留学生数学3

x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
2.右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
可导区间： ★ 如果 f ( x ) 在开区间a , b 内可导，且 f (a ) 及
f (b ) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a , b 上可导. ( x ), x x0 ★ 设函数 f ( x ) , 讨论在点 x0的 ( x ), x x0
y lim
再求函数在点 x 1处的导数 1 y x 1 ( 2 ) x 1 1. x
y 1 1 lim 2. x 0 x x 0 x x( x x)
例3 求函数 y x 的导数.
解 任取一点 x (0,), 给 x 一个增量 x ，得
由此可知： 导数是平均变化率的极限！
⑴给 x0 一个增量 x ，求相应的函数增量
y f ( x0 x) f ( x0 ) ⑵求平均变化率
⑶求平均变化率的极限，即 y y x x lim 0 x 0 x
y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
1.3 导数的几何意义 当 时， 过点 若 存在，
、斜率为 将变到一“极限位置”； 此“极限位置” 的割线 MN，
只有一个交点 的直线和曲线 称它 在点 为曲线 处的切线。 该切线的 在 处的导数 斜率恰是 y f ( x) 在 x0 处的导数是曲线 y f ( x) 在 x0 简言之， y 处的切线的斜率。 y f ( x) N 在点 要想 存在， T M 附近一定是一光滑
α β Δx x0+Δx X
（图3.2）
3.2），求曲线在点M0处切 x0一个增量 x，自变量由 x0 变
Y M
y f ( x)
到 x0 x ，则 y f ( x0 x) f ( x0 )
②求增量比
y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
基本初等函数的导数
(1) (c) 0，其中 c 是一常数。
1 (2) ( x ) x ，其中α 是一常数。
特别地
(3) (a x ) a x ln a
(e x ) e x
1 (4) (log a x ) x ln a
1 (ln x ) x
(5) (sin x ) cos x
该定理可简述为：可导则连续.
注意：该定理的逆命题并不成立. 如 y x 在点 x 0 处连续，但它在点 x 0 处 不可导.
例
讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.

1.1 函数的变化率
原型Ⅰ 求变速直线运动的瞬时速度. 设 s f (t ) 在[0，T]上连续，求v v(t0 ) .
M M0
△s
M1
P
s
O
M O
M0
△s
M1
P
s
①求增量 给 t 0 一个增量 t,时间从t 0 变到了 t1 t0 t，
则
s f (t1 ) f (t0 ) f (t0 t ) f (t0 )
线， 在该点不能断开或形成“尖点”。 曲 o

x0
xx
例4
求函数 f ( x) x 在x 1 处的切线方程。 解：在 x0 处的切线过点 ( x0 , f ( x0 )、斜率 f ( x0 )
故其方程为
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
y f ( x x) f ( x) 1 x 1 (1 x) 1 1 y 1 x 1 x x x( 1 x 1) 1 x 1 y 1 1 f (1) lim lim x 0 x x 0 1 x 1 2 1 因此所求切线方程为 y 1 ( x 1) 2 1 1 即y x 2 2
（第一步为第二步做准备）
1：化 为
2：取极限
割线
总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的 角度来考察， 所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相 关变量的变化快慢程度，即变化率问题； 处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法； 数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比（函 数的平均变化率），当自变量改变量趋于零时的极限（瞬 时变化率）. 由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。
可导性.
f ( x0 x ) f ( x0 ) ( x0 x ) ( x0 ) 若 lim f ( x0 ) 存在, lim x 0 x 0 x x f ( x0 x ) f ( x0 ) ( x0 x ) ( x0 ) 若 lim lim f ( x0 ) 存在, x 0 x x 0 x
第三章 导数与微分
§1 导数的概念
§2 导数的基本公式与运算法则
§3 高阶导数与导数的简单应用
§4 微分
第一节 函数的局部变化率－导数
问题提出 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的 函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程 度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国 民经济发展的速度等。 三类问题： 1：求变速运动的瞬时速度 2：求曲线上一点处的切线 3：求极大值和极小值
是常数
是函数
在不致引起混淆的情况下，导函数也简称为导数.
注意：f ( x0 )＝f ( x )
x x0
y
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) lim
例
求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
s
求导方法：法一、直接在点x0处求增量。 法二、求出导函数，再将x0代入。
2 f ( x ) x 例1：求函数 在点x 2 处的导数.
1.2 导数定义
定义1 设函数y f ( x)在点 x0的某一邻域内有定义， x x0 x 仍在该邻域 当自变量 x 在 x0 处有增量 （点 内）时，相应地函数有增量y f ( x0 x) f ( x0 ) ， 如果 y 与 x 之比 y ，当x 0 时的极限存在，则 x 称这个极限值为 y f ( x) 在点 x0 处的导数，记 dy df ( x ) x0为固 作 y x x ， 或 ,
若 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
则 f ( x ) 在点x 0 可导， 且 f ( x0 ) a .
由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
y x x x ,
从而
y x
x x x x
1 , x x x
由于当 x 0 时，x x x,又因 x 在任取点 x
处连续，根据连续函数求极限的法则，故得
y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
s f (t0 t ) f (t0 ) v t t
②求增量比（局部以匀速代变速）
③ 取极限（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）
f (t0 t ) f (t0 ) s v0 lim v lim lim t 0 t 0 t t 0 t
方法：1）直接在点x0处求增量。 2）求出导函数，在将x0代入。
1 例2 求函数 y 在点 x 1处的导数. x
使用法二
解 先求导函数. 给任意一点x 一个增量x ，得 1 1 x y , x x x x( x x)
由于 所以
y 1 , x x( x x)
(6) (cos x ) sin x (7) (tan x ) sec2 x
(8) (arcsin x ) 1 1 x2
1 (9) (arctan x ) 1 x2
1.4 函数的连续性和可导性之间的关系
定理：如果函数 y
f ( x)在点 x 处可导，那么
f ( x) 在点 x 处可连续.
0
dx
x x0
dx
x x0
定的点
一个整 体符号
即 y x x
0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
y f ( x)
Y M
T M0 y0 α β Δx
（图3.2）
Δy
O
x0
x0+Δx
X
定义2
如果函数y f ( x) 在区间 (a, b) 内的每一点都可
导，则称函数在区间 (a, b)内可导.这时，函数 y f ( x)
对于区间 (a, b) 内每一 x 值都对应着一个确定的导数，
称为函数 f ( x) 的导函数，记作 y, f ( x),