物理解题中的数学方法

物理解题中的数学方法

《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四种能力即为应用数学方法处理物理问题的能力。

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。可以说每一物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。下面介绍几种处理中学物理问题，常用的数学方法。

一、图像法

中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。

【例1】一蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到离巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到离巢中心L2=2m的B点时所需要的时间为多少？

【解析】此题中蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能用匀速运动公式求解。由题意蚂蚁的速度与蚁巢中心的距离成反比，可知速度的倒数与蚁巢中心的距离成正比。我们作出与L的关系图像，这个图象是一条过原点的直线。

由图可知，直线下阴影部分的“面积”在数值上就等于所求的时间。

【小结】本题巧妙地采用了-L图像解答，不仅把速度与距离成反比（图像为曲线）转化为速度的倒数与距离成反比（图像为直线），而且同时用它的“面积”能够表示运动的时间，使原来较为复杂的运动求解变得很容易。

二、几何法

利用几何法解物理题时，常用到的是“对称点的性質”、“两点间的直线距离最短”、“全等、相似三角形的性质”等相关知识。

【例2】一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于ox轴的速度v从y 轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径。（重力忽略不计）

【解析】质点在磁场中做半径为R= 的圆周运动。根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径等于R的圆上的一段圆弧。这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a点作x轴的平行线，过b点作y轴的平行线，则与这

两直线均相距R的O?点就是圆周运动的圆心。质点在磁场区域中的轨道则是以O?为圆心、R为半径的圆（图中的虚线圆）上的圆弧MN，而M点和N点应在所求的圆形磁场区域的边界上。

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN的连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：

r= MN= = R= ·

所求的磁场区域如图中实线圆所示。

【小结】本题的解题方法是几何法。求解过程由两个部分组成：其一为得出必要的几何形状，其二为计算粒子在磁场中的周期公式和半径公式。解决此类题目的关键是利用数学中的几何知识，即先作出几何图形然后再利用物理知识求解。通常的解题思路为：（1）画带电粒子的运动轨迹；（2）抓圆心，由几何关系求半径；（3）根据两圆相交知识，由公共玄求圆的最小半径。

三、极值法

数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。

【例3】一个阻值为5Ω的电灯与一个最大阻值为10Ω的滑动变阻器串联后接到电压为2V的电源上（电源内阻不计）。求：当滑动变阻器接入电路的阻值为多大时，滑动变阻器消耗的功率为最大，最大功率为多少？

【解析】设滑动变阻器消耗的功率为P，连入电路的电阻值为R，则消耗的功率为：

P=I2R=（）2R=（）2R

整理得到一个关于R的一元二次方程：PR2＋（10P－4）R＋25P=0

由于R为实数，所以上述方程中Δ≥0，即：

Δ=（10P－4）2－4P×25P=16－80P≥0

解得P≤0.2W，消耗的最大功率为0.2W，此时滑动变阻器连入电路的电阻为5Ω。

【小结】本题的解题方法是一元二次方程的判别式法。解决此类题目的关键是要找到所求物理量的数学表达式，然后整理方程求解。

四、数学归纳法

在解决某些具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的。

【例4】一个质量为M的雪橇静止在水平地面上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复的跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V＋u（其中u为狗相对于雪橇的速度，V＋u为代数和。若以雪橇的运动方向为正方向，则V为正值，u 为负值）。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg。

（1）求狗第1次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。

（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。（供使用的对数值lg2=0.301，lg3=0.477）

【解析】（1）设雪橇的运动方向为正方向。狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有：

MV1＋m（V1＋u）=0

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度V1?’满足

MV1＋mv=（M＋m）V1?

可解得：V1?=

将u=－4m/s,v=5m/s,M=30kg,m=10kg代入，得：V1?=2m/s.

（2）设雪橇的运动方向为正方向。狗第(n－1)次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn－1，狗第(n－1)次跳上雪橇后的速度V?n－1满足

M Vn－1＋mv=(M＋m) V?n－1

狗第n次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn满足

M Vn＋m(Vn＋u)=(M＋m) V?n-1

解得Vn=(v-u)[1-( )n-1]- ( )n-1

狗追不上雪橇的条件是Vn≥v

可化为( )n－1≤