高中数学选修2-2人教A版课时跟踪检测：第1章 导数及其应用 1.2 1.2.2(二)
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
高中数学选修22人教A课时跟踪检测：第1章 导数及其应用 1 2 含解析
第一章 导数及其应用1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程课时跟踪检测一、选择题1．在计算y ＝6x 2与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积时，把区间[1,3]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1n B ．2n C.3nD.12n解析：每个小区间的长度为3－1n ＝2n . 答案：B2．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是( )A ．1.02B ．2.02C ．2.52D.1.52解析：S ＝15×⎣⎢⎡ 12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫952 ＝15×25＋36＋49＋64＋8150＝255250＝1.02.答案：A3．(2019·吉林省实验中学高二期中)设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑ni ＝1f (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )、区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 和ξi 的取法都有关D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：因为S n ＝∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1f (ξi )·b －an ，所以S n 的大小与f (x )、区间、分点的个数和变量的取法都有关．故选C.答案：C4．下列关于函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 的端点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案：D5．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞∑ni ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1n D.lim n →∞∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 解析：若将区间[0,2] n 等分，则每一区间的长度为2n ，第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n ，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式极限形式为lim n →∞∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n . 答案：B6．(2019·鄂东南九校高二上学期期中)若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D.4解析：将区间[0，a ] n 等分，记第i 个区间为a (i －1)n ，ain (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积ai n 2·a n近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ai n 2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 331＋1n 1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ a 331＋1n 1＋12n ＝9，所以a 33＝9，解得a ＝3.答案：C 二、填空题7．(2019·泉港一中高二期中)对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是________．解析：将区间[0,1]三等分为0，13，13，23，23，1，各小矩形的面积和为S 1＝03·13＋133·13＋233·13＝19.答案：198．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈[0,10]若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：若把区间[0,10]进行10等分，则第i 个小区间为[i －1，i ](i ＝1,2，…，10)，其右端点为i ，那么物体运动的路程的近似值为s ＝∑10i ＝1 (2i －1)＝2∑10i ＝1i －10＝2×(1＋10)×102－10＝100.答案：1009．由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝1x 所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是________．解析：将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则高分别为1，45，23，47，∴曲边梯形的面积是14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋23＋47＝319420. 答案：319420 三、解答题10．利用分割、近似代替、求和、取极限的方法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成的梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n ，在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )， 于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ， 从而S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝ 2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n ＝52－12n . ∴S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52. 验证如下：由梯形的面积公式得 S ＝12×(2＋3)×1＝52.11．(2019·榆林二中高二月考)一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝6t 2(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s (单位：km)．解：把区间[1,2]等分成n 个小区间n ＋i －1n ，n ＋in (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑ni ＝1Δs i . Δs i ≈v n ＋i －1n ·Δt ＝6·n n ＋i －12·1n＝61＋i －1n2·1n ＝6n (n ＋i －1)2 ≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )．s n ＝∑ni ＝16n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n )＝6n (1n －12n ).s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞6n 1n －12n ＝3. 12．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S . 解：①分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑ni ＝1ΔS i .②近似代替记f (x )＝x 2＋2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )的值变化很小，不妨用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·Δx ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n . ③求和小曲边梯形的面积和S n ＝∑ni ＝1ΔS i ≈∑ni ＝1ΔS i ′ ＝∑n i ＝1 1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n n＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .④取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝43.即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43.13．(2019·张家口模拟)由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.解析：将区间[0,2]5等分，每个区间长度为0.4，按照区间左端点和右端点对应的小曲边梯形的面积近似为小矩形的面积，所以按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为0.4×(0.42＋1)×5和0.4×(22＋1)×5，即为2.32 和10.答案：2.32 10。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案
导数的计算
几个常用函数的导数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[学习目标]
．能根据定义求函数＝(为常数)，＝，＝，＝，＝的导数．
．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
[知识链接]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数＝()的导数？
答()计算，并化简；
()观察当Δ趋近于时，趋近于哪个定值；
()趋近于的定值就是函数＝()的导数．
[预习导引]
．几个常用函数的导数
原函数导函数
()＝(为常数)′()＝
()＝′()＝
()＝′()＝
()＝′()＝－
()＝′()＝．基本初等函数的导数公式
原函数导函数()＝(为常数)′()＝
()＝α(α∈*)′()＝αα－()＝′()＝
()＝′()＝－
()＝′()＝(>，且≠)
()＝′()＝
()＝′()＝(>，且≠)
()＝′()＝
要点一利用导数定义求函数的导数
例用导数的定义求函数()＝的导数．
解′()＝
＝。
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课时跟踪检测：第1章 导数及其应用 1.1 1.1.
第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念课时跟踪检测一、选择题1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2 D.不确定解析：k1＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)2－x20Δx＝2x0＋Δx；k2＝f(x0)－f(x0－Δx)Δx＝x20－(x0－Δx)2Δx＝2x0－Δx.因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．答案：D3．已知函数f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0ΔyΔx等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D.2＋Δx2解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2.∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.故选A.答案：A4．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a的值是()A.193B．163C.133 D.103解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(－1)＝limΔx→0f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝limΔx→0a(－1＋Δx)3＋3(－1＋Δx)2＋2－(－a＋5)Δx＝limΔx→0(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)＝3a－6＝4，解得a＝103，故选D. 答案：D5．(2019·杭州二中月考)设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1) D.f′(3)解析：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f′(1)．答案：C6．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为()A．1 000 m/s B．500 m/sC．1 600 m/s D.800 m/s解析：设运动方程为s＝12at2，∴ΔsΔt＝12a(t0＋Δt)2－12at20Δt＝at0＋12aΔt，∴瞬时速度v＝limΔx→0ΔsΔt＝at0＝5×105×1.6×10－3＝800 m/s，故选D.答案：D二、填空题7．(2019·龙岩一中月考)给出下列结论：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度为a＝limΔx→0v(t＋Δt)－v(t)Δt.其中正确的结论序号为________．解析：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．答案：②③8．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．解析：由Δy Δx ＝4－11－4＝－1. 答案：－19．设f (x )在R 上可导，已知f (－x )在x ＝a 处的导数为A ，则f (x )在x ＝－a 处的导数为________．解析：∵f (－x )在x ＝a 处的导数为A ，∴A ＝lim Δx →0 f [－(a ＋Δx )]－f (－a )Δx， ∴f (x )在x ＝－a 处的导数f ′(－a )＝lim Δx →0 f (－a －Δx )－f (－a )－Δx＝－A . 答案：－A三、解答题10．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t＋1，求速度为零的时刻．解：∵Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝13(t ＋Δt )3－32(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－32t 2＋2t ＋1＝ t 2Δt ＋t Δt 2＋13Δt 3－3t Δt －32Δt 2＋2Δt ，∴Δs Δt ＝t 2＋t Δt ＋13Δt 2－3t －32Δt ＋2，∴lim Δt →0 Δs Δt＝t 2－3t ＋2， 由t 2－3t ＋2＝0，得t ＝1或t ＝2.所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末．11．用定义求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝(1－1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝1－(1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12. 即函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.12．(2019·张家口期末)若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s) s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2(t ≥3)， ①29＋3(t －3)2(0≤t <3). ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解：(1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．因为物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18. 所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18.即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝ 29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12. 所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为－12 m/s.13．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋2h )－f (x 0)h等于( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D.0 解析：lim h →0 f (x 0＋2h )－f (x 0)h ＝2lim 2h →0 f (x 0＋2h )－f (x 0)2h＝2f ′(x 0)，故选B. 答案：B。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.2第二课时导数的运算法则
第二课时导数的运算法例预习课本P15～ 18，思虑并达成以下问题(1)导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？[新知初探 ]1．导数的四则运算法例(1)条件： f(x)， g(x)是可导的．(2)结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．③f x′＝f xg x － f x g x(g(x) ≠ 0)．g x2[g x[点睛 ]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．(3)若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．(2)求导法例：复合函数y＝ f (g(x))的导数和函数y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：y x′＝ y u′·u x′.[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()(2)函数 f(x)＝ xe x的导数是 f′(x)＝e x(x＋ 1)． ()(3)函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ()答案： (1) × (2) √ (3) ×2．函数 y ＝ sin x ·cos xA ． y ′＝ cos 2x ＋ sin 2xC ． y ′＝ 2cos x ·sin x答案： B的导数是()B ． y ′＝ cos 2xD ． y ′＝ cos x ·sin x3．函数 y ＝ xcos x － sin x 的导数为 ________．答案： － xsin x4．若 f(x)＝ (2x ＋ a)2，且 f ′(2)＝ 20，则 a ＝ ________.答案： 1利用导数四则运算法例求导[典例 ] 求以下函数的导数：2＋ log 3x ； (2)y ＝ x 3 x(3)y ＝ cos x(1) y ＝ x ·e ；x .解 ′＝ 2＋ log ＝′ 2 ) ′＋ (log′ [ ] (1) y (x 3x)(x 3x) ＝ 2x ＋ 1.xln 33 x 3x3 x′′＝ · ) ′＝ ( x) ′·e＋x· )(2) y(x e(e＝ 3x 2·e x ＋x 3 ·e x ＝ e x (x 3＋ 3x 2)． (3) y ′＝ cos x ′＝ xx － cos x x2xx － x ·sin x － cos x xsin x ＋ cos x＝ 2 ＝－ 2. xx求函数的导数的策略(1)先划分函数的运算特色，即函数的和、差、积、商，再依据导数的运算法例求导数．(2) 对于三个以上函数的积、商的导数，挨次转变为“两个 ”函数的积、商的导数计算．[活学活用 ]求以下函数的导数：x(1) y ＝ sin x － 2x 2； (2)y ＝cos x ·ln x ； (3) y ＝ sin ex .解： (1)y ′＝ (sin x － 2x 2) ′＝ (sin x) ′－ (2x 2) ′＝ cos x － 4x. (2) y ′＝ (cos x ·ln x) ′＝ (cos x) ′·x ＋ln cos x ·(ln x) ′＝－ sin x ·ln x ＋ cos xx.e xxx － e x x(3) y ′＝ sin x ′＝sin 2x ＝ e x ·sin x － e x ·cos x e x x － cosx2 ＝2sin xsin x复合函数的导数运算[典例 ] 求以下函数的导数：(1) y ＝ 1 2； (2)y ＝ e sin(ax ＋b)；1－ 2x(3) y ＝ sin 2 2x ＋π3 ； (4)y ＝ 5log 2(2x ＋ 1)．[解 ] (1)设 y ＝u － 1， u ＝ 1－ 2x 2，2则 y ′＝ (u －12) ′ －(12x2) ′＝ －21u － 32 ·(－ 4x)＝－1 23 23.(1－ 2x )－2(－ 4x)＝ 2x(1－ 2x )－ 22(2) 设 y ＝ e u ， u ＝ sin v ， v ＝ ax ＋ b ，则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ e u ·cos v ·asin(ax ＋b) ．＝ acos(ax ＋ b) ·e(3) 设 y ＝ uπ2， u ＝ sin v ， v ＝2x ＋ ，3则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ 2u ·cos v ·22π＝ 4sin vcos v ＝ 2sin 2v ＝ 2sin 4x ＋ 3 .(4) 设 y ＝ 5log 2 u ， u ＝ 2x ＋ 1，则 y ′＝ 5(log 2u) ′·x ＋(21) ′＝ 10 ＝ 10 .uln 2 x ＋1． 求复合函数的导数的步骤2． 求复合函数的导数的注意点(1) 内、外层函数往常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ (3x － 2)2 ； (2) y ＝ ln(6x ＋ 4)；(3) y ＝ e 2x ＋1；(4)y ＝ 2x － 1；π； (6)y ＝ cos 2x.解： (1)y ′＝ 2(3x － 2) ·(3x －2) ′＝ 18x － 12；13；(2) y ′＝ 6x ＋ 4·(6x ＋ 4) ＝′3x ＋ 2(3) y ′＝ e 2x ＋ 1·(2x ＋ 1) ′＝2e 2x ＋1；(4) y ′＝ 1 ′＝1. ·(2x － 1) 2x － 1 2 2x － 1π ππ(5) y ′＝ cos 3x － 4 ·3x － 4 ′＝3cos 3x － 4 .(6) y ′＝ 2cos x ·(cos x) ′＝－ 2cos x ·sin x ＝－ sin 2x.与切线相关的综合问题2π[典例 ]处的切线斜率为 ________．(1) 函数 y ＝ 2cos x 在 x ＝12(2) 已知函数 f(x)＝ ax 2＋ ln x 的导数为 f ′(x)，①求 f(1)＋ f ′(1)．②若曲线 y ＝ f (x)存在垂直于 y 轴的切线，务实数a 的取值范围．[分析 ] (1) 由函数 y ＝ 2cos 2x ＝ 1＋ cos 2x ，得 y ′＝ (1＋ cos 2x) ′＝－ 2sin 2x ，所以函数在π 2sinπ＝处的切线斜率为－2 × ＝－1.x1212答案：－1(2) 解： ①由题意，函数的定义域为(0，＋ ∞)，由 f( x)＝ ax 2＋ ln x ，得 f ′(x)＝ 2ax ＋ 1，x 所以 f(1)＋ f ′(1)＝ 3a ＋ 1.② 因为曲线 y ＝ f(x)存在垂直于y 轴的切线， 故此时切线斜率为0，问题转变为在 x ∈ (0，＋∞)内导函数f ′(x)＝ 2ax ＋ 1存在零点，x即 f ′(x)＝ 0?2ax ＋ 1x ＝ 0 有正实数解，(5) y ＝ sin 3x － 4即 2ax 2＝－ 1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (－∞， 0)．对于函数导数的应用及其解决方法(1) 应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及波及切线问题的综合应用．(2) 方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再依据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用 ]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y ＝ x 3 和 y ＝ ax 2＋15都相切，则 a 的值为 ()4 x － 92521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－ 7或－ 25D ．－7或 74 644分析：选A 设过点 (1,0)的直线与曲线 y ＝ x 3 相切于点 (x 0， x 03)，则切线方程为y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 02x － 2x 03.又点 (1,0)在切线上，代入以上方程得 3x 0＝ 0 或 x 0＝ .2当 x 0＝ 0 时，直线方程为 y ＝ 0.21525由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64.当 x 0＝ 3时，直线方程为 y ＝ 27x － 27.24 42727215由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 1.层级一学业水平达标1．已知函数 f (x)＝ ax 2 ＋c ，且 f ′(1)＝ 2，则 a 的值为 ()A ． 1B. 2C ．－ 1D ． 0分析： 选A∵ f(x)＝ ax 2＋ c ，∴ f ′(x)＝ 2ax ，又∵ f ′(1)＝ 2a ，∴ 2a ＝ 2，∴ a ＝ 1.2．函数2y ＝ (x ＋ 1) (x － 1)在x ＝ 1 处的导数等于()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D y ′＝ [(x ＋ 1) 2] ′(x － 1)＋ (x ＋ 1) 22＝ 3x 2＋ 2x(x － 1) ′＝ 2(x ＋ 1) ·(x － 1) ＋ (x ＋ 1) － 1，∴ y ′|＝＝ 4.x 13．曲线 f(x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )A ． y ＝ 2x ＋ 2B ． y ＝ 2x － 2C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x ＋ 1分析：选C∵ f ′(x)＝ ln x ＋ 1，∴ f ′(1)＝ 1，又 f(1) ＝0，∴在点 x ＝ 1 处曲线 f(x)的切线方程为 y ＝ x － 1.4. 已知物体的运动方程为s ＝ t 2＋ 3(t 是时间， s 是位移 )，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度t为 ()19 17 A. 4B. 415 13C. 4D. 4分析：选D33 13∵ s ′＝ 2t －t ，∴ s ′|t2＝ 4－4＝4＝5．设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋ 1)在点 (0,0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a ＝ ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析：选Dy ′＝ a － 1，由题意得 y ′|x ＝0＝ 2，即 a － 1＝ 2，所以 a ＝3.x ＋ 13－ x ＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．6．曲线 y ＝ x22分析：∵ y ′＝ 3x － 1，∴ y ′x1＝ 3×1 － 1＝ 2.＝∴切线方程为 y － 3＝ 2(x －1) ，即 2x － y ＋ 1＝ 0.答案： 2x － y ＋ 1＝ 07．已知曲线y 1＝ 2－ 1与 y 2＝ x 3－ x 2＋ 2x 在 x ＝x 0 处切线的斜率的乘积为3，则 x 0＝x ________.分析： 由题知 y ′＝12处切线的斜率分别为12＝ 3x － 2x ＋ 2，所以两曲线在 x ＝ x2，1x ， y ′2x 02－2x 0＋ 2，所以3x 02－ 2x 0＋ 23x 02＝ 3，所以 x 0＝ 1.x 0答案： 1ππ8．已知函数 f (x)＝ f ′4 cos x ＋ sin x ，则 f 4 的值为 ________．π分析： ∵ f ′(x)＝－ f ′4 sin x ＋ cos x ，ππ 2 2∴ f ′4 ＝－ f ′4 ×2 ＋ 2 ，π得 f ′4 ＝ 2－ 1.∴ f( x)＝ ( 2－ 1)cos x ＋ sin x.π∴ f 4 ＝ 1. 答案： 19．求以下函数的导数：2e x ＋ 1x；(1) y ＝ xsin x ； (2)y ＝ e － 1x ＋ cos x(3) y ＝ x ＋ sin x ； (4)y ＝ cos x ·sin 3x.22解： (1)y ′＝ (x) ′sinx ＋ x(sin x) ′＝ sin 2 x ＋ x ·2sin x ·(sin x) ′＝sin 2x ＋ xsin 2x.(2) y ′＝ e x ＋ 1 ′ e x － 1－ e x ＋ 1e x － 1 ′x 1 2e －－ 2e x .＝x－ 12ex ＋ cos x ′ x ＋ sin x － x ＋ cos xx ＋ sin x ′(3) y ′＝x ＋ sin x2＝1－ sin xx ＋ sin x －x ＋ cos x1＋ cos xx ＋ sin x 2－ xcos x －xsin x ＋ sin x － cos x － 1 ＝ x ＋ sin x 2.(4) y ′＝ (cos x ·sin 3x) ′＝ (cos x) ′sinx3＋ cos x(sin 3x) ′＝－ sin xsin 3x ＋ 3cos xcos 3x＝ 3cos xcos 3x － sin xsin 3x.10．偶函数 f(x)＝ ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e 的图象过点 P(0,1)，且在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝x － 2，求 f(x)的分析式．解： ∵ f(x)的图象过点 P(0,1)，∴ e ＝ 1.又∵ f( x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．故 ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e ＝ ax 4－ bx 3＋ cx 2－ dx ＋ e.∴ b ＝ 0， d ＝ 0.∴ f(x)＝ ax 4＋ cx 2＋ 1. ∵函数 f(x)在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝ x － 2，∴切点为 (1，－ 1)．∴ a ＋ c ＋ 1＝－ 1.∵f′(x)|x＝1＝ 4a＋ 2c，∴ 4a＋ 2c＝ 1.∴a＝5， c＝－9.225492∴函数 f(x)的分析式为 f (x)＝x－ x ＋ 1.22层级二应试能力达标1．若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足 f′(1)＝ 2，则 f′(－1)等于 ()A．－ 1B．－ 2C． 2D． 0分析：选B∵ f′(x)＝ 4ax3＋ 2bx 为奇函数，∴ f′(－1)＝－ f′(1)＝－ 2. 2．曲线 y＝ xe x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A． 2e B． eC． 2D． 1分析：选C函数的导数为 f′(x)＝ e x－1＋ xe x－1＝ (1＋ x)e x－1，当 x＝ 1 时， f′(1)＝ 2，即曲线x－1在点 (1,1)处切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，应选 C. y＝ xe3．已知函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且知足 f(x)＝ 2xf ′ (e)＋ ln x，则 f′ (e)＝ ()－ 1B．－ 1A． e－ 1D．－ eC．－ e分析：选C∵ f(x)＝ 2xf′(e)＋ ln x，∴f′(x)＝ 2f′(e)＋1 x，∴f′(e)＝ 2f′(e)＋1，解得 f′(e)＝－1，应选 C.e e4．若 f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，则 f′(x)＞ 0的解集为 ()A． (0，＋∞ )B． (－ 1,0)∪ (2，＋∞) C． (2，＋∞ )D． (－ 1,0)分析：选C∵ f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，∴f′(x)＝ 2x－ 2－4x＞ 0，x＋x－或 x＞ 2，整理得＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 0x又因为 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，所以 x＞ 2.5．已知直线y＝ 2x－ 1 与曲线 y＝ ln(x＋ a)相切，则a 的值为 ________________．1分析：∵ y＝ ln(x＋ a)，∴ y′＝，设切点为(x0，y0)，1则 y0＝ 2x0－ 1， y0＝ ln(x0＋ a)，且x0＋a＝ 2，解之得 a＝1ln 2. 2答案：1ln 22x在点 (1,1)的切 l， l 上的点到x2＋ y2＋ 4x＋ 3＝ 0 上的点的6．曲 y＝2x－1近来距离是 ____________．分析： y′＝－1|y－ 1＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2 2， y′x＝1＝－ 1，∴切方程＝ 0，心 (－ 2,0)到直的距离d＝ 2 2，的半径 r＝ 1，∴所求近来距离 2 2－ 1.答案： 2 2－17．已知曲 f (x)＝ x3＋ ax＋ b 在点P(2，－ 6)的切方程是13x－ y－ 32＝ 0.(1) 求a， b 的；1(2)假如曲 y＝ f(x)的某全部与直 l：y＝－4x＋ 3 垂直，求切点坐与切的方程．解： (1)∵ f(x)＝ x3＋ ax＋ b 的数 f′(x)＝ 3x2＋ a，由意可得f′(2)＝ 12＋ a＝13， f(2)＝ 8＋ 2a＋ b＝－ 6，解得 a＝ 1， b＝－ 16.1(2)∵切与直 y＝－4x＋ 3 垂直，∴切的斜率k＝ 4.切点的坐(x0， y0)，2f′(x0)＝ 3x0＋ 1＝ 4，∴ x0＝±1.由 f( x)＝ x3＋x－ 16，可得 y0＝ 1＋ 1－ 16＝－ 14，或 y0＝－ 1－ 1－ 16＝－ 18.切方程y＝ 4(x－ 1)－ 14 或 y＝ 4(x＋ 1)－ 18.即 y＝ 4x－ 18 或 y＝ 4x－ 14.8． f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1， x≥0， n∈ N， n≥2.(1) 求 f n′ (2)；明：在 0，2内有且有一个零点(a，且＜12n(2)f n(x)n)a n－＜n＋13023.解： (1)由 f n′(x)＝ 1＋ 2x＋⋯＋ nx n－1.所以 f n′ (2)＝ 1＋ 2×2＋⋯＋ (n－ 1)2n－2＋n·2n－1，①2f n′ (2)＝ 2＋ 2×22＋⋯＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，②①－②得，－ f n′ (2)＝ 1＋ 2＋ 22＋⋯＋ 2n－1－ n·2n＝1－ 2n n n－ n·2＝ (1－ n) ·2－ 1，1－ 2所以 f n′ (2)＝ (n－1)n ·2＋1.(2)因 f(0)＝－ 1＜ 0，22nn 231－3－ 1＝1－2×2n2×22＞ 0，f3＝23≥ －3 1－13因 x≥0， n≥2.所以 f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1 增函数，所以 f n(x)在 0，2内增，3所以 f n在 0，2内有且有一个零点 a n(x)3.n＋ 1x－ x因为 f n(x)＝－1，n＋1所以 0＝ f n(a n) ＝a n－ a n－ 1，1－ a n由此可得11n＋ 11，故12 a n＝＋a n＞2＜ a n＜ .22231 1 n＋112 n＋1n所以 0＜ a n－22＝2a n＜2×3＝3n＋ 1.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第3课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2-新人教A
1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。
2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。
人教A版数学选修2-2课时跟踪检测(二) 导数的几何意义 Word版含解析
课时跟踪检测(二) 导数的几何意义一、选择题．若函数()＝－－，则′()等于( )．．－．．－解析：选法一：′()＝＝＝(－)＝－.法二：由导数的几何意义可知，′()为直线＝－－的斜率，∴′()＝－.．设′()＝，则曲线＝()在点(，())处的切线( )．不存在．与轴平行或重合．与轴垂直．与轴相交但不垂直解析：选∵′()＝，∴曲线＝()在点(，())处的切线的斜率为.．在曲线＝上切线倾斜角为的点是( )．() ．()解析：选∵＝＝＝(＋Δ)＝，∴＝＝，∴＝，从而＝.．已知曲线＝－－上一点，则在点处的切线的倾斜角为( )．°．°．°．°解析：选∵点在曲线＝()＝－－上，∴在点处的切线斜率为＝′()＝－，∴在点处的切线的倾斜角为°.．已知＝()的图象如下图，则′()与′()的大小关系是( )．′()>′() ．′()<′()．′()＝′() ．不能确定解析：选由题图可知，曲线在点处的切线的斜率比曲线在点处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知′()<′()．二、填空题．＝－在点处的切线方程是．解析：先求＝－的导数：Δ＝－＋＝，＝，＝＝，即′＝，所以＝－在点处的切线斜率为′＝，所以切线方程是＋＝，即＝－.答案：＝－．对于函数()＝＋，若′()＝，则＝.解析：因为′()＝＝，′()＝，所以＝.答案：．已知曲线＝＋在点处的切线斜率为，则点的坐标为．解析：设点坐标为(＋)，则′()＝)＝)＝＋.又∵′()＝，∴＋＝，∴＝，∴点坐标为()．答案：()三、解答题．已知()＝，()＝，求满足′()＋＝′()的的值．解：′()＝＝，′()＝＝.因为′()＋＝′()，所以＋＝，解得＝或＝.．已知曲线＝＋在点处的切线方程为－－＝，求切点的坐标和实数的值．解：设切点的坐标为(，)，切线斜率为.由′＝＝＝(＋Δ)＝，得＝′()＝.根据题意得＝，＝.分别代入＝＋和＝－，解得＝，＝－，故所求切点的坐标为()，＝－.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章导数及其应用
1.2 导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
法则(二)
课时跟踪检测
一、选择题
1．(2019·重庆市一中高二月考)已知点P在曲线y＝
4
e x＋1
上，α为曲线在点P
处的切线的倾斜角，则角α的取值范围是()
解析：因为y＝
4
e x＋1
，
所以y′＝
－4e x
(e x＋1)2
＝
－4e x
e2x＋2e x＋1
＝
－4
e x＋
1
e x＋2
.
因为e x>0，所以e x＋1
e x≥2，所以y′∈[－1,0)，所以
tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈3π
4，π.故选D.
答案：D
2．已知f(x)＝x ln x，求lim
Δx→0f(3＋2Δx)－f(3)
Δx＝()
A.1
3B．
2
3
C．ln 3＋1 D.2ln 3＋2
解析：lim
Δx→0f(3＋2Δx)－f(3)
Δx＝2lim
Δx→0
f(3＋2Δx)－f(3)
2Δx＝2f′(3)，
∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，∴2f′(3)＝2ln 3＋2，
故选D.
答案：D
3．已知函数f(x)＝sin 2x，(x∈R)，则它的导函数f′(x)是() A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π
2的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π
2的偶函数
解析：f′(x)＝2cos 2x，∴T＝2π
2＝π，且f′(x)为偶函数，故选C.
答案：C
4．(2019·泉港中学高二期中)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()
A.1
3B．
1
2
C.2
3 D.1
解析：依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2(x－0)即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y
＝x的交点坐标是2
3，
2
3，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可
得，这三条直线所围成的三角形的面积S＝1
2×1×
2
3＝
1
3.故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，且f′(a)＝f′(b)＝1，则f′(c)等于()
A．－1
2B．
1
2
C ．－1 D.1
解析：由f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋ (x －a )[(x －b )(x －c )]′＝
(x －b )(x －c )＋(x －a )[(x －b )(x －c )]′得
f ′(a )＝(a －b )(a －c )＋0＝(a －b )(a －c )＝1，同理，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝1，由⎩⎨⎧
(a －b )(a －c )＝1，(b －a )(b －c )＝1，
得(a －b )(a －c －b ＋c )＝2，即(a －b )2＝2. ∴f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝－1a －b ·－1b －a ＝－1(a －b )2
＝－
1
2.故选A. 答案：A
6．若存在过(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15
4x －9都相切，则a 等于( )
A ．－1或－25
64 B ．－1或21
4 C ．－74或－2564
D.－7
4或7
解析：设y ＝x 3上的切点为(x 0，x 3
0)，∵ ∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，又(1,0)在切线上，
∴2x 30－3x 20＝0，得x 0＝0或x 0＝32. ∴公切线的斜率为k ＝0或k ＝274. 当k ＝0时，切线方程为y ＝0. 又y ＝0与y ＝ax 2＋15
4x －9相切， ∴Δ＝ ＋36a ＝0，得a ＝－25
64. 当k ＝274时，切线方程为y ＝27
4(x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝274(x －1)，y ＝ax 2
＋154x －9，
得ax 2－3x －9
4＝0.
由Δ＝9＋9a ＝0，得a ＝－1. 答案：A 二、填空题
7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2
x ＋1
， 当x ＝0时，y ′＝2，
∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案：y ＝2x
8．(2019·包钢一中高二月考)若函数f (x )＝e x x 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c ＝________.
解析：∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)
c 2. 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0， 即e c c ＋e c (c －1)
c 2＝0， ∴2c －1＝0，得c ＝1
2. 答案：1
2
9．(2019·牡丹江中学高二月考)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．
解析：y ′＝3(2x ＋1)·e x ＋3(x 2＋x )e x ，
y ′|x ＝0＝3，∴切线方程为y －0＝3(x －0)，即y ＝3x . 答案：y ＝3x 三、解答题
10．已知f(x)＝x2－2x.
(1)求经过点(2,0)的f(x)的切线方程；
(2)求经过点(0，－1)的f(x)的切线方程．
解：(1)由于f(2)＝22－2×2＝0，故点(2,0)在f(x)上，∴(2,0)为切点，又f′(x)＝2x－2，
∴所求切线的斜率为k＝f′(2)＝2，
∴该曲线的切线方程为y＝2x－4.
(2)由于f(0)＝02－2×0＝0，故点(0，－1)不在f(x)上，∴(0，－1)不是切点，设f(x)的切点为(x0，x20－2x0)，则该切线的斜率为f′(x0)＝2x0－2，
又该切线过(0，－1)和(x0，x20－2x0)，
故该切线的斜率又可表示为x20－2x0＋1
x0－0
，
所以x20－2x0＋1
x0－0
＝2x0－2，∴x20＝1，即x0＝±1，
则斜率为k＝0或－4，
故该切线方程为y＝－1或y＝－4x－1.
11．已知曲线f(x)＝ax3＋b的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y ＝3x－1.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)求曲线在点(－1,0)处的切线方程．
解：(1)f′(x)＝3ax2，
∵f(x)在x＝1处的切线方程是y＝3x－1.
∴f′(1)＝3a＝3，∴a＝1.
∴f(x)＝x3＋b.
又∵f(x)的图象经过点(0,1)，
∴b＝1，∴f(x)＝x3＋1.
(2)由(1)知，f′(x)＝3x2，k＝f′(－1)＝3×(－1)2＝3.
∴曲线在点(－1,0)处的切线方程是y＝3(x＋1)，即
3x－y＋3＝0.
12．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋x 2－ax －ln 2(a >0)．若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为mx －2y －3＝0，求a ，m 的值．
解：f ′(x )＝
a
ax ＋1
＋2x －a ， f ′(1)＝a
a ＋1＋2－a ，f (1)＝ln(a ＋1)＋1－a －ln 2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝ln (a ＋1)＋1－a －ln 2＝m －3
2，f ′(1)＝a a ＋1＋2－a ＝m
2，
得ln(a ＋1)＋1a ＋1－12－ln 2＝0.
令h (a )＝ln(a ＋1)＋
1a ＋1－12－ln 2(a >0)，h ′(a )＝a (a ＋1)2
>0， 所以函数h (a )在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝0，所以⎩
⎨⎧
a ＝1，
m ＝3.
13．(2019·榆林二中高二月考)曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．
解：∵y ＝e sin x ，∴y ′＝e sin x cos x ， ∴y ′|x ＝0＝1.
∴曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线方程为 y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.
又直线l 与x －y ＋1＝0平行，故可设为x －y ＋m ＝0. 由|m －1|
1＋(－1)2
＝2得m ＝－1或3.
∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.
由Ruize收集整理。
感谢您的支持！。