谢文娟说题初稿

∠CPF’+∠F’=45°，
F
即∠2+∠F’=45°
而∠1+∠BAC=45° 所以∠1=∠F’ ，
2
B
P
C
E
在方此法还：要要证结明合∠正AC方F形是的一性个质平角，1有80效°的，利用图形的
F'
变才换能，说换明一点种A思、路C，、可F在能同会一是条下直一线题上的简便方法。
从而PA=PF’，
又这由种于解PF法=P巧F’妙，的利用了轴对称构造全等三角形和 等所腰以三P角A形=P，F 对图形与变换的理解是支撑此解法产生
★由求证结论出发： 要证明线段相等学生首先会想到证明三角形全等，显然原图中PA、PF所 在的三角形没有全等图形，因此本题构造全等三角形是关键。
方法一：截长补短法，构造全等三角形
证在知明 正识：方点在形AA１BB：C上D截正中取，方BAG形B==B的BPC，，性连质接P，G
A
DD
∠三B角=∠形DC全B=等∠的AP判F=9定0°与性质；
∠AGP＝∠PCF
∴△AGP≌△PCF（ASA）∴PA=PF．
方法二：利用相似三角形的特殊性，即相似比为１
证由∠∵知知：明 题 BC识识相=F：可平∠点点似过知分D比12C点，： ：∠Bk在FD相 相==作∠C1正似 似FEA方H∴P三 三⊥形F∠＝角 角BAFE∠BC形形于CHFD点的的=H∠中PH判特=C，，9F定殊0AH°B情＝=4B况5C°
∴思∠维AG，P=将∠P有CF待于解决的问题转化为有明确解决程
∵∠∴序等∠ ２ ∠的，１+B∠A问使+P∠A=题学P∠ABPF=生，BP9=0C用即°9，0°联将系证的明线、段发相展等的转观化点为来证认三识角问
形 题
全 解
在决△问A题GP和，△而PC本F中题的难点在于构造全等三角形。
∠A方G１法＝＝P：C∠２做辅助线构造全等三角形
∴∠APF=∠ACF=90°
BB
P
C
E
在Rt△APF与Rt△ACF中，
方法：在这个问题中要注意“共斜边的直角三角形”，可以推出
“四点共圆”，再利用圆的有关知识来解决问题。
∴A、这P种、方C法、不F四易点想在到以，点但O想为到圆了心可的以圆使上得证明A 简单，因此D可以尝
∴试∠让A学F生P=画∠出A共CP斜=4边5°的两个直角三角形的情况，方便以后遇见此类
试利用这两个角的同名三角函数值相等去解决问题。
方法四：利用等腰三角形
A
D
证知明识：点连1：接直A角C、三A角F形，斜设边AF上中的点中为线O定，理 在知正识方点形2：A圆BC周D角中定，理∠的BC推D论=∠DCE=90°，
O F
又知∵识C点F3平：分四∠点D共C圆E
∴知∠识A点C4D：=等∠腰DC直F角=4三5°角形的相关知识
11
∴知∠识BG点P=２∠：BP领G=4补5°角互补，
G
FF
∴∵同∠ B角GA=的GBPP=余∴18A角0B°－相－B等∠G B=；GBCP=－13B5P°∴AG=PC， BB
2
PP
CC H EE
∵∴C∠FP平本CF分题=∠18考D0°C查E－∴了∠∠F逻FCCEE辑==143思55°°维能力，从结论出发的逆向
（问同题弧，所可对以的从圆图周中角寻相找等到）这种方法。 ∴PA=PF
O F
B
P
C
E
方法四：利用图形的变换（轴对称、旋转）构造等腰三角形
知证识明点思1：路图：形的变换
A
D
知作识△点P2：CF三关点于共直线线BC对称△PCF’
知∠识1点=3∠：2三=∠角C形PF全’，等∠与F等=∠腰F三’, 角形
1
在∠，多△ B往数=A往学∠B会生FPH与忽往P△略往，P了会∠H题证１F中目明=∠，要了２求相证似的再结无论从带下来手的，信由∴息于a， 这=b在种，这求或个证者问结题论c=上带b ，来大相
∴似△三A角B形P∽的△特P殊H性F ，因此要联系到相似比为又1，∵进a≠而b从边∴入c手=b，而
设而不求的方法会简便证明过程，这种方法对于中等偏下的孩子有
A 1Biblioteka ∴知C识H点＝F3H：相似的基本图形“K” a
D F
设知正识方点形4边：长分A组B=分B解C=因a，式BP=b，
c
CH=FH=c ，PC=a-b，PH=a-b+c ∵∠１+∠APB=90°，∠２+∠APB=90° BB b PP
22 a-b
CC c HH EE
∴在∠方１法=∠二２中，，学生很容易想到作了辅助线可以证明出三角形相似
的根源。
方法四：利用图形的变换（轴对称、旋转）构造等腰三角形
△ABP关于直线 BC的对称图形
△ABP绕点B顺 时针旋转90°
A
D
1
△PCF绕点C逆 时针旋转90°
A
D
J
F
F
2
B
P
C
EB
P
C
E
H A'
方法五：建立平面直角坐标系，将几何图形代数化
与TA的一次邂逅
初中数学
谢文娟
CONTENTS
分
思来 变
归
析
想源 式
纳
与
与与 与
与
解
方价 延
反
题
法值 伸
思
1.分析与解题
A
D
题目：如图，设P是正方形ABCD
一边BC上的任一点，PF⊥AP，
CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF
B
P
F
C
E
★由已知出发： 1.由“正方形ABCD”，我们可以得出有关正方形的性质（边、角、对角线等 有关性质）； 2. “PF⊥AP”得出∠APF=90°； 3. “正方形ABCD” “CF平分∠DCE”得出∠FCE=45°，∠PCF=135°；
一定的难度。 1。方法：在相似三角形中去证明线段相等，由∴∴可于△PA以相A=B去似PPF证≌比明△为相P1H，似F比等于
方法三：三角函数
A
D
证知明识：点过1点：F锐作角FH三⊥角BE函于数点H--，-- 正切
1
由知题识可点知2，：在三正角方形形全AB等CD的中判，定AB=BC， a
F
∠∵知BC识=F平∠点分D3C：∠BD分=∠C组EA∴P分F∠＝解F∠C因HF式=H∠P=C9F0H°＝45°
∴CH＝FH
c
2 B b P a-b C c H E
设正方形边长 AB=BC=a，BP=b，
C∵∴方等思H在∠ ∠法角考=F１１方“的方H+=法=两同向∠∠c 三，A２角名。PP中，B对 三C==，应 角9a0-我b°相 函，们，等数P∠H可”相=２a以，等-+b发∠+这，cA现种在PB两方直=个9法角0°直在三角某角∴又从△∴三些形a∵而AP=AB角a证b时中P=≠，形≌b明P候无或F△相可形∴者P似cHc以也==F的bb转是判化一定为种 方法：在两个直角三角形中，有相等的锐角，可以试一