2020学年高中数学第2章函数2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时单调性课件苏教版必修1
高考数学一轮复习： 第二章 函数 2.2 函数的基本性质
换元法:若f(x+2)=f(x-2),令x+2=t,则x=t-2,
∴f(t)=f(t-4),∴周期T=4.
例4 (1)(2016江苏泰州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3
≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)等
在(0,1)上递减;∵2>1,∴y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减 的函数序号是②③.
答案 ②③
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
10
方法 2 函数单调性的应用
函数的单调性有如下几个方面的基本应用:
(1)利用函数的单调性解不等式;
(2)在已知函数单调性的条件下,求参数的取值范围.
例2
已知函数f(x)=
ax (a
(x 0), 3)x
4a(
x
0)
满足对任意x1≠x2,都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,则a的取值范围是
.
x1 x2
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
11
解析
由对任意x1≠x2都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,知f(x)是减函数,于是
(5)利用导数判断单调性.
1
例1 给定函数①y= x 2 ,②y=lo g1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,
2
1)上单调递减的函数序号是
.
2019年5月18日
高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象教学素材 新人教
高中数学第二章函数2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质与图象教学素材新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质与图象教学素材新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2。
1 一次函数的性质与图象教学建议1。
理解“平均变化率”的概念是掌握一次函数性质的关键，要牢牢抓住一次函数在其定义域上单调这一特性，如果一次函数图象上存在点x 1、x 2，使f （x 1)〈0,f （x 2）>0，则一次函数的图象必与x 轴相交.2.要了解常量和变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。
一次函数的性质通过函数的图象体现,进一步体会数形结合思想和方法.学习本节内容要把一次函数与正比例函数区别开来,要对它们的异同点进行对比,采用比较法，对初中学过的一次函数和函数的性质进行比较.采用独立思考或分组讨论的方式逐步完善学习品质和思维方式。
3。
学习一次函数的同时应该注意以下两点：(1）对于直线y=kx+b （k≠0）而言,当k>0，b 〉0时,直线经过一、二、三象限;当k 〉0,b 〈0时,直线经过一、三、四象限；当k<0,b>0时,直线经过一、二、四象限;当k<0，b<0时,直线经过二、三、四象限。
反过来,如果直线y=kx+b 不经过第一象限，则⎩⎨⎧=<0b 0,k 或⎩⎨⎧<<0;b 0,k 直线y=kx+b 不经过第二象限，则⎩⎨⎧=>0b 0,k 或⎩⎨⎧<>0,b 0,k 其余类推。
高中数学(理)第2章函数 §2.2函数的基本性质
(x)=
4
x2
2,
x,
1 0
x 0, x 1,
则f
3 2
=
.
答案 (1)C (2)1
解析 (1)由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g
(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|
(1)=- 2 .
3
(1)求证: f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析 (1)证明:∵函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0. 又∵当x>0时, f(x)<0, ∴f(x1-x2)<0, 又f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). ∴f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2, f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
A.
1 2
, 0
,[1,+∞)
B.
,
1 2
,[0,1]
C.
1 2
,1
D.[0,1]
栏目索引
答案 (1)A (2)A
解析
高中数学第2章函数2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第2课时函数的最值高一数学
12/13/2021
第四页，共三十三页。
2．函数 f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小 值、最大值分别是( )
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
12/13/2021
B．0，2 D．12，2
第五页，共三十三页。
3．函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 答案：4
12/13/2021
第三十一页，共三十三页。
本部分内容讲解 结束 (jiǎngjiě)
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12/13/2021
第三十二页，共三十三页。
内容 总结 (nèiróng)
第2章 函 数。本部分内容(nèiróng)讲解结束
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12/13/2021
第三十三页，共三十三页。
12/13/2021
第二十八页，共三十三页。
1．函数 f(x)＝x－1 1在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是
()
A.15，1
B．1，15
C.17，1
D．1，17
解析：选 B.因为函数 f(x)＝x－1 1在区间[2，6]上单调递减，所
以 f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝15.
12/13/2021
第十二页，共三十三页。
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数， 则 f(x)max＝f(5)＝47， f(x)min＝f(3)＝25.
12/13/2021
第十三页，共三十三页。
函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最 大值为 f(a)，最小值为 f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最 大值为 f(b)，最小值为 f(a)． [注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间， 则不一定有最值．
高中数学第二章函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象bb高一数学
12/10/2021
第十八页，共四十四页。
二次函数的图象和性质 已知函数 f(x)＝2x2－3x＋1， (1)求这个函数图象的顶点坐标、对称轴和值域； (2)不直接计算函数值，试比较 f(－1)和 f(1)的大小．
12/10/2021
第十九页，共四十四页。
【解】 (1)将函数配方化为顶点式 f(x)＝2x2－3x＋1＝2x－342－18． 则顶点坐标为34，－18， 对称轴为 x＝34， 函数的值域为－18，＋∞．
12/10/2021
第十二页，共四十四页。
4．当 m＝________时，函数 y＝(m－3)xm2－9m＋20 是二次 函数． 解析：由 m2－9m＋20＝2，得 m＝3 或 m＝6． 当 m＝3 时，y＝0 不是二次函数， 当 m＝6 时，y＝3x2 是二次函数． 答案：6
12/10/2021
第二十五页，共四十四页。
二次函数的最值 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]． (1)当 a＝－1 时，求函数的最大值和最小值； (2)当 a∈R 时，求函数的最小值．
12/10/2021
第二十六页，共四十四页。
【解】 (1)当 a＝－1 时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 因为 x∈[－5，5]， 所以 x＝1 时，f(x)取得最小值． f(x)min＝f(1)＝1， x＝－5 时， f(x)取得最大值， f(x)max＝f(－5)＝37．
12/10/2021
第三十六页，共四十四页。
c<0，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上． (4)b2－4ac 决定抛物线与 x 轴交点的个数： 当 b2－4ac>0 时，抛物线与 x 轴有两个交点； 当 b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有一个交点； 当 b2－4ac<0 时，抛物线与 x 轴没有交点． (5)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴的交点个数的 判定同方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的情况的判定相同．
函数性质222
(3)函数的对称性
设a，b均为常数，若函数f(x)满足f(a－x)＝f(b＋x)恒成立，则 f(x)的图像关于直线x＝ 对称． 特别地，当a＝b时，函数f(x)的图像关于直线x＝a对称． 更特殊地，当a＝b＝0时，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)恒成立，
其图像关于直线x＝0(即y轴)对称，这正是偶函数的重要性质．
27
例7 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
若
则实数a的取值范围是________．
【答案】[－5，3]
28
小结： 函数的周期性、图像的对称性及应用
29
30
例8、已知奇函数
31
例8、已知奇函数
【答案】D
32
例9、已知函数f(x)为R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增 函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,+8]上有四个不同的根, x1, x2, x3, x4,则 x1 x2 x3 x4 __________.
12
(2)关于函数周期性的常用结论： ①若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，
有f(x＋kT)＝f(x)(k∈Z)，这就是说，一个函数如果有周期，就有无 数多个． ②若f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)恒成立，其中a，b均为常数，且a≠b， 则T＝|a－b|是函数f(x)的一个周期．
③求函数的单调区间或讨论函数的单调性时必须先求函数的定义域.
④一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不用“∪”连接.
⑤若f(x)在区间D1，D2上均为增函数，但f(x)在D1∪D2上不一定是增函数．
4
高中数学第2章函数2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时单调性高一数学
12/9/2021
第十二页，共三十一页。
定义法判断或证明函数的单调性 证明：函数 f(x)＝2x2＋4x 在(－∞，－1]上是单调减 函数. 【证明】 任取 x1，x2∈(－∞，－1]，且 x1<x2≤－1，则 f(x1) －f(x2)＝(2x21＋4x1)－(2x22＋4x2) ＝2(x21－x22)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)． 因为 x1<x2≤－1，所以 x1－x2<0，x1＋x2＋2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(－∞，－1]上是单调减函数．
12/9/2021
第十三页，共三十一页。
利用定义证明函数单调性的步骤
12/9/2021
第十四页，共三十一页。
2.证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 证明：任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42
＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
第三页，共三十一页。
(3)如果函数 y＝f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数 y＝f(x)在区间 I 上具有单调性．单调增区间和 单调减区间统称为单调区间．
12/9/2021
第四页，共三十一页。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( ) (2)已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
高中数学 第2章 函数 2.2 函数的简单性质 2.2.1 函数的单调性 第2课时 函数的最值应用案
第2课时 函数的最值[学生用书P95(单独成册)][A 基础达标]1．函数f (x )的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．0，2C ．－1，2D ．3，2解析：选C.当x ∈[－2，2]时，由题图可知，当x ＝－2时，f (x )的最小值为f (－2)＝－1； 当x ＝1时，f (x )的最大值为2.故选C. 2．函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( )A ．0B ．32C ．2D ．3解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．故当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x <1，－x ＋6，x ≥1的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.当x <1时，函数y ＝x ＋3单调递增，且有y <4，无最大值；当x ≥1时，函数y ＝－x ＋6单调递减，则在x ＝1处取得最大值，为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上，a ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是________．解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.因此，有0＜11－x （1－x ）≤43.所以f (x )的最大值为43.答案：437．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋3－b (a >0)在区间[1，3]上有最大值5和最小值2，则a ＋b ＝__________．解析：依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，函数f (x )在[1，3]上是增函数．故当x ＝3时，该函数取得最大值，即f (x )max ＝f (3)＝5，3a －b ＋3＝5， 当x ＝1时，该函数取得最小值， 即f (x )min ＝f (1)＝2， 即－a －b ＋3＝2，所以联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝2，－a －b ＝－1，解得a ＝34，b ＝14.因此a ＋b ＝1. 答案：18．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．解析：法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上分别为减函数和增函数．所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.法二：作函数f (x )的图象如图，由图知当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.答案：329．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 10．已知函数f (x )＝2xx ＋1，x ∈[－3，－2]． (1)求证：f (x )在[－3，－2]上是增函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2x 1（x 2＋1）－2x 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝2（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.由于－3≤x 1<x 2≤－2， 则x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )＝2xx ＋1在[－3，－2]上是增函数． (2)因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，且f (x )在[－3，－2]上是增函数，所以函数f (x )的最大值是4，最小值是3.[B 能力提升]1．函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________． 解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >2，1，1≤x ≤2，3－2x ，x <1，作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝AP ＋BP ，结合图象易得AP ＋BP ≥AB ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．答案：12．定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3.答案：M ＋3 N ＋33．求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值． 解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减， 故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增， 故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增， 故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ＞1，2－a 2，－1≤a ≤1，3＋2a ，a ＜－1.4．(选做题)某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 解：(1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大为3.6万元．。
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答案：(－∞，－1]
求函数的单调区间 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单 调区间．
【 解 】 y ＝ － x2 ＋ 2|x| ＋ 3 ＝
－（x－1）2＋4，x≥0， －（x＋1）2＋4，x<0.
函
数
图
象
如
图
所
示．
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x C．y＝x2
B．y＝x D．y＝1－x
答案：D
3．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12 答案：C
D．k<－12
4．函数 f(x)＝x2＋2x＋1 的单调递减区间是__________．
(3)如果函数 y＝f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数 y＝f(x)在区间 I 上具有单调性．单调增区间和 单调减区间统称为单调区间．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( ) (2)已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
由图象可得其单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞)；单调递 减区间是(－∞，－1]，[1，3]．
定义法判断或证明函数的单调性 证明：函数 f(x)＝2x2＋4x 在(－∞，－1]上是单调减 函数. 【证明】 任取 x1，x2∈(－∞，－1]，且 x1<x2≤－1，则 f(x1) －f(x2)＝(2x21＋4x1)－(2x22＋4x2) ＝2(x21－x22)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)． 因为 x1<x2≤－1，所以 x1－x2<0，x1＋x2＋2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(－∞，－1]上是单调减函数．
3.已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1，2]上 具有单调性，求实数 a 的取值范围． 解：函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图象开口向上， 对称轴为直线 x＝a，画出草图如图所示． 由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都 具有单调性，因此要使函数 f(x)在区间[1，2] 上具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2， 从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
第2章 函 数
2.2 函数的简单性质 2.2.1 函数的单调性
第 1 课时 单调性
第2章 函 数
1.了解函数单调性的实际背景． 2.理解函数单调 性及几何意义． 3.掌握判断或证明函数单调性的方法．
单调增(减)函数、单调增(减)区间
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A. (1)如果对于区间 I 内的____任__意_______两个值 x1，x2，当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2) ， 那 么 就 说 y ＝ f(x) 在 区 间 I 上 是 _单__调__增__函__数___，I 称为 y＝f(x)的单调增区间． (2)如果对于区间 I 内的__任__意__两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都 有 f(x1)>f(x2) ， 那 么 就 说 y ＝ f(x) 在 区 间 I 上 是 __单__调__减__函__数________，I 称为 y＝f(x)的单调减区间．
本例中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函 数的单调递减区间为(－∞，4]”，则 a 为何值？ 解：由本例知函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]， 所以 1－a＝4，a＝－3.
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为 已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区 间，与已知单调区间比较求参数． (2)应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)或方 程，解不等式(组)或方程可求得参数的取值范围．
＋∞)上是减函数．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，
1]，单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
(1)利用函数图象确定函数的单调区间，具体作法是先化简函 数式，然后再画出它的图象，最后根据函数定义域和图象的 形状，确定函数的单调区间． (2)一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪” 而应该用“和”来表示． (3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域 的子集．
1．x1，x2 的三个特征 (1)任意性，即 x1，x2 是在某一区间上的任意两个值，不能以 特殊值代换； (2)有大小，即确定的两个值 x1，x2 必须区分大小，一般令 x1 ＜x2； (3)同属一个单调区间．
所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在区间(－∞，4]上是 减函数，求实数 a 的取值范围． 【解】 因为 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，所以 f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 因为 f(x)在(－∞，4]上是减函数， 所以对称轴 x＝1－a 必须在直线 x＝4 的右侧或与其重合． 所以 1－a≥4，解得 a≤－3.
利用定义证明函数单调性的步骤
2.证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 证明：任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1） ＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
1.(1)如图所示为函数 y＝f(x)，x∈[－4，7]的 图象，则函数 f(x)的单调递增区间是__________．
(2)求函数 y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解：(1)由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]． 故填[－1.5，3]和[5，6]． (2)y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，