知扇形的周长是10cm ，面积是24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( )A. 8B. 12C. 8或12D. 25. 已知函数2()2f x x x b =-+在区间(2,4)内有唯一零点，则实数b 的取值范围是（ ）A. (8,1)-B. (8,0)-C. [8,1)-D. [8,0)-6. 下列大小关系中，不正确的是 （ ）A. sin3sin1sin 2<<B. cos3cos2cos1<<C. tan3tan 2tan1<<D. sin tan 777πππ<<7. 若点A 在曲线ln 1y x =-上运动，点B 在直线2y x =+上运动，,A B 两点距离的最小值为 （ ）A. 2B. C. 4D. 2)2e +8．函数2sin 1x y x x =++的部分图象大致为 （ ） A. B.C. D.9. 已知条件:()2cos()(0)p f x x ωθω=+≠是奇函数，条件:,2q k k Z πθπ=+∈,则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 锐角ABC ∆中，已知3,3a A π==,则223b c bc ++取值范围是（ ）A. 5,15]（B. 7,15]（C. 7,11]（D.11,15]（ 11. 如图，直线OA 与单位圆相切于点O ，射线OB 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转过程中，记AOB x ∠=（0x π<<），OB 经过单位圆内的区域（阴影部分）的面积为()f x ，则下列结论错误的是( )A. 存在3(0,)4x π∈，使得3()2()14f x f x π--= B. 存在(0,)2x π∈， 使得()()2f x f x ππ--=C. 任意(0,)x π∈， 都有()()f x f x ππ-+=D. 任意(0,)2x π∈，都有()()222f x f x πππ+--= 12. 函数2()ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A. ln 2212a -<≤-B. 21a -<≤-C. 31a -<≤-D. ln 3ln 23232a -<≤- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知tan 2x =，则34cos()sin()22____cos()sin()x x x x ππππ-++=++-14. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的面积为ab π，则222cos 3)x x x dx -+⎰__________=.15. 对于ABC ∆，有如下命题：① 若sin 2sin 2A B = ,则ABC ∆一定为等腰三角形;② 若3sin cos 4A A +=, 则ABC ∆定为钝角三角形; ③ 在ABC ∆为锐角三角形，不等式sin cos A B >恒成立;④ 若(1tan )(1tan )2A B ++=,则34C π= ; ⑤ 若A B >，则sin sin A B >. 则其中正确命题的序号是______ ．（把所有正确的命题序号都填上）16. 定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为'()f x ；当0x ≥时，恒有'()()02x f x f x +-<，则不等式22()(21)(12)x f x x f x <--的解集为___________.三、解答题（本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共80分）17.已知函数2()2cos cos f x x x x a =++的最大值为2．（1）求a 的值，并求函数()f x 图象的对称轴方程和对称中心；（2）将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[,]63ππ上的值域． 18. 在ABC ∆中， 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos c B b C a A +=（1）求A ; （2）若2a =，且ABC ∆面积为√3，求ABC ∆的周长.19. 设函数()(0x x f x ka a a -=->且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求k 的值；（2） 若3(1)2f =且22()2()x x g x a a mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.20. 扇形AOB 圆心角为60o ，所在圆半径为√3，它按如下（1）（2）两种方式内接矩形CDEF ．（1） 矩形CDEF 的顶点,C D 在扇形的半径OB 上，顶点E 在圆弧AB 上，顶点F 在半径OA 上，设EOB θ∠=；（2） 点M 是圆弧AB 的中点，矩形CDEF 的顶点,D E 在圆弧AB 上，且关于直线OM 对称，顶点,C F 分别在半径,OB OA 上，设EOM ϕ∠=；试研究（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积的最大值较大？21. 设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为25，直线:(0)l y kx m m =+>与C 交于,A B 两点，AF 的中点为M ，||||OM MF +5=, (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点(0,1), 4P PA PB ⋅=-u u u r u u u r , 求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．22. 已知函数1()2ln f x x a x x=-+； （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2()ln g x x bx cx =--若函数()f x 的两个极值点1212,()x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且1212()'()2x x y x x g +=-的范围是2[ln 2,)3-+∞，求实数a 的取值范围． 23.（附加题，满分10分) 设,,x y z 是两两不同的实数，且满足(4)(4)(4)x y y y z z z x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，求x y z++所有可能的取值.。
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底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵， AC ⊥ BC ,若当阳马 B − A1ACC1 体积最大时， 则堑堵 ABC − A1B1C1 ,的外接球体积为() '
A. 2 2
B. 2 2 3
C. 14 2 3
D. 4 2
11. 已知数列an 是各项均为正数的等比数列， Sn 为数列an 的
前 n 项和，若
，则 a4 + 3a2 的最小值为（）
A. 9
B. 12
C. 16
D. 18
12.
若关于
x 的方程
x ex
+
ex x − ex
+m
=
0
有三个不相等的实数解
x1, x2, x3 ，且
x1
0
x2
x3
，其中
m
R,
e
=
2.718
为自然对数的底数,则
x1 e x1
−
1
2
A
0,
0, 0
2
的最小正周期是
，若
f
( ) = 1，则
f
+
3 2
=
(
)
A. 1
B. − 1
2
2
C. 1
D. -1
10. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角
三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于
广东省中山市 2019-202 0 学年度高三级第一学期期末统一考试
数学•理
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目 要求的。
1. 集合 A = x x2 − 5x + 6 0 , B = x 2x −1 0，则 A B = =（）
为准合格品，指标 值为 6 或 10 时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了
了解机器性能，随机抽取了该机器制造的 100 个零件，不同的质量指标值对应的零件个
数如下表所示；
质量指标值
67
8
9
10
零件个数
6
18
60
12
4
使用该机器制造的一个零件成本为 5 元，合格品可以以每个 X 元的价格出售给批
连通与否取决于
1
A. 10 27
B. 448 729
C. 100 243
D. 40 81
8.有 5 名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学
不能相邻，则不同的 站法有()
A. 8 种
B. 16 种
C.32 种
D.48 种
9.
已知函数
f
(x)
=
Asin
(x
+
)
如图，在三棱台 ABC − DEF 中，二面角 B − AD − C 是直二面角， AB ⊥ AC ，
AB=3, AD = DF = FC = 1 AC = 1. 2
(1) 求证： AB ⊥ 平面 ACFD ； (2) 求二面角 F − BE − D 的平面角的余弦值.
3
20. (本小题满分 12 分)
的值为_
。
16.
已知函数
f
(x)
=
ex ex
− e−x + e−x
+
2
，若有
f
(a)+
f
(a − 2)
4 ，则
的取值范围是
。
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。
17. （本小题满分 12 分）
设 Sn 为数列an 的前 n 项和,已知 a2 = 3, nn+1 = 2an + 1
x2 e x2
−
1
x3 e x3
−1 的
值为（
）
A. e
B. 1 − m
C. 1 + m
D. 1
二、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的
2
位置上，答错位置, 书写不清，模棱两可均不得分。
13. 等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a4 , a10 是方程 x2 − 8x +1 = 0 的两根，则：
B. b c a
C. a c b
D. c b a
2x + y − 4 0
6.
已知
x,
y
满足不等式组
x− y−2 0
，则
y − 3 0
的最小值为()
2
A. 2
B.
2
C. 2
D.1
7. 电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为 1 ，整个电路的 3
已知函数 f ( x) = ex − ex2 + ax(a R) ⑴若 f ( x) 在(0,1)上单调，求 a 的取值范围。 (2)若 y = f ( x) + ex ln x 的图像恒在 x 轴上方，求 a 的取值范围。
21. (本小题满分 12 分)
某种零件的质量指标值为整数，指标值为 8 时称为合格品，指标值为 7 或者 9 时称
A. (−, 23, +)
B.
1 2
,
3
C.
1 2
,
3
D.
1 2
,
2
3,
+)
2. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z − i = 1− i ，则 z + 3 =（） 3 + 2i
A. 29
B. 3 3
C. 26
D.5
3. 计算 sin133 cos197 + cos 47 cos 73 的结果为（ ）
发商，准合格品与废品无法岀售
(1) 估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；
S13 =
.
14.已知向量 a 与 b 的夹角是 5 ,且 a = a + b ，则向量 a 与 a + b 的夹角是
。
6
( ) 15. 已知 x2 +1 ( x − 2)9 = a0 + a1 ( x −1) + a2 ( x −1)2 + ...+ a11 ( x − )1 11 ，则 a1 + a2 + a3 + ... + a11
A. 1
B. − 1
3 C.
D. − 3
2
2
2
2
4. 如图，在下列四个正方体中，A,B 为正方体的两个顶点，M, N, Q 为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（ ）
5. a = log6 3,b = log10 5,c = log14 7 ，则（）
A. a b c
（1） 证明｛an +1｝为等比数列 （2）.判断 n, an, Sn 是否成等差数列？并说明理由 18. （本小题满分 12 分） 已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c
⑴若 cos A：cosB：cosC = 2：2：7 ,求 sinB ；
（2）若 sinA：cosB：tanA = 2：2：7 ,试判断 ABC 的形状 19. (本小题满分 12 分)